備考2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)

日題型目錄

題型一復(fù)數(shù)的分類

題型二復(fù)數(shù)的幾何意義

題型三復(fù)數(shù)模的計(jì)算

題型四復(fù)數(shù)模的幾何意義

題型五復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

題型六i的幕運(yùn)算

題型七待定系數(shù)法求復(fù)數(shù)

題型八復(fù)數(shù)的三角表示（選學(xué)）

/典例集練

題型一復(fù)數(shù)的分類

例1.（2023春?江蘇鹽城?高三江蘇省響水中學(xué)校考期中）已知復(fù)數(shù)z=機(jī)（m-1）+而為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（）

A.-IB.1C.1或-1D.一1或0

例2.（2023?陜西咸陽(yáng)?武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z（3+i）=|（2+i）］,則復(fù)

數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)虛部為（）

舉一m

練習(xí)1.（2023?全國(guó)?合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，"?R,貝匕〃=2”是“=2+〃?1+」（3+4i）為純虛數(shù)”的（）

2-i\55）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

練習(xí)2.（2022?高三單元測(cè)試）（多選）設(shè)z是復(fù)數(shù)，則下列命題中是真命題的是（）

A.若TZO,貝也不一定是實(shí)數(shù)B.若z2<0,則z是虛數(shù)

C.若z是虛數(shù)，則z'NOD.若z是純虛數(shù)，則z2<0

練習(xí)3.（2023春?陜西寶雞?高三統(tǒng)考期中）當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)（病+2〃?-8）+（療-2相）i是下列數(shù)？

⑴實(shí)數(shù)；

⑵虛數(shù)；

⑶純虛數(shù).

練習(xí)4.（江蘇省無(wú)錫市等4地2023屆高三三模數(shù)學(xué)試卷）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足|z-2i|=|z|,貝」的虛部

為（）

A.-2B.-1C.1D.2

練習(xí)5.（2023春?重慶沙坪壩?高三重慶南開(kāi)中學(xué)校考期中）（多選）已知非零復(fù)數(shù)z”Z2,則下列運(yùn)算結(jié)果一定為實(shí)

數(shù)的是（）

A.Z[+Z]B.z2-z2C.z；+z；D.zxz2+ZjZ2

題型二復(fù)數(shù)的幾何意義

例3.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z=（l+i>（〃?-2i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限，則實(shí)數(shù)加的

取值范圍為（）

A.m>2B.0<m<2

C.—2<m<2D.m<—2

例4.（2023春?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知。為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z=a?-3a-4+（a+l）i為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)a-E在復(fù)平面

內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

第二及三

練習(xí)6.（2023?河北唐山?開(kāi)灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)4與z=4-2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，

則三=（）

1-1

A.-l-3iB.-l+3iC.l-3iD.l+3i

練習(xí)7.（2023?北京?高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，。是原點(diǎn)，向量OZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-1+i，將OZ繞點(diǎn)。按逆時(shí)針

7T

方向旋轉(zhuǎn)f,則所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）

4

A.-72B.-V2zC.-1D.-i

練習(xí)8.（江蘇省南通市2023屆高三高考前練習(xí)數(shù)學(xué)試卷）若二=i，復(fù)數(shù)z與1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,8,

Z+1

則朋=（）

A.2B.2A/2C.3D.4

練習(xí)9.（2023?湖北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，且滿足Z2-2Z+2=0,則Z?=（）

A.1+iB.1-iC.-2iD.2i

練習(xí)10.（2023春?云南?高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）在復(fù)平面中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，記OA，OC，A8表示

的復(fù)數(shù)分別為2+i,-1+2U-2i,記z為8c所表示的復(fù)數(shù)，則z-N=（）

A.25B.8C.5D.2+3?

題型三復(fù)數(shù)模的計(jì)算

例5.（2023春?內(nèi)蒙古赤峰?高三?？茧A段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足z=l+i,|z?-4z|=.

例6.（2023春?福建廈門?高三廈門一中校考期中）i是虛數(shù)單位，已知2|=|。-2i|,寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的復(fù)數(shù)

co..

第二反三

練習(xí)11.（2023?安徽合肥?合肥市第八中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)Z1=2+i,Z2=l-ai（aeR）,且z「弓為純虛數(shù),

則立=（）

Z2

A.6B.75C.1D.76

練習(xí)12.（2023?上海普陀?曹楊二中?？既＃┘褐猧為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=i（l+3i）,則同=.

練習(xí)13.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|=|z|,寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的復(fù)數(shù)z=.

練習(xí)14.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z=（a+2i）-（l+i）,|z|=Ji5,則a=（）

A.1B.0C.2D.±1

練習(xí)15.（2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考三模）已知aeR,i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=i（a-i）,國(guó)=2,貝匹=.

題型四復(fù)數(shù)模的幾何意義

例7.（2023.湖北黃岡.黃岡中學(xué)?？级＃┮阎獜?fù)數(shù)z滿足目=1,則|z+3-4i|國(guó)為虛數(shù)單位）的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

例8.（2023?山東煙臺(tái)?統(tǒng)考二模）若復(fù)數(shù)z滿足|z+31Tz-3|=4,貝1z+l］的最小值為（）.

A.3B.gC.2D.應(yīng)

舉一

練習(xí)16.（2023春?湖北襄陽(yáng)?高三宜城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知復(fù)數(shù)z滿足2V|z|V20,則在復(fù)平面中z對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形的面積為.

練習(xí)17.（2023春?四川成都?高二統(tǒng)考期中）已知|z|=l,則|z-2-2i|（i為虛數(shù)單位）的最大值為（）

A.272-1B.V2-1

c.2V2+1D.V2+1

練習(xí)18.（2023?河南?洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)2滿足卜+4=卜-1|,2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（工?）,

則（）

A.x+y=OB.尤-y=0C.x=0D.y=0

練習(xí)19.（2023春?福建莆田?高三莆田第二十五中學(xué)?？计谥校┰趶?fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)z滿足|z-l|=|z+i|（i為虛

數(shù)單位），記z°=2+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)Z。，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)Z,則點(diǎn)Z。與點(diǎn)Z之間距離的最小值_________________

練習(xí)20.（2023?山西太原?太原五中校考一模）復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z滿足|z-2|=1,貝中-i|的最小值為（）

A.1B.75-1C.75+1D.3

題型五復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

例9.（2023?山東濟(jì)寧?嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）若復(fù)數(shù)z=?為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。=（）

2+1

33

A.—B.—C.6D.—6

22

例10.（2023?湖北咸寧??？寄M預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)z滿足1+力+1=|3+可，則2=（）

A.-2-2iB.-2+2iC.2-2iD.2+2i

舉一

練習(xí)21.（2023?河南鄭州?洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足z=3+i,則|z卜（）

1—1

A.1B.72C.73D.75

2-77i

練習(xí)22.（2023?云南保山?統(tǒng)考二模）如果復(fù)數(shù)一（其中i為虛數(shù)單位，b為實(shí)數(shù)）為純虛數(shù)，那么1+歷的模長(zhǎng)

1+21

等于（）

A.72B.2C.1D.V3

練習(xí)23.（2023?江西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=上二，貝匹=（）

2-i

6363

A.2+iB.2—iC.—l—iD.-------i

5555

abz1-i

練習(xí)24.（2023?寧夏銀川?校聯(lián)考二模）規(guī)定運(yùn)算,=ad-bc,若復(fù)數(shù)z滿足=i,則z的值為（）

cdl+i1

A.1-iB.l+iC.2-iD.2+i

練習(xí)25.（2023?江蘇?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知3+4i=z（l-2i）,則|z|=（）

A.y/2B.y/5C.V10D.5

題型六i的幕運(yùn)算

例11.（2023?山東?模擬預(yù)測(cè)）若貝!Jzi°°+z5o+l=（）

A.1B.iC.-1D.-i

ii2+,2023_

例12.（2023?江西?江西省豐城中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知i為虛數(shù)單位，zJ+i+，則復(fù)數(shù)1在復(fù)平面上

1-i

所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

舉一

練習(xí)28.（2023?云南昆明?昆明一中?？寄M預(yù)測(cè)）己知復(fù)數(shù)z=1二，則z+z?+z3++z2023=（）

1-1

A.-1B.1C.-iD.i

2023

z=^^?+i.(5-i)

練習(xí)29.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知(1-i)2I則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

產(chǎn)111

練習(xí)30.（2023?云南曲靖?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)2=~^—（i是虛數(shù)單位），則H=（）

l+2i|z|

A.亭B.與C.V5D.6

題型七待定系數(shù)法求復(fù)數(shù)

例13.（2023?浙江?校聯(lián)考二模）已知復(fù)數(shù)z滿足（z+2i）（z-2i）=2（i為虛數(shù)單位），貝|z=（）

A.±^/6iB.±V2iC.2iD.+A/6

例14.（2023?甘肅金昌?永昌縣第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿足z+2^=2+i，其中i為虛數(shù)單位，則z=（）

22

A.3-2iB.2+3iC.——iD.-+i

33

第二及三

練習(xí)31.（2023春?湖南?高二校聯(lián)考期中）已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面第一象限內(nèi)，N是z的共軌復(fù)數(shù)，那么同時(shí)

滿足z+彳=2和z-2=4的復(fù)數(shù)是（）

A.73+iB.1+V3z

C.1-iD.1+i

練習(xí)32.（2023?江西九江?統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z-（2+i）=N-4i,則|z|=（）

A.1B.y/2C.2D.2A/2

練習(xí)33.（2023?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足z2+z+l=0,則忖=（）

A.1C.V2D.1或0

練習(xí)34.（2023?江西南昌?統(tǒng)考三模）若虛數(shù)z使得z?+z是實(shí)數(shù)，貝也滿足（）

A.實(shí)部是B.實(shí)部是:C.虛部是D.虛部是J

2/2/

2

練習(xí)35.（2023春?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足z+-eR,則|z+i|的最小值為

Z

B.正

C.V2-1D.1

32

題型八復(fù)數(shù)的三角表示（選學(xué)）

例15.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）復(fù)數(shù)三瓦與下列復(fù)數(shù)相等的是（

)

例16.（2023春?湖北武漢?高三華中師大一附中?？计谥校┰趶?fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)3-6對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)。按順

時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。，則所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（用代數(shù)形式表示）.

舉一

練習(xí)36.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）（多選）下列復(fù)數(shù)的三角形式正確的有（）

(兀..兀)

17

COS-^-+isin—B.cos—+isin—

A，2l126J2133；

3一（71)..(71、(71、..兀

c.一cos——+isin——D.3cos——\-ism—

2_I17〃LI6；6

練習(xí)37.（2022春.高三課時(shí)練習(xí)）把復(fù)數(shù)z=1+7^化三角形式為（）

AG?！?兀CR一兀

A.2cos—+isin—Bn.-2cos—+isin—

l66\66

兀..兀

C.2cos—+isin—cD.-2ccos—7T+i?sm?—7T

I33,I33

練習(xí)38.（2022春.高三課時(shí)練習(xí)）求復(fù)數(shù)z=-l+6i的輻角的主值為.

練習(xí)39.（2022春?高三課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)Z1=2（cosS+isinS〕對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)￡后得到的向量對(duì)

應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z2，且z=z「Z2，貝!|z=（）

A.2+2后B.1+V3i

C.-2-2拘D.-1-V3i

jr

練習(xí)40.（2022春.高三單元測(cè)試）在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)-1+i對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn);后所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)

4

兀

數(shù)為4,繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)］5后所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z?

⑴求復(fù)數(shù)4/2；

（2）若復(fù)數(shù)z=五，求復(fù)數(shù)z.

專題6.3復(fù)數(shù)

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題型一復(fù)數(shù)的分類

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題型三復(fù)數(shù)模的計(jì)算

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題型五復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

題型六i的幕運(yùn)算

題型七待定系數(shù)法求復(fù)數(shù)

題型八復(fù)數(shù)的三角表示（選學(xué)）

/典例集練

題型一復(fù)數(shù)的分類

例1.（2023春?江蘇鹽城?高三江蘇省響水中學(xué)?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)z=機(jī)（m-1）+而為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（）

A.-IB.1C.1或-1D.一1或0

【答案】B

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義求解.

【詳解】因?yàn)閦是純虛數(shù)，所以°,解得加=1.

故選：B.

例2.（2023?陜西咸陽(yáng)?武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z（3+i）=|（2+i）］,則復(fù)

數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)虛部為（）

A.-B.士C.--D.--

2222

【答案】B

31

【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算直接求解得到z==-：i,再由共物復(fù)數(shù)的概念求解即可.

22

【詳解】由題知，z（3+i）=|（2+i）>5,z=^=（3^^.）=^）=|-^

???復(fù)數(shù)Z的共軌復(fù)數(shù)為2=?.?.復(fù)數(shù)Z的共軌復(fù)數(shù)虛部為:，

222

故選：B.

舉一反三

練習(xí)1.（2023?全國(guó)?合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，“eR,貝也〃=2”是“二口+機(jī)（+口（3+4i）為純虛數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】先利用復(fù)數(shù)運(yùn)算對(duì)復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，再利用實(shí)部為零，虛部不為零解出加，最后確認(rèn)是充要條件.

3+彳后_（3+叫（2+i）.6■-療3+2療.

【詳解】依題意,2-i—（2-i）（2+i）-5+―5-1

34.3.417.

—+—1+—1------1—1

555555

,,3+m2i6-m-m23+2m2+7m.

故E

6-m-m2=0

若該式為純虛數(shù)，則解得m=2.

3+2加2+7%40

故選：C.

練習(xí)2.（2022?高三單元測(cè)試）（多選）設(shè)z是復(fù)數(shù)，則下列命題中是真命題的是（）

A.若z2N0,貝也不一定是實(shí)數(shù)B.若z2<0,則z是虛數(shù)

C.若z是虛數(shù)，則z'NOD.若z是純虛數(shù)，則z2<0

【答案】BD

【分析】因?yàn)閆是復(fù)數(shù)，可設(shè)Z=4+歷，先表示出ZZ,再根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)的條件逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.

【詳角軍】設(shè)2=口+歷（aeR,bcR）,貝I]z?=（a+bi）2=（片—/j+Zabi,

對(duì)于A,因?yàn)閦2N0,所以必=0,因?yàn)閆2=4-6注0,可得6=0,即2=〃，所以z一定是實(shí)數(shù)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,因?yàn)閦2<0,所以M=0,因?yàn)槿?/一62<0,所以斫0且入°,即z=6i（bw0）,所以z是虛數(shù)，所以

選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,若z是虛數(shù)，貝”=0+歷。20）,即z2=（a+6i）2=（a2—62）+2"i,若。力0,則z?為虛數(shù)，不能和0比

較大小，若a=0,則z2=-b2<0,均不滿足z220,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,若z是純虛數(shù)，貝|a=0且g0,即z=0i（。20）,所以所以選項(xiàng)D正確.

故選：BD.

練習(xí)3.（2023春?陜西寶雞?高三統(tǒng)考期中）當(dāng)實(shí)數(shù)切取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)（加+2m-8）+（病-2附i是下列數(shù)？

⑴實(shí)數(shù)；

⑵虛數(shù)；

⑶純虛數(shù).

【答案】（1）根=0或租=2

（2）片0且加中2

（3）m=-4

【分析】（I）令復(fù)數(shù)虛部等于0,即可求得答案；

（2）令復(fù)數(shù)的虛部不等于0,即可求得答案；

（3）根據(jù)純虛數(shù)的概念，令實(shí)部等于0,虛部不為0,即可求得答案.

【詳解】（1）由題意復(fù)數(shù)（川+2機(jī)一8）+（蘇-2〃?）i,

當(dāng)病一2根=0，即%=0或m=2時(shí)，所給復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù).

（2）當(dāng)療一2〃-0,即加中0且〃入2時(shí)，所給復(fù)數(shù)是虛數(shù).

（3）當(dāng)，彳+2'”即“2=-4時(shí)，所給復(fù)數(shù)是純虛數(shù).

\jn—2m^0

練習(xí)4.（江蘇省無(wú)錫市等4地2023屆高三三模數(shù)學(xué)試卷）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足|z-2i|=|z|,貝」的虛部

為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】設(shè)2=。+歷，6eR,根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式得到方程，解得即可.

【詳解】設(shè)2=。+歷，a,b^R,則z-2i=a+（Z?-2）i,

因?yàn)閨z-2i|=|z|,所以-2『='標(biāo)+',則一2）2=.2+k，解得b=i,

所以復(fù)數(shù)z的虛部為1.

故選：C

練習(xí)5.（2023春?重慶沙坪壩?高三重慶南開(kāi)中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）已知非零復(fù)數(shù)4/2,則下列運(yùn)算結(jié)果一定為實(shí)

數(shù)的是（）

A.4+Z]B.z2—z2C.z；+z；D.zxz2+ZjZ2

【答案】AD

【分析】由復(fù)數(shù)的乘法和加、減運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)一一化簡(jiǎn)，即可得出答案.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)4=a+Ai(a,Z;GR,Z?wO),Zj=a-bi,z2=c+di(c,dGR,dwO),z2=c-di,

對(duì)于A,4+4=〃+/?i+〃一歷=2a,虛部為0,則Z+z1一定為實(shí)數(shù)，故A正確；

對(duì)于B,z2-z2=2di,虛部不為0,故Z2-Z2一定不為實(shí)數(shù)，故B不正確；

對(duì)于C,z；+z；=(。+歷)2+(C+%)2="—廿+2abi+c2-d2+2cdi=a2-b2+c2-d2+(2ab+2cd}i,

若2"+2cdw0,則z：+z；不一定為實(shí)數(shù)，故C不正確；

對(duì)于D,Zjz2+ztz2=(<7+歷)(￡?_%)+(a+,

ac—cuh+bd+bd+ac+adi-bd+bd=2bd+2ac,故D正確.

故選：AD.

題型二復(fù)數(shù)的幾何意義

例3.(2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))己知復(fù)數(shù)z=(l+i)-(m-2i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限，則實(shí)數(shù)〃?的

取值范圍為()

A.m>2B.0<m<2

C.—2<m<2D.m<—2

【答案】A

【分析】化簡(jiǎn)z,根據(jù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限列不等式，從而求得優(yōu)的取值范圍.

【詳解】z=(l+i)-(m-2i)=m+2+(m-2)i,

對(duì)應(yīng)點(diǎn)(〃7+2,〃7-2),

由于點(diǎn)(加+2,m-2)在第一象限，

fm+2>0

所以c八，解得%>2.

故選：A

例4.(2023春?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知。為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z=/-3a-4+(a+l)i為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)a-ai在復(fù)平面

內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】利用純虛數(shù)的定義求出。，即可判斷作答.

La2-3/7-4=0

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)Z-+(a+l)i為純虛數(shù)，則小，0’解得"4,

所以復(fù)數(shù)4-4i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(4,T)位于第四象限.

故選：D

舉一反三

練習(xí)6.(2023?河北唐山?開(kāi)灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知復(fù)數(shù)4與z=4-2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，

則三=()

1-1

A.-l-3iB.-l+3iC.l-3iD.l+3i

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系得Z=4+2i,應(yīng)用復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)目標(biāo)式即得結(jié)果.

【詳解】由z=4—2i對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(4,-2),則向?qū)?yīng)點(diǎn)為(4,2),故Z]=4+2i,

所以2=2(2+1)=2(2+i)(l+i);世].

1-i1-i2

故選：D

練習(xí)7.(2023?北京?高三專題練習(xí))在復(fù)平面內(nèi)，。是原點(diǎn)，向量0Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-1+i，將OZ繞點(diǎn)。按逆時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)￡，則所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()

4

A.—^/2B.—yf2iC.—1D.—i

【答案】A

【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合圖象可得.

3

如圖，由題意可知oz=(-M),oz與X軸夾角為1兀，

繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn):后Z到達(dá)X軸上4點(diǎn)，又卜|oz|=0,

所以Z1的坐標(biāo)為(-板,0),所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為一

故選：A.

練習(xí)8.(江蘇省南通市2023屆高三高考前練習(xí)數(shù)學(xué)試卷)若lz—3=i，復(fù)數(shù)z與I在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為

Z+1

則圈=()

A.2B.2&C.3D.4

【答案】A

【分析】利用已知條件先求出z,根據(jù)復(fù)數(shù)的意義，分別寫(xiě)出A2坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可.

【詳解】由二=inz-3=i(z+i),

z+i

2

所以Z=_7=l+i,

l-i

所以吃=l-i，

故z與I在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為3(1,-1),

所以|=^(1-1)2+[1-(-1)]2=2,

故選：A.

練習(xí)9.(2023?湖北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))若復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，且滿足d-2z+2=0,則z?=()

A.1+iB.l-iC.-2iD.2i

【答案】C

【分析】根據(jù)題意求出z,再根據(jù)復(fù)數(shù)Z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限，即可求解.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足：z2-2z+2=o,即(Z-1)2=-1,

故z=l+i或z=l—i,

因?yàn)閺?fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，

故復(fù)數(shù)z=l—i,所以z2=-2i.

故選:C.

練習(xí)10.(2023春?云南?高三云南師大附中?？茧A段練習(xí))在復(fù)平面中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，記04,OC，表示

的復(fù)數(shù)分另U為2+i,-l+2i,l-2i,記z為8c所表示的復(fù)數(shù)，則z^=()

A.25B.8C.5D.2+3i

【答案】A

【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得04=(2,1),OC=(-1,2),AB=(1,-2),求出z=-4+3i,再由共軌復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)

的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得出答案.

【詳解】因?yàn)镺A，OC，鉆表示的復(fù)數(shù)分別為2+i,-l+2i,l-2i

所以04=(2,1),OC=(-1,2),AB=(1,-2),

AC=OC-04=(-1,2)-(2,1)=(-3,1),

則BC=AC-A8=(-3,1)-(1,-2)=(-4,3),

那么z=T+3i,所以z-2=25.

故選：A.

題型三復(fù)數(shù)模的計(jì)算

例5.(2023春?內(nèi)蒙古赤峰高三校考階段練習(xí))若復(fù)數(shù)z滿足z=l+i,|Z2-4Z|=.

【答案】2底

【分析】化簡(jiǎn)Z2-4Z，然后用復(fù)數(shù)模的公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)閦=l+i,所以z2-4z=(l+i)2-4(l+i)=2i-4-4i=-4-2i,

所以|z2-4z|=V16+4=2A/5.

故答案為：26

例6.(2023春?福建廈門?高三廈門一中?？计谥?i是虛數(shù)單位，已知3-2|=|。-2i|,寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的復(fù)數(shù)

(O..

【答案】①=l+i(答案不唯一，滿足刃=a+ai(awR)均可)

【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算公式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)刃=々+歷，(a,beR),

貝U|0一2|=|(tz-2)+bi\=耳-2丫+及,|。-2i1=1。+S—2)i|=出+伯*，

因?yàn)閨①一2|=|。一2i|,

所以J(a-2)2+〃=折+(6-2)2,解得：a=b,

所以①=a+ai,(?eR)

所以可以取。=l+i.

故答案為：o=l+i(答案不唯一，滿足。=a+ai(aeR)均可).

舉1-1反㈢

練習(xí)11.(2023?安徽合肥?合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知復(fù)數(shù)z=2+i,Z2=l-ai(aeR),且彳馬為純虛數(shù),

則丸=()

Z2

A.6B.6C.1D.瓜

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)Z「7,由純虛數(shù)的概念求出。，由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可得

結(jié)果.

【詳解】復(fù)數(shù)Zi=2+i,Z2=~i,則】?馬=(2+。。+*=(2—a)+(2a+l)i,

fa-2=0

依題意得，c,八，解得4=2,即z=l-2i,

[2〃+1wO

-4---_----2--+--i------(-2--+--i-)-(-l--+--2--i-)-_5_i—?.

z2l-2i(l-2i)(l+2i)一5一’

所以五二L

Z2

故選：c.

練習(xí)12.(2023?上海普陀?曹楊二中?？既?已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=i(l+3i),則同=.

【答案】M

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求得z=-3+i,可得已根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算即得答案.

【詳解】由z=i(l+3i)可得z=-3+i,

故2=-3-i,.'.|z|=J(_3『+F=VlO,

故答案為：M

練習(xí)13.(2023.全國(guó)?高三專題練習(xí))已知復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|=|z|,寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的復(fù)數(shù)z=.

【答案】1-i(答案不唯一，虛部為-1即可)

【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z,代入復(fù)數(shù)的模的公式求解即可.

【詳解】設(shè)2=。+為，(Q,Z?eR),

貝生+21|=卜+歷+21|=1+9+2川=擊2+e+2)2,

|z|=|i?+Z?i|=y]a2+b2,

：|z+2i|=|z|,J/+("2)2=,

Acr+(b+2^=cr+b2,化簡(jiǎn)得4b+4=0,解得6=-l.

滿足條件的一個(gè)復(fù)數(shù)z=l-i(答案不唯一，虛部為-1即可).

故答案為：l-i(答案不唯一，虛部為-1即可).

練習(xí)14.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知復(fù)數(shù)z=(a+2i)-(l+i),|W=&U,貝I]°=()

A.1B.0C.2D.±1

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)模的計(jì)算即可

【詳解】z=(a+2i).(l+i),

化簡(jiǎn)得z=〃-2+(〃+2)i,

則IZ1=,3-2)2+0+2)2=瓜

解得a=±1,

故選：D.

練習(xí)15.(2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考三模)已知aeR,i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=i(a-i),同=2,貝匹=.

【答案】±73

【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式列式求得。.

【詳解】因?yàn)閦=i(a-i)=l+ai

由|z|=2,得Ja?+1=2,得°=士耳.

故答案為：土幣.

題型四復(fù)數(shù)模的幾何意義

例7.(2023.湖北黃岡.黃岡中學(xué)?？级?已知復(fù)數(shù)z滿足目=1,則|z+3-4i|國(guó)為虛數(shù)單位)的最大值為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】設(shè)2=856>+15：111凡根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式和三角恒等變換的知識(shí)可得到|z+3-4i|=j26+10cos(6+e),

由此確定最大值.

【詳解】由目=1可設(shè)：z=cos9+isin。，

z+3-4i=(cose+3)+(sin9-4)i,

/.|z+3-4i|=^(cos+3)2+(sin0-4)2=^cos2^+sin2^+(6cos^-8sin^)+25=j26+10cos(6+e)(其中

3.4、

cos(p=—,sva(p=—),

34

???當(dāng)cos(6+o)=1時(shí)，即2=《_二1時(shí)，

|z+3-4i|=726+10=6.

IImax

故選：c.

例8.（2023.山東煙臺(tái)?統(tǒng)考二模）若復(fù)數(shù)z滿足|z+31Tz-3|=4,則|z+l|的最小值為（）.

A.3B.73C.2D.應(yīng)

【答案】A

【分析】根據(jù)|z+3|-|z-3|=4和|z+l|的幾何意義，結(jié)合雙曲線的圖象即可得到|z+l|的最小值.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為Z（x,y）,貝”z+31Tz-3|=4表示點(diǎn)（x,y）到（-3,0）的距離與到（3,0）

的距離的差為4,

22

所以點(diǎn)Z的軌跡為雙曲線土-匕=1的右支，圖象如下所示：

45

|z+l|表示點(diǎn)Z到（-1,0）的距離，所以|z+l|的最小值為3.

故選：A.

舉I一鳳三

練習(xí)16.（2023春.湖北襄陽(yáng).高三宜城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知復(fù)數(shù)z滿足24目42血，則在復(fù)平面中z對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形的面積為.

【答案】4兀

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義結(jié)合圓的面積計(jì)算，即可求得答案.

【詳解】根據(jù)題意可知復(fù)數(shù)z滿足24|z|V2夜，

則由復(fù)數(shù)模的幾何意義知z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形為半徑為2和2四的兩個(gè)同心圓所圍成的圓環(huán)，

則其面積為兀[（20）2-22]=4兀，

故答案為：4兀

練習(xí)17.（2023春?四川成都?高二統(tǒng)考期中）已知忖=1,則|z-2-2i|（i為虛數(shù)單位）的最大值為（）

A.20-1B.72-1

C.242+1D.72+1

【答案】C

【分析】設(shè)2=.》+何得到爐+丁=1,i|z-2-2i|=7(x-2)2+(y-2)2,得到|z-2-2i|表示單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)P(2,2)

的距離，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】設(shè)z=x+yi,其中元,yeR,由|z|=l,可得尤2+/=],

根據(jù)復(fù)數(shù)z的幾何意義可得復(fù)數(shù)z表示原點(diǎn)。為圓心，半徑為r=1的單位圓，

貝I」|z—2-2i|=|(x-2)+(y-2)i|=7(^-2)2+(y-2)2,

可得|z-2-2i|表示單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)?(2,2)的距離，

因?yàn)閨尸。卜20,所以|z-2-2i|的最大值為|PQ|+r=20+l.

故選：C.

練習(xí)18.(2023?河南?洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知復(fù)數(shù)2滿足2+:1|=卜-4,2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(％了),

則()

A.x+y=OB.x-y=0C.尤=0D.y=0

【答案】D

【分析】轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)Z(尤,y)到兩定點(diǎn)A(0,-1),3(0,1)距離相等的幾何意義即可得到答案.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z,-i,i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z(x,y),A(0,T),B(0,D,

則|z+i|=|z-i|的幾何意義是Z到A的距離和Z到B的距離相等，

則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(羽y)滿足y=0.

故選：D.

練習(xí)19.(2023春?福建莆田?高三莆田第二十五中學(xué)?？计谥?在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)z滿足|z-l|=|z+i|(i為虛

數(shù)單位)，記z°=2+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)Z。，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)Z,則點(diǎn)Z。與點(diǎn)Z之間距離的最小值_________________

【答案】—

2

【分析】根據(jù)已知條件，集合復(fù)數(shù)模公式，求出點(diǎn)Z的軌跡方程，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.

【詳解】^z=x+yi(x,yeR),

|z-l|=|z+i|,

.」尤一1+yi|=|x+(y+l)i|,即"(x—lp+y2=J尤2+"+])2,

化簡(jiǎn)整理可得x+y=。，

復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)z的軌跡無(wú)+y=。，

?.?Zo=2+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)4(2,1),

12+113A/2

點(diǎn)。與點(diǎn)之間距離的最小值為

ZZ~2~

故答案為：述

2

練習(xí)20.(20