四川省成都2024屆高三年級(jí)下冊第三次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷（含答案與解析）

2024屆成都蓉城名校聯(lián)盟高三第三次模擬考試

數(shù)學(xué)（文科）

考試時(shí)間120分鐘，滿分150分

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的姓名、座位號(hào)和考籍號(hào)用0.5毫米的黑色簽字筆填

寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”.

2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈

后再填涂其它答案：非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題

區(qū)域答題的答案無效：在草稿紙上、試卷上答題無效.

3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.設(shè)全集"={123,4,5},若集合加滿足{1,4}口必"，則()

A.41MB.

C.26MD.3^M

2.若復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2—i,則z=()

11

B.-

22

13.

D.—1

22

13i

3.2-3,23,sin：,log2（四個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是（

.3,1

A.2-3B.sin—D-logj

22

xcos

4.函數(shù)/⑴=氤千的圖象大致是（）

5.地球生命來自外星嗎？一篇發(fā)布在《生物學(xué)快訊》上的文章《基因庫的增長是生命起源和演化的時(shí)鐘》

可能給出了一種答案.該論文的作者根據(jù)生物功能性基因組里的堿基排列數(shù)的大小定義了基因庫的復(fù)雜度y

（單位：1）,通過研究各個(gè)年代的古代生物化石里基因庫的復(fù)雜度，提出了一個(gè)有趣的觀點(diǎn)：生物基因庫的

復(fù)雜度近似是隨時(shí)間呈指數(shù)增長的，只要知道生物基因庫的復(fù)雜度就可以推測該生物體出現(xiàn)的年代.如圖

是該論文作者根據(jù)生物化石（原核生物，真核生物，蠕蟲，魚類，哺乳動(dòng)物）中的基因復(fù)雜度的常用對數(shù)igy

與時(shí)間x（單位：十億年）的散點(diǎn)圖及回歸擬合情況（其中回歸方程為：lgy=0.89x+8.64,相關(guān)指數(shù)

R2=O.97）.根據(jù)題干與圖中的信息，下列說法錯(cuò)誤的是（）

4

60一

E

蝌

喉O全基因組

女?功能性非冗余基因組

—回歸線

012345

x/十億年

A.根據(jù)信息生物基因庫的復(fù)雜度近似是隨時(shí)間呈指數(shù)增長的情況，不同于作者采取y取常用對數(shù)的做法,

我們也可采用函數(shù)模型y=bxl（T+左來擬合

B.根據(jù)回歸方程可以得到，每過10億年，生物基因庫的復(fù)雜度一定增加到原來的10°89。7.76倍

C.雖然擬合相關(guān)指數(shù)為0.97,但是樣本點(diǎn)只有5個(gè)，不能很好地闡釋其統(tǒng)計(jì)規(guī)律，所以增加可靠的樣本點(diǎn)

可以更好地完善回歸方程

D.根據(jù)物理界主流觀點(diǎn)：地球的形成始于45億年前，及擬合信息：地球在誕生之初時(shí)生物的復(fù)雜度大約

為lO&a,可以推斷地球生命可能并非誕生于地球

6.若匕是平面上兩個(gè)非零的向量，貝廣卜+0第+忖”是“,力第付的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

3

7.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，角名尸的始邊均為Qr,終邊相互垂直，若cosa=《，則cos2/?=()

9977

A.——B.——C.—D.——

25252525

8.已知函數(shù)了(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/(%)=x(l-lnx),則當(dāng)x<0時(shí)，"％)的單

調(diào)遞增區(qū)間為()

A.B.(―e,O)

C.(-8,0)D.(―1,0)

9.已知公比不為1等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，若數(shù)列｛,+凡｝是首項(xiàng)為1的等差數(shù)歹！J,則。3=(

11

A.C.一D.

5148

10.已知點(diǎn)P,Q分別是拋物線。：y=4%和直線/:x=2上的動(dòng)點(diǎn)，若拋物線C的焦點(diǎn)為尸，則

2

歸。|+|?？诘淖钚≈禐?)

A.3B.2+73C.273D.4

11.已知正方體以某直線旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)戊角后與自身重合，則a不可能為()

712兀3兀

A—B.——C.——D.兀

234

12.若實(shí)數(shù)%,馬是方程4§81112工-<：052工=-：在區(qū)間(0,1)上不同的兩根，則以光(々—%)=()

B--「百D石

333

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若雙曲線。的漸近線方程為缶±y=0,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是(寫出一個(gè)你認(rèn)為正確的答

案即可).

14.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2的半圓，則這個(gè)圓錐的高是.

15.若正實(shí)數(shù)滿足。2+/=7徨，則a+b的最大值為(用加表示).

16.若函數(shù)/(x)=e、-丘2大于。的零點(diǎn)有且只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)上的值為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.在金。中，BC=5,AC=6,cosB=-.

8

(1)求AB長；

(2)求ABC的面積.

18.為了更好地培養(yǎng)國家需要的人才，某校擬開展一項(xiàng)名為“書香致遠(yuǎn)，閱讀潤心”的讀書活動(dòng)，為了更好地

服務(wù)全校學(xué)生，需要對全校學(xué)生的周平均閱讀時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生，將他們

的周平均閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))數(shù)據(jù)分成5組：[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12],根據(jù)分組數(shù)據(jù)制成

(1)求。的值，并估計(jì)全校學(xué)生周平均閱讀時(shí)間的平均數(shù)；

(2)用分層抽樣的方法從周平均閱讀時(shí)間不小于8小時(shí)的學(xué)生中抽出6人，再隨機(jī)選出2人作為該活動(dòng)的

形象大使，求這2人都來自[8,10)這組的概率.

19.已知在四棱錐P-ABCD中，上4_L平面A3CD,四邊形A3CD是直角梯形，滿足

AD/ABCADLDC,若/%=40=。。=2,3。=3,點(diǎn)/為的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PC的三等分點(diǎn)(靠

近點(diǎn)P).

Af

乙?孑一D0

BC

（1）求證：AM±平面PCD；

（2）求三棱錐P-AAW的體積.

22_

20.己知橢圓E：J+二=1（?！??！?）上的點(diǎn)〃（2,1）到焦點(diǎn)耳，鳥的距離之和為4五-

ab~

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點(diǎn)N（4,0）的直線交橢圓E于A,3兩點(diǎn)，直線分別交直線x=4于

戶（馬,”,）,。（々,北）兩點(diǎn)，求證：yP+yQ=0.

21.已知函數(shù)/（x）=lnx,若數(shù)列｛叫的各項(xiàng)由以下算法得到：

①任?。ㄆ渲衋>0）,并令正整數(shù)，=1；

②求函數(shù)〃尤）圖象在（4,7（q））處的切線在>軸上的截距q+1；

③判斷。卬〉0是否成立，若成立，執(zhí)行第④步；若不成立，跳至第⑤步；

④令i=i+l,返回第②步；

⑤結(jié)束算法，確定數(shù)列｛4｝的項(xiàng)依次為外,附，…，aM.

根據(jù)以上信息回答下列問題：

（1）求證：aM=lna;-1；

（2）是否存在實(shí)數(shù)。使得｛%｝為等差數(shù)列，若存在，求出數(shù)列｛q｝項(xiàng)數(shù)"；若不存在，請說明理

+1

由.參考數(shù)據(jù)：e7s3.ir

（二）選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題

計(jì)分.

［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

X——t

22.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線C1的參數(shù)方程為L〈"為參數(shù)),曲線。2的參數(shù)方程為

x=a+cosa,

為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

y=sma

（1）求C1與G的極坐標(biāo)方程；

（2）若C1與G的兩不同交點(diǎn)A,3滿足。4=208,求a的值.

［選修4—5：不等式選講］（10分）

23.已知函數(shù)/（x）=x-7",g（x）=x+2.

（1）當(dāng)m=1時(shí)，解不等式/⑸+|g（x）|＜5；

⑵若xe（-L,+x＞）,|/（力根（尤-2）+/（%）k（刈＞0成立，求用的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1,設(shè)全集。={123,4,5},若集合加滿足{1,4}口e%則（）

A.41MB.

C.2GMD.3史M

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用集合的包含關(guān)系及補(bǔ)集的定義判斷即得.

【詳解】全集。={1,2,3,4,5},由{1,4}口令"，知le瘵0,4eVM,則lg/,4任A錯(cuò)誤,B

正確；

不能判斷2eM,也不能判斷3CM,CD錯(cuò)誤.

故選：B

2.若復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2—i,貝”=(

1ii

A.—+-B.

2222

C.—i13.

D.-------1

2222

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算計(jì)算即得.

2-i(2-i)(l-i)l-3i13.

【詳解】依題意,--------=---------1

1+7-(l+i)(l-i)222

故選：D

131

3.2,23,sin：,log2（四個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是（）

:?.3

A.2-3B.3C.sin—E

922

【答案】B

【解析】

【分析】引入0,1,分別比較這四個(gè)數(shù)和0,1的大小，即可得到結(jié)論.

【詳解】因?yàn)?-3=&=：<1,|o_1,sin|<l,log^=-log23<0.

2823

所以￡最大.

故選：B

xcos2x

4.函數(shù)/（x）=_,,,，、的圖象大致是（）

ln（；r+1）

【答案】A

【解析】

TV

【分析】由函數(shù)的奇偶性排除兩個(gè)選項(xiàng)，再根據(jù)xe(O,—)時(shí)的函數(shù)值為正排除余下兩個(gè)中的一個(gè)即得.

4

【詳解】函數(shù)/(X)=的定義域?yàn)?—8域)(0,+8),/(—X)==一于(X),

ln(x'+1)ln(x'+1)

函數(shù)/(X)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，BD不滿足；

JT

當(dāng)xe(O,—)時(shí)，cos2x>0,ln(x2+1)>0,則/(x)>0,C不滿足，A滿足.

■4

故選：A

5.地球生命來自外星嗎？一篇發(fā)布在《生物學(xué)快訊》上的文章《基因庫的增長是生命起源和演化的時(shí)鐘》

可能給出了一種答案.該論文的作者根據(jù)生物功能性基因組里的堿基排列數(shù)的大小定義了基因庫的復(fù)雜度y

(單位：1),通過研究各個(gè)年代的古代生物化石里基因庫的復(fù)雜度，提出了一個(gè)有趣的觀點(diǎn)：生物基因庫的

復(fù)雜度近似是隨時(shí)間呈指數(shù)增長的，只要知道生物基因庫的復(fù)雜度就可以推測該生物體出現(xiàn)的年代.如圖

是該論文作者根據(jù)生物化石(原核生物，真核生物，蠕蟲，魚類，哺乳動(dòng)物)中的基因復(fù)雜度的常用對數(shù)igy

與時(shí)間x(單位：十億年)的散點(diǎn)圖及回歸擬合情況(其中回歸方程為：lgy=0.89%+8.64,相關(guān)指數(shù)

4

3

w

-&K

E

i?瞬

玄

x/十億年

A.根據(jù)信息生物基因庫的復(fù)雜度近似是隨時(shí)間呈指數(shù)增長的情況，不同于作者采取〉取常用對數(shù)的做法,

我們也可采用函數(shù)模型y=bx10flA+k來擬合

B.根據(jù)回歸方程可以得到，每過10億年，生物基因庫復(fù)雜度一定增加到原來的10°89a7.76倍

C.雖然擬合相關(guān)指數(shù)為0.97,但是樣本點(diǎn)只有5個(gè)，不能很好地闡釋其統(tǒng)計(jì)規(guī)律，所以增加可靠的樣本點(diǎn)

可以更好地完善回歸方程

D.根據(jù)物理界主流觀點(diǎn)：地球的形成始于45億年前，及擬合信息：地球在誕生之初時(shí)生物的復(fù)雜度大約

為lO&a,可以推斷地球生命可能并非誕生于地球

【答案】B

【解析】

【分析】利用指數(shù)式與對數(shù)式互化判斷A；利用回歸方程的意義判斷B；利用相關(guān)指數(shù)的意義判斷C；求出

地球在誕生之初時(shí)生物的復(fù)雜度，結(jié)合描述判斷D.

【詳解】對于A,由Igy=0.89%+8.64，得y=lO089^864=10864x10089jc,

令g=10&64,G=0.89,攵=0,滿足y=^xl（T+左，A正確；

對于B,觀察散點(diǎn)圖，所給5個(gè)點(diǎn)不全在回歸直線Igy=0.89%+8.64上，回歸擬合是近似的，

不能說每過10億年，生物基因庫的復(fù)雜度一定增加到原來的10°89°7.76倍，B錯(cuò)誤；

對于C,數(shù)據(jù)越多，擬合的準(zhǔn)確性越高，因此增加可靠的樣本點(diǎn)可以更好地完善回歸方程，C正確；

對于D,當(dāng)尤=0時(shí)，y=10&64,即地球在誕生之初時(shí)生物的復(fù)雜度大約為10&64,

可以推斷地球生命可能并非誕生于地球，D正確.

故選：B

6.若匕是平面上兩個(gè)非零的向量，貝廣門+0=卜|+卜卜是“卜對=瓦卜卜的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】由卜+0=何+忖，兩邊平方化簡可得cos<氏6〉=1,即。，b同向，可判斷充分性成立，

由卜/=忖1|,可得cos<a,6〉=±l,即b共線，可舉反例;=」,，判斷必要性不成立.

【詳解】因?yàn)?+0=忖+可，所以（卜+?！?（口+||，

即忖+忖+2a-b=|a|+忖+2忖.忖,即2名=|司.忖,

由于。，6是平面上兩個(gè)非零的向量，所以cos<a1〉=1,所以。，人同向，

所以有H/=|a|-|z?|cos<a,Z?>=|?|-|/?|,故充分性成立；

因?yàn)椴?對=卜卜可,則卜os<a,J>|=l,即cos<）,」〉=±1,

由于a,。是平面上兩個(gè)非零的向量，所以。，心共線

不妨取：=工，此時(shí)a，6共線.，但卜+4=0，，+慟=21,0,

故必要性不成立，

所以“卜+q=何+w”是“卜?'=”的充分不必要條件.

故選：A

3

7.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，角名尸的始邊均為3,終邊相互垂直，若cosa=g,則cos2〃=()

9977

A.——B.——C.—D.——

25252525

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式計(jì)算即得.

TT3

【詳解】依題意，P=a+—+2kn,k^7.,貝!!sin/?=cosa=?，

兀3

或/Jutz-'+ZE,左eZ,則sin,=-coscr=一《

,7

所以cos2￡=l-2sin2/?=—.

故選：C

8.已知函數(shù)“力是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/(X)=X(1-1ILX),則當(dāng)x<0時(shí)，的單

調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(-co,-e)B.(-e,0)

C.(—oo,0)D.(-1,0)

【答案】D

【解析】

【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在(0,+")上的單調(diào)性，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)在(-8,0)上的單調(diào)

性，即可判斷.

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=x(l-lnx),則/''(x)=Tnx,

所以當(dāng)0<x<l時(shí)/當(dāng)尤>1時(shí)/(x)<0,

所以了(九)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+8)上單調(diào)遞減,

又函數(shù)了(%)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以了(%)在(-1,0)上單調(diào)遞增，在(-8,-1)上單調(diào)遞減.

故選：D

9.已知公比不為1的等比數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為S,,,若數(shù)列｛S,,+%｝是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，貝|]。3=

()

1211

A.-B.-C.—D.一

2348

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)｛%｝的公比為q,求出通項(xiàng)和求和公式，利用等差數(shù)列得的q方程即可求解.

1n-lJ_Z1_\

【詳解】設(shè)｛4｝的公比為q,由題知3+^=1.?.4=—,則I)，

221-q

i^S2+a2=-,S3+%=2q+1,則S3+a3=2q+1,S3+q+S]+q=2(S2+士)，

即l+2"+〃+l=l+2q,解得q=g,(q=l舍去)，此時(shí)J+q=1,滿足題意，則生=：.

22X

故選：D.

10.已知點(diǎn)P,Q分別是拋物線C:y2=4x和直線/:x=之上的動(dòng)點(diǎn)，若拋物線。的焦點(diǎn)為尸，則

2

歸。|+|。/|的最小值為()

A.3B.2+73C.273D.4

【答案】C

【解析】

【分析】按點(diǎn)尸在直線x=*及右側(cè)、左側(cè)分類，借助對稱的思想及兩點(diǎn)間線段最短列式求出并判斷得解.

2

【詳解】設(shè)尸的坐標(biāo)為(不，汽)，則￥=4%,拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)/(1,0),準(zhǔn)線方程為x=—1,

當(dāng)點(diǎn)尸在直線x=g及右側(cè)，即毛之：時(shí)，|PQ|+|°同可依當(dāng)且僅當(dāng)。是小與直線/的交點(diǎn)時(shí)取等

號(hào)，

75

此時(shí)|「。|+1。司引=%+12Q,當(dāng)且僅%0=-時(shí)取等號(hào)，

當(dāng)點(diǎn)尸在直線x=g左側(cè)，即0</<|時(shí)，點(diǎn)尸（1,0）關(guān)于/的對稱點(diǎn)是T（4,0）,則I。尸|=|。7|,

222

\PQ\+\QF\=\PQ\+\QT\>\PT\=7（X0-4）+^=7（^-4）+4^=7（X0-2）+12>2上,

當(dāng)且僅當(dāng)。是。咒與直線/的交點(diǎn)，且升=2時(shí)取等號(hào)，而2代<（,

所以已。|+|。同的最小值為2g.

11.已知正方體以某直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)c角后與自身重合，則c不可能為（）

712兀37r

A.—B.——C.—D.兀

234

【答案】C

【解析】

【分析】分直線經(jīng)過正方體對面中心、直線經(jīng)過正方體的體對角線、直線穿過正方體的對棱中點(diǎn)及其它情形

四種情況討論，分別確定旋轉(zhuǎn)角，即可判斷.

【詳解】依題意直線必過正方體的體對角線的交點(diǎn)，

當(dāng)直線經(jīng)過正方體對面中心時(shí)，正方體繞直線旋轉(zhuǎn)萬（左eZ）時(shí)，與自身重合；

當(dāng)直線經(jīng)過正方體的體對角線時(shí),

如圖，連接AB,BD，AD,此時(shí)三角形AR。為等邊三角形,

設(shè)正方體的體對角線AC］與面交于點(diǎn)M，則M為A3。的中心，連接AM,BM,則

，與自身重合;

當(dāng)直線穿過正方體對棱中點(diǎn)時(shí)，正方體繞直線旋轉(zhuǎn)E優(yōu)eZ）時(shí)，與自身重合;

其它情況，正方體繞直線旋轉(zhuǎn)2E（左eZ）時(shí)，與自身重合;

故選：c

12.若實(shí)數(shù)%,超是方程6sin2x—cos2x=—g在區(qū)間（0,乃）上不同的兩根，則以光（々—%）=（

2「V5

AB.——D.一好

-1333

【答案】A

【解析】

2i]

【分析】根據(jù)題意得到sinsin-,結(jié)合xe(0,7i)得到％+%=7兀，故

36

【詳解】^/3sin2x—cos2x——2sinI2x----|——sinI2x-----|——,

316)316)3

2

3

兀11兀

因?yàn)椋ǎ┧?/p>

xe0,7i,~6'~6~

甘?.「吟_.5兀_122X--+2X,--05

其中sin]—二?|=sm7-=一二〉一二，故]6—63兀，即m可+%,=—兀，

I3；623-------------------=-3

則cos?f)=cos；A2XJ=COSg+/2xj=sin1一2七

故選：A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若雙曲線C的漸近線方程為岳±y=0,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是（寫出一個(gè)你認(rèn)為正確的答

案即可）.

2

【答案】f―工_=1（答案不唯一）

2

【解析】

【分析】由雙曲線漸近線的表達(dá)式得到一組a,。，再寫出標(biāo)準(zhǔn)方程即可.

【詳解】因?yàn)殡p曲線。的漸近線方程可表示為y=±Zx,

所以4=1,b=A/2，

所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是/一匕=1,

2

2

故答案為：X2—=1.

2

14.己知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2的半圓，則這個(gè)圓錐的高是.

【答案】73

【解析】

【分析】根據(jù)側(cè)面展開圖的弧長等于圓錐的底面周長，求得圓錐的底面半徑，進(jìn)而利用勾股定理求高.

【詳解】試設(shè)圓錐的母線為/,底面半徑為「，

則/=2,M=ITIT,I-2r,r=1,

因此圓錐的高是/=—/=后

故答案為：6

15.若正實(shí)數(shù)a力滿足/+。2=m，則a+b的最大值為(用〃z表示).

【答案】121n

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求解即得.

【詳解】正實(shí)數(shù)a,6,a?+b?=m,則(a+Z?)2=ci2+b~+2ab<a2+b2+(a~+/)=2m,

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=與時(shí)取等號(hào)，于是a+赤，

所以a+b的最大值為J赤.

故答案為：J2m

16.若函數(shù)/(x)=e、—收大于0的零點(diǎn)有且只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)上的值為.

P21

【答案】—##-e2

44

【解析】

【分析】首先判斷左＞0,令/（尤）=0,x?0,y）,參變分離可得左=二，依題意可得y=左與

y=與在（0,+。）上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，令夕（x）=冬，xe（0,+8）,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即

XX

可求出函數(shù)的最小值，從而求出女的值.

【詳解】若左W0時(shí)/（x）＞0恒成立，所以/（X）=e'—丘2沒有零點(diǎn)，

所以左＞0,

令〃x）=0,xe（0,-H?）,即/一扇=0,

所以左=目，

依題意y=左與y==在（0,+8）上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

令夕（x）=￡y,xe（0,-H?）,貝｝jq'（x）=?（X32）,

x~x

所以當(dāng)0＜光＜2時(shí)，cp（x）＜0,當(dāng)x＞2時(shí)，，（x）〉0,

即（p（x）在（0,2）上單調(diào)遞減，在（2,+8）上單調(diào)遞增，

2

所以9（x）的最小值是0（2）='e,

2

所以左=Je.

4

2

故答案為：—e

4

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為y=左與y=R在（0,+"）上有且只有一個(gè)交點(diǎn).

x

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.在一ABC中，BC=5,AC=6,cosB=-.

8

（1）求AB的長;

（2）求一ABC的面積.

【答案】（1）4

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理計(jì)算可得；

（2）首先求出sinB,再由面積公式計(jì)算可得.

【小問1詳解】

因?yàn)?c=5,AC=6,cosB=—,

8

由余弦定理AC?=AB2+BO2—2AB.BCcos3，

即6?=AB2+52—2ABX5><L,即4AB2—5AB-44=O,

8

解得AB=4或A3=—?（舍去）.

【小問2詳解】

因?yàn)閏os3=《，BG（0,71）,所以siaB=—=之且,

所以SABC=LA3?3Csin3=!創(chuàng)45?逆=巨

ABC2284

18.為了更好地培養(yǎng)國家需要的人才，某校擬開展一項(xiàng)名為“書香致遠(yuǎn)，閱讀潤心”的讀書活動(dòng)，為了更好地

服務(wù)全校學(xué)生，需要對全校學(xué)生的周平均閱讀時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生，將他們

的周平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）數(shù)據(jù)分成5組：[2,4）,[4,6）,[6,8）,[8,10）,[10,12],根據(jù)分組數(shù)據(jù)制成

了如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

0.10

0.05

0.02

O24681012時(shí)間（單位：小時(shí)）

（1）求。的值，并估計(jì)全校學(xué)生周平均閱讀時(shí)間的平均數(shù);

(2)用分層抽樣的方法從周平均閱讀時(shí)間不小于8小時(shí)的學(xué)生中抽出6人，再隨機(jī)選出2人作為該活動(dòng)的

形象大使，求這2人都來自［8,10)這組的概率.

【答案】(1)。=0.15,平均數(shù)為6.92

⑵2

5

【解析】

【分析】(D根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為1得到方程求出。，再根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算平均

數(shù)；

(2)首先求出［8,10),［10,12］各組抽取的人數(shù)，再利用列舉法列出所有可能結(jié)果，最后利用古典概型的概

率公式計(jì)算可得.

【小問1詳解】

依題意可得(0.02+0.05+0.1+a+0.18)x2=l,

解得a=0.15.

又(3x0.02+5x0.18+7x0.15+9x0.1+11x0.05)x2=6.92,

即估計(jì)全校學(xué)生周平均閱讀時(shí)間的平均數(shù)為6.92小時(shí).

【小問2詳解】

由頻率分布直方圖可知［8,10)和［10,12］兩組的頻數(shù)的比為0.1:0.05=2:1

所以利用分層抽樣的方法抽取6人，這兩組被抽取的人數(shù)分別為6x2=4,6x'=2,

2+12+1

記［8,10)中的4人為4,%，%，［1。，12］中的2人為4，b2,

從這6人中隨機(jī)選出2人，則樣本空間

Q={a1a2,a1a3,a1a4,a2a3,a2a4,03a4，，01b2，4bl,a2b2,03b?,a4bl,a4b2,6也}共15個(gè)樣本點(diǎn)；

設(shè)事件A：選出的2人都來自［8,10),

則A={4%,01a3，?i?4，%%，。2a4,%%}共6個(gè)樣本點(diǎn)，

所以尸(A)=2=|.

19.已知在四棱錐P-ABCD中，平面A3CD,四邊形A3CD是直角梯形，滿足

若24=4)=。。=2,3。=3,點(diǎn)/為的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PC的三等分點(diǎn)(靠

近點(diǎn)p）.

（1）求證：AM1平面PC。；

（2）求三棱錐P-AAW的體積.

【答案】（1）證明見解析；

（2）

9

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)、判定，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)推理即得.

（2）由（1）中信息，求出三棱錐A-PCD的體積，再利用比例法求出體積.

【小問1詳解】

在四棱錐P—A6CD中，上4,平面A3CD,CDu平面A3CD，則上4,CD,又

而e4cAD=A，PA,ADu平面QA。，于是CD,平面上4。，又AMu平面QAD,則

由AP=AD,點(diǎn)M為PD中點(diǎn),得AMJ_PD,而CDPD=D,CD,PDu平面PC。，

所以A加1平面PCD.

【小問2詳解】

由（1）知CD,平面又PDu平面B4O,則CDLQD,

PCD的面積Spc?=』PD-CD=-X2A/2X2=2A/2,

「322

因此三棱錐A—PCD的體積VA_PCD=1S*xAM=3義2&義垃=3,

而尸M=工尸。，PN=-PC,即SPMN=工PM?PN?sinNCPD=--PD-PC-sinZCPD=-SAPCD,

2322236

所以三棱錐P-AMN的體積Vp_AMN=VA-PMN=-VA-PCD=f-

oy

22

20.已知橢圓E：=+二=1（?！?〉0）上的點(diǎn)M（2,l）到焦點(diǎn)F],F2的距離之和為4a?

ab

（1）求橢圓E的方程;

(2)過點(diǎn)N(4,0)的直線交橢圓E于A,JB兩點(diǎn)，直線AM,BM分別交直線x=4于

人與,力),。(%2，%)兩點(diǎn)，求證：yP+yQ=O.

22

【答案】(1)—+^=1

82

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義及橢圓上的點(diǎn)列方程組求解即可得橢圓方程;

(2)設(shè)直線A3方程為丁=左(％-4),A(毛聯(lián)立直線與橢圓得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，確定直線

AM,BM方程得yP,yQ,利用坐標(biāo)運(yùn)算與坐標(biāo)關(guān)系即可得結(jié)論.

【小問1詳解】

2a=472

a=20r2y2

〈L，所以橢圓E的方程為土+匕=1;

由題意可得《41,0

—7+―T=1b=4282

【小問2詳解】

證明：由題可設(shè)直線AB方程為y=左"—4),人(%,%),5(%2，%)，

y=^(x-4)

2

則Xy2n(l+4左2)兀2_32左2%+64左2—8=0,由△=(—32左—40+4左？)(64左？一8)>0得

I82

1

k2<-,

4

32k264r8

所以玉+%=1+442-1+4/

則第直線AM:yT=:|(x-2),

生於+1=2%+七一42Mxi—4）+玉一4（2左+1）（%]—4）

令尤=4得y尸二

%-2%-2%-2%-2

（2k+l）（x7-4）

同理可得：yG=------1二

。X2-2

_（2k+1）（再-4）（2左+1）（%-4）_（2左+1）[2占尤2-6（%+/）+16]

所以孫+為二—1—+—個(gè)—=（-2）

PC"\〃c64左2—8,32k-64左2—8—96左2+8+32左2

X2xx-6（x+xJ+16=2-——+16=2.二0,

1211+4-2

1十，K1十q/c

所以力+均=0.

21.已知函數(shù)/(x)=lnx,若數(shù)列｛?！埃黜?xiàng)由以下算法得到：

①任取(其中a>0),并令正整數(shù)，=1；

②求函數(shù)〃尤)圖象在(4,/([))處的切線在>軸上的截距aM.

③判斷@+i〉0是否成立，若成立，執(zhí)行第④步；若不成立，跳至第⑤步；

④令，?=i+L返回第②步；

⑤結(jié)束算法，確定數(shù)列｛4｝的項(xiàng)依次為火，4,…，G+1.

根據(jù)以上信息回答下列問題：

(1)求證：4+1=1叫一1；

(2)是否存在實(shí)數(shù)〃使得｛4｝為等差數(shù)列，若存在，求出數(shù)列｛?！埃捻?xiàng)數(shù)〃；若不存在，請說明理

+1

由.參考數(shù)據(jù)：e7a311.

【答案】(1)證明見解析

(2)<7=。1=6%+1,〃=3

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，令x=0,即可得證；

⑵設(shè)其公差為d,依題意可得d=q+1-4=lnq-弓一1(1W"),令g(x)=lnx-x-l,利用導(dǎo)數(shù)

說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到d=g(x)最多有兩個(gè)不同的根，從而得到｛%｝最多三項(xiàng)，設(shè)%、％、的

成等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)及(1)的結(jié)論，令M])=e*+i+lnx-1—2%利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)

性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理說明即可.

【小問1詳解】

因?yàn)?(力=工，所以函數(shù)y=/(x)圖象在(4，/(勾))處的切線方程為y—/(q)='(x—q)，

X勾

即>=—+lnq—l,令％=0可得y=lnq—1,即切線與y軸的交點(diǎn)為(O,lnq—1),

ai

所以6+i=lnq-1

小問2詳解】

若｛4｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,則d=q+i—q=ln4—

11—Y

令g(x)=lnx-無,則g'(x)=_—l=-----,

xx

所以當(dāng)0<x<l時(shí)g'(x)>0,當(dāng)x〉l時(shí)g'(%)<0,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(xLx=g⑴=—2，

因此d=g(力最多有兩個(gè)不同的根，即最多3項(xiàng)成等差數(shù)列，

若為、久、％成等差數(shù)列，即。1+%=2。2，

由(1)可知。2=ln6—l,所以%=e"2+i,

又％=In%—1,

令//(%)=e"i+lnx-l-2x,則/z'(x)=ex+1+--2,

x

所以當(dāng)X?0,+8)時(shí)〃(x)>0,所以〃(X)在(0,+。)上單調(diào)遞增,

g+i12J+i2~2+i

又〃ee+ln--1---=ee-3---<ee-3.2<0,

222222

(其中二>77〉二，所以—^<一入〈一一)，

e2910e2910

又Ml)=e2—3>0,

所以存在X。e1*」），使得/z（%o）=