2024屆長沙高三年級下冊月考試卷(八)數(shù)學(xué)試題+答案

炎德?英才大聯(lián)考雅禮中學(xué)2024屆高三月考試卷（A）

數(shù)學(xué)

注意事頂：

1.答卷前、考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時、選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改

動、用橡皮擦干凈后、再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上、寫在

本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分、在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.定義差集M—N={x|xeM且xwN},已知集合A={2,3,5},8={3,5,8},則4-（40可=（）

A.0B.{2}C.{8}D.{3,5}

2.已知一組數(shù)據(jù)七,9,當(dāng)，/，匕的平均數(shù)為2,方差為g,則另一組數(shù)據(jù)

3七—2,3々一2,3演—2,3%—2,3匕一2的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差分別為（）

3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z+i|=2,z這在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為P(x,_y),則()

A.(x-1)'+y2=4B.(x+1)一+/=2C.x2-2D.x2+(y+l)'=4

4.向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之

一，即如圖所示，G^=!（|AD|2-|BC|2）,我們稱為極化恒等式、已知在△ABC中，M是中點，

AM=3,5C=10,則福?/=（）

A.-16B.16C.-8D.8

5.南丁格爾玫瑰圖是由近代護理學(xué)和護士教育創(chuàng)始人南丁格爾（FlorenceNightingale）設(shè)計的，圖中每個扇

形圓心角都是相等的，半徑長短表示數(shù)量大小，某機構(gòu)統(tǒng)計了近幾年中國知識付費用戶數(shù)量（單位：億人

次），并繪制成南丁格爾攻瑰圖（如圖所示）、根據(jù)此圖，以下說法錯誤的是（）

A.2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加

B.2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量在2018年最多

C.2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增

D.2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍

6.已知函數(shù)〃x）=sin（2x+o）（0<9〈萬）的圖像關(guān)于點中心對稱，貝卜)

77T

A.直線》=菅是函數(shù)/（X）圖象的對稱軸

B.7?（%）在區(qū)間［-5，詈］上有兩個極值點

C.”力在區(qū)間上單調(diào)遞減

D.函數(shù)/（x）的圖象可由y=cos2x向左平移三個單位長度得到

6

22

7.已知點。為坐標(biāo)原點，橢圓］+1~=1的左、右焦點分別為耳,乃，點P在橢圓上，設(shè)線段P耳的中

點為M,且|。鳥|=|。"|,則耳耳的面積為（）

A.V15C.3療D.4^/15

8.中國古建筑聞名于世，源遠流長.如圖甲所示的五脊殿是中國傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，該屋頂?shù)慕Y(jié)

構(gòu)示意圖如圖乙所示，在結(jié)構(gòu)示意圖中，已知四邊形ABC。為矩形，E/〃43,43=2￡尸=4,44。石與

都是邊長為2的等邊三角形，若點A,比瓦F都在球。的球面上，則球。的表面積為（）

111111

A.227rB.IllC.-----D.——

24

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.已知直線(2根+l)x+(l—根)y-加一2=O(meR)與圓：x2+y2-4%=0,則下列結(jié)論正確的是()

A.對V根eR,直線恒過一定點

B.3meR,使得直線與圓相切

C.對V根eR,直線與圓一定相交

D.直線與元相交且直線被圓所截得的最短弦長為2后

10.已知△ABC滿足sinA:sinB:sinC=2:3:J7,且△ABC的面積S^BC=6百，則下列命題正確的

是()

A.△ABC的周長為5+J7

B.△ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足關(guān)系A(chǔ)+B=2C

C.△ABC的外接圓半徑為名包

3

J19

D.△ABC的中線CD的長為"

2

11.已知〃x)=xe*,g(x)=xln%.若存在玉eR,/e，使得/(xj=g(%)=?成立，則下列結(jié)

論正確的是()

A.函數(shù)y=g(x)在［晨口］1處的切線與函數(shù)y=/(x)在(-1,4-。)處的切線吻合

B.當(dāng)/>0時，-t

C.當(dāng)/>0時，elnr<

D.若/(%)>g(%)+mx恒成立,則用42

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(1—3x)6的展開式中d的系數(shù)為。

…#V3皿cosa

13.右tanocH------------,貝!J----------『------__________。

I3)5sindz-V3COS6Z

14.已知數(shù)列也｝的通項公式為2="cos言工是數(shù)列也｝的前幾項和，則<“=。

四、解答題：本題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答、解答時應(yīng)寫出文字說明、

證明過程或演算步驟

15.（本小題滿分13分）

已知函數(shù)“X）=（%_k_1甘（左eR）.

（1）當(dāng)k=1時，求〃x）在（0,—2）處的切線方程

（2）討論“X）在區(qū)間［0,3］上的最小值.

16.（本小題滿分15分）

汽車尾氣排放超標(biāo)是全球變暖、海平面上升的重要因素.我國近幾年著重強調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源

項目的支持力度，積極推動新能源汽車業(yè)發(fā)展，某汽車制造企業(yè)對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進行調(diào)查，

得到下面的統(tǒng)計表：

年份/20172018201920202021

年份代碼x（x="2016）12315

銷量y/萬輛1012172026

（1）統(tǒng)計表明銷量y與年份代碼了有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測該地區(qū)新

能源汽車的銷量最早在哪一年能突破50萬輛；

（2）某新能源汽車品牌銷售商為了促銷，采取“摸球定價格”的優(yōu)惠方式，其規(guī)則為：盒子內(nèi)裝有編號為1,

2,3的三個相同的小球，有放回地摸三次，三次摸到相同編號的享受七折優(yōu)惠，三次中僅有兩次摸到相同

編號的享受八折優(yōu)惠，其余情況均享受九折優(yōu)惠，已知此款新能源汽車一臺標(biāo)價為100000元，設(shè)小李購買

此款新能源汽車的價格為X,求X的分布列與均值.

n

_人八人Sx-X-nxy八_人

附：y=加+。為經(jīng)驗回歸方程，b=-.........,a=y-bx.

2

i=l

17.（本小題滿分15分）

如圖，在四棱錐S-中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面

ABCD,A3=1,P為梭的中點，四棱錐S—ABCD的體積為半.

（1）若E為棱S3的中點，求證：PE〃平面SCZ）；

（2）在棱SA上是否存在點M,使得平面與平面S4D所成夾角的余弦值為二二?若存在.求出線段

5

AM的長度；若不存在，請說明理由.

18.（本小題滿分17分）

22

已知雙曲線C:二—與=1（?！怠?）的右頂點￡（1,0）,它的一條漸近線的傾斜角為120。.

a'b~

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過點（-2,0）作直線/交雙曲線C于M,N兩點（不與點E重合），求證：EM1EN；

（3）若過雙曲線C上一點尸作直線與兩條漸近線相交，交點為A3,且分別在第一象限和第四象限，若

—.—.'1'

AP=2P5,Ae-,2，求△408面積的取值范圍.

[3J

19.（本小題滿分17分）

已知數(shù)列A:q,g,…,4為有窮正整數(shù)數(shù)列.若數(shù)列A滿足如下兩個性質(zhì),則稱數(shù)列A為加的左減數(shù)列：

①%+a2---\-an=m；

②對于1<i<j<n,使得q〉%的正整數(shù)對億j）有上個.

（1）寫出所有4的1減數(shù)列；

（2）若存在〃2的6減數(shù)列，證明：m>6；

（3）若存在2024的左減數(shù)列，求上的最大值.

炎德?英才大聯(lián)考雅禮中學(xué)2024屆高三月考試卷（八）

數(shù)學(xué)參考答案

一、二、選擇題

題號1234567891011

答案BCDACCAAACDBCABC

1.B【解析】因為A={2,3,5},8={3,5,8},所以AC|B={3,5},所以A—（4口8）={2}.故選B.

2.C[解析]因為一組數(shù)據(jù)為,々,七，/，匕的平均數(shù)為2,方差為g,所以另一組數(shù)據(jù)3X]—2,3%—2,3七—2,

3/-2,3匕-2的平均數(shù)為3義2—2=4,方差為32xg=g.平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差分別為4,丁.故選C.

3.D

4.A【解析】由題設(shè)，|加|=3,|不4=10,荏?麻Ug,加12T反F）=；X（36—100）=—16.故選

A.

5.C【解析】對于A,由圖可知，2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加，故A說法正確;

對于B和C,知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量分別為：2016年,0.96-0.48=0.48；

2017年，1.88-0.96=0.92;2018^,2.95-1.88=1.07;

2019年,3.56-2.95=0.61;2020年,4.15-3.56=0.59；

2021年，4.77—4.15=0.62;2022年，5.27-4.77=0.5；

則知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量不是逐年遞增，故B說法正

確，C說法錯誤；

對于D,由5.27＞10x0.48,則2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍，故D

說法正確.綜上，說法錯誤的選項為C.故選C.

6.C【解析】因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點中心對稱，所以sin12xg+“=0,

可得力-+0=左?(左wZ),結(jié)合0＜夕＜?,得0=每~，所以/(%)=sin[2%+方-

對于A,dm)=sin12x?+g)=sin3〃=0,所以直線x=言不是函數(shù)”力圖象的對稱軸，故A

不正確;

71117rre57r

對于B,當(dāng)xe時，,所以函數(shù)“X)在區(qū)間上只有一個極

值點，故B不正確;

時,2x+ge2兀3萬

對于C當(dāng),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確;

32

對于D,丁=852%左移胃個單位長度后得到丁=852%+。，故D錯誤.故選C.

7.A【解析】由題意可得a=3,6=c==2.

如圖，因為分別是4月和尸耳的中點，所以|尸閭=2|。叫=2|。閭=2c=4,根據(jù)橢圓定義，可得

|「盟=2。-2c=2,又因為閨工|=20=4,

7

8

所以

sin/P^K=A/1cos2ZP^f]=平,

故dPF'F?的面積為工|尸閶?|耳巴|?sin/尸鳥耳=415.故選A.

另法：此題用等腰三角形求高或海倫公式更快捷.

8.A【解析】如圖，根據(jù)球的性質(zhì)可得。0］，平面ABC。，根據(jù)中位線的性質(zhì)和勾股定理可得A/。LPQ

且“a=行，分類討論當(dāng)。在線段上和。在線段"a的延長線上時，由球的性質(zhì)可得球半徑的平

方為R2=R,再用球的表面積公式計算即可.

2

如圖，連接AC,3D,

設(shè)ACn3D=a，因為四邊形4BCD為矩形，所以。為矩形45CD外接圓的圓心.連接O&,則。Q±

平面分別取E￡A￡>,3c的中點M,P,Q,

根據(jù)幾何體ABCDEF的對稱性可知，直線。。交EF于點M.

連接PQ,則尸?！ˋ5,且。為PQ的中點，

因為"〃A3,所以PQ〃所，連接ERFQ,

在△ADE與ABCF,易知EP=FQ=萬下=G,所以梯形EFQP為等腰梯形，所以，PQ,

且MOi=）（仆了-［千］=V2.

設(shè)。。1=加，球。的半徑為H,連接。石,。4,

當(dāng)。在線段。航上時，由球的性質(zhì)可知A?=。￡2=。42,易得qa=6+儼=亞,

則（血—機y+f=（指丁+加，此時無解.

5

當(dāng)。在線段"。1的延長線上時，由球的性質(zhì)可知，（6）2+〃/=（0+m）2+］2,解得m=、_,

所以R2=OE2=一,所以球。的表面積S=4萬R2=22〃.故選A.

2

E

,/、，2x-y-1=0,%=1,

9.ACD【解析】由題設(shè)機（2元一丁一1）+%+丁一2=0,令《

[x+y—2=0[y=1,

所以直線（2機+l）x+（l-機）y-加一2=0（加￡R）恒過定點（1,1）,A對；

又一+/2一?=o的標(biāo)準(zhǔn)方程為（％—2『+V=4,顯然（1—21+儼=2<4,

所以點（1,1）在圓/+y2—4元=0內(nèi)，故直線與圓必相交，B錯，C對；要使直線與圓相交弦長最短，只需

定點（1,1）與圓心（2,0）的連線與已知直線垂直，此時定點與直線距離為J（l—2上+（1—0）2=J5,又圓的

半徑為2,則最短相交弦長為2x^2?—（、回y=2后,D對.故選ACD.

10.BC【解析】因為△ABC滿足sinA:sin5:sinC=2:3:J7

所以〃：6:C=2:3:J7,

設(shè)a=21,/?=3%,c=V7t,t>0,

〃24_24〃+9/-7〃_1

利用余弦定理cosC=---------------

2ab12t2~2

由于CE（O,〃），所以C=g.

對于A,因為SAABC=6G，

所以,H?sinC='x2/x3，xY3=6j§\解得％=2.

222

所以a=4/=6,c=2/7,

所以5c的周長為10+2J7,故A不正確；

7727r

對于B,因為C=2,所以A+3=/，故A+B=2C,故B正確;

33

對于c,由正弦定理得外接圓半徑為1^=冬包，故C正確；

sin6003

對于D,如圖所示,

J72J??

在△ABC中，利用正弦定理學(xué)=——，解得sinA=3

V3sinA7

2

又a<c,所以cos4=「I

7

在△AC。中，利用余弦定理CD?=AC2+AD2-2AC-ADcosA=19,解得CD=屈，故D不正確.故

選BC.

11.ABC【解析】選項A,由/1'(%)=e%(尤+l),g'(x)=lnx+l=0,

得r(-i)=g［：］=°，又驗證知/(-1)=g［：］=一：，

切線方程都為y=-1，故A正確；

e

lnX2

選項B,v/(xj=g(x2)=t,:.t=xg"=x2lnx2=(lnx2)-e>0,

則%>0,x2>0,lnx2>0,且％=/(玉)=/(lnx2)>0,

由/(%)二狀"，W/'(%)=ex(x+l),

當(dāng)x>0時，/(x)>0,則/(%)在(0,+oo)上遞增，

所以當(dāng)%>0時，/(%)=/有唯一解，故石=1噸，

?.XjX2=x2lnx2=t,故B正確;

選項C,由B正確，得生=期?！?),

七元2t

設(shè)夕(。=，，則

令°'(7)=0,解得/=e,

易知(p(t)在(0,e］上單調(diào)遞增，在［e,+oo)上單調(diào)遞減,

/.(p(t)<0(e)=—elnr<x1x2,故C正確；

exYx2e一

選項D,由元〉0,/(x)>g(%)+znx恒成立,即e*-Inx>加恒成立,

令廠(x)=e，一lnx,則/(x)=e"-L

由/(九)在(0,+00)上遞增，又r

使/（九0）=。,

存在x0€

.,/（X）在（0,5）上遞減，在（%,+8）上遞增（其中不滿足e*。，即％=-1叫））.

九0

/.r(x)>r(x0)=e"-ln%0=—+x0>2,

%o

要使〃z<eX-ln%恒成立，.,.加<r(x())，存在2〈根<廠(%)滿足題意，故D錯誤.

故選ABC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.-540

2百m上，(2乃)tana一百百.?ZHV3

13.【解析】依就懸，tancc------------------尸----------，斛倚tan。=—，

3v3J1+V3tancif52

,,cosa12A/3

故--------------=----------二------.

sina-gcos。tana-G3

14.9"+4〃【解析】因為6“2cos也，

2"3

設(shè)………《=?3”2.一.+(31…?年+(弘小2自

_gx(3左一2)2+1—g]x(3左一+(3左了=9左一：

所以“=q+%+q+…+G

=^9-1^9X2-1^9X3-|^+---+^9H-1^|

=9X(1+2+3H---F")一：“

n(l+n59n2+4n

=9x-^---------n-------------

222

四、解答題：本題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、

證明過程或演算步驟.

15?【解析】⑴當(dāng)左=1時，/(x)=(x-2)ev^/,(x)=(x-l)e\/,(O)=-l,

所以k=1時，函數(shù)〃x）在（0,-2）處的切線方程為x+y+2=0.

(2)/(%)=(x-A;-l)ex=^>f'(x)=(x—k)e".

當(dāng)x＞左時，/'（%）＞0,此時〃x）單調(diào)遞增；當(dāng)％＜左時，/'（%）＜0,此時〃x）單調(diào)遞減,

3

當(dāng)左＞3時，函數(shù)在［0,3］上單調(diào)遞減，故函數(shù)的最小值為：/（x）min=/（3）=（2-^）e；

當(dāng)上＜0時，函數(shù)在［0,3］上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為：/Wmin=/（0）=-1-^;

當(dāng)04左＜3時，函數(shù)的最小值為：/（x）min=/（/:）=-e\

—1一k,k<0,

故/(?min=-ek,0<k<3,

(2—左)e',左〉3.

16?【解析】（1）由題意得XJ+2+3+4+5=3,￡玉％=1x10+2x12+3x17+4x20+5x26=295,

5i=l

10+12+17+20+26=17,￡X,2=12+22+32+42+52=55.

y=

5Z=1

_n

Z%X一欣,其

295-5x3x17

所以￡二號----------=4,a=y-b-x=11-4x3=5..

55-45

E%2-nx—2

i=l

所以y關(guān)于X的經(jīng)驗回歸方程為y=4x+5,令y=4x+5〉50,得x＞11.25,

所以最小的整數(shù)為12,2016+12=2028,

所以該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在2028年能突破50萬輛.

（2）有放回地摸球，每次摸到某個編號的概率為工，

3

則三次摸到相同編號的概率為3xI

1122

三次中僅有兩次摸到相同編號的概率為3x3x-x-x-=~；

5525

X700008000090000

j_22

P

939

（22730000

故E（X）=70000x-+80000x-+90000x-

9399~

17?【解析】(1)取SC中點/，連接分別為S3,SC的中點,

:.EF//BC,EF=-BC,

?.?底面四邊形ABC。是矩形，P為棱的中點,

:.PD//BC,PD=-BC,

2

:.EF〃PD,EF=PD,

故四邊形PEFD是平行四邊形，：.PE〃FD.

又???FDu平面SCD,PE<z平面SCD,

〃平面SCO.

(2)假設(shè)在梭SA上存在點“滿足題意，

在等邊中，P為的中點，所以SP_L4。，

又平面SAD1平面ABCD,平面SADPl平面ABCD=AD,SPu平面SAD,

.?.SP，平面ABC。，則SP是四棱錐S—ABC。的高.

設(shè)AD=m(m>0),則SP=與m,S矩形=m，

所以

%棱錐S-ABC。=JS矩形ABCD-SP=-mXtn=2

以點P為原點，PA,A3,PS的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則尸（0,0,0）,4（1,0,0）,3（1,1,0）,5僅,0,百），

故西=（1,0,0）,麗=（1,1,0）,通=（—1,0,百卜

設(shè)m=4通=卜40,伍）（0V2W1）,

.-.PM=PA+AM=（1-2,0,732）.

設(shè)平面PMB的一個法向量為n\=（x,y,z）,

貝qn\-PM=（l-2）x+V32z=0,

n\-PB=x+y=0,

取4—1）.

易知平面SAD的一個法向量為n2=（0,1,0）,

前，2，7%—24+15

八c，c2

0VXV1,X=—

3

4

故存在點M,AM=—滿足題意.

3

18.【解析】（1）易知a=1,左=tanl20°==3,

故雙曲線c的方程為爐―22=1.

3

(2)由已知可得，直線MN的方程為x=72,

聯(lián)立；；：_0=(3機2—1卜2—4x—(4+3冽2)=0,其中3相2—1/0,且A>0時,

4-3m2-49

則石+凡=

病32;3療_1'>°2-3療一1

EMEN=（x「l,—L%）=（%—1）（%2一1）+%%=%尤2一（石+%）+l+必為=°，

EMVEN.

(3)由題意可知，若直線A3有斜率則斜率不為0,

故設(shè)直線AB方程為：x=my+n,

設(shè)產(chǎn)區(qū)％）,A（九4,”）,8（為5,%），

AP=APB,:.（x3-x4,y3-y4）=2（x5-x3,y5-y3）

一,

_x4+AX5

X3-X4=2（X5-X3）,.一]+），

.?〈—V

%一”=g-%），、，_”+力5

[[為=F^，

?.?點P在雙曲線c上，.廣+網(wǎng)]1+^）=1>

3（%+網(wǎng)『-（為+九％『=3（1+4）2,

（3xj—立）+%2（3x；—4）+24（3%匕一%%）=3（1+4）2③

又3后-立=0,3年-*=0

3d+獷④

2

22（3x4x5-y4y5）=3（1+2）,/.3X4X5-y4y5=

22

3x2-y2=0,

聯(lián)立n（3m2-1）/+6mny+3n2=0,

x=my+n,

3m2-1w0,

2222m2

A=36mn-Un（3m-l）>0,3

-6mn3n2C

%+為二——5——@，X/=——7——⑥,

453m2-1153m2-1

???A8分別在第一象限和第四象限，，乂為<0,.-.3療-1<0,

由④式得：3(my4+n)[my5+n)~y4y5=

2A