四川省樂山市2023屆高三三模理科數(shù)學(xué)試題（解析版）

樂山市高中2023屆第三次調(diào)查研究考試

數(shù)學(xué)(理工類)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

「…人4=卜*_工-6?0]B=[x\-A<x<a\Q皿…珀…

1.已知集合[I>,I且L,則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是()

A.(-4,-2]B.(-3,-2]

C.[-3,3]D.[-2,3]

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合A,利用并集的定義可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】因?yàn)锳={x,—x—6K0}={H—2Kx<3},B=[x\-A：<x<a],且

AoJB=|x|-4<%<31,

-4-2a3x

所以，—2<a<3.

故選：D.

2.已知向量q,滿足a.b=-2，|6|=1，則()

A.-4B.-2C.0D.4

【答案】A

【解析】

【分析】由數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算.

【詳解】由已知，(a—26)/=。?。一2片=—2—2xF=—4.

故選：A.

3.工業(yè)生產(chǎn)者出廠價(jià)格指數(shù)(PPI)反映工業(yè)企業(yè)產(chǎn)品第一次出售時(shí)的出廠價(jià)格的變化趨勢(shì)和變動(dòng)幅度，

對(duì)企業(yè)的生產(chǎn)發(fā)展和國家宏觀調(diào)控有著重要的影響.下圖是我國2022年各月PPI漲跌幅折線圖.(注：下

圖中，月度同比是將上年同月作為基期相比較的增長率；月度環(huán)比是將上月作為基期相比較的增長率)

下列說法中，最貼切的一項(xiàng)為()

A.2021年P(guān)PI逐月減小

B.2022年P(guān)PI逐月減小

C.2022年各月PPI同比漲跌幅的方差小于環(huán)比漲跌幅的方差

D.2022年上半年各月PPI同比漲跌幅的方差小于下半年各月PPI同比漲跌幅的方差

【答案】D

【解析】

【分析】由折線圖數(shù)據(jù)，結(jié)合同比與環(huán)比概念、方差大小與數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的關(guān)系進(jìn)行辨析即可.

【詳解】對(duì)于A,由2022年10月，PPI同比為負(fù)可知，2021年10月PPI大于2022年10月PPL

由2022年10月，PPI環(huán)比為正可知,2022年10月PPI大于2022年9月PPI,

由2022年9月，PPI同比為正可知,2022年9月PPI大于2021年9月PPL

故2021年10月PPI大于2021年9月PPLPPI逐月減小說法不正確，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,2022年2月、3月等月份，PPI環(huán)比均為正，相對(duì)于上月有增長，PPI逐月減小說法不正確，故選

項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,2022年P(guān)PI同比漲跌幅的數(shù)據(jù)波動(dòng)幅度明顯比環(huán)比漲跌幅的數(shù)據(jù)波動(dòng)幅度要大，

因此2022年各月PPI同比漲跌幅的方差大于環(huán)比漲跌幅的方差，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,2022年上半年各月PPI同比漲跌幅的數(shù)據(jù)波動(dòng)幅度明顯比下半年各月PPI同比漲跌幅的數(shù)據(jù)波動(dòng)

幅度要小，

因此2022年上半年各月PPI同比漲跌幅的方差小于下半年各月PPI同比漲跌幅的方差，故選項(xiàng)D正確.

故選：D.

4.執(zhí)行下圖所示的程序框圖,若輸入N的值為8,則輸出S的值為（）

-Ji

A.-72B.C.0D.—

2

【答案】c

【解析】

【分析】模擬程序運(yùn)行，確定程序功能可得結(jié)論.

JT2兀.3兀.4兀.5兀.6兀.7兀.8兀

【詳解】模擬程序運(yùn)行可得：S=sin—+sin---l-sin---1-sin---l-sin---1-sin---1-sin---1-sin——

44444444

=走+1+走+0.變一變+0=0,

2222

故選：C.

5.將4名成都大運(yùn)會(huì)志愿者分配到三個(gè)場(chǎng)館,每名志愿者只分配到1個(gè)場(chǎng)館，每個(gè)場(chǎng)館至少分配1名志愿

者，則不同的分配方案共有（）

A.6種B.24種C.36種D.48種

【答案】C

【解析】

【分析】選2人去一個(gè)場(chǎng)館，其余2人各去一個(gè)場(chǎng)館，即可得.

【詳解】由題意有且只有2名志愿者去一個(gè)場(chǎng)館，因此不同的分配方案數(shù)為CjA；=36,

故選：C.

4

6.函數(shù)/(/=?x?的圖象大致為()

J')e1+x+e1-x

【答案】A

【解析】

【分析】由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進(jìn)行辨析即可.

【詳解】由己知，f(x}=-....l定義域?yàn)镽，VxeR,都有-xeR,

、e+e

-x)4

+e「(r)一/f皿

???函數(shù)/(%)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除選項(xiàng)B和選項(xiàng)C.

1+x31+A

8+X+ei-xI(e_ei)X[4仁+)-x(e-e^)]

(e1+x+e'-A)2(e^+e1-")2

令g(x)=4(e""+)一-e」*),

則g'(九)=4(e1+x-e^)—(e"x—ej)—x(e1+t+廣")=(3-x)e1+x-(3+x)e1^,

當(dāng)x>3時(shí),g'(%)<0,g(x)在區(qū)間(3,xo)上單調(diào)遞減,

又g⑸=4.+廠)—5.—廠)=—e6+<0,

...當(dāng)1>5時(shí)，g(x)<0,...當(dāng)x>5時(shí)，f'(x)<0,

"%)在區(qū)間(5,+8)單調(diào)遞減，故排除選項(xiàng)D.

故選：A.

7.將函數(shù)〉=5詁[2%+=]的圖象向左平移2個(gè)單位長度，所得圖象的函數(shù)()

I3；12

兀3n3兀

A.在區(qū)間上單調(diào)遞減B.在區(qū)間71,—上單調(diào)遞減

122」L2J

3兀5兀

C.在區(qū)間［兀,2可上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上單調(diào)遞增

【答案】B

【解析】

【分析】結(jié)合函數(shù)的周期性可直接判斷AC,求出平移后相應(yīng)函數(shù)的解析式并化簡(jiǎn)，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)判斷

BD.

【詳解】函數(shù)的最小正周期是7=?=兀，選項(xiàng)AC中區(qū)間長度是一個(gè)周期，因此不可能單調(diào)，圖象左右

2

平移后也不可能單調(diào)，AC錯(cuò)；

函數(shù)y=sin"x+1］圖象向左平移專個(gè)單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式為

y=sin［2(x+《)+三1=sin(2x+］)=cos2元,

371

選項(xiàng)B,xe［兀,一］時(shí)，2xe［2兀,3兀］,在此區(qū)間上y=cos2x是減函數(shù)，B正確；

2

353s

選項(xiàng)D,xe—時(shí)，2xe［—在此區(qū)間上y=cos2x不是單調(diào)函數(shù)，D錯(cuò)誤.

_44J22

故選：B.

8.記S),為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，己知。1=-9,出+%=T。，則S”的最小值為()

A.-25B.-35C.-45D.-55

【答案】A

【解析】

【分析】由己知求得公差d,得等差數(shù)列前九項(xiàng)和S“，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)得最小值.

【詳解】設(shè)公差為d,

則4+%=(-9)+d+(-9)+3d——10,d=2,

22

Sn=nx(-9)+x2=n-10n=(zi-5)-25,

所以〃=5時(shí)，S“取得最小值—25.

故選：A.

9.已知拋物線C：V=8%的焦點(diǎn)為R準(zhǔn)線為/,過點(diǎn)尸的直線交。于P,。兩點(diǎn)，PH上I于H,若

|HF|=|PF|,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則Z\PFH與_OFQ的面積之比為（

A.6B.8C.12D.16

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定的條件，求出直線PQ的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出P凡的長即可求解作答.

【詳解】依題意，由于"，得|尸⑶=|尸司=|〃耳，即APEH是正三角形，

ZPFx^ZFPH=60，

而尸（2,0）,則直線尸。的方程為y=^（x-2）,

由,,一君（x—2）,消去y并整理，得3%2_20%+12=0,

y=8x

2

令尸（七,弘）,。（九2，%），解得玉=6,%=§，又準(zhǔn)線/：%=—2,

Q

因此|「歹|=%+2=8,|。/|=%+2=§,

1,

S-\PF\-sin60g2

所以公PFH與/OFQ的面積之比p絲=丁2----------------------=--=12.

S.OFQjl2^MOF|sin601x2

故選：C.

10.在直三棱柱ABC-4與。1中，AB=AC=6，3C=A&=2,點(diǎn)p滿足

CP=mCB+^-m^CCy,其中加e0,1,則直線AP與平面BCC1用所成角的最大值為（）

717171571

A.-B.-C.-D.—

64312

【答案】B

【解析】

【分析】分別取3C,用G中點(diǎn)2。，分別DA,DB,DD［為x,%z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

D-xyz,由空間向量法求線面角的正弦值，然后結(jié)合函數(shù)知識(shí)得最大值。

【詳解】分別取中點(diǎn)2R,則DD{HBBX,即DDX，平面ABC,

連接AD,因?yàn)锳5=AC,所以1BC,

分別DA,DB,DR為羽yz軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

由已知AD=后，A(0,O,O),8(0』,0),C(0,-l,0),q(0,-1,2),

則CB=(0,2,0),Cq=(0,0,2),

因?yàn)镃P=mCB+-=(0,2m,3-2m),

AC=(-V2,-1,0),

AP=AC+CP=(-42,2m-1,3-2m),

易知平面BCC&i的一個(gè)法向量是〃=(1,0,0),

7T

設(shè)直線AP與平面5CG與所成角為。，則。

sin6=cos(n,AP)=.2^f.=叵一應(yīng)

'/MAP,2+(2根—I)?+(3—2機(jī)1,8(m—I)?+4

所以根=1時(shí)，(Sin6?)max，即。的最大值是巴.

、/max24

11.已知函數(shù)y=e*-ax有兩個(gè)零點(diǎn)均、巧，函數(shù)y=lnx—1x有兩個(gè)零點(diǎn)巧、x3,給出下列4個(gè)

--a

結(jié)論：①占=111%2；②％=e*；③%=13；@^-x3=xf.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.①②B.②③C.①②③D.①②④

【答案】D

【解析】

【分析】在同一坐標(biāo)系作出y=e，與y=ln%的圖象，利用反函數(shù)的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】在同一坐標(biāo)系作出y=F與y=ln%的圖象，

貝U曲線y=e'在(帆,em)處的切線方程為y-em=em(x-m),

將原點(diǎn)代入切線解得m=l,故y=/在(1,e)處的切線方程為V=",

y=e"—ax有兩個(gè)零點(diǎn)，則a〉e,

由于y=e，與y=ln%,丁=儂與y=1x互為反函數(shù)，

a

故y=lnx—L%有兩個(gè)零點(diǎn)，則a>e,

a

設(shè)函數(shù)y=?與y=e'圖象交點(diǎn)坐標(biāo)分別為4石,)、B(x2,e^);

_y=1大與y=ln%圖象交點(diǎn)坐標(biāo)分別為C(%2,hq)、D(x3,lax3).

其中點(diǎn)A、c關(guān)于直線y=x對(duì)稱，B、。關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

則石=ln%2，%3=e"2,且$?％3=]n%2，e巧二工馬.但二%;，

a

對(duì)于③，構(gòu)造函數(shù)/(%)=e“一%—1,其中%>0,則廣(x)=e"一1>0,

所以，函數(shù)八％)在(0,+8)上單調(diào)遞增,則"%)=e-0,

故當(dāng)x>0時(shí)，e">x+l，

構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx-x+l,其中x>0,則g[x)=——l=----,

當(dāng)0cx<1時(shí)，g'(x)>0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x〉l時(shí)，g'(%)<0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

故當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=lnx-x+l<g(l)=0,即x—iNlnx(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立)，

若西二記，則X]=e%>x3+1,又因?yàn)椋?e*〉%+1，可得演>々，

所以，/七>(毛+1)%=為；+七>%；，與④矛盾，③錯(cuò).

故選：D.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)：①反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的值域與定義

域；

②嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)存在反函數(shù)，但有反函數(shù)的函數(shù)不一定是單調(diào)的(比如反比例函數(shù))；

③互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)關(guān)于y=%對(duì)稱，

④奇函數(shù)不一定有反函數(shù)，若有反函數(shù)，則反函數(shù)也時(shí)奇函數(shù)；

⑤如果一個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于y=%對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)一定存在反函數(shù)，并且其反函數(shù)就是它本身.

22

12.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳，K是雙曲線H：二-谷=1(。>0*>0)的左、右焦點(diǎn).過耳作圓。：

ab

4

/+/=62的一條切線片7，切點(diǎn)為T，線段片T交H于點(diǎn)M,若sinN用明=《，△OMT的面積為

1，則X的方程為()

2222

A,土-匕=1B.工-匕=1

2422

222

C.%2_匕=1D,土-工=1

1644

【答案】D

【解析】

【分析】由雙曲線定義，△OMT的面積，直角△。吟中的銳角三角函數(shù)和△耳〃工中的正弦定理、余弦

定理建立。，b,。之間的關(guān)系方程，再求解即可.

又耳T,.?.在直角△OT￡中,閨T|=J|OE『—|O7f=&2—b2=a，

\OTb

且sinN7T；O="i^——--

.\OFX

^\OT\-\MT\_\MT\-b_

在△OMT中,OTLMT,△QWT的面積5次除------------------------1?

22

???IM=|

b

在△耳加工中,sinNMFF2=sin/TFQ=-,

c

\MF\

由正弦定理,2

sinZFxMF2sinZMF^

02

7=5b

42

5

5〃

由雙曲線定義，|町|=|北里|—2a=5—2a,

99

又耳T|=a,|MT|=g,.?.眼￡卜

.5/72Hs_5b2

??-----2。=a----，Bpici-----1—.

2b2b

43

?.?NET。為直角，.?.易知為鈍角，.?.由sinN耳鳴=g知，cosZF.MF^--

在△耳加工中，由余弦定理，閨月「=|四川2+|麗可2_2眼耳,必訃?os/及陷,

22

5bI5b-2xfy-2ajx3

-----la+生x

2

2整理得"-"=/?

：.4a2+4/---lQab+4a+^^+---6ab,9-a)=0,

442

??b=a.

5b2

又3a-1—,將Z?=a代入，解得a=b=2.

2b

22

雙曲線7/的方程為：—-^=1.

44

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵，是建立起。，b,c之間的關(guān)系，通過方程組進(jìn)行求解.作為選擇題，可以適當(dāng)

5b2

運(yùn)用解題技巧：當(dāng)?shù)玫?。，〃之間的第一個(gè)關(guān)系3a=—+—時(shí)，可以通過將選項(xiàng)中的。，〃依次代入檢

2b

驗(yàn)，快速選出正確選項(xiàng).

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

7+i

13.-------

3+4i

【答案】1—i

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算直接計(jì)算作答.

…叔、7+i_(7+i)(3-4i)_25-25i_

【I羊角?！俊?1

3+4i(3+4i)(3-4i)25

故答案為：1—i

2x-3y+6>0,

14.已知無，y滿足約束條件|2x+y+220,則3尤的最小值為.

x<1,

【答案】~

2

【解析】

【分析】作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解.

【詳解】作出可行域，如圖，內(nèi)部(含邊界)，

作直線/:3x-y=0,

在直線z=3x-y即y=3x-z中，-z為直線的縱截距，因此直線向上平移時(shí)，z減小,

3

2x-3y+6=0x——3

由<"得＜2,即A(——,1),

[2x+y+2=Q"12

311

平移直線/,當(dāng)它過點(diǎn)4--,1）時(shí)，z=3x—y取得最小值

22

故答案為：一；.

15.已知數(shù)列｛。“｝滿足aa+i=2?！?2,%=1,則?！?.

【答案】3x2"T-2

【解析】

【分析】湊配法得出數(shù)列｛6,+2｝是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)論.

【詳解】由。用=2%+2得a.+2=2（為+2）,又q+2=3,

a,,+2-

所以」±^_=2,即｛4+2｝是等比數(shù)列，

?！?2

所以a“+2=3x2"T,即4=3X2"T—2.

故答案為：3x2"T-2.

16.在三棱錐P—ABC中，PA=PC=BA=BC=2,平面？AC,平面ABC,則三棱錐P—ABC的外

接球表面積的最小值為.

【答案】16（V2-l）7i

【解析】

【分析】分別過和一ABC的外心作平面24c和平面ABC的垂線，則垂線交點(diǎn)為三棱錐外接球的

球心，再利用圖形中的幾何關(guān)系，將外接球半徑的平方尺2表示為函數(shù)關(guān)系，求其最值即可.

如圖，取AC中點(diǎn)￡),連接PD,BD,

由PA=PC=BA=BC=2,則POLAC,BDLAC,

由面B4c，面ABC,面PAC面ABC=AC，PDu面PAC,所以？D_L面ABC,

而5。匚面ABC,所以PDLND,

/、

JI

設(shè)ZAPD=e,0e0,-,則PD=2cose,AD=2sin0

I2)

易知VABCM/VLPC,BD=PD=2COS0,

取ZiAPC外接圓的圓心。一易知。?在直線P。上，設(shè)△APC外接圓半徑為廣,

1AC12AD12x2sin。1

由正弦定理,r=POX=—X---------------------=—X--------------=—X--------------------------

2sinZAPC2sin2022sin^cos6,cos。

同理，取△APC外接圓圓心。2，則。2在直線尸。上，BO,=----

cos6>

過0,02分別做平面PAC和平面ABC的垂線交于點(diǎn)。,

易證OQAsOOXP=OOXC,OO2A=OO2B=/\OO2C,

：.OP=OA=OB=OC,。為三棱錐P—ABC外接球的球心.

①當(dāng)P￡)=2cos92—-—=尸。時(shí)，—<cos20<1,cosdej"/，0Q,—

cos02[2JI4.

。一。2分別在線段P￡>，BD上,易知OO]=80—30,=2cos6———,

COS。

設(shè)三棱錐P—ABC外接球的半徑為R,貝!J,

7?2=OP2=OQ2+PO.2=f2cos6?———+f-^—=4cos26>+^-—4,

11cos6?Jlcos6>Jcos?。

由基本不等式，A?=4cos2g+一——422」4cos2。.一——4=4&—4,

cos2evcos2e

當(dāng)且僅當(dāng)4cos29=^^,即cos?。：也時(shí)，等號(hào)成立.

cos02

②當(dāng)P￡)=2cos8<--—=PQ］時(shí)，0<(?0$2。<工，COS^G0,—,0e(—,—

cos。2(2J<42

。1，R分別在線段PD，BD的延長線上，如下圖所示，

止匕時(shí)，7?2=OP2=OOf+PO；=|———2cos+||=4COS26>+^——4,

(cos。)^cos6?Jcos?。

,1

0<cos'A?>2,且無最小值.

2

綜上所述，A?的最小值為=4忘—4,

三棱錐尸—ABC的外接球表面積的最小值為Sg=4成髭=16(、歷-1)兀.

故答案為：16(0-1)兀.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決外接球問題方法的核心是找球心，找球心常用方法：

(1)定義法：到幾何體所有頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是外接球的球心；

(2)補(bǔ)形法：將幾何體補(bǔ)形為正方體或長方體，則體對(duì)角線的中點(diǎn)為外接球的球心；

(3)垂線法：小圓圓心的垂線過球心.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.某地區(qū)為深入貫徹二十大精神，全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，進(jìn)一步優(yōu)化農(nóng)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)備引進(jìn)一條農(nóng)產(chǎn)品加

工生產(chǎn)線.現(xiàn)對(duì)備選的甲、乙兩條生產(chǎn)線進(jìn)行考察，分別在甲、乙兩條生產(chǎn)線中各隨機(jī)抽取了200件產(chǎn)

品，并對(duì)每件產(chǎn)品進(jìn)行評(píng)分，得分均在［75,100］內(nèi)，制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中得分不低于

90產(chǎn)品為“優(yōu)質(zhì)品”.

頻率頻率

毓

0.10

96

C5

0.054

^3

0.032

.O

0.01.O

O7580859095100得分O7580859095100得分

甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線

(1)求在甲生產(chǎn)線所抽取200件產(chǎn)品的評(píng)分的均值(同一區(qū)間用區(qū)間中點(diǎn)值作代表);

(2)將頻率視作概率，用樣本估計(jì)總體.在甲、乙兩條生產(chǎn)線各隨機(jī)選取2件產(chǎn)品，記“優(yōu)質(zhì)品”件數(shù)

為求J的分布列和數(shù)學(xué)期望

【答案】(1)91.75分

(2)分布列見解析，-

2

【解析】

【分析】(1)用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積(頻率)的乘積之和估計(jì)均值即可；

(2)由相互獨(dú)立事件的概率求出自每個(gè)取值的概率，再求數(shù)學(xué)期望即可.

【小問1詳解】

甲生產(chǎn)線抽取200件產(chǎn)品中,評(píng)分在[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]的頻率分別為

0.05,0.05,0.15,0.50,0.25.

則評(píng)分均值為又=77.5x0.05+82.5x0.05+87.5x0.15+92.5x0.50+97.5x0.25=91.75?

甲生產(chǎn)線抽取200件產(chǎn)品的評(píng)分的均值為91.75分.

【小問2詳解】

由頻率分布直方圖知，甲生產(chǎn)線抽取到“優(yōu)質(zhì)品”的頻率為0.50+0.25=0.75,

乙生產(chǎn)線抽取到“優(yōu)質(zhì)品”的頻率為0.06x5+0.(Mx5=0.5,

將頻率視作概率，用樣本估計(jì)總體.甲、乙生產(chǎn)線抽取到“優(yōu)質(zhì)品”的概率分別為之，

42

在甲、乙兩條生產(chǎn)線各隨機(jī)選取2件產(chǎn)品，記“優(yōu)質(zhì)品”件數(shù)為則J=01,2,3,4.

則尸(4=0)=《

13

P(^=l)=C'x-x-xC°[口+9

PC=2)=Cxg]xC；

P(^3)=C'x|xjxC^gJ+CtxgJxC'xQj=|^

d)=C；

則自的分布列為

01234

111139

P

64832864

故自的數(shù)學(xué)期望為EX=0XL+1X」+2XU+3X3+4X2=&=9.

64832864642

18.在_ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知sinA:sinB:sinC=1:、/5:2，b=2.

(1)求c的值；

(2)求cosA的值；

(3)求sin12A的值.

【答案】(1)C=2y/2

⑵

8

⑶5療-9G

32

【解析】

【分析】(1)由正弦定理可得；

(2)由正弦定理化角為邊，然后由余弦定理求解；

(3)由二倍角公式求得sin2A、cos2A,然后由兩角差的正弦公式計(jì)算.

【小問1詳解】

在—ABC中，由正弦定理及〃=2,sinB:sinC=V2:2>

,bsinC八2八

可得1=2x丁=2/2.

sinB，2

【小問2詳解】

由sinA:sinB:sinC=1:、歷:2及正弦定理得a\b\c-\\、歷:2，

再由余弦定理有cosA==W2.

2bc8

【小問3詳解】

由（2）可得sinA=Jl-cos'I=，

cepi-^5叵5幣

期以sin2A=02smA4cosAA=2x-----x------=------,

8816

9

cos2A=2cos9A-l=—.

16

U5.兀）.c.兀c..兀5619g577-973

所以sin|2A----=sin2Acos-----cos2Asin—=------x--------x——=-------------.

I3J3316216232

19.如圖，正方形ABC。的邊長為4,B4_L平面43C。，CQ_L平面ABC。，PA=CQ=2,/為棱RD上

一點(diǎn).

（1）是否存在點(diǎn)M,使得直線A"http://平面BPQ?若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)M的位置并說明理由；若不存在，請(qǐng)

說明理由；

（2）當(dāng)ABAf的面積最小時(shí)，求二面角5—。以―。的余弦值.

【答案】（1）存在，M為尸。的中點(diǎn)時(shí)滿足條件

⑺2棟

\Z/----------

29

【解析】

【分析】（1）取M為的中點(diǎn)時(shí)滿足條件，設(shè)。為AC,3。的交點(diǎn)，得OM//BP,再證明

AC//PQ,然后可得線面平行，從而得面面平行，最后可得到線面平行AM//平面BPQ；

(2)確定尸。時(shí)，的面積最小，然后建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求二

面角.

【小問1詳解】

當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí)滿足條件.證明如下：

設(shè)。為AC,8。的交點(diǎn).

因?yàn)樗倪呅?BCD為正方形，所以。為8。的中點(diǎn)，

故在中，OM為△P8D的中位線，即。欣〃3P.

又因?yàn)锽4_L平面ABC。，CQ_L平面A8CZ),

所以AP〃CQ,即四點(diǎn)A,C,P,Q共面，

又因?yàn)镻A=CQ,所以四邊形AC。尸為平行四邊形，所以AC〃PQ.

而AC與OM相交，不在平面內(nèi)，ACQM在平面AMC內(nèi)，

所以PQ//平面AMC,BP//平面AMC,

又PQ與BP相交，且PQ,3P是平面3PQ內(nèi)的直線，所以平面〃平面BP0,

又因?yàn)锳Mu平面ACM,所以直線4"http://平面BPQ.

【小問2詳解】

因?yàn)閷O，平面ABC。，A3u平面ABCD，所以A4LAB.

因?yàn)樗倪呅蜛BC。為正方形，所以AB_LAD,故AB_L平面E4D

又因?yàn)锳Mu平面9八，所以ABLAM,即,ABN為直角三角形.

由于S"BM，故當(dāng)|A"|最小時(shí),ZAB”最小，此時(shí)AM_LPD.

因?yàn)锳D=4,PA=2,PA±AD，

所以AM=勺5，尸”=2逝，即

555

由124LA3,PA±AD,ABLAD,可以以AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立如圖所示坐標(biāo)

系.

z.

則A(0,0,0),B(4,0,0),D(0,4,0),C(4,4,0),P(0,0,2),

48

所以

所以。C=(4,0,0)=4(1,0,0),

DM-k-y,|U|(O,-2,l).

設(shè)平面DCM一個(gè)法向量是4=(%,乂/1)，

n,-DC=%=0

則〈，?。?1得平面0cM的一個(gè)法向量為％二(0,1,2).

?DM=-2%+4=0

又因?yàn)?C=(0,4,0),BM=

%=0

設(shè)平面BCM的法向量為巧=(x2,y2,z2)則＜

5x2-y2-2z2=0

?。?=2,得平面BCM的一個(gè)法向量為巧=(2,0,5).

_102J145

所以85〈々?%〉=

匐國—石x屈一29

注意到二面角B-CM-￡＞的平面角是鈍角,

所以二面角3—。/—。的余弦值為—2叵

29

22

20.已知橢圓C：=+二=1(。〉6〉0)的右焦點(diǎn)為廠(&,0),短軸長等于焦距.

ab

(1)求C的方程;

(2)過尸的直線交C于P,Q,交直線％=2&于點(diǎn)M記OP,OQ,ON的斜率分別為匕，k2,%,

若（《+&）左3=1，求『的值.

22

【答案】（1）土+2_=i

42

（2）6

【解析】

【分析】（1）求出仇c可得橢圓方程；

⑵設(shè)P（4M）,0（%，%），N（2y/2,n\,直線PQ的方程為x=（y+JL其中/=1,直線方程代

'7n

11112

入橢圓方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得%+%，%%，代入/+廠得廠+r=廣，利用已知得人42=1，用左，左2

K、"2R3

分別表示出P,Q的坐標(biāo)，計(jì)算IOP『+|。。『可得結(jié)論.

【小問1詳解】

由題意c=b=3，從而a=+。2=2,

22

于是C的方程為工+匕=1.

42

【小問2詳解】

設(shè)P（X，X），Q（/,%），N（2y/2,n）,直線尸。的方程為x=（y+JL其中/=也.

'7n

由<\一得（/+2）/+20口-2=0,

x+2y=4

44rAc—T,yflt-2

故△>0，%+%=w，％%=巨5

z'十/，十/

從而1I1二入11々二（“1+行）%+（"2+0）％

hk2%%X%

,0（y+M）.-4t,4\/2

=2/+2L_SZl__^=2，+——=4/=-^.

X%-2幾

因?yàn)椋?="ON=/T"，所以丁二.

2A/2K3n

一112

從而7-+［二1，

hk2左3

k}+k02

即F—=1，于是（《+&）左3=2左1左2,

左/2左3一一

由（左1+左2）左3=1得匕攵2=~?

設(shè)OP:y—k］X,OQ\y=k2x.

y=Kx4

由<不+2^_］得：（1+2將）f=4,即只=五至.

彳+5―1

同理可得看=丁會(huì),

故的+時(shí)w項(xiàng)占+5；)金=彳3+髭

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與橢圓相交中定值問題的處理方法，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)P(芝,％),Q(%,%),設(shè)直線

方程，由韋達(dá)定理得出石+%,(或M+%,%%)，把此結(jié)論代入已知條件后可得出參數(shù)間的關(guān)系結(jié)

論，利用新結(jié)論(有時(shí)是韋達(dá)定理的結(jié)論)代入待求定值的式子化簡(jiǎn)可得定值.

21.己知函數(shù)/(x)=(x—l)e*+奴+2.

(1)若f(x)在區(qū)間(0,1)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求。的取值范圍；

（2）若尤20,/（%）>sinx+cosx,求a的取值范圍.

【答案】(1)(-e,+s)

(2)

【解析】

【分析】(1)求出了‘(X),對(duì)。分類討論確定/'(%)>0是否在(0,1)上可能成立即可得；

(2)引入新函數(shù)力(x)=/(x)-sinx—cosx,由/z(O)=O,求出/z'(x)確定/z(x)的單調(diào)性，

對(duì)"(x)需要再引入新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)操作，以便確定單調(diào)性得出正負(fù)，由于含有三角函數(shù)，可對(duì)自變量》的

范圍分類討論，結(jié)合不等式性質(zhì)確定正負(fù).

小問1詳解】

由/(x)=(x-l)er+ax+2,得f'(x)=xex+a,

①若則(九)>0,此時(shí)/(尤)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，滿足條件；

②若a<0,令g(x)=xe'+a,可知x>0時(shí)，g(無)單調(diào)遞增，

由于/(x)在區(qū)間(0,1)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則g(x)>。即a>-xe，在(。,1)上有解，

由于一xe*在(0,1)上單調(diào)遞減，則-e<-xe*<0，此時(shí)-e<a<0.

綜上所述，若了(無)在區(qū)間(0,1)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則。取值范圍是(—e,+8).

【小問2詳解】

令h(x)=(%-l)ex+ax-sin%-cosx+2,原不等式即為h(x)>0,

可得力(0)=0,h\x)~xcx+a-cos%+sinx,〃'(0)=a-l,

令M(X)=h'(x)=xex+a-cosx+sinx,貝!I/(x)=(x+l)el+sin%+cosx,

又設(shè)《x)=(x+l)e*,貝卜'(x)=(x+2)e1則xNO,/(x)>0,可知f(x)單調(diào)遞增，

若xeO，］］，有(x+De*〉。，sinx+cosx>0,則〃'(x)>0；

若xe/'+00］'有(x+l)e*2+〉e,則M'(X)=(x+l)e"+sinx+cosx〉0,

所以，x>0,/(x)>0,則a(x)即/(％)單調(diào)遞增,

i)當(dāng)a—120即a21時(shí)，h\x)>hr(0)>0,則％(無)單調(diào)遞增,

所以，/i(x)2/1(0)=。恒成立，則符合題意.

ii)當(dāng)。一1<0即a<1時(shí)，〃'(。)<。，

7z'(2—ci)—(2—a)e°'"+a—cos(2—a)+sin(2-a)22—a+a—cos(2—a)+sin(2-a)>0,

存在尤oe(0,2-a),使得h\x0)=0,

當(dāng)0<x<x°時(shí)，〃'(x)<0,則％(x)單調(diào)遞減，所以無。)</?(0)=0,與題意不符，

綜上所述，a的取值范圍是［L+8).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，一般把不等式化為〃(無)》0,然后利用導(dǎo)數(shù)確定”。)

的單調(diào)性，由函數(shù)〃。)的最小值大于或等于0,得出結(jié)論.難點(diǎn)在于需要對(duì)/z(x)(或其中部分函數(shù))再

一次求導(dǎo)(也可能幾次求導(dǎo))，結(jié)合不等式的性質(zhì)、分類討論思想得出結(jié)論.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第

一題記分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

x=-l+V