2024年高考數(shù)學(xué)（人教B版）一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第9章9.2用樣本估計(jì)總體

§9.2用樣本估計(jì)總體考試要求1.會用統(tǒng)計(jì)圖表對總體進(jìn)行估計(jì)，會求n個(gè)數(shù)據(jù)的p%分位數(shù).2.能用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢和總體離散程度．知識梳理1．百分位數(shù)設(shè)一組數(shù)按照從小到大排列后為x1，x2，…，xn，計(jì)算i＝np%的值，如果i不是整數(shù)，設(shè)i0為大于i的____________，取xi0為p%分位數(shù)；如果i是整數(shù)，取eq\f(xi＋xi＋1,2)為p%分位數(shù)．特別地，規(guī)定：0分位數(shù)是x1(即最小值)，100%分位數(shù)是________(即最大值)．2．平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)(1)平均數(shù)：eq\x\to(x)＝．(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在最的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí))或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí))．(3)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)的數(shù)據(jù)(即頻數(shù)最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù))．3．方差和標(biāo)準(zhǔn)差(1)方差：s2＝或eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2.(2)標(biāo)準(zhǔn)差：s＝.4．用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(1)一般情況下，如果樣本容量恰當(dāng)，抽樣方法合理，在估計(jì)總體的數(shù)字特征時(shí)，只需直接算出________對應(yīng)的數(shù)字特征即可．(2)對于分層抽樣的情況，我們以分兩層抽樣的情況為例．假設(shè)第一層有m個(gè)數(shù)，分別為x1，x2，…，xm，平均數(shù)為eq\x\to(x)，方差為s2；第二層有n個(gè)數(shù)，分別為y1，y2，…，yn，平均數(shù)為eq\x\to(y)，方差為t2.則eq\x\to(x)＝eq\f(1,m)eq\i\su(i＝1,m,x)i，s2＝eq\f(1,m)eq\i\su(i＝1,m,)(xi－eq\x\to(x))2，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i，t2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\x\to(y))2.如果記樣本均值為eq\x\to(a)，樣本方差為b2，則可以算出eq\x\to(a)＝eq\f(1,m＋n)(eq\i\su(i＝1,m,x)i＋eq\i\su(i＝1,n,y)i)＝eq\f(m\x\to(x)＋n\x\to(y),m＋n)，b2＝eq\f(m[s2＋\x\to(x)－\x\to(a)2]＋n[t2＋\x\to(y)－\x\to(a)2],m＋n)＝eq\f(1,m＋n)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ms2＋nt2＋\f(mn,m＋n)\x\to(x)－\x\to(y)2)).常用結(jié)論2．?dāng)?shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變．3．若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近．()(2)方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位．()(3)如果一組數(shù)中每個(gè)數(shù)減去同一個(gè)非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變．()(4)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù)．()教材改編題1．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，x9的方差為2，則數(shù)據(jù)2x1，2x2，…，2x9的方差為()A．2B．4C．6D．82．某射擊運(yùn)動(dòng)員7次的訓(xùn)練成績分別為86,88,90,89,88,87,85，則這7次成績的80%分位數(shù)為()A．88.5B．89C．91D．89.53．某校體育節(jié)10名旗手的身高(單位：cm)分別為175,178,176,180,179,175,176,179,180,179，則中位數(shù)為________．題型一樣本的數(shù)字特征和百分位數(shù)的估計(jì)例1(1)從某中學(xué)抽取10名同學(xué)，他們的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦拢?2,85,88,90,92,92,92,96,96,98(單位：分)，則這10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)、25%分位數(shù)分別為()A．92,85 B．92,88C．95,88 D．96,85延伸探究本例中，70%分位數(shù)是多少？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(多選)(2023·哈爾濱模擬)下面是某城市某日在不同觀測點(diǎn)對細(xì)顆粒物(PM2.5)的觀測值：396275268225168166176173188168141157若在此組數(shù)據(jù)中增加一個(gè)比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù)，下列數(shù)字特征發(fā)生改變的是()A．極差 B．中位數(shù)C．眾數(shù) D．平均數(shù)聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟跟蹤訓(xùn)練1(1)某中學(xué)高一年級8名學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)成績(滿分150分)分別為85,90,93,99,101,103,116,130，則這8名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的75%分位數(shù)為()A．102B．103C．109.5D．116(2)(多選)冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會，是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動(dòng)會．自1924年起，每四年舉辦一屆.2022年2月在北京舉辦了第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會，為了宣傳奧運(yùn)精神，紅星實(shí)驗(yàn)學(xué)校組織了甲、乙兩個(gè)社團(tuán)，利用一周的時(shí)間對外進(jìn)行宣傳，將每天宣傳的次數(shù)繪制成如圖所示的頻數(shù)分布折線圖，則()A．甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的眾數(shù)小于乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的眾數(shù)B．甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的極差大于乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的極差C．甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的平均數(shù)大于乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的平均數(shù)D．甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的方差大于乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的方差題型二總體集中趨勢的估計(jì)例2為了謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)學(xué)生對中國共產(chǎn)黨的熱愛，某學(xué)校舉辦了一場黨史競賽活動(dòng)，共有500名學(xué)生參加了此次競賽活動(dòng)．為了解本次競賽活動(dòng)的成績，從中抽取了50名學(xué)生的成績(成績均為整數(shù)，滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，所有學(xué)生的成績都不低于60分，將這50名學(xué)生的成績(單位：分)進(jìn)行分組，第一組[60,70)，第二組[70,80)，第三組[80,90)，第四組[90,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求圖中m的值，并估計(jì)此次競賽活動(dòng)學(xué)生成績的中位數(shù)；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)此次競賽活動(dòng)成績的平均數(shù)．若對成績不低于平均數(shù)的同學(xué)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，請估計(jì)在參賽的500名學(xué)生中有多少名學(xué)生獲獎(jiǎng)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華頻率分布直方圖中的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等．(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點(diǎn)值與對應(yīng)頻率之積的和．跟蹤訓(xùn)練2(2022·哈爾濱模擬)治理沙漠化離不開優(yōu)質(zhì)的樹苗，現(xiàn)從苗圃中隨機(jī)地抽測了200株樹苗的高度(單位：cm)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求直方圖中a的值及眾數(shù)、中位數(shù)；(2)若樹苗高度在185cm及以上是可以移栽的合格樹苗．從樣本中用分層抽樣方法抽取20株樹苗作進(jìn)一步研究，不合格樹苗、合格樹苗分別應(yīng)抽取多少株？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三總體離散程度的估計(jì)例3(2021·全國乙卷)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下．舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為eq\x\to(x)和eq\x\to(y)，樣本方差分別記為seq\o\al(2,1)和seq\o\al(2,2).(1)求eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)；(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果eq\x\to(y)－eq\x\to(x)≥2eq\r(\f(s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2),10))，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華總體離散程度的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動(dòng)與穩(wěn)定的程度．標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。櫽?xùn)練3(2022·濟(jì)寧模擬)甲、乙兩名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取8次，記錄如下：甲8281797895889384乙9295807583809085(1)求兩位學(xué)生預(yù)賽成績的平均數(shù)和方差；(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？請說明理由．_________________________