2024屆廣東省揭陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

2024屆廣東省揭陽(yáng)市榕城區(qū)一中學(xué)中考數(shù)學(xué)五模試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1.解分式方程二7+2=丁乙，分以下四步，其中，錯(cuò)誤的一步是()

A.方程兩邊分式的最簡(jiǎn)公分母是(x-1)(x+1)

B.方程兩邊都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6

C.解這個(gè)整式方程，得x=l

D.原方程的解為x=l

4.已知點(diǎn)A（xi，yi）,B（X2,y2）?C（x3,y3）在反比例函數(shù)y=M（k<0）的圖象上，若xi〈X2<0Vx3,則yi,yz,

y3的大小關(guān)系是（）

A.yi<yi<y3B,y2<yi<y3C.y3<y2<yiD.y3<yi<y2

5.下列計(jì)算中，錯(cuò)誤的是（）

-1

A.2018°=1;B.—2?=4；C.41=2；D.3=

6.下列圖形是我國(guó)國(guó)產(chǎn)品牌汽車的標(biāo)識(shí)，在這些汽車標(biāo)識(shí)中，是中心對(duì)稱圖形的是()

7.體育測(cè)試中，小進(jìn)和小俊進(jìn)行800米跑測(cè)試，小進(jìn)的速度是小俊的1.25倍，小進(jìn)比小俊少用了40秒，設(shè)小俊的速

度是x米/秒，則所列方程正確的是（）

_800800“小

A.4xl.25x—40%=800B.----------=40

x2.25x

800800C800800C

C.----------=40D.----------=40

x1.25%1.25%x

8.如圖是一個(gè)幾何體的主視圖和俯視圖，則這個(gè)幾何體是（）

俯

視

圖

A.三棱柱B.正方體C.三棱錐D.長(zhǎng)方體

9.若△ABC與ADEF相似，相似比為2：3,則這兩個(gè)三角形的面積比為（）

A.2：3B.3：2C.4：9D.9：4

10.下列各數(shù)中最小的是（）

A.0B.1C.■73D.-n

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分,共18分）

11.如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形的中心在原點(diǎn)O,且正方形的一組對(duì)邊與x軸平行，點(diǎn)P（3a,a）是反比例函數(shù)

13.已知圓錐的底面圓半徑為3cm,高為4cm,則圓錐的側(cè)面積是<

14.如圖，定長(zhǎng)弦CD在以AB為直徑的。O上滑動(dòng)（點(diǎn)C、D與點(diǎn)A、B不重合），M是CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CP±AB

于點(diǎn)P,若CD=3,AB=8,PM=1,貝！J1的最大值是

15.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aw0）的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：?abc<0,②2a+b=0,③a—b+c=O；

（4）4ac-b2>0,⑤4a+2b+c>0,其中正確的結(jié)論序號(hào)是

16._ABC與..一DEF是位似圖形，且對(duì)應(yīng)面積比為4：9,貝!J_ABC與qDEF的位似比為.

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）（閱讀）如圖1,在等腰AABC中，AB=AC,AC邊上的高為心M是底邊5c上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到腰

AB.AC的距離分別為加，加.連接AM.

（思考）在上述問(wèn)題中，加,加與無(wú)的數(shù)量關(guān)系為：.

（探究）如圖1,當(dāng)點(diǎn)M在3c延長(zhǎng)線上時(shí)，小、"九之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系式？并說(shuō)明理由.

（應(yīng)用）如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線小y=%+3,/i：j=-3x+3,若A上的一點(diǎn)拉到6的距離是1,

請(qǐng)運(yùn)用上述結(jié)論求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

18.（8分）如圖，頂點(diǎn)為C的拋物線y=ax2+bx（a>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B,連接OC、OA、AB,已知

OA=OB=2,ZAOB=120°.

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CELOB,垂足為E,點(diǎn)P為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以O(shè)、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOE相似，求點(diǎn)P

的坐標(biāo);

(3)若將(2)的線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE，，旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<120°),連接E，A、E，B,求E，A+^E，B

2

的最小值.

①教師講，學(xué)生聽(tīng)

②教師讓學(xué)生自己做

③教師引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)規(guī)律

④教師讓學(xué)生對(duì)折紙，觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后畫(huà)圖

為調(diào)查教學(xué)效果，八年級(jí)教師將上述教學(xué)方法作為調(diào)研內(nèi)容發(fā)到全年級(jí)8個(gè)班420名同學(xué)手中，要求每位同學(xué)選出自

己最喜歡的一種.他隨機(jī)抽取了60名學(xué)生的調(diào)查問(wèn)卷，統(tǒng)計(jì)如圖

(1)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

(2)計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中方法③的圓心角的度數(shù)是;

(3)八年級(jí)同學(xué)中最喜歡的教學(xué)方法是哪一種？選擇這種教學(xué)方法的約有多少人？

20.(8分)如圖，A5為。。直徑，過(guò)。。外的點(diǎn)。作OELOA于點(diǎn)E,射線OC切。。于點(diǎn)C交A3的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)尸，連接AC交OE于點(diǎn)尸，作于點(diǎn)H.

(1)求證：NZ>=2NA；

3

(2)若HB=2,cosD=-,請(qǐng)求出AC的長(zhǎng).

21.（8分）填空并解答:

某單位開(kāi)設(shè)了一個(gè)窗口辦理業(yè)務(wù)，并按顧客“先到達(dá)，先辦理”的方式服務(wù)，該窗口每2分鐘服務(wù)一位顧客.已知早上

8：00上班窗口開(kāi)始工作時(shí)，已經(jīng)有6位顧客在等待，在窗口工作1分鐘后，又有一位“新顧客”到達(dá)，且以后每5分

鐘就有一位“新顧客”到達(dá).該單位上午8：00上班，中午11：30下班.

（1）問(wèn)哪一位“新顧客”是第一個(gè)不需要排隊(duì)的？

分析：可設(shè)原有的6為顧客分別為a1、。2、。3、。4、"5、"6,"新顧客"為Cl、C2、C3、C4….窗口開(kāi)始工作記為0時(shí)亥!J.

?1U2田。4asQ6ClClC3C4???

到達(dá)窗口時(shí)刻000000161116???

服務(wù)開(kāi)始時(shí)刻024681012141618???

每人服務(wù)時(shí)長(zhǎng)2222222222???

服務(wù)結(jié)束時(shí)刻2468101214161820???

根據(jù)上述表格，則第位，“新顧客”是第一個(gè)不需要排隊(duì)的.

（2）若其他條件不變，若窗口每"分鐘辦理一個(gè)客戶（〃為正整數(shù)），則當(dāng)a最小取什么值時(shí)，窗口排隊(duì)現(xiàn)象不可能

消失.

分析：第〃個(gè)“新顧客”到達(dá)窗口時(shí)刻為，第（n-1）個(gè)“新顧客”服務(wù)結(jié)束的時(shí)刻為

22.（10分）計(jì)算:-|-2|+（5+^）°-4sin60°.

23.（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=x與反比例函數(shù)、左70）的圖象相交于點(diǎn)

X

(1)求“、左的值;

(2)直線(b>0)分別與一次函數(shù)7=隊(duì)反比例函數(shù)y=勺的圖象相交于點(diǎn)V、N,當(dāng)MN=2時(shí)，畫(huà)出示意

x

圖并直接寫(xiě)出b的值.

24.如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，CN為。O的切線，OMLAB于點(diǎn)O,分別交AC、CN于D、M

兩點(diǎn).求證：MD=MC；若。。的半徑為5,AC=46,求MC的長(zhǎng).

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1、D

【解析】

先去分母解方程，再檢驗(yàn)即可得出.

【詳解】

方程無(wú)解,雖然化簡(jiǎn)求得X=l,但是將X=1代入原方程中，可發(fā)現(xiàn)上和的分母都為零，即無(wú)意義,所以XW1,

x-1X-1

即方程無(wú)解

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式方程的求解與檢驗(yàn)，在分式方程中，一般求得的X值都需要進(jìn)行檢驗(yàn)

2、C

【解析】

分別根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及三角形面積求法以及梯形面積求法得出即可：

【詳解】

A、根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，陰影部分面積和為：xy=l.

B、根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，陰影部分面積和為：|xy|=3.

C、如圖，過(guò)點(diǎn)M作MA，x軸于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)N作NBJ_x軸于點(diǎn)B,

13

根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，SAOAM=SAOAM=-|xy|=-,從而陰影部分面積和為梯形MABN的面積:

1(1+3)X2=4.

D、根據(jù)M,N點(diǎn)的坐標(biāo)以及三角形面積求法得出，陰影部分面積為：-xlx6=3.

2

綜上所述，陰影部分面積最大的是C.故選C.

3、D

【解析】

根據(jù)勾股定理求出四邊形第四條邊的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出四邊形四條邊之比，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】

解：作于E,

:.EC=AD=1,AE=CD=3,

：.BE=4,

由勾股定理得，AB=ylAE2+BE2=5?

二四邊形ABC。的四條邊之比為1：3：5：5,

D選項(xiàng)中，四條邊之比為1：3：5：5,且對(duì)應(yīng)角相等，

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是相似多邊形的判定和性質(zhì)，掌握相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵.

4、D

【解析】

試題分析：反比例函數(shù)y=二的圖象位于二、四象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，???A（xi,門）、B（x2,y》、

X

C（X3,y3）在該函數(shù)圖象上，且xi〈x2<0<x3,,，y3<yi<y2；

故選D.

考點(diǎn)：反比例函數(shù)的性質(zhì).

5、B

【解析】

分析：根據(jù)零指數(shù)塞、有理數(shù)的乘方、分?jǐn)?shù)指數(shù)募及負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的意義作答即可.

詳解：A.2018°=1，故A正確;

B.—2?=T，故B錯(cuò)誤；

C.）=2,故C正確；

D.3-1=」，故D正確；

3

故選B.

點(diǎn)睛：本題考查了零指數(shù)幕、有理數(shù)的乘方、分?jǐn)?shù)指數(shù)幕及負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的意義，需熟練掌握且區(qū)分清楚，才不容易

出錯(cuò).

6、B

【解析】

由中心對(duì)稱圖形的定義：“把一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后，能夠與自身完全重合，這樣的圖形叫做中心對(duì)稱圖形”分

析可知，上述圖形中，A、C、D都不是中心對(duì)稱圖形，只有B是中心對(duì)稱圖形.

故選B.

7、C

【解析】

先分別表示出小進(jìn)和小俊跑800米的時(shí)間，再根據(jù)小進(jìn)比小俊少用了40秒列出方程即可.

【詳解】

小進(jìn)跑800米用的時(shí)間為逆竺秒，小俊跑800米用的時(shí)間為型秒,

1.25%x

??,小進(jìn)比小俊少用了40秒，

方程是闞一槳

=40,

x1.25%

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了列分式方程解應(yīng)用題，能找出題目中的相等關(guān)系式是解此題的關(guān)鍵.

8,A

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖的知識(shí)使用排除法即可求得答案.

【詳解】如圖，由主視圖為三角形，排除了B、D,

由俯視圖為長(zhǎng)方形，可排除C,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識(shí)，做此類題時(shí)可利用排除法解答.

9、C

【解析】

由△ABC與ADEF相似，相似比為2：3,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求得答案.

【詳解】

二?△ABC與ADEF相似，相似比為2：3,

這兩個(gè)三角形的面積比為4：L

故選C.

【點(diǎn)睛】

此題考查了相似三角形的性質(zhì).注意相似三角形的面積比等于相似比的平方.

10、D

【解析】

根據(jù)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小.正實(shí)數(shù)都大于0,負(fù)實(shí)數(shù)都小于0,正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大

的反而小即可判斷.

【詳解】

-n<-^3<0<l.

則最小的數(shù)是-3

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了實(shí)數(shù)大小的比較，理解任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小.正實(shí)數(shù)都大于0,負(fù)實(shí)數(shù)都小于0,正實(shí)數(shù)大于一切

負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而小是關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

【解析】

待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性，正方形的性質(zhì).

【分析】由反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知陰影部分的面積和正好為小正方形面積的，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為b,圖中陰影部

分的面積等于9可求出b的值，從而可得出直線AB的表達(dá)式，再根據(jù)點(diǎn)P(2a,a)在直線AB上可求出a的值，從

而得出反比例函數(shù)的解析式：

?.?反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，.?.陰影部分的面積和正好為小正方形的面積.

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為b,則b?=9,解得b=3.

；正方形的中心在原點(diǎn)O,.?.直線AB的解析式為：x=2.

?.?點(diǎn)P(2a,a)在直線AB上，，2a=2,解得a=3....P(2,3).

3

?.?點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=—(k>0)的圖象上，；.k=2x3=2.

X

...此反比例函數(shù)的解析式為：「?二.

X

12、x+8

【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)XI,X2,…，Xn的平均數(shù)為天=,(X1+X2+…+Xn),即可求出數(shù)據(jù)Xl+LX2+1,…，Xn+1的平均數(shù).

n

【詳解】

數(shù)據(jù)Xl+1,X2+1.Xn+1的平均數(shù)=—(X1+I+X2+I+...+X+1)=—(X1+X2+…+Xn)+1=X+1.

nnn

故答案為天+1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平均數(shù)的概念，平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù).平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨

勢(shì)的量數(shù)，它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一項(xiàng)指標(biāo).

13、1571

【解析】

【分析】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為L(zhǎng)根據(jù)勾股定理求出母線長(zhǎng)，再根據(jù)圓錐側(cè)面積公式即可得出答案.

【詳解】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為L(zhǎng)Vr=3,h=4,

**,母線1=J-+.2=5，

11

AS惻=—><2nrx5=—X2RX3X5=15TT,

22

故答案為157r.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積，熟知圓錐的母線長(zhǎng)、底面半徑、圓錐的高以及圓錐的側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵.

14、4

【解析】

當(dāng)CD〃AB時(shí)，PM長(zhǎng)最大，連接OM,OC,得出矩形CPOM,推出PM=OC,求出OC長(zhǎng)即可.

【詳解】

當(dāng)CD〃AB時(shí)，PM長(zhǎng)最大，連接OM,OC,

VCD//AB,CP±CD,

ACPIAB,

為CD中點(diǎn)，OM過(guò)O,

AOM1CD,

:.ZOMC=ZPCD=ZCPO=90°,

四邊形CPOM是矩形，

.\PM=OC,

直徑AB=8,

半徑OC=4,

即PM=4.

【點(diǎn)睛】

本題考查矩形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，平行線的性質(zhì)，此類問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見(jiàn)，一

般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.

15、①②③⑤

【解析】

由拋物線的開(kāi)口方向判斷a的符號(hào)，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況

進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷.

【詳解】

①由圖象可知：拋物線開(kāi)口方向向下，則a<0,

對(duì)稱軸直線位于y軸右側(cè)，則a、b異號(hào)，即b>0,

拋物線與y軸交于正半軸，則c>0,abc<0,故①正確；

②對(duì)稱軸為x=—匕=1,b=-2a,故②正確；

2a

③由拋物線的對(duì)稱性知，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）,

所以當(dāng)x=—l時(shí)，y=a—b+c=0,即a—b+c=0,故③正確；

④拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則b2-4ac>0,所以4ac-b2<0,故④錯(cuò)誤；

⑤當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c>0,故⑤正確.

故答案為①②③⑤.

【點(diǎn)睛】

本題考查了考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)丫=2乂2+6*+^:系數(shù)符號(hào)由拋物線開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和

拋物線與y軸的交點(diǎn)、拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定.

16、2：1

【解析】

由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得ABC與二DEF的位似比.

【詳解】

解ABC與..DEF是位似圖形，且對(duì)應(yīng)面積比為4：9,

.\aABC與DEF的相似比為2：1,

故答案為：2：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了位似的相關(guān)知識(shí)，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對(duì)應(yīng)的面積比等于相似比的平方.

三、解答題（共8題，共72分）

17、【思考】①+“產(chǎn)處【探究】hi—hi=k.理由見(jiàn)解析；【應(yīng)用】所求點(diǎn)M的坐標(biāo)為（!，1）或（一工，4）.

33

【解析】

思考：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，把代數(shù)式+g用AC=g/tAC化簡(jiǎn)可得4+4=爪

探究：當(dāng)點(diǎn)"在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，連接40,可得S4481M-SMCM=S4AB門化簡(jiǎn)可得4-/%=6

應(yīng)用：先證明AB=AC,△ABC為等腰三角形，即可運(yùn)用上面得到的性質(zhì)，再分點(diǎn)M在3c邊上和在CB延長(zhǎng)線上

兩種情況討論，第一種有1+的=。5,第二種為監(jiān)一1=。3,解得〃的縱坐標(biāo)，再分別代入4的解析式即可求解.

【詳解】

思考

SAABM+^AACM=^AABC

即g4AB+：用AC=ghAC

AB=AC

**.hi+hi=h.

探究

hi—hi=h.

理由.連接AM,

?\ABMMOWAABC

???-hAB--hAC=-hAC

2'22?2

:?h、——hi=h.

應(yīng)用

3

在丁二工1+3中，令x=0得y=3；

令y=0得x=—4,則:

A(-4,0),B(0,3)

同理求得。(1,0),

AB=4o^To^=5^

又因?yàn)锳C=5,

所以即△ABC為等腰三角形.

①當(dāng)點(diǎn)M在5C邊上時(shí)，

由hi+hi=h得：

l+My=OB,My=3-l=l,

把它代入y=-3x+3中求得:

，唱,2}

②當(dāng)點(diǎn)M在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，

由hi—hi=h得：

My-1=OB,監(jiān)=3+1=4,

把它代入產(chǎn)一3/3中求得：

M———,

3

皿一卜],

綜上，所求點(diǎn)M的坐標(biāo)為g,2)或

【點(diǎn)睛】

本題結(jié)合三角形的面積和等腰三角形的性質(zhì)考查了新性質(zhì)的推理與證明，熟練掌握三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形層層推進(jìn)

是解答的關(guān)鍵.

18、(1)y=^-x2-垣x；(2)點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,走)或(0,述)；(3)縣.

33332

【解析】

(1)根據(jù)AO=OB=2,NAOB=120。，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，以及B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；

2/Q]

(2)ZEOC=30°,由OA=2OE,OC=」^,推出當(dāng)OP=—OC或OP，=2OC時(shí)，APOC與AAOE相似；

32

]E，0OEr1]

(3)如圖，取Q(一，0).連接AQ,QE\由△OE'QsaOBE，，推出一=——=-,推出E，Q=—BE，，推出

2BE'OB22

AE'+-BE，=AE4QE，，由AE^EQ^AQ,推出ErA+-EfB的最小值就是線段AQ的長(zhǎng).

22

【詳解】

(1)過(guò)點(diǎn)A作AH±x軸于點(diǎn)H,

；AO=OB=2,ZAOB=120°,

:.ZAOH=60°,

/.OH=1,AH=B

...A點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1,若），B點(diǎn)坐標(biāo)為：（2,0）,

將兩點(diǎn)代入y=ax2+bx得:

a—b=y]3

4a+26=0'

/.tanZEOC=—,

OE3

:.ZEOC=30°,

.,.ZPOC=90°+30°=120°,

,.,ZAOE=120°,

ZAOE=ZPOC=120°,

VOA=2OE,OC=^^,

3

.?.當(dāng)OP=^OC或OP，=2OC時(shí)，△POC與4AOE相似,

2

.?.OP=走，OP'=f^l,

33

.?.點(diǎn)P坐標(biāo)為（0,、5）或（0,短）.

33

（3）如圖，取Q（；,0）.連接AQ,QE\

,,OE'_OQ_1

,OB~OE'~2

,/QOE'=NBOE',

.,.△OErQ<^AOBE\

.E'Q_OE'_1

■*BE'—08-5'

1

.,.E^yBE%

1

AAE^-BEf=AE，+QE，，

；AE，+E3AQ,

AEfA+|E，B的最小值就是線段AQ的長(zhǎng)，最小值為Jg）2+（退產(chǎn)=等.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)綜合題、解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)

由分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)造相似三角形解決最短問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

19、解：（1）見(jiàn)解析；（2）108。；（3）最喜歡方法④，約有189人.

【解析】

（1）由題意可知：喜歡方法②的學(xué)生有60-6-18-27=9（人）；

（2）求方法③的圓心角應(yīng)先求所占比值，再乘以360。；

（3）根據(jù)條形的高低可判斷喜歡方法④的學(xué)生最多，人數(shù)應(yīng)該等于總?cè)藬?shù)乘以喜歡方法④所占的比例；

【詳解】

⑴方法②人數(shù)為60-6-18-27=9（人）；

補(bǔ)條形圖如圖：

27

24

18

12

6

方

方

方

方

法

法

法

法教學(xué)方法

①②③④

⑵方法③的圓心角為360x刀=108；

60

故答案為108°

(3)由圖可以看出喜歡方法④的學(xué)生最多,人數(shù)為420x2=7=189(人)；

60

【點(diǎn)睛】

考查扇形統(tǒng)計(jì)圖,條形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，比較基礎(chǔ)，難度不大，是中考常考題型.

20、(1)證明見(jiàn)解析；(2)AC=4也.

【解析】

(1)連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOCP=90°,根據(jù)垂直的定義得到"EP=90°,得到=然后

根據(jù)圓周角定理證明即可；

(2)設(shè)。的半徑為廠，根據(jù)余弦的定義、勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】

(1)連接OC.

?.?射線。。切O。于點(diǎn)C,，/。。。二鄉(xiāng)。。.

DE±AP,:.ZDEP=90°,:.ZP+ZD=90°,ZP+ZCOB=90°,:.ZCOB^ZD,由圓周角定理得：

ZCOB=2ZA,,-.ZD=2ZAi

3

(2)由(1)可知：ZOCP=90°,ZCOP=ZD,..cosZCOP=cosZD=-,CHLOP,:.ZCHO=90°,

TJT23

設(shè)。的半徑為乙則=r—2,在RtACHO中，cosZHOC=—=^^=—,，廠=5,.-.OH=5-2=3,

OCr5

???由勾股定理可知：CH=4,AH==10-2=8.

在RtAAHC中，NCH4=90。，由勾股定理可知：AC=\JAH2+CH2=4^/5-

D

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理以及解直角三角形，掌握切線的性質(zhì)定理、圓周角定理、余弦的定義是解題的關(guān)

鍵.

21、(1)5；(2)5n-4,na+6a.

【解析】

⑴第5位，“新顧客”到達(dá)時(shí)間是20分鐘，第II位顧客結(jié)束服務(wù)的時(shí)間是20分鐘，所以第5位“新顧客”是第一個(gè)不需

要排隊(duì)的；

(2)由表格中信息可得，“新顧客”到達(dá)時(shí)間為1,6,11,16,則第"個(gè)“新顧客”到達(dá)窗口時(shí)刻為5"-4,由表格可

知，“新顧客”服務(wù)開(kāi)始的時(shí)間為6a,7a,8a,...?第"-1個(gè)“新顧客”服務(wù)開(kāi)始的時(shí)間為(6+“-1)。=(5+咖,第

個(gè)“新顧客”服務(wù)結(jié)束的時(shí)間為(5+")a+a=〃a+6a.

【詳解】

⑴第5位，“新顧客”到達(dá)時(shí)間是20分鐘，第11位顧客結(jié)束服務(wù)的時(shí)間是20分鐘，所以第5位“新顧客”是第一個(gè)不需

要排隊(duì)的；

故答案為：5；

⑵由表格中信息可得，“新顧客”到達(dá)時(shí)間為1,6,11,16,

二第n個(gè)“新顧客”到達(dá)窗口時(shí)刻為5n-4,

由表格可知，“新顧客”服務(wù)開(kāi)始的時(shí)間為6a,7a,8”，…，

.?.第n個(gè)“新顧客”服務(wù)開(kāi)始的時(shí)間為(6+")a,

...第n-1個(gè)“新顧客”服務(wù)開(kāi)始的時(shí)間為(6+w-l)a=(5+咖,

?.?每。分鐘辦理一個(gè)客戶，

...第ra-1個(gè)"新顧客”服務(wù)結(jié)束的時(shí)間為(5+")a+a="a+6a,

故答案為：5n-4,na+6a.

【點(diǎn)睛】

本題考查了列代數(shù)式，用代數(shù)式表示數(shù)的規(guī)律，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，尋找規(guī)律，列

出代數(shù)式.

22、8-273

【解析】

直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)、零指數(shù)幕的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)進(jìn)而得出答案.

【詳解】

原式=9-2+1-26=8-26.

【點(diǎn)睛】

本題考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題的關(guān)鍵.

23、(1)a=5k=2；(2)42或L

【解析】

（1）依據(jù)直線廠工與雙曲線y=K（際0）相交于點(diǎn)A（、耳a）

，即