2024屆南京市、鹽城市高三一模數(shù)學(xué)試題+答案

南京市、鹽城市2024屆高三年級(jí)第一次模擬考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.

2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分..

3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡上.

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.已知全集。與集合的關(guān)系如圖，則圖中陰影部分所表示的集合為

第1題圖

A.AH[UBB/NU（曲C.8包〃D.

2.復(fù)數(shù)二滿足（l=i）%=l+i（i為虛數(shù)單位），則|z|=

A-TB-fc.?D.i

3.等比數(shù)列（a”｝的前n.項(xiàng)和為S”，已知53=。2+5。1，05=4,則a1=

A-7B--Tc-fD.-j~

4.德國(guó)天文學(xué)家約翰尼斯?開(kāi)普勒根據(jù)丹麥天文學(xué)家第谷?布拉赫等人的觀測(cè)資料和星表，通

過(guò)本人的觀測(cè)和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運(yùn)動(dòng)第三定律——繞以太

陽(yáng)為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的所有行星，其橢圓軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a與公轉(zhuǎn)周期T有如下關(guān)系:

7=1嬴?花，其中以為太陽(yáng)質(zhì)量,G為引力常量.已知火星的公轉(zhuǎn)周期約為水星的8倍，則

火星的橢圓軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)約為水星的

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

高三數(shù)學(xué)試卷第1頁(yè)（共4頁(yè)）

5.關(guān)于函數(shù)/(1)=45出(3：+協(xié)(71>0,3>0,0<?><￡),有下列四個(gè)說(shuō)法：

①/Gr)的最大值為3

②“工)的圖象可由y=3sinz的圖象平移得到

③人工)的圖象上相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心間的距離為彳一

④人工)的圖象關(guān)于直線工■對(duì)稱

若有且僅有一個(gè)說(shuō)法是錯(cuò)誤的，則/(￡)=

A34口33n3c

A

--一T~B--2C-7D-~T~

6.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓M：(x-l)2+(y-2)2=4與Z軸切于點(diǎn)力，直線z-Cy+2，T=0交

圓M于B,C兩點(diǎn)，其中B在第二象限，則溢?炭=

AB.之/C.空D.守

哼442.4

7.在棱長(zhǎng)為2a(a>0)的正方體ABCD-AiBCi。中，點(diǎn)M,N分別為棱AB,。?的中點(diǎn).已知

動(dòng)點(diǎn)尸在該正方體的表面上，且A/?時(shí)=o,則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為

A.12aB.12naC.24aD.24m

8.用min{z,y}表示工,y中的最小數(shù).已知函數(shù)/(H)=?則min(f(H),fQ：+ln2))的最大值為

A.4B.-C.野D.In2

e,e2

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.

9.已知z,yGR,且12工=3,12，=4,則

A.y^>xB.X+J>1C.xy<Z~D.^^2

10.有，(〃GN?，,510)個(gè)編號(hào)分別為1,2,3,…,m的盒子,1號(hào)盒子中有2個(gè)白球和1個(gè)黑球，其

余盒子中均有1.個(gè)白球和1個(gè)黑球.現(xiàn)從1號(hào)盒子任取一球放入2號(hào)盒子;再?gòu)?號(hào)盒子任取一

球放入3號(hào)盒子;…似此類推.記“從i號(hào)盒子取出的球是白球，，為事件A(i=l,2,3,…,，。，則

A.P(A4)=qB.P(A\I/I2)=-~

J5

C.PG4i+4)=卷D.p(alo)=^-

高三數(shù)學(xué)試卷第2頁(yè)(共4頁(yè))

11.已知拋物線儲(chǔ)=4》的焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸的直線交E于點(diǎn)AGI，M）,5（NZ,“）,￡在5處的

切線為。，過(guò)A作與。平行的直線右,交E于另一點(diǎn)C（N3,g）,記/3與，軸的交點(diǎn)為0,則

A.yiy2=1B?見(jiàn)+普=3x2

j

C.AF=DFD.△A5C面積的最小值為16

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.在（工一/）6的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為▲.

13.設(shè)雙曲線C：5一￡=l（a>0,6>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F,過(guò)F作一條漸近線的垂線，垂足為E若

線段￡F的中點(diǎn)在C上，則C的離心率為▲.

14.巳知a，BW（0,與）,且sina—sinf=二卷,cosa—cosF="|■4!]tana+tanB=■.

Lt乙乙

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

在△ABC中，sin（5—sinA=sinC.

（1）求5的大??；

（2）延長(zhǎng)BC至點(diǎn)M,使得2愛(ài)=說(shuō).若，求N5AC的大小.

q

16.（本小題滿分15分）

如圖，已知四棱臺(tái)ABCD-A^C^的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，平面

44iOi0_L平面48c0,AIA=0Q=M7,點(diǎn)尸是梭。的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在梭比上.

⑴若5Q=3QC,證明:PQ〃平面A5614;

⑵若二面角P-QD-C的正弦值為嗜,求8Q的長(zhǎng).

高三數(shù)學(xué)試卷第3頁(yè)（共4頁(yè)）

17.(本小題滿分15分)

已知某種機(jī)器的電源電壓U(單位:V)服從正態(tài)分布N(22Q,202),其電壓通常有3種狀態(tài)：

①不超過(guò)200V；②在200V?240V之間,③超過(guò)240V.在上述三種狀態(tài)下,該機(jī)器生產(chǎn)的零

件為不合格品的概率分別為0.15,0.05,0.2.

(1)求該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率；

(2)從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取“(")2)件，記其中恰有2件不合格品的概率為外,求外

取得最大值時(shí)”的值.

睨：若Z?NQzd),取P(〃-dVZ<〃+a)=0.68,尸(〃一2oVZV〃+2o)=0.95.

18.(本小題滿分17分)

已知橢圓C：§+￡=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)為尸(1,0),右頂點(diǎn)為A,直線/：1=4與工軸交于點(diǎn)

M,且|AM=a|AF|.

(D求C的方程；

(2)5為/上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)5作C的兩條切線,分別交y軸于點(diǎn)P,Q.

①證明:直線BP,BF,5Q的斜率成等差數(shù)列;

②。N經(jīng)過(guò)5,P,Q三點(diǎn)，是否存在點(diǎn)B,楨嬉NPNQ=90。？若存在，求15ML若不存

在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.(本小題滿分17分)

一,、穴

已知a>0,函數(shù)/Gr>=°Nsinx+cosaz—1,00V彳.

(D若a=2,證明：/(幻>0;

(2)若/(幻>0,求0的取值范圍；

(3)設(shè)集合P=｛6函言不,”GN-｝,對(duì)于正整數(shù)胸，集合Q“=｛川協(xié)0<2??),

記尸nQ.中元素的個(gè)數(shù)為力,求數(shù)列｛”｝的通項(xiàng)公式.

高三數(shù)學(xué)試卷第4頁(yè)(共4頁(yè))

南京市、鹽城市2024屆高三年級(jí)第一次模擬考試

數(shù)學(xué)參考答案2024.03

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.A2.C3.A4.B5.D6.D7.B8.C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小眄紿出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分，部允選對(duì)的得部分分，不選或有選錯(cuò)的得。分.

9.ACD10.BC11.ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分?

L8

12.1513.A/214.J

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟?

15.(本小題滿分13分)

解：(1)在△NBC中，A-[-B+C—it,所以sinC=sin(兀一C)=sin(/+2).

因?yàn)閟in(B—N)+?sirb4=sinC,

所以sin(5—N)+港sirb4=sin(/+3),化簡(jiǎn)得RsinJ=2cosEsinz(...................................4分

因?yàn)?G(0,兀)，所以sirv4r0,cos5=乎.

因?yàn)镺VBVe所以......................................................6分

(2)法1：設(shè)BC=x,/BAC=3則CM=2x.

由(1)知5=?又/C4四節(jié)所以在AZSM中，ZAMC=-0.

在ZX/BC中，由正弦定理得.即懵=盤①..................8分

smZBACsmBsin。,n

啊

在△NCW中，由正弦定理得與篙=4%，即—②..：.......10分

s.m9ZCAMs\nM.n

siqsin(~—(9)

亞

①+②，得熹=矍，即2sin8cose=+所以sin20=：............................................12分

2

因?yàn)樽?0,金，205(0,第，所以2。=2喏，故，=凈唔..................13分

法2：設(shè)5C=x,則CM=2x,BM=3x.

因?yàn)??！?手=8,所以△HCAfs△砌“，因此翟=攜，

4BMAM

所以/M=5MCM=6X2,AM=y/6x.............................,............................................8分

在中,由正弦定理得嬴陽(yáng)=給’即住應(yīng)=賀,

2-

而三數(shù)學(xué)試卷第L頁(yè)(共7頁(yè))

化簡(jiǎn)得sin/胡”=坐.....................................................

因?yàn)镹A4MG(0,第，所以N切"=會(huì)或竽，^BAC=ZBAM~^,

故/切C=^或得..........................................................

16.(本小題滿分15分)

解：⑴證明：取也4i的中點(diǎn)〃，連接MP,MB.

在四棱臺(tái)428—45Q1O1中，四邊形4力?？谑翘菪?，小。|=2,AD=4,

M

又氤M,尸分別是棱4/,的中點(diǎn)，所以且MP，"12o=3....2分

在正方形4BCD中，BC//AD,BC=4,又BQ=3QC,所以80=3.

從而幺50,所以四邊形3Mp0是平行四邊形，所以P0〃MB...............................4分

又因?yàn)锳fflu平面P0(z平面/SB/”所以尸0〃平面ZMMi.…如……小6分

⑵在平面及皿。中，作40LW于。.R/C(

因?yàn)槠矫?4iDpD_L平面NBCD,平面/L^OpDC平面428=40，

AxOA.AD,40u平面4401。，所以小。_1_平面力BCD二f|八

在正方形ABCD中，過(guò)O作為8的平行線交BC于氤N,則ONLOD.瓜____V\

以｛礪，0D,而｝為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系。一盯z.B：------

因?yàn)樗倪呅?4。。是等腰梯形，為功=2,AD=4,所以/。=1，又AIA=DID=5,所

以4。=4.

易得8(4,-1,0),D(0,3,0),C(4,3,0),A(0,2,4),尸(0,|，2),所以虎=(4,0,

―?1-A

0),DP=(0,一點(diǎn)2),CB=(0,-4,0)........................

法1：設(shè)麗=；1在=(0,-42,0)(0W1/l),

所以雙=皮+曲=(4,-42,0).

設(shè)平面尸90的法向量為〃z=(x,、，z),

—1

由””0,得-4+2Z=O,取-⑷，4,1).

mDQ=0,l4x—42y=0,

另取平面DCQ的一個(gè)法向量為“=(0,0,1)................................................................12分

設(shè)二面角P—@D—C的平面角為6,由題意得Icos引=-\/l-sin20=^=.

又|cosO|=|cosV"，'〃>1=鼎昌扁+17,所的&43+17=虛'

Q3

解得4=±米舍負(fù))，因此CQ=1X4=3,BQ=1.

所以當(dāng)二面角尸一0。一C的正弦值為^^時(shí)，8。的長(zhǎng)為1..................................15分

法2：設(shè)0(4,/,0)(-1W/W3),所以麗=(4,/-3,0),

設(shè)平面產(chǎn)。。的法向量為加=(x，y>z)>

施三數(shù)學(xué)試卷第2頁(yè)(共7頁(yè))

由吧=0,得卜5+2z=0,取—,1）,

、m，DQ=0,14x+?—3?=0,

另取平面。C0的一個(gè)法向量為〃=（0，o,1）..................................................................12分

設(shè)二面角P—QD—C的平面角為仇由題意得Icosel=Nl-sin%=;^.

又IcoseUlcosVm,〃>1=向而="_而7,所以7（3」）2說(shuō)=標(biāo)'

解得，=0或6（舍），因此8。=1.

所以當(dāng)二面角尸一。。一。的正弦值為蜜時(shí)，80的長(zhǎng)為1.........................................15分

法3：在平面AXADD\中，作PHUD,垂足為H.

因?yàn)槠矫嫘?0。J■平面Z8CD

平面AiADDyD平面ABCD=AD,

PHLAD,

-尸Hu平面N/DDi，

所以PH_L平面4BCD,

又DQu平面ABCD,

所以

在平面038中，作垂足為G,連接PG.

因?yàn)槭郘D0,HG±DQ,PHCHG=H,PH,HGu平面PAG,

所以。0_L平面尸HG,

又尸Gu平面PHG,

所以。0LPG.

因?yàn)榈腳1_00,PG±DQ,

所以NPG"是二面角P-QD-A的平面角................................9分

在四棱臺(tái)中，四邊形小是梯形，

小。1=2,AD=4,AiA=DiD=p,點(diǎn)尸是棱的中點(diǎn)，

所以尸"=2,DH=\.

設(shè)30=x（0/x近4）,貝IJC0=4-x,￡>0=^42+（4-^）5=^2-8^+32,

在△0/ZD中，^x^x4=-xy]x2'—8x+32xHG,

2

從而HG=/&?二?............12分

y/x2-Sx+32

因?yàn)槎娼荘-QD-C的平面角與二面角P-QD—A的平面角互補(bǔ)，

高三數(shù)學(xué)試卷第3頁(yè)（共7頁(yè)）

所以sinNPGH=2俊,

從而tanZPGH=5.

pH

所以在RtZkPHG中，前=雙一8x+32=5,

解得x=l或x=7(舍).

所以當(dāng)二面角尸一0。一。的正弦值為蜜時(shí)，BQ的長(zhǎng)為1..............................15分

17.(本小題滿分15分)

解：⑴記電壓”不超過(guò)200V“、“在200V?240V之間"、"超過(guò)240V”分別為事件4B,C,“該

機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件D

因?yàn)間V(220,2()2),所以尸⑷=P(UW200)=l一尸".；2<〃+5=]一；6色16,

尸(8)=尸(200VUV240)=P0，-cVZV/+(r)=0.68,

?、\-P(ji-a<Z<n+o)1-0.68

尸?=P(CZ>240)=------比-2——~=-2-=0-16.......................................................4分

所以尸(。)=尸(4)尸(。|4)+P(3)P(D|2)+P(C)P(。10=0.16X0.15+0.68*0.05+0.16X0.2=0.09,

答：該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率為0.09.....................................................................7分

⑵從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取"件，設(shè)不合格品件數(shù)為X，則45(〃，0.09)，

所以P"=P(Y=2)=C；O.91"T().O92..........................................................................................11分

Pn+lC3O.91"-LO.O92_〃+1

由XO.91>1,解得n<—..........................13分

Pn寸0.91心0.092—〃一］

所以當(dāng)"W21時(shí)，Pn<Pn+]<當(dāng)"222時(shí)，pn>Pn+W所以222最大.

因此當(dāng)〃=22時(shí)，P”最大.....................................................15分

18.(本小題滿分17分)

解：(1)由右焦點(diǎn)為網(wǎng)1，0),得c=l.

因?yàn)?a|"尸|,所以|4一=a(q—1)................................................................2分

若則a—4=a(a—1),得2a+4=0,無(wú)解.

22

若aV4,則4—a=a(a—1),得『=4,所以房=3,因此c的方程為^■+《=1........5分

(2)設(shè)8(4，。，易知過(guò)8且與。相切的直線斜率存在，

設(shè)為y-t=k(x—^.

僅一，=加—4),

聯(lián)立3

消去y得(3+4dW+8HL4%)x+4(L4?2-i2=0.

由4=64砍/一4左)2-4(3+4羚[4(/一4?2—12]=0,

得12尸一8戊+/一3=0.

o#2/t"-3

設(shè)兩條切線5H3。的斜率分別為如k29則高+后=登=亍，2#2=丁.........9分

高三數(shù)學(xué)試卷第4頁(yè)(共7頁(yè))

①設(shè)昉的斜率為描則晝=s=/

因?yàn)榭?k2=^=2后，所以期BF,50的斜率成等差數(shù)歹U.

②法1：在y—f=%i（x—4）中，令x=0,得力=f-4舟，所以尸（0,

同理，得0（0,/—4%，所以尸。的中垂線為＞=/-2（而+心）.

易得3尸中點(diǎn)為（2,/—2鬲），

所以5尸的中垂線為y=一缶-2）+1—2鬲...............

KT

，=/—2(舟+后)，

聯(lián)",=_如_2)+/_2鬲,解得M2鬲后+2,，-2（舟+團(tuán)））.

所以福=（一2后的一2,2后一2銜），福=（一2鬲舄一2,2鬲一2斤2）.

要使林?施=0,即4%次2+1）2—4出一月2）2=0,

整理得I"#2+11=1e一舄I................................................................................................15分

而|用一四|=北質(zhì)+k*-4k#2=N號(hào)

所以1乙葭+1?解得尸=7，/=土巾，因此|AM|=市....................17分

故存在符合題意的點(diǎn)8,使得元？?愈=0,此時(shí)歸射=明.

法2：在》—/=卮（*—4）中，令x=0,得力=/一4后，因此尸（0,f—4后1）.

同理可得。（0,r—4⑸，所以尸0的中垂線為＞=/-2出+初.

因?yàn)?尸中點(diǎn)為（2,t—2k\）.'o

1

所以8尸的中垂線為y<x-2)+/-2i|.分

k\13

>=/—2肉+用)，

聯(lián)立解得以=2林2+2.

y=—^(x-2')+t—2k],

要使薩?福=0,則/尸遇=多所以隘1=辱^，

即|2鬲波+2|=2|鬲一才|?..........................................................

而?由一心?r（鬲+⑸2—4而后=4給

所以1號(hào)+1|=嚀^，解得』=7,/=±巾，因此|5M=巾...................17分

故存在符合題意的點(diǎn)5，使得福通=0,此時(shí)|颯=市.

法3：要使NPAQ=90°,即/尸80=45°或135°.

從而ItanN尸5。|=1,又tanN尸5。=心券，所以將含=八

1+k]K2\\-\-k\k2\

因?yàn)閨南一左2|=.（%]+k2）2_4%化2=^（與）2-4，^^=1'；+9,.

所以亞奧=1+七3,解得『=7,/=士巾，所以18M=市，

而三數(shù)學(xué)試卷第5貝（共7頁(yè)）

故存在符合題意的點(diǎn)3,使得薩?福=0,此時(shí)|8M|=巾.

法4：要使NPN0=9O。，即NPB0=45?；?35°.

從而IcosNPBQ尸"妖巴=乎...........................................13分

聞I?國(guó)I外一

在y—1=左]（工一4）中，令x=0,得力=，一4肩，故尸（0,/—4^i）.

同理可得。（0,7—伍）.7

er—~\0\~F//A7-T

因此2尸=（一4,一4鬲），5。=（一4,一4后）,7

所以一曲質(zhì)_=及1華平,1/

\BP\-\BQ\可1+用《打卜后22

故鎮(zhèn)（1+所切=3+F豆+用2+用2,即2+2肩2后2+4向用=1+^2^2+^2+i221

整理得后:+6上曲+1=出+后）2.............................................15分

所以（"iUy+6《U+l=（歌整理得'+2/2-63=0,解得’=7或一9（舍去），

因此/=士巾，出網(wǎng)=巾?....................................................17分

故存在符合題意的點(diǎn)8,使得林?施=0,此時(shí)出M=巾.斗）

法5：要使NPAQ=90。，即/尸30=45°或135。.

在y一片肩。-4）中，令x=0,得力=/一4高，故尸（0,L%）.小….?……”分

同理可得0（0,/—4⑸.'k0一'

由等面積法得!\PQ\-\XB\=Sa，BQ=3舊尸?,18。卜當(dāng)，]/

即,421—4左2I,4=/4*\/1+后/，4"\/1+左2,,乎,整理得出+笈2）2=%2后2+6左角+1......15分

27

所以（與2=（目）2+6目+1,整理得/+2,-63=0,解得產(chǎn)=7或一9（舍去），

因此r=±由，\BM\=yfl....................................................17分

故存在符合題意的點(diǎn)8,使得瀝,福=0,此時(shí)|咽=市.

19.（本小題滿分17分）

解：（1）因?yàn)閍=2,

所以/(x)=2xsinx+cos2x—1=2(x—sinx)sinx,0<x<^,2sinx>0..................2分

設(shè),g(x)=x—sinx，0VxV7C

則g'(%)=2(1—cosx)>0,

所以g(x)在(0,力上單調(diào)遞增，

所以g(x)>g(0)=0,

因此/(x)>0.....................

(2)法1：/'(x)=a(sinx+xcosx—sinax),

向三數(shù)學(xué)試卷第6頁(yè)