2024年廣東省肇慶市高考數(shù)學模擬試卷附答案解析

2024年廣東省肇慶市高考數(shù)學模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合/={%|y=/0。2（2—%）},B={y\y=2X-2},貝!（）

A.（0,2）B.[0,2]C.（0,+8）D.（-8,2]

2.（5分）已知復數(shù)2=占，則復數(shù)z的虛部為（）

111.1.

A.—B.—C.—iD.—o'i

2222

3.（5分）將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點數(shù)分別為1,2,4,5,6,x,則

這6個點數(shù)的中位數(shù)為4的概率為（）

1112

A.—B.—C.—D.一

6323

4.（5分）芻薨是《九章算術(shù)》中出現(xiàn)的一種幾何體，如圖所示，其底面N3CO為矩形，頂

棱尸0和底面平行，書中描述了芻薨的體積計算方法：求積術(shù)日，倍下袤，上袤從之，

以廣乘之，又以高乘之，六而一，即^=3（24B+PQ）BC-h（其中”是芻薨的高，即頂

棱尸。到底面/BCD的距離），已知N5=28C=8,ZJ%。和△Q8C均為等邊三角形，若

二面角P-/O-8和0-3C-N的大小均為120°,則該芻薨的體積為（）

PQ

99廠

A.30V3B.20V3C.—y/3D.48+4遮

5.（5分）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.假設(shè)中國空

間站要安排甲，乙，丙，丁4名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排2人，問天實驗

艙與夢天實驗艙各安排1人.若甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實驗，則不同的安排

方案共有（）種.

A.8B.10C.16D.20

6.（5分）已知cos（a—看）+s譏a=字,

則sin（a-等）的值是（)

A--亨1V3

B.-"C.一D.一

44

7.（5分）已知點尸為拋物線C：y2=4x的焦點，過F的直線I與C交于43兩點，則0尸|+2田元

的最小值為（)

第1頁（共21頁）

A.2V2B.4C.3+2V2D.6

111R

8.（5分）已知Q=S譏w，b=^cos^,c=仇彳貝！J（）

A.c〈a〈bB.c〈b〈aC.b〈c〈aD.b〈a<c

二、多選題：本題共3小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

（多選）9.（6分）已知數(shù)列｛即｝滿足的=1,等1=碧，n€N*,則下列結(jié)論成立的有

ClfiTI-T~J.

（）

A.44=2

B.數(shù)列｛〃斯｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛斯｝為遞增數(shù)列

D.數(shù)列｛即-6｝的前〃項和S”的最小值為必

（多選）10.（6分）已知正方體NBCD-NLBICIDI的棱長為2,M為空間中動點，N為CD

中點，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若M為線段NN上的動點，則LW與囪Ci所成為的范圍為偌，j]

B.若"為側(cè)面ADD1/1上的動點，且滿足〃平面ADC,則點”的軌跡的長度為夜

C.若M為側(cè)面DCCYD1上的動點，且MB=W>則點M的軌跡的長度為丁兀

D.若M為側(cè)面NDD14上的動點，則存在點M滿足MB+MN=2百

（多選）11.（6分）已知/（x）=（x+1）Inx,g（x）=x（"+1）（其中e=2.71828…為自

然對數(shù)的底數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）

A.f（x）為函數(shù)/（x）的導函數(shù)，則方程『（x）]2-5f（x）+6=0有3個不等的實數(shù)解

B.3x6（0,+°°）,f（x）=g（x）

C.若對任意x>0,不等式g（Q+/幾x）Wg（%/2_%）恒成立，則實數(shù)。的最大值為-1

Int1

D.若/（XI）=g（X2）=t（t>0）,則丁;_八的最大值為一

三、填空題：本題共3小題.

12.（5分）Q-妥K展開式的常數(shù)項為.

13.（5分）已知向量會，6為單位向量，且向量]與：+36共線，則|b+K|的最

小值為?

14.（5分）已知雙曲線C；搐一||=l（a>0,b>0）的左，右焦點分別為尸i,尸2,P為C

第2頁（共21頁）

右支上一點，NPF2%=等，△PF#2的內(nèi)切圓圓心為M，直線尸M■交X軸于點N,\PM\

=3也見，則雙曲線的離心率為.

四、解答題：本題共5小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)為了更好地推廣冰雪體育運動項目，某中學要求每位同學必須在高中三年的每

個冬季學期選修滑冰、滑雪、冰壺三類體育課程之一，且不可連續(xù)選修同一類課程若某

生在選修滑冰后，下一次選修滑雪的概率為最在選修滑雪后，下一次選修冰壺的概率為

32

在選修冰壺后，下一次選修滑冰的概率為口

(1)若某生在高■冬季學期選修了滑雪，求他在高三冬季學期選修滑冰的概率；

(2)苦某生在高一冬季學期選修了滑冰，設(shè)該生在高中三個冬季學期中選修滑冰課程的

次數(shù)為隨機變量X,求X的分布列及期望，

16.(15分)在△48C中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=l,cosC+ccos^-

26cos2=0.

(1)求8；

—>—>

(2)若4C=2CD,且BD=g,求c.

17.(15分)如圖，在四棱錐尸-/BCD中，底面是邊長為2的正方形，且PB=V^BC,點

O,。分別為棱CD,P8的中點，且。0，平面網(wǎng)C.

(1)證明：平面以。；

(2)求二面角P-4D-Q的大小.

18.(17分)已知橢圓C：各*l(a>b>0)的兩焦點為(-1,0),F2(1,0),且橢

圓C過P(一療字).

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點分別為/,B,直線/交橢圓C于N兩點(M,N與A,

8均不重合)，記直線的斜率為所，直線的斜率為左2,且左1-2左2=0,設(shè)小AMN,

第3頁(共21頁)

的面積分別為Si,S2,求|S1-S2出勺取值范圍.

19.(17分)已知/(x)=ae2x-W(其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)當°=0時，求曲線y=/(x)在點(1,/(D)處的切線方程；

(2)當a=4時，判斷/G)是否存在極值，并說明理由；

(3)Vxe/?,f(久)+51<0,求實數(shù)0的取值范圍.

第4頁(共21頁)

2024年廣東省肇慶市高考數(shù)學模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合/={%|y=1o02（2—％）},B={y\y-2X~2）,則（）

A.（0,2）B.[0,2]C.（0,+8）D.（-8,2]

【解答】解：集合Z={x\y=log2a-%）}，B={y\y=2X~2）,

：.A={x\2-x>0}={x\x<2},B={y\y>0}f

貝（0,2）.

故選：A.

2.（5分）已知復數(shù)2=占，則復數(shù)z的虛部為（）

111.1.

A.—B.一C.—iD.-Q-i

2222

【解答]解：z==-1

則復數(shù)z的虛部為：

故選：A.

3.（5分）將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點數(shù)分別為1,2,4,5,6,x,則

這6個點數(shù)的中位數(shù)為4的概率為（）

1112

A.—B.-C.—D.一

6323

【解答】解：將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點數(shù)分別為1,2,4,5,6,

X，

X的可能取值分別為1,2,3,4,5,6,有6種情況，

其中，這6個點數(shù)的中位數(shù)為4時，x的可能取值為4,只有1種情況，

.?.這6個點數(shù)的中位數(shù)為4的概率為P=

6

故選：A.

4.（5分）芻薨是《九章算術(shù)》中出現(xiàn)的一種幾何體，如圖所示，其底面為矩形，頂

棱尸。和底面平行，書中描述了芻薨的體積計算方法：求積術(shù)曰，倍下袤，上袤從之，

以廣乘之，又以高乘之，六而一，即了=卷（24B+PQ）BC-/i（其中/?是芻薨的高，即頂

棱尸。到底面/BCD的距離），已知48=22C=8,和△Q2C均為等邊三角形，若

第5頁（共21頁）

二面角P-NO-2和。-3C-/的大小均為120°,則該芻薨的體積為（）

AB

99廣

A.30V3B.20V3C.—y/3D.48+4遮

【解答】解：令點尸，。在平面N8CD的投影分別為P,Q1,

取BC的中點M,N,連接PM,QN,如圖，

由尸尸」平面/BCD,/Du平面48cO,得尸PLAD,

由正△FID,^AD±PM,PP'CPM=P,PP',PMu平面PAO',

則NO_L平面尸MP',同理8C_L平面QNQ',由四邊形48cA為矩形，得4D〃BC,

于是4D_L平面QN。'，而u面PMP',NQ'u平面QN0',則4D_LMP',AD

1NQ',

MN//AB,有MNUD,且P,M,N,Q'都在平面4BCD,因此點P,M,N,Q'

共線，

PP'//QQ',而PQ〃平面ABC。，平面PQ。，P'n平面ABCZ）=PQ',尸0u平面

PQQ'P',則P0〃PQ',

四邊形尸0。'P'為平行四邊形，PQ=P'Q',h=QQ'=PP，,

由4D_LPM,AD1.MN,得/PMN是二面角尸-4D-8的平面角，即NPW=120°,

則/=60°,又尸初=7^M60°=2百，

.".h=PMsm6Q°=3,P'M=PMcos6Q°-V3,

,:MN=AB=8,：.PQ=MN+2P'M=8+2g,

11

...該芻薨的體積為-=6（2A8+P。）BC'h,（2X8+8+2V3）X4X3=48+4A/3.

故選：D.

5.（5分）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.假設(shè)中國空

間站要安排甲，乙，丙，丁4名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排2人，問天實驗

第6頁（共21頁）

艙與夢天實驗艙各安排1人.若甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實驗，則不同的安排

方案共有（）種.

A.8B.10C.16D.20

【解答】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：

①在4名航天員中選出2人，在天和核心艙工作，甲乙不能同時入選，有鬣-最=5種

安排方法，

②剩下2人安排到問天實驗艙與夢天實驗艙工作，有2種情況，

則有5X2=10種安排方法.

故選：B.

6.（5分）已知cos（a—看）+sina=圣貝！-,）的值是（）

J311V3

A.一早B.-4C.-D.—

4444

【解答】解：cos（a—看）+s譏a=孚

貝1kosacosj+sinasiny-+sina=*cosa+^sina=

66，，4

^1V3711

故5cosa+—sina—sin（a+-）=—,

月f以s譏（a—歹）=-+a-7江）=-s譏（a+石）=-4,

故選：B.

7.（5分）已知點方為拋物線。：廿=4%的焦點，過少的直線/與。交于4"兩點，則|4方|+22歹|

的最小值為（）

A.2V2B.4C.3+2V2D.6

【解答】解：???拋物線。方程為：/=4x,

：.p=2,F（1,0）,準線方程為、=-1,

設(shè)過廠的直線/的方程為y=攵（x-1）,左W0,

聯(lián)立匕女,0,可得后f-（2乒+4）x+F=0,

U=4x

設(shè)/（xi,yO,B（工2,y2）f

?\xm=1,xi>0,

：.\AF\+2\BF\=.++2（,+k2）

-+%1+2%2=3+%1H-----之3+2V2>

ZXi

第7頁（共21頁）

當且僅當％i=jxi>0,即久i=魚時等號成立，

???|4月+2|5方|的最小值為3+2V2.

故選：C.

1113

8.（5分）已知。=$沆可，b--^cos-^,c—ln-^,貝!］（）

A.c〈a〈bB.c〈b<aC.b〈c〈aD.b〈a〈c

71

【解答】解：根據(jù)題意，當aE（0,萬）時，有sina<a<tana,

111

貝11a=sin—<-<tan—,

333

..1i1

又由a=sin—>0,b=^cos—>0,

333

.1

11…一

則工=1----1=3tan—>3x司=1,則有a>b,

b-cos-3$

312711

c=ln-=-In->Tne=5,

23833

,1

故有bVaV^Vc,即b<a<c.

故選：D.

二、多選題：本題共3小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

（多選）9.（6分）已知數(shù)列｛即｝滿足的=1,等1=碧，n€N*,則下列結(jié)論成立的有

duTliJ.

（）

A.Q4=2

B.數(shù)列｛〃斯｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛斯｝為遞增數(shù)列

D.數(shù)列｛即-6｝的前〃項和S,的最小值為必

【解答】解：，N*,可得（〃）斯2nan，

a1=1。八Tli±/?iG+1+1=

則數(shù)列｛〃即｝是首項為I,公比為2的等比數(shù)列，

1-1232n-1a_i_i2n

可得〃即=2"I則Q4=K=2,a=—?-n---=—7，

nn

4ann+1

可得〃1=42<43<。4<。5<...<劭<…，即數(shù)列｛斯｝不為遞增數(shù)列，故45正確，C錯誤；

由于時，an~6<0,〃三6時，an-6>0,可得數(shù)列｛斯-6｝的前〃項和S”的最小

值為S6,故。正確.

第8頁（共21頁）

故選：ABD.

（多選）10.（6分）已知正方體48CD-//iCbDi的棱長為2,“為空間中動點，N為CD

中點，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若M為線段NN上的動點，則LW與囪Q所成為的范圍為吟，J]

B.若M為側(cè)面4DD1/1上的動點，且滿足血W〃平面ADiC,則點M的軌跡的長度為近

912v3

C.若M為側(cè)面。CGD1上的動點，且=則點M的軌跡的長度為丁兀

D.若M為側(cè)面NDDi/i上的動點，則存在點M滿足MB+MN=2百

【解答】解：對于/,當朋■與N不重合時，過M作交CD于E,連接DM/,

D[E,

由2C_L平面CDDiCi,DiEu平面CDD\C\,得3C_LDi￡,有ME_LDiE,顯然affi1〃歷Ci，

ZDiME為DiM與BiCi所成的角，tan^D^ME=第，當M與N重合時

則當M由點/向點N移動過程中，DiE逐漸增大，建逐漸減小，則券逐漸增大，

ME

因此tanZDiAffi^1,-<乙D、ME<-,當M與點、N重合時，有囪。±DiM,乙％ME=等

所以與3?成角的范圍為吟，J],/錯誤；

對于3,取的中點凡￡%的中點G,連接FN,GN,AD\DiC,AC,

如圖，

第9頁（共21頁）

由中位線可知M7/D1G,GFUDiA,GCiu平面則NF〃平面NQC,

同理可得GF〃平面4DC,又NFCGP=尸且都在面GNF內(nèi)，所以面GNF〃平面4DC，

因為“N〃平面/D1C,所以點MCGH則點M的軌跡的軌跡的長度FG=&,故B正確;

對于C,由3CL平面CD01C1,易得△BMC是直角三角形，

MB=CM=yjBM2-BC2=竽，

如圖，

4V3rr7

點M的軌跡是以C為圓心，一二為半徑的圓弧印，由COSN/CC1=導=2=

31C4V3

則4/CC1=同理NHCD=2

1OO

,77-4V3712V3

所以ZJ/C/=z，軌跡長度為F-x—=——7T,C正確；

0369

對于。，在平面/5CQ內(nèi)延長CQ,截取DV=Z）N,連接8M交于點/（如圖）

第10頁（共21頁）

BJ+NJ=BN'=V9T4=V13>2V3,

點〃■與點J重合時，MB+MN=BJ+NJ,

點M與點J不重合時，MB+MN>BJ+NJ,

所以不存在點M滿足M8+MN=2b,D錯誤.

故選：BC.

(多選)11.(6分)已知/G)=(x+1)Inx,g(x)=x(eI+l)(其中e=2.71828…為自

然對數(shù)的底數(shù))，則下列結(jié)論正確的是()

A.f(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù)，則方程『(x)]2-5f(x)+6=0有3個不等的實數(shù)解

B.(0,+8),f(%)=g(x)

C.若對任意x>0,不等式g(a+加x)Wg2-x)恒成立，則實數(shù)。的最大值為-1

D.若/(xi)=g(%2)=t。>0),則~~,、的最大值為工

2X2(%I+1)e

【解答】解：對于/,fCx)=(x+1)Inx,

1

/i(x)==14-Inx+—,

Y—1

h(%)=>0n%>1,

h(x)即，(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,+8)上是增函數(shù),

當1―0時，f(x)f+8,f(1)=2；

當x—+8時，f(x)f+8；

又『(》)尸-"(x)+6=0?f(x)=2或3,

?,?方程仁(x)?-歹(x)+6=0有3個不等的實數(shù)解，故4正確;

對于B,令F(%)="-x-LG(x)=x-1-Inx,

第11頁(共21頁)

1

則P(x)=，-l>0=x>0,GX%)=1-J>O=>%>1,

產(chǎn)(％)在(-8,0)上是減函數(shù)，在(0,+8)上是增函數(shù)，

G(X)在(-8,1)上是減函數(shù)，在(1,+8)上是增函數(shù)，

:?F(x)》F(0)=>/-x-1>0=F>x+1,

當且僅當x=0時，等號成立，

G(x)》G(1)=>x-1-lnx>0nx-1>Inx,當且僅當x=1時，等號成立，

???當x>0時，

x(，+1)=x(x+1)>(x+1)lnx=g(x)>/(x),故B錯誤；

對于C,Vg(x)=x(^+1),H(x)=gr(x)=(x+1)^+1,

H'(x)=(x+2)，>0ox>-2,

H(x)即g'(x)在(-8,-2)上是減函數(shù)，在(-2,+8)上是增函數(shù)，

...g'(x)》g'(-2)=1-|>0,g(x)是增函數(shù)，

又g(a+lnx)Wg(xF2-x)對任意x>0恒成立，

,?a+lnx^xe^2-%對任意恒成立-歷(X/2)-2對任意x>0恒成立,

t=xex~2(x>0)是增函數(shù)，值域為(0,+8),

.?.QWt-Int-2對任意方>0恒成立，

令m。)=t-lnt-2G>0),則=1-；>0今

m(?)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,+8)上是增函數(shù)，

.?.QWm(1)=QW-a的最大值為-1,故C正確；

對于。，*.*/(xi)=g(X2)=t(1>0),

X2

=>X2(e+1)=(%i+1)/71%!=t,

X2Zn%1

=>x2(e+1)=(Znx1)(e+1),

=>g(X2)=g(歷XI),

X2

?\%2>0，x1>l,x2=lnxlf%[=e,

.Intm[%2(e*2+l)]

**2%2(^I+1)2%2(e*2+l)'

設(shè)k=第2(?犯+1)=g(%2)(%2〉0)，由g(x)是增函數(shù)知，左的取值范圍(0,+8),

令n(k)=蝶(卜〉0),貝加級)=與段>0n0<7cVe,

故"(k)在(0,e)遞增，在(e,+8)遞減，

第12頁（共21頁）

1

九一九（？）一2?'

的最大值為上，故。錯誤.

故

故選：AC.

三、填空題：本題共3小題.

12.（5分）（x-日并展開式的常數(shù)項為60.

【解答】解：（X-晝）6展開式的通項公式為：4/-『（-2）"2r=Cr（_2?6-3r,

令6-3r=0,解得r=2,

故所求常數(shù)項為髭（-2）2=60.

故答案為：60.

7T1TT—Tf

13.（5分）已知向量a,6為單位向量，Ma-b=-向量c與a+36共線，貝U|6+c|的最

vn

小值為

14

->TT71T反

【解答】解：由a,b為單位向量，且a，b=—2，設(shè)a=（L0）,b=（—訝，三），

則存在實數(shù)入，ftc=A（a+36）=A（-1,孥）=（一,,竽4）,

可得力+1=（—?會堂+嬰4）,則|，+入=J（—當2+（乎+號4）2=

V7A2+5A+1,

由二次函數(shù)的性質(zhì)，可知:

當4=—金時，自+a有最小值「x（一金）2+5x（一1）+1=13_721

28

V21

故答案為：

14

14.（5分）已知雙曲線C；*||=l（a>0,b>0）的左，右焦點分別為為，F(xiàn)2,P為C

右支上一點，^PF2F1=^,aPFiF2的內(nèi)切圓圓心為M，直線PW交X軸于點N,\PM\

,7

=3\MN\,則雙曲線的曷心率為

【解答】解：設(shè)圓M與x軸相切于點/,

由雙曲線的定義知，|尸為|-|尸尸2|=2a,

因為圓”是△尸尸1尸2的內(nèi)切圓，

所以|尸尸1|-|尸尸2|=|尸1蜀T尸M|=2a,

第13頁（共21頁）

而「M+EM=|尸1尸2|=2C,所以用M=C-a,

所以點/恰為雙曲線的右頂點，即XM=。，

因為"尸2平分/尸尸2為，且/尸尸才1=丁，

所以NMR2尸1=多

27r——

所以直線放2的傾斜角為百，其斜率為一百，

所以直線A/F2的方程為尸-百(x-c),

把XA尸。代入直線A/F2的方程，得_FA?遮(c-a),即|肱4|=百(c-a),

過點尸作軸于點Q，

因為『M=3|MN|,所以|PN|=4|MN|,所以|尸0|=4|肱4|=4舊(c-a),

7T2

在RtZXPQ尸2中，ZPF2Q=所以尸尸2|=同°。|=8(c-a),

所以|尸尸1|=|P尸2|+2a=8c-6a,

22

在中，由余弦定理知，|PFi|=|PF2|+|尸1?2『-2\PF1\■\F1F2\COS^PF2F1,

1

所以(8c-6a)2=[8(c-a)]2+(2c)2-2(8c-6a)?(2c)?(—1)，

整理得5c2-12QC+7〃2=0,

兩邊同時除以砂，得5e2-12e+7=0,解得e=(或e=l(舍)，

7

所以雙曲線的離心率為g.

第14頁(共21頁)

-7

故答案為：--

四、解答題：本題共5小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）為了更好地推廣冰雪體育運動項目，某中學要求每位同學必須在高中三年的每

個冬季學期選修滑冰、滑雪、冰壺三類體育課程之一,且不可連續(xù)選修同一類課程若某

生在選修滑冰后，下一次選修滑雪的概率為最在選修滑雪后，下一次選修冰壺的概率為

32

在選修冰壺后，下一次選修滑冰的概率為二

（1）若某生在高一冬季學期選修了滑雪，求他在高三冬季學期選修滑冰的概率；

（2）苦某生在高一冬季學期選修了滑冰，設(shè)該生在高中三個冬季學期中選修滑冰課程的

次數(shù)為隨機變量X,求X的分布列及期望，

【解答】解：（1）根據(jù)題意，若高一選修滑雪，設(shè)高三冬季學期選修滑冰為隨機事件

則P⑷奇

（2）該生在高中三個冬季學期中選修滑冰課程的次數(shù)X的可能取值為1,2.

…，、32,3113…22,117

P（X=1）=耳*可+4乂可=而，P（X=2）=5><3+4X3=20-

所以X的分布列為:

第15頁（共21頁）

X12

P137

2020

E(X)=20+2X20=20，

16.(15分)在△48C中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,己知a=l,cosC+ccoS-

2bcos5=0.

(1)求5

—>―?

(2)若4C=2CD,且=心，求c.

【解答】解：(1)因為。=1,所以cosC+ccos/-26cos5=acosC+ccos4-26cosB=0.

由正弦定理可得siib4cosc+sinCcos4-2sin5cos5=sin(A+C)-2sin5cos5=0.

又因為4+5+C=TI,所以sin(A+C)=sia5W0,

1

可得cos8=2，BE.(0,TT),

解得2=J;

(2)因為￡7=2cb,設(shè)CD=x,則/C=2x,

在△4BC中，由余弦定理可得：cosB=C2+；”2=,

即c2+l-4X2=C,

1_|_4丫2^-「2-y"2_o

在△45。與△5CQ中,cos乙BCA=晨,cos乙BCD=^-=-,

所以6x2-c2-3=0,

所以c2-3c-3=0,解得c=型等(負值舍棄)，

所以，=￥.

17.(15分)如圖，在四棱錐P-/BCD中，底面是邊長為2的正方形，且PB=V^8C,點

O,。分別為棱CO,心的中點，且。。，平面P5C.

(1)證明：。?！ㄆ矫?/p>

(2)求二面角P-AD-Q的大小.

第16頁(共21頁)

P/

AB

【解答】（1）證明：取以中點G,連接G0,GD,

:點。為網(wǎng)中點，J.GQ//AB,GQ=^AB,

:底面是邊長為2的正方形，。為CD中點，

1

J.DO//AB,DO^^AB,

J.GQ//OD,GQ=OD,

，四邊形GQOD是平行四邊形，

：。0,平面&1。，GOu平面BID,

，。0〃平面PAD.

（2）解：'JDQL^^PBC,BCu平面P2C,：.DQLBC,

又：底面是邊長為2的正方形，，。。，臺。，

°nr）c=D,，臺。，平面

?.?OQu平面。CQ,J.BC1.OQ,

又：C0u平面DC0,：.BCLCQ,

,:PB=2遍,：.QB=V6,,:BC=2,QC=V2,

:底面是邊長為2的正方形，=2vLDQ=&,：.DQ=CQ,

:。為CD中點，AOQ±DC,

y^'：BCkOQ,DSBC=C,，OQ_L平面ABC。，

取NB中點￡,以O(shè)E,OC,。。所在直線分別為x,y,z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系。-xyz,

第17頁（共21頁）

貝I」O(0,0,0),Q(0,0,1),A(2,-1,0),B(2,1,0),D(0,-1,0),P(-

2,-1,2),

—>—>

所以筋=(一4,0,2),4。=(-2,0,0),4Q=(-2,1,1),

設(shè)平面E4。的一個法向量為m=(%,y,z),則znl/P,7nlZD,

則仲聲=—4x+2z=0,令產(chǎn)i,可得益=(o,1,0),

(TH?AD=-2%=0

TTTTT

設(shè)平面Q4D的一個法向量為n=(xly',z),則nl力Q,nlAD,

(TT

則絲—z=0,令片1,可得7=(。，L一1),

.n-AD=-2x'=0

mi|Jt、m-n1V2

|m||n|v22

由圖可知，二面角P-40-。為銳二面角，

71

所以二面角P-AD-Q的大小為

18.(17分)已知橢圓C：Q*l(a>b>0)的兩焦點為(-1,0),尸2(1,0),且橢

圓C過P(一^1).

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點分別為4,B,直線/交橢圓C于河，N兩點(M,N與A,

3均不重合)，記直線的斜率為向，直線BN的斜率為無，且左1-2左2=0,設(shè)AAMN,

△BMV的面積分別為Si,S2,求國-S2|的取值范圍.

【解答】解：⑴因為橢圓C的兩焦點為(-b0),Fi(1,0),且過點P(-后字).

C不=1=:

(滔+研=1

第18頁(共21頁)

解得4=2,b=V3,c=l,

、%2y2

則橢圓C的方程為了+—=1;

43

(2)易知/(-2,0),B(2,0),

不妨設(shè)M（xi,yi）,N（X2,”）,

若直線MN的斜率為0,

此時M,N兩點關(guān)于了軸對稱，

所以左1+左2=0,不符合題意，

則直線MN的斜率存在且不為0,

不妨設(shè)直線ACV的方程為x=W+/w（加W±2）,

X=ty+m

聯(lián)立卜2y2，消去X并整理得（3及+4）/+6/叩+3/2-12=0,

E+w=1

此時△=48（3?+4-加2）＞0,

由韋達定理得為+'2=-翳，為％=嚏青，

因為點M是橢圓上一點，

,^n-4-t,._7171_y?_3(1—?)_3

此時心.施”=訴?年乏=/=不了-=一不

則々3M,七=-g-?

因為版BMM?七2=7~~朵泮F―第一~~元

(巧—2)(%2-2)(tyi+m-2)(ty2+^-2)

____________Z1Z2_____________

/yi、2+1(瓶一2)(yi+丫2)+O-2)2

3m2-12「

=__________3隹+4__________=3(_2—4)=3(m+2)3

隹(3m2_i2)_6t2n2)+(_2)24(??1—2)24(77l—2)8'

3t2+43t2+4()

所以Hl=-1,

,,,4c32

止匕時4=48(3產(chǎn)o+4-J)=48(3產(chǎn)+甘)〉0,

則直線九W恒過x軸上一定點。(一(，0),

第19頁（共21頁）

6tm_4t_3m2-12_32

則yi+m=

五甲二衣為、2=3t2+4=3(3隹+4)'

1919

所以|S1-&|=|2171-y2ll-2-(-3)|-2lyi-yzl|2-(-3)||

2i__________名而等8V3(3同+4)—④

=可21為一曠21=+%)2-4)7/2=-------