河南省信陽市2024屆高三適應(yīng)性考試（九）數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

河南省信陽市新縣高級中學(xué)2024屆高三適應(yīng)性考試（九）數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.從0,1,2,5中取三個不同的數(shù)字，組成能被5整除的三位數(shù)，則不同三位數(shù)有（）

A.12個B.10個C.8個D.7個

2.已知復(fù)數(shù)2="包（“€艮：1為虛數(shù)單位），貝『七>0”是“Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第

1

四象限”的（）條件

A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分又不

必要條件

小3（2-In3）.1In3,,,,1生/、

3.。=--2,b=—,c=――,則rH”，b,。的大小順序為（）

ee3

A.a<c<bB.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

4.已知點人（不,另）,3（%,%）是圓/+;/=16上的兩點，若ZAO8=1,貝I]

W+X-2|+尾+%-2|的最大值為（）

A.16B.12C.8D.4

5.如圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進出路口A,8,C,

的機動車輛數(shù)如圖所示，圖中%，%,工3分別表示該時段單位時間通過路段的

機動車輛數(shù)（假設(shè)：單位時間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），

A.\>x2>x3B.x,>x3>x2C.x2>x3>D.X3>X2>Xy

6.已知中心在原點、焦點在x軸上的橢圓與雙曲線C：有共同的焦點，設(shè)左右焦點分

別為4,耳，p是G與c?在第一象限的交點，△「￡心是以尸耳為底邊的等腰三角形，若

橢圓與雙曲線的離心率分別為e”ez，則eje?的取值范圍是（）

A.B.^-,+cojC.4+叼D.(0,+oo)

7.設(shè)函數(shù)/(x)=lnxT加2+2〃X(，"€R,”>0),若對于任意的尤>0,都有

則()

A.]nn<SmB.In〃W8mC.ln^>8mD.lnn>8m

712兀37110兀,...、r/

8.cos——cos——cos一cos——的值為（)

11111111

_J_

A.B.一——c.--

161032321024

二、多選題

9.設(shè)隨機變量X?N（0,l）,“x）=P（XwH，其中x>0,下列說法正確的是（）

A.變量X的方差為1,均值為0B.P(|X|<X)=1-2/(%)

C.函數(shù)〃x）在（0,+"）上是單調(diào)增函數(shù)D./（-x）=l-/（x）

10.滿足4=2,%=1，氏+2=4+1+%（〃wN*）的數(shù)列｛%｝稱為盧卡斯數(shù)列，則（）

A.存在非零實數(shù)/,使得｛“用+加“｝（"€川）為等差數(shù)列

B.存在非零實數(shù)使得｛4+]+%｝（"eN*）為等比數(shù)列

C.3a“+2=a“+4+q,（〃cN*）

2024

D-ZXT4=02023—3

i=l

11.如圖，在ABC中，ZB=|,AB=0BC=i,過AC中點/的直線/與線段AB

交于點N.將4WN沿直線/翻折至腦V,且點A在平面3GMN內(nèi)的射影//在線段

8c上，連接A“交/于點0,。是直線/上異于0的任意一點，則（）

A.ZA'DH>ZADC

B.ZADH<ZAOH

C.點。的軌跡的長度為g

6

試卷第2頁，共4頁

D.直線AO與平面3cMV所成角的余弦值的最小值為8G-13

三、填空題

12.一光源尸在桌面A的正上方，半徑為2的球與桌面相切，且RL與球相切，小球在

光源尸的中心投影下在桌面產(chǎn)生的投影為一橢圓(其中球與截面的切點即為橢圓的焦

點)，如圖所示，形成一個空間幾何體，且正視圖是RtPAB,其中|期=6,則該橢圓

的離心率.

加丫2?丫一D

14.已知函數(shù)/(無)=--------,77JeLI,e],xe[1,2],g(m)=(x)-(x)>則關(guān)于加的

e

4

不等式g(㈤>-的解集為.

e

四、解答題

15.如圖，在三棱錐A-3co中，平面平面BCD,AB=AD,。為8。的中點.

(1)求證：OALBC-,

⑵若OCD是邊長為2的等邊三角形，點E滿足AE=2ED，且平面3CE與平面3c。夾

3

角的正切值為求三棱錐A-3CD的體積.

16.定義：如果三角形的一個內(nèi)角恰好是另一個內(nèi)角的兩倍，那么這個三角形叫做倍角

三角形.如圖，AfiC的面積為S,三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為”,b,c,且

c2-b2,

A

(1)證明：ABC是倍角三角形；

(2)若。=9,當S取最大值時，求tanB.

17.已知拋物線C：y2=lpx(〃>。)，點A在拋物線。上，點3在1軸的正半軸上，

等邊OAB的邊長為本

(1)求拋物線的方程；

(2)若直線/：x=沙+2??1,3])與拋物線C相交于D,E兩點，直線DE不經(jīng)過

點"(0,1),△￡>面的面積為S,求3二的取值范圍.

1+2

18.已知函數(shù)"x)=xe'-3".

(1)求〃x)的極值；

(2)若g(x)=/'(x)-x+lnx在上的最大值為2,求證：-6e~3<f(2)<-7e^.

19.為落實食品安全的“兩個責(zé)任”，某市的食品藥品監(jiān)督管理部門和衛(wèi)生監(jiān)督管理部門

在市人民代表大會召開之際特別邀請相關(guān)代表建言獻策.為保證政策制定的公平合理性,

兩個部門將首先征求相關(guān)專家的意見和建議，已知專家?guī)熘泄灿?位成員，兩個部門分

別獨立地發(fā)出批建邀請的名單從專家?guī)熘须S機產(chǎn)生，兩個部門均邀請2位專家，收到食

品藥品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門的邀請后，專家如約參加會議.

(1)設(shè)參加會議的專家代表共X名，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

(2)為增強政策的普適性及可行性，在征求專家建議后，這兩個部門從網(wǎng)絡(luò)評選出的100

位熱心市民中抽取部分市民作為群眾代表開展座談會，以便為政策提供支持和補充意見.

已知這兩個部門的邀請相互獨立，邀請的名單從這100名熱心市民中隨機產(chǎn)生，食品藥

品監(jiān)督管理部門邀請了加(加CN*,2<M<100)名代表，衛(wèi)生監(jiān)督管理部門邀請了

〃(附eN*,2<〃<100)名代表，假設(shè)收到食品藥品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門的邀

請后，群眾代表如約參加座談會，且機+”>100,請利用最大似然估計法估計參加會議

的群眾代表的人數(shù).(備注:最大似然估計即最大概率估計，即當P(X=Z)取值最大時，

X的估計值為左)

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)能被5整除的數(shù)的特征，分類討論，結(jié)合排列組合即可求解.

【詳解】能被5整除的三位數(shù)末位數(shù)字得是?；?,

當末位數(shù)字為。時，此時有A；=6個符合條件的三位數(shù)，

當末位數(shù)字為5時，此時有2x2=4個符合條件的三位數(shù)，

因此一共有4+6=10個，

故選：B

2.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡z,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可判斷和選擇.

【詳解】2="里=包算=3-0，貝”在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(3,-a)；

1—1

點(3,-a)位于第四象限的充要條件是-a<0,即a>0；

故“a>0”是“z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，，的充要條件.

故選：A

3.A

【分析】構(gòu)造函數(shù)，(x)=嚀，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進而比較a=b=f(e),

c=/(3)的大小，若/=也有兩個解工則1Vxi<e<z，fe(0,3，構(gòu)造

xe

g(無)=lnx-與D(x>l),利用導(dǎo)數(shù)確定g(x)>0,進而得到生上嶼>一~,即可判

X+1%一玉x2+x,

斷。、C的大小，即可知正確選項.

1—

inYe2n2卜口1n3

【詳解】令/(*)=吧，貝1］。=/(才)=—,b=f(e)=—,c=〃3)=與，

x3ee3

T

而:=且%>0,即0<x<e時/(幻單調(diào)增，時〃尤)單調(diào)減，Xl<—<^<3,

x3

??b>C,b>a.

若/=---有兩個解不，%2，則1<玉<?<%2，/￡(0,-),

xe

日口一1眸Tn%lnx.x2

即t--------------------------,x+=———,

工2-玉t

令g(%)=lnx—2('則屋⑺二(：？〉0，即g(九)在(1，+8)上遞增,

x+1x(x+iy

答案第1頁，共17頁

g(x)>g(l)=O,即在(1,+8)上，lnx>型心，若戶上即ln」-T吟〉—,故

X+1玉x2-x1%2+國

2t—2

t〉-----，有>e

Inxxx2

22

.?.當％=3時，e>占>§，故/(丁</(可)=/(3),

綜上：b>c>a.

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性或極值,

從而確定a,b,c的大小.

4.B

【分析】題目轉(zhuǎn)化為A、B到直線x+y-2=0的距離之和，變換得到|AC|+|B0=2|EF|,利

用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化求解即可.

【詳解】因為A(%,X)、B?,%)在圓/+/=16上，ZAOB=^,

因為|。41=|QB|=4,貝UAO3是等腰直角三角形，

I占+%-2|+|%+%-2|表示A、3到直線x+y-2=0的距離之和的0倍，

原點。到直線無+>-2=0的距離為"=*=0,如圖所示：

ACLCD,BD±CD,E是A3的中點，作EFJLCD于F,

且OE_LAB,|AC|+|BD|=2|EF|,\OE\=^\AB\=2>f2,

\EF\<\OE\+d=3y/2,當且僅當QE,尸三點共線，且E,F在。的兩側(cè)時等號成立，

又IE尸|=g(|B0+1AC]),故忸必+|4C|的最大值為6近

I占+%-2|+|巧+%-2|的最大值為20x30=12.

故選：B.

答案第2頁，共17頁

【解析】根據(jù)每個三岔路口駛?cè)肱c駛出相應(yīng)的環(huán)島路段的車輛數(shù)列出等量關(guān)系，即可比較出

大小.

【詳解】依題意，有士=50+苫3-55=鼻-5,所以玉＜鼻，

同理，％=3。+%-20=尤1+10,所以占＜馬,

同理，工3=30+兀2—35=工2—5,所以工3＜%2，

所以為＜三＜%.

故選：C.

【點睛】本題主要考查不等關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【分析】設(shè)歸耳|=根，|尸鳥|=〃，根據(jù)鳥是以尸耳為底邊的等腰三角形，可知

22

|耳區(qū)|=忸閶="，利用橢圓和雙曲線定義可得到的2="丁，由此可將6仁化簡為

1

利用三角形三邊關(guān)系可確定:的取值范圍，進而得到66的取值范圍.

【詳解】由題意可設(shè)：橢圓的長軸長為24，雙曲線的實軸長為2%,焦距均為2c,

設(shè)|「制=根，|尸叫=〃，

「△尸月鳥是以尸耳為底邊的等腰三角形，二閨用=|尸閭=〃=2°,

由橢圓定義知：機+〃=2q；由雙曲線定義知：機-〃=2電；

m+nm-nm2-n2

224

答案第3頁，共17頁

1222

axa2%%加2-〃2m_n/my；

4

[n）

?.?忻閶+|尸閶>|尸周>倒引,.-.2n>m>n,則1<‘<2,

n

,0<（~]-1<3,''-ei-e2即e/e?的取值范圍為

故選：A.

7.A

【分析】根據(jù)給定條件，可得1是函數(shù)/（尤）的一個極大值點，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解作

答.

【詳解】函數(shù)/（x）=lnx-如?+2改是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，因?qū)τ谌我獾?>0,者B有

/?</(I),

則1是函數(shù)/（九）的一個極大值點，求導(dǎo)得/（%）=1-27nx+2〃，由f⑴=0,得2m=2〃+1,

x

因〃>0,則〃7>1，/'（X）=（1+2777）（1—X）,當0<彳<1時-（無）>0,當X>1時「（無）<0,

即1是函數(shù)/（龍）的唯一極值點，并且是極大值點，滿足對于任意的工>0,都有

令g（幾）=ln〃一8根,〃>0,即g（〃）=ln九一8〃一4,=--8=-—―,

nn

當時，g'⑺>0,g⑺單調(diào)遞增，當卜寸，gr（n）<0,g⑺單調(diào)遞減，

因止匕=—5<0,即ln〃<8機，A正確.

故選：A

【點睛】思路點睛：兩個實數(shù)的大小比較，可以作差構(gòu)造函數(shù)，再借助函數(shù)的單調(diào)性、極（最）

值問題處理.

8.D

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及正弦的二倍角公式即可求解.

,十兀lOn2兀9九5兀6兀

【詳用車】由于cos—=-COS-----，COS——二一COS—，，COS——二一COS——,所以

712冗3兀4兀5冗6兀7兀8兀9九

cos——cos——cos——cos——cos——cos——cos——cos——cos——co

111111111111111111

答案第4頁，共17頁

而

.71712713Tl4兀5兀1.2712兀3兀4兀5兀

sin——cos——cos——cos——cos——cos———sin——cos—cos—cos—cos一

7i2兀3兀4兀5兀

cos——cos——cos——cos——cos——二1111111111n211111111n

1111111111.71.71

sm——sm——

1111

1.4兀3兀4715兀1.8兀3兀5?！骶W(wǎng)型1.6兀671

—sin——cos——cos——cos——-sm——cos——cos——sincoscos%-----sm——cos——

二411111111111181111111611113211

.71,71.7171,71

sin——sin——sin——sin——

11111111

因此

712713兀4711071/［、5712713714711

cos—cos——cos——cos——cos-----=(-1cos—cos——cos—cos——cos

1111111111v7111111111024

故選：D

9.ACD

【分析】由正態(tài)分布的表示可判斷A；由正態(tài)曲線及〃x)=P(XWx)可判斷B,根據(jù)正態(tài)

曲線的性質(zhì)可判斷C,根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可判斷D.

【詳解】隨機變量X?"(0,1)=4=1,〃=0,則A正確；

P(|x|<x)=P(-x<X<x)=l-2[l-/(x)]=2/(x)-l,則B錯誤；

隨機變量XN(0,l),結(jié)合正態(tài)曲線易得函數(shù)f(x)在(0,+")上是單調(diào)增函數(shù)，則C正確;

正態(tài)分布的曲線關(guān)于x=0對稱，f(-x)=P(X<-x)=P(X>x)=l-f(x),則D正確，

故選：ACD.

10.BCD

【分析】對A、B：借助等差數(shù)列與等比數(shù)列定義計算即可得；對C：借助%+2=%M+4,代

入即可得；對D：由%+2=%+i+a“(〃eN*),得到(-Q"?風(fēng)度=-(-1)"+%小+(-1)"見，從而

2024

將S(T)'q展開后借助該式裂項相消即可得.

1=1

【詳解】對A：若數(shù)列{。2+%}(〃€N*)為等差數(shù)列，則有an+2+tan+l~Q〃+]一以“二弓，

即%+2=(lT)%+i+S〃+d,由a“+2=a“+i+a”(〃eN*),

答案第5頁，共17頁

l-t=l

故有a〃+i+q=(1一。見+i+勿”+d恒成立，即有"=1,無解，

d=0

故不存在這樣的實數(shù)，，故A錯誤；

對B：若數(shù)列{4+i+%}(〃eN*)為等比數(shù)列，則有4+2：7用=q,

an+l+lan

即%+2=(4-r)%+i+qta”,由4+2=a?+l+4,eN*),

/、一、_fQ—t=1

故有%+4=(4-二應(yīng)+]+婀,恒成立，即有j〃=]，

即/^+彳一1=0,解得f=—,此時為+/=1—1±^/^=土石工。，

故存在非零實數(shù)3使得{4+1+加“}("€^3為等比數(shù)列，故B正確;

對C：由%+2=aa+i+%(〃eN*),

aa++

貝(J瑪+4+n=n+3+%+2%=%+24,+1+4+2+%=3fl?+2,

即有3aa+2=%+4+%("€N*),故C正確；

對D：由。什2=。用+%(〃eN*),

故㈠戶*=(-1)"+2%+(-If2%+S)Z，

2024

故Z(—l)4=(T)q+(-1)出+(-1)a3+(T)&2024=

i=l

223

(—l)x2+(—l)2xl+[—(―1)2出+(—l)q]+[—(—1)3%+(_1)2%]+[_(_1)4%+(_])3。3]++^-(-l)°+

=-2+1+[(-1)〃1一(一1)^2023j=^2023-,故D正確.

故選：BCD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：D選項中關(guān)鍵點在于由4+2=ax+4(〃￡N*),得到

2024

，，+2+1

(-1)an+2=-(-l)"an+l+a?,從而將￡(-1)’4展開后可借助該式裂項相消.

1=1

11.BCD

【分析】A、B選項結(jié)合線面角最小，二面角最大可判斷;對于C,先由旋轉(zhuǎn)，易判斷出

MNLAO,故其軌跡為圓弧，即可求解.對于D求直線與平面所成角的余弦值，即求

答案第6頁，共17頁

名與=瞿，=,用e表示AO,OH,再結(jié)合三角恒等變換求出函數(shù)的最

AOAO132J

值即可

【詳解】

依題意，將AAW沿直線/翻折至肱V,連接A4',由翻折的性質(zhì)可知，關(guān)于所沿軸對稱

的兩點連線被該軸垂直平分，

故A4'_LMN,又A在平面3cMV內(nèi)的射影”在線段3c上，

所以A7/_L平面BCMN,MNu平面3CMN,所以A'"_LMN,

A4'cA〃=A,A4'u平面A'AH,AH平面A'AH

所以MV_L平面AAH.

40u平面HAH,A’Ou平面AAH,A'〃u平面AAH,

AOVMN,A!O^MN,AHVMN,

:.ZAOM=90,且NAO”即為二面角A'-MV-3的平面角

對于A選項，由題意可知，NAZ>H為AO與平面3CW所成的線面角，故由線面角最小可

知/A'DHV/A'DC,故A錯誤；

對于B選項，.N/VC燈即為二面角A'-MN-8的平面角，故由二面角最大可知

ZADH<ZAOH,故B正確；

對于C選項，MN±AO恒成立,故。的軌跡為以AM為直徑的圓弧夾在，ABC內(nèi)的部分，

易知其長度為=故C正確；

236

對于D選項，如下圖所示

答案第7頁，共17頁

7171

設(shè)/AMN=?e

在.AOM中，ZAOM=90,/.AO=AMsin=sin,

ATJAB>/3

,.,f冗AH=--------------=------7-------x-

在eAB//中，ZB=—,cosZBAH(%)，

2cos0n——

I3j

__6

Sin

所以O(shè)H=AH-AO=-7—V-^；設(shè)直線AO與平面3cM2V所成角為a,

cos0——

I3j

則“空

AO

>^^-1=8A/3-13

1+3

2

TTTTSyr

當且僅當2°-§=5=*法時取等號'故D正確.

故選：BCD.

12.-/0.5

2

【分析】作出球的截面圖，易得tan/EPO=g,結(jié)合正切的二倍角公式求出tanNAPB的值,

進而知長軸AB的長，再由球。與相切的切點F為橢圓的一個焦點，可得。的值，最后

由0=反，得解.

a

【詳解】如圖，是球。的一個截面，圓。分別與A8,PA相切于點尸，E,

因為|B4|=6,球的半徑為2,所以|PE|=4,tan/EPO=?!=：=g,

2tanNEPO4AB

所以tanZAPB=

1-tan2ZEPO3~~PA

所以|A同=|PA“an/APB=6xg=8,

因為AB是橢圓的長軸長，所以2。=8,所以a=4,

根據(jù)球。與AB相切的切點F為橢圓的一個焦點,

所以1AF|=2=o—c,所以c=q_2=4—2=2,

91

所以離心率e=￡c=J='

a42

答案第8頁，共17頁

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=lnx-x4,利用導(dǎo)數(shù)判斷了⑺的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值域，求得a,b,

再求a+%即可.

【詳解】ln￡>+-^-<lna-a4+ln(2\/e),lna-a4+ln^--^-+ln^2y/e^>0；

令〃x)=lnx-x4,貝！jf,(x)=--4x3=>?,

XX

故當xe0,曰］/(x)>0,y=單調(diào)遞增；

、

當兀￡,+oo，/(x)<0,y=/(九)單調(diào)遞減;

7

、4

V|_=—；ln2—；,故/(%)<—gln2—；,BP/(x)+^ln2+^-<0

~2__

故/(〃)+；1112+；+/［：］+；1112+；=/(〃)+/［：］+1110丘)40,當且僅當〃==時,

24\，4\bJb2

取得等號；

由題可知，“4)+/(1+ln(2血)20,故“〃)+/(j+ln倒也)二°,

則/(〃)=/1,］=_Jln2_；,故a=(=即〃=后，故〃+b=_|行.

故答案為：

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)/(%)=ln%-/，利用導(dǎo)數(shù)求得其值域,

從而求得。涉.

-2-

14.--,e

_4-e_

【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性并求得最值以及g(，〃)，再解不等式即可.

答案第9頁，共17頁

【詳解】/(為=’-+2無-2,/⑶=-(x-2)(mx+2)

e

又加e[l,e],故當xe[l,2],/(x)>0,y=/(x)單調(diào)遞增;

則小).=八2)=等，小)3=〃1)=?g(機)=若-：

/、、44m+2加、4皿口、25-i2

g(m)>—,n即n---------->—,解得根之:；一,又加￡[ril,e],故根w--

eeee4-e\_4-e

~9-

故答案為：,e.

15.(I)證明見解析

(2)2百

【分析】(I)利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理證明Q4_L3C；

(2)以。為原點，建立空間直角坐標系，設(shè)E點坐標，計算平面3CE與平面BCD的法向

量，根據(jù)平面BCE與平面38夾角正切值求得參數(shù)，得幾何體的高，計算體積.

【詳解】(I)證明：因為/W=AZ),。為BO中點，所以Q4_L3D,

因為平面ABDJL平面BCD,平面ABDc平面3CD=3D,OAu平面ABD,

所以。4_L平面BCD,又因為8Cu平面BCD,所以。4_L3C,

(2)因為QCD是邊長為2的等邊三角形，

所以△BCD是以C為直角頂點的直角三角形，

過。作OP，。。，交BC于F,

結(jié)合題設(shè)，以。為原點，OA,OD,O尸為坐標軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

則3(0,—2,0),C(Al,0),因為AE=2ED，可設(shè)(0,》]。>0),

所以8c=(迅,3,0),=設(shè)面BCE法向量為4=(x,y,z),

答案第10頁，共17頁

也x+3y=0

-也,得4=161,一不

則\10，令》=

—y+Zz=0

3

易知平面BCD法向量為叼=(0,0,1),平面3CE與平面BCD夾角正切值為所以余弦值為

5A/34

34

故,解得f=l,

所以。4=3,故%_BCD=gxgx2x2有x3=2右.

16.(1)證明見解析

⑵"26-3

【分析】(1)由三角形面積公式化簡條件，結(jié)合余弦定理及正弦定理進一步化簡即可證明；

(2)由正弦定理結(jié)合題中條件得到。=型乎，結(jié)合三角形面積公式S=3xacsin8化為關(guān)

sm2B2

于tanB的表達式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值即可.

【詳解】⑴因為.「2s2x；"sinC加也。，

c2-b2c2-b2c2-b1

又sinCwO,所以粵萬=1,

c-b

則b2=c2—ab

又由余弦定理知，〃=/+02—2QCCOSB,

故可得2ccos5=〃+A,

由正弦定理，2sinCeosB=sinA+sinB,

又sinA=sin(5+C)=sinBcosC+cosBsinC,

代入上式可得sinCcosB=sinBcosC+sinB,

即sinCeosB-sinBcosC=sinB,

sin(C-5)=sinB,

則有。-5=民。=2區(qū)，

故..ABC是倍角三角形.

答案第11頁，共17頁

(2)因為。=25,所以4=兀一5—C=TI—33>0,

故0<3<],JJJl]tan5￡(0,G),又c=9,

yac9sinA9sin(兀一三9sin35

乂----=-----,貝mJiI。=------=--------

sinAsinCsinCsin2Bsin2B

貝IS=—xacsinB=—asmB

99sin35紅皿又

=—xxsmB=

2sin234cos3

——81--s--in---2-B---c-o--s-B---+--c--o-s--2--B--s-i-n--B--

4cos3

81

——x(sinIB+cos2BtanB)

4

81f2tanB1-tan2B

41^1+tan2B1+tan2BJ

3

—_8_1x_3_t_a_n_B__-_t_a_n__B_

41+tan2B

設(shè)彳=1m2€倒,右)，=,

令r(x)=0得-3或者/=-2君-3（舍）,

且當0<尤2<2—一3時，f（x）>0,

當26一3</<3時，f'（x）<0,

則"》）在（0,石瓦可上單調(diào)遞增，

在（石瓦3,6）上單調(diào)遞減，

故當x=也百-3時,/（X）取最大值,

此時S也取最大值，

故tan3=也若-3為所求.

17.(1)y2=4x；(2)[36,220]

答案第12頁，共17頁

【解析】（1）先根據(jù)題意得到A點的坐標，代入拋物線方程求出。點的坐標，即可求出拋物

線的標準方程；

（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達定理得到％+%=4，=-8，根據(jù)弦長公式得

至目，再利用點到直線的距離公式求出M到直線/的距離，得出LDEM的面積，代入鼻,

利用r的取值范圍，即可求出￡的取值范圍.

r+2

Q

【詳解】解：（1）Q4B是邊長為［的等邊三角形，點A在拋物線。上，點B在1軸的正

半軸上,

3,±嗎,

33

\7

168

即nnCP，

33

解得：P=2,

拋物線方程為丁=4尤.

（2）將直線/的方程為x=沙+2與拋物線C的方程V=4x聯(lián)立,

消去x,得>2-43-8=0,

設(shè)。(%,%),

則%+%=4,%%=-8,

:.\DE\=yjl+t2.|%-|=J1+產(chǎn)-J16?+32=4,1+產(chǎn)-〃+2,

點M(0,l),

點M到直線/：x-ty-2=0的距離為d=Ll==-y=-,

Vl+ry/l+t2

+2

??一DEM的面積s=d=^/?瓦?kl

Vl+r

工=4

(產(chǎn)+2)(f+2)=4(/+2/+2f+4),

/+2

設(shè)/?)=/+2f+2.+4,則/'?)=3『+4f+2>0,

答案第13頁，共17頁

.?"⑺在[1,3]上單調(diào)遞增,

即/⑺e[9,55],

,2

6[36,220].

故條的取值范圍為[36,220].

【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題解題的關(guān)鍵是利用弦長公式以及點到直線的距離公式求出△。近0

的面積，寫出工的表達式.

t+2

18.(1)極小值為-e2,無極大值；(2)證明見解析.

【分析】(1)直接求導(dǎo)分析即可；

(2)零點不可求，隱零點代換表示2,然后求出2的范圍，再利用/(x)=x/-3"的單調(diào)

性即可獲解.

【詳解】(1)因為函數(shù)〃x)=xe*-3e，，定義域為R,

所以尸(X)=e，+xeA-3eY=(x-2)e\

由(x-2戶>0,得x>2；由(x-2)]<0,得x<2.

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8),

所以的極小值為"2)=2e2-3e2=Y,無極大值.

(2)g(x)=/,(x)-x+lnx=(x-2)eA-x+lnx,

所以g[x)=(x_l)e\l+g=(x_l)]e=J.

11

令〃(x)=e',則〃(x)=e*+F>0,

XX

當;<X<1時，X—1<0,所以Mx)在1,1上單調(diào)遞增.

因為〃出=/_2<0,/z(l)=e-l>0,

所以存在使得可毛)=0,即即ln%=f.

故當xe：,毛)時，/z(x)<0,此時g[x)>0；

當了€[,1]時，〃(無)>0,止匕時g'(x)W0.

答案第14頁，共17頁

即g(x)在上單調(diào)遞增，在(％,1]上單調(diào)遞減，

12

則a=g(x)max=g(Xo)=(%o_2)e"°-Ko+]nXo=(/_2)-----^o-xo=1--------2%.

X0工0

令G(x)=l-2-2%,貝!1G'(尤)=§_2=2(1:元)>0,

xv7x2x2

所以G(x)在上單調(diào)遞增.則當xe(g,lj時，G(X)>G[J=-4,G(x)<G(l)=-3,

所以T<4<-3.

由(1)知/■(x)=xex-3e*在(Y,—3)上單調(diào)遞減，

因為/(Y)=毋--3L=-2,/(-3)=_3屋_3e-=-6廠,

所以-6e-3<〃X)<_7eY.

【點睛】對于導(dǎo)函數(shù)零點不可求，可以先設(shè)出零點，然后由這個零點表示出函數(shù)的最值，再

根據(jù)零點的范圍得出最值的范圍.

19.(1)分布列見解析，3.2

(2)詳見解析.

【分析】(1)根據(jù)離散型隨機變量的概率公式計算得分布列及期望;

(2)設(shè)收到兩個部門邀請的代表的集合為AU8,人數(shù)Card(AB)=k,

Card(AB)=m+n-k,設(shè)參加會議的群眾代表的人數(shù)為匕則由離散型隨機變量的概率公

「k-nt「k-n

式可得p(y〃)=,

joo

^P(Y=k)>P(Y=k+l),P(Y=k)>P(Y=k-l),

由組合數(shù)公式計算得一——』-------<k<―——1-----------+1,

102102

分類討論則竺土止絲二1是