2024屆百師聯(lián)盟高三年級上冊開學摸底聯(lián)考新高考數(shù)學試卷及答案解析

2024屆高三開學摸底聯(lián)考

數(shù)學試題

注意事項：

L答卷前、考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上。

2、回答選擇題時,選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

椽皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。

考試時間為120分鐘，滿分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1、已知集合4=(1,2,3,4},8=卜,則ACB=

A.{1}C.(2,3,4}D.{1,2,3,4)

2已知cosa

D--4

2sinT

土函數(shù)/①）=再:/71為自然對數(shù)的底數(shù)）在［—2,2：］的大致圖象是

rr2y2

4,已知橢圓礪7+匕=1的焦點在,軸上，若焦距為4,則該橢圓的離心率為

A^5R2展c

B?亍4

5.已知數(shù)列儲“｝和仿?均為等差數(shù)列，數(shù)列｛a,,｝的前九項和為S.，若?為定值,Ss=45,外=6,

67=14,則“5=

A.15B.56C.72D.104

開學摸底聯(lián)考數(shù)學試題第1頁（共4頁）

6“三分損益法”是古代中國發(fā)明的制定音律時所用的生律法.例如：假設能發(fā)出第一個基準音

的樂器的長度為36,那么能發(fā)出第二個基準音的樂器的長度為36X0—2)=24,能發(fā)出第

三個基準音的樂器的長度為24x(1+：)=32,……，也就是依次先減少三分之一，后增加三

分之一，以此類推.現(xiàn)有一興趣小組采用此規(guī)律構造了一個共12項的數(shù)列｛-｝用來研究數(shù)據

的變化，已知&8=192,則a5=

A.324B.297C.256D.168

.某令飲店有“桃喜芒芒”“草莓瞰口波”“蜜桃四季春”“芋圓葡萄”四種飲品可供選擇，現(xiàn)有四位同

學到店每人購買一杯飲品，則恰有兩種飲品沒人購買的概率為

21「9「15「15

AA-64B.而C.而D.-

a知函數(shù)f(工)=23+3￡2+H+1,設數(shù)列｛。，｝的通項公式為a“=-2〃+9,則/(ai)+

------F/(a9)=

A.36B.24C.20D.18

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知實數(shù)小，〃滿足0Va<],l<〃V2,則下列關系中正確的是

A.mn〈曖B.sin/n<sin—C.m儲>1D.logn<llog7n

nOTn

10;已知隨機變量自服從兩點分布，且P(5=1)=四(，=1,2),若。<外<力<1,則下列判斷

不正確的是

A.E(&)(D(￡)B.E(&)VE(&)C.E(￡)VD(￡)D.D(￡)VD(1)

]Ji

Ik若關于x的方程/+z+a=0(aeR)有兩個不等復數(shù)根耳和如，其中小=一方+gi

(i是虛數(shù)單位)，則下面四個選項正確的有

A.m=1B.xi>x2C.X?—1=x2

(x3—3z，1<0，

12.已知函數(shù)/(])=若關于z的方程/小)一(2。+1)/~(工)+r2+。=0有6

12H—2，工>0,

個不同的實根，則實數(shù)a可能的取值有

A.—yD.2

開學摸底聯(lián)考數(shù)學試題第2頁(共4頁)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知t為實數(shù),a=(2,，)，b=(3,0),則向量a在向量B方向上的投影向量為.

14.已知］;+/J的展開式中的常數(shù)項為(用數(shù)字作答)

15.已知雙曲線E的一個焦點為F,點F到雙曲線E的一條漸近線y=咚尤的距離為1,則雙曲

O

線E的標準方程是.

16.已知在三棱錐P—ABC中，「4+30=4,4口_14<3,「4_1_平面48。，則三棱錐「一八3?的

外接球表面積的最小值為一__-

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)某廠家為增加銷售量特舉行有獎銷售活動，即每位顧客購買該廠生產的產品后均有

一次抽獎機會.在一個不透明的盒子中放有四個大小、質地完全相同的小球分別標有1,2,3,

5四個數(shù)字，抽獎規(guī)則為：每位顧客從盒中一次性抽取兩個小球,記下小球上的數(shù)字后放回,

記兩個小球上的數(shù)字分別為￡上若怯一M為奇數(shù)即為中獎.

(1)求某顧客甲獲獎的概率；

(2)求隨機變量X=怔一"的分布列與數(shù)學期望E(X).

(

18.(12分)已知數(shù)列｛a“｝滿足a1=0,且有2盧=a,+w.

(D證明：數(shù)列｛a.+2〃｝是等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列的前幾項和S,.

19.(12分)如圖，ZVIBC的內角A、B、C的對邊分別為a、6、c,ZiABC外一點D(D^AABC

在同一平面內)滿足NBAC=ZDAC,AB=CD=2,sinZACB+cosZACB=唇乜.

⑴求8；

(2)若448。的面積為2,求線段AD的長.

D

A

B

20.(12分)如圖，在四棱錐p-ABCD中，底面四邊形ABCD為矩形，平面PABJ_平面

ABCD,PA，PB,AB=V^,PB=BC=2,點Q為PC的中點.

(1)求證：平面ABQ_L平面PAC；

(2)求二面角A-PC—D的余弦值.

21.(12分)已知函數(shù)fQx)—X2—7nzin]+且m^O.

(1)當a=1時,求曲線、=/殳)在點處的切線方程；

2

(2)若關于z的不等式恒成立，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)m的取值

范圍.

22.(12分)已知點F為拋物線C：/=2拉(力＞0)的焦點，點P(2,l),Q(0,l),且|PFI=|QF|.

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)若斜率存在的直線I過點P且交拋物線C于M,N兩點，若直線MF,NF交拋物線于

A,B兩點(M、N與A、B不重合)，求證:直線AB過定點.

開學摸底寐考數(shù)學試題第4頁(共4頁)

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數(shù)學參考答案及評分意見

1.C【解析】因為B={z|z<0或7>2},又4={1,2,3,4},由交集的運算可知*08=（2,3,4}.故選C.

2.B【解析】由題［cosa+當sina=cosfa—■.故選B.

ZZI3J5

3.B【解析】由題知/■（z）的定義域為R"（—z）=2（一］）黑1-=〃2）,即/（H）為偶函數(shù)，所以圖象關于y

e十e

軸對稱，排除A、c.又f（l）=勺?rin暨1<l,/（2）=粵4rin二2>0,故選B.

e十ee-be-

22何

4.B【解析】由題得f-4>10-t>0即7<%<10,由焦距為4得，一4一（10-）=4,解得，=9,離心率為廠=』.

V55

故選B.

5.A【解析】由Ss=5。3=45得=9,因為/■為定值,所以/=廿=4=日，即a?=21,所以“5=—―^=15.故

乙

0nb7b3bL

選A.

6.A【解析】—+—即——^")=192,解得：as=324.故選A.

7.A【解析】解決該問題，可以將四位同學先分為2,2或3.1兩堆，共有冬+a種分堆方法，再從4種飲品中選出

2種，分配給兩堆人，故共有［N+C：JXA：=84種方法,所以恰有兩種飲品沒人購買的概率為P=7=0?故

選A.

8.D【解析】/（久）=J:3+3JC2+l=（z+1*一2（①+1）+2,所以曲線/（￡）的對稱中心為（一1,2）,即/（jr）+

f（—2—1）=4,因為a“=-2〃+9,易知數(shù)列{々”}為等差數(shù)列，。5=—1,即+。9=〃2+。8=。3+々7=。4+。6=

2a5=—2,所以/（〃|）+/（49）=/（。2）+/（。8）=/（。3）+/（〃7）=/（々4）+/（。6）=4,所以/（即）+/（々2）+…

+/（O9）=4X4+2=18.故選D.

9.AB【解析】由題易知，療<1,”>1,所以機”V”，A正確；0<根<!<!<1<=,所以sin機<sin工，B正

乙n乙n

131<?A291111

確；取/Z7——?w=—,JJ1]mn1——X—=*V1,C錯誤；一>2,方V—<C1?logn〉log,,,—=-1,log,,???V

4/4\2J16mLnmw

log?上=-1,即log〃〃>log”m,D錯誤.故選AB.

n

10.ACD【解析】???￡：（&）="，E（&）=%，???E（&）<E（&），???D（&）="（l—'），D（&）="2（l—p2），???E（&）〉

D（A）,E（WI）>D（￡I）,D（￡I）—D（&）=（小一戶2）（1一八一九）>。.故選ACD.

11.ACD【解析】由題可知，1i+口=—1，所以

77

正確；小，處均為虛數(shù)，不能比較大小，故B錯誤;4=—=1,故C正確;必=

J3—

?i=i2，故D正確.故選ACD.

12.BC【解析】當xV0時，/(z)=/—3x,則(z)=3/—3=3(7—l)(x+l),當彳6(—00>—1)時，/'(x)〉0.

開學摸底聯(lián)考數(shù)學答案第1頁（共6頁）

/(N)單調遞增，當zGC—1,0)時,/'(H)VO,f(N)單調遞減，作出/(N)的圖象，如圖所示,

尸(了)一(2。+l)f(z)+/+a=(/(7)-)(/(])—―1)=0,

即f(.jc)=a與/(jc)=a+l共六個不等實根，由圖可知/(N)=2時,x=-1或z=2,即/(z)=2有兩個根，

/0<aV2,

若使/Cz)=a與/(z)=a+l共六個不等實根，只需滿足即0<a<l.故選BC.

[oVa+1<2,

13.(2,0)【解析】由題a?b=6,則向量a在向量b方向上的投影向量為'售?高=」一X(1,0)=(2,0).

1^11*1^9+0

14.240【解析】由題TA+I=C(；1”?(22)?=2670--6戊=0」…,6,當&=2時，為常數(shù)項，此時73=24=240.

X2V2々2y2

15.9—*=1或學一一=1【解析】當焦點在z軸上時，設雙曲線方程為與一今=1(。>0/>0),則其漸近線方

31a2b1-

T

￡=V3

程為》=±±r,點F到雙曲線E的一條漸近線，=卓工的距離為1,即『一飛"’即a=^，所以此時雙曲線E

ao

0=1,

/y22

的標準方程為*=1;當焦點在y軸上時，設雙曲線方程為。一a=1(。>0,6>0),則其漸近線方程為y=

oah~

r2=電r

士氣，點F到雙曲線E的一條漸近線？=當了的距離為1,即〃—3'即a=￡，所以此時雙曲線E的標準方程

b33

!)=1,

y2J72V2

為〒一/2=1.綜上，雙曲線E的標準方程為萬一/=1或丁一72=1.

TT

16.8K【解析】將三棱錐補成直三棱柱，設點D"為上下底面的外心，點0為直棱柱的外接球的球心，則O為

DD,的中點，點D為BC的中點，AD為底面外接圓的半徑，設PA=z,則BC=4—z,所以OD=],AD=

寧=2—5,得外接球半徑R=AO=JGJ+[2-*J=2z+4=J.(_r—2尸+2,當

x=2時，R

有最小值為晚，此時球0的表面積為：4n氏2=8兀

(、i「]

17.解：(1)設事件A：某顧客甲獲獎，即IS—7|為奇數(shù)，則P(A)=-^=-

開學摸底聯(lián)考數(shù)學答案第2頁(共6頁)

所以某顧客甲獲獎的概率為］.

3分

(2)由題意,X的可能取值為1,2,3,4.4分

21

所以P(X=1)=E=與5分

P(X=2)=^=-6分

「MW7分

P=4)=±=A

(X8分

所以隨機變量X的分布列為:

X1234

11119分

P

3366

所以E(X)=1XJ+2X4+3X：+4X!=￥.

10分

o3o66

a?2

18.(1)證明：由題〃；---=a“+〃，即a“+1=2a,7+2〃-2,

a”+i+2G?+l)2a”+2〃-2+2(〃+1)2a?+4n

所以a.+2〃=2,3分

an-\~2na?-\-2n

ai+2=2,4分

所以｛a“+2〃》是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.5分

n71

(2)解：由(1)知，。“+2%=2><21=2"，所以6分

a”+2〃2"

+2X.+3X3

所以S?=1X+???+〃x8分

Js“=ixg[+2xg)+，..+-g)+〃X?4-1

9分

I

兩式相減得,

7X[1-(1

1_

萬s〃+得+團+…+nX

-W12

~2

11分

12分

19.解：(1)因為cosC+sinC=^F

由正弦定理可得cosC+sinc=An

sinD

即sinBcosC+sinBsinC=V2^sinC+sinA=42s'mC+sin[/—(B+O]

=VFsinC+sin(B+C)=V2^sinC+(sinBcosC+cosBsinC),

開學摸底聯(lián)考數(shù)學答案第3頁(共6頁)

即sinBsinC="sinC+cosEsinC..................................................................................................................3分

又Ce(0,x),sinC>0,故sinB=V^"+cosB,即sinB—cosB=42,...............................4分

所以V^sin(B-E)=7^,即sin(_B-孑)=1,....................................................................................................5分

因為BG(0,ir),B—fef—j-,乎］，所以B—千=卷，得B=乎....................................6分

4(44)424

(2)因為△ABC的面積S=2,所以S=2=_acsin—,即=2,a=2",....................................................8分

由余弦定理得AC=Vc2a2—2ac?cosB=2而，................................................9分

4+20—8275

所以cosZCAB=10分

2X2X275

因為AC平分/BAD,

AD2+20-4275

所以cosACAD=11分

2?2V5-AD—

所以AD=4..........................................................................................................................................................12分

20.(1)證明：：平面PAB_L平面ABCD,BC_LAB,平面PABD平面ABCD=AB,

.\BC_L平面PAB,又：APU平面PAB.

：.BC±AP...............................................................................................................................................................1分

又：PA_LPB,BCnBP=B,BC,BPU平面BCP,

.?.AP_L平面BCP,BQU平面BCP,即AP_LBQ.............................................................................................2分

在△BCP中，PB=BC,Q為PC的中點，

：.BQ_LPC,.............................................................................................................................................................3分

又APDPC=P,AP,PCU平面PAC,

.?.BQ_L平面PAC,.................................................................................................................................................4分

又BQU平面ABQ,

二平面ABQ_L平面PAC......................................................................................................................................5分

（2）解：作PH±AB于點H,易知PH_L平面ABCD,

在RtZ\PAB中，PA=/AB」一PB：=卜展）=1,

則PH=PUB=^，AH=/PA2_PH2=竺J7=g...............................................................6分

如圖以A點為原點,AD,AB所在直線為7軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

開學摸底聯(lián)考數(shù)學答案第4頁（共6頁）

由（1）知8Q，平面PAC,所以平面PAC的一個法向量為面=1,9分

設平面PCD的一個法向量為〃=（彳，之），

取7=1,得M=(1,0,西)，.............................10分

—?BQ-n1+173

cos<BQ〉11分

|BQ|I?I&■?展3'

由題可知二面角為銳角，所以二面角A—PC—D的余弦值為名..................................

12分

21.解：(1)由題，當m=\時，f(x)=x2—^ln尤+1,

/"(%)=2支—In丁一1,........................................................................................................................................1分

//(1)=1,/(1)=2,.................................................................................................................................................2分

所以切線方程為)-2=Z—1,.................................................................................................................................3分

化簡得了+1=0,

即曲線/(Z)在點(1"(1))處的切線方程為]—、+1=0?................................................................................4分

2212

(2)/(7)》一①，即—一[0]+1>-1,即1十一一tnInx----->0在(0,+8)上恒成立，..........5分

eeJTe

人,、,1,2?..,,1mx1—mx—1八..

令g(z)=?r-|-777InJC——，貝ljg(j7)=1——r——=---------------.............................................................6分

xexxx

對于y=J^2—mx—l,A=7〃2+4>0,故其必有兩個零點，且兩個零點的積為一1,

則兩個零點一正一負，設其正零點為1。E(0,+oo),

貝lj7，一加/()-1=0,即加=1()一工，.............................................................7分

且在(0,1。)上/(N)<0,&(1)單調遞減，在(10，+8)上/(i)>o,g(i)單調遞增，

—

故g(7o)>0,即-\--——Cr0—->1InXQ——^0.............................................................................................8分

ioIOCQ)e

令h(J7)+——|J7——|lnJC——,

\x)e

則八'(了)=1—J—(1+J)ln/一(1一/)=一(1+")ln.r.

當才『(。，1)時,人'(了)>0,當Hea,+g)時，/i'(z)vo,

則人（z）在（0,1）上單調遞增，在（1,+8）上單調遞減，

又h(—j=h(e)=0,故ioG

.................................................................................................................10分

顯然函數(shù)機=工。一!在「，，e］上