2023-2024學(xué)年湖北省荊州市高考數(shù)學(xué)模擬密押卷 含解析

2023-2024學(xué)年湖北省荊州市高考數(shù)學(xué)模擬密押卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/。）=屆11%-03%的圖像的一條對稱軸為直線》=^，且■/'a）"（x2）=-4,則上+%|的最小值

6

為（）

712%

A.一B.0c.-D.——

333

2.下列函數(shù)中，值域?yàn)槌叩呐己瘮?shù)是（）

xx

A.y-x2+1B.y=e-e~c.y=ig\x\D-y=

3.近年來，隨著4G網(wǎng)絡(luò)的普及和智能手機(jī)的更新?lián)Q代，各種方便的。即相繼出世，其功能也是五花八門.某大學(xué)為

了調(diào)查在校大學(xué)生使用a即的主要用途，隨機(jī)抽取了56290名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，各主要用途與對應(yīng)人數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計(jì)如

圖所示，現(xiàn)有如下說法：

①可以估計(jì)使用。即主要聽音樂的大學(xué)生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學(xué)生人數(shù)；

②可以估計(jì)不足10%的大學(xué)生使用。勿主要玩游戲；

③可以估計(jì)使用。加主要找人聊天的大學(xué)生超過總數(shù)的

4

其中正確的個(gè)數(shù)為（）

[445。I行禮區(qū)、新聞.曉訊

[-.----□玩游我

「2川I磐直妝、出片

「儲曲）I聽行樂

A.0B.1C.2D.3

4.已知點(diǎn)片是拋物線C：%2=2py的焦點(diǎn)，點(diǎn)工為拋物線C的對稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過B作拋物線c的切線，

切點(diǎn)為A,若點(diǎn)A恰好在以耳，耳為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）

A.近二立B.V2-1C.逅MlD.V2+1

22

5.已知函數(shù)/(x)=lnx—2ar,g(x\=^L2x,若方程/（x）=g（x）恰有三個(gè)不相等的實(shí)根，則。的取值范圍

Inx

為（）

A.(0,e]B.

C.(e,+oo)0,-

e

6.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)P的直線交該拋物線于4,B兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn).若=3,則直線A3的斜率為（）

A.±72B.-V2C.2A/2D.±272

7.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車，它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長55

千米.橋面為雙向六車道高速公路,大橋通行限速100?"〃瓦現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查.畫

出頻率分布直方圖（如圖），根據(jù)直方圖估計(jì)在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90）的車輛數(shù)和行駛速度超過

的頻率分別為（）

A.300,0.25B.300,0.35C.60,0.25D.60,0.35

8.已知函數(shù)/（x）=F+6的一條切線為y=a（x+l）,則。匕的最小值為（）

1112

A.----B.----C.——D.——

2e4eee

J

9.已知耳，尸2是雙曲線c：j-y2=l（〃〉0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)片且垂直于X軸的直線與C相交于兩點(diǎn)，若

a

|AB|=V2,則AABF2的內(nèi)切圓半徑為（）

A.立B.BC.迪D.正

3333

10.設(shè)拋物線y2=4x上一點(diǎn)尸到y(tǒng)軸的距離為4,至u直線/:3x+4y+12=0的距離為4，則4+4的最小值為

()

A.2B.—C.—D.3

33

11.已知x=0是函數(shù)/（x）=M^-tanx）的極大值點(diǎn)，則a的取值范圍是

A.（―℃,—1）B.（-0°,1]

C.[0,+oo）D.[1,-K?）

12.某公園新購進(jìn)3盆錦紫蘇、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，現(xiàn)將這6盆盆栽擺成一排，要求郁金香不在兩邊,

任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共（）種

A.96B.120C.48D.72

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)〃尤）滿足了'（x）＞/（x）,則不等式1）的解集為.

14.設(shè)集合A={-1,a},B=1,2（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），且AC3W0,則滿足條件的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為.

15.已知tan[夕+z]=3,貝！Jtan8=,cos[26—1]=,

16.某校初三年級共有500名女生，為了了解初三女生1分鐘“仰臥起坐”項(xiàng)目訓(xùn)練情況，統(tǒng)計(jì)了所有女生1分鐘“仰臥

起坐”測試數(shù)據(jù)（單位：個(gè)），并繪制了如下頻率分布直方圖，貝!11分鐘至少能做到30個(gè)仰臥起坐的初三女生有

個(gè).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

V2V21

17.（12分）設(shè)橢圓C：二+2=1（。〉萬〉0）的右焦點(diǎn)為尸，右頂點(diǎn)為4,已知橢圓離心率為J,過點(diǎn)E且與x軸

垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.

（I）求橢圓C的方程；

（II）設(shè)過點(diǎn)a的直線/與橢圓c交于點(diǎn)3（3不在》軸上），垂直于/的直線與/交于點(diǎn)"，與y軸交于點(diǎn)〃，若

BF±HF,且NMQ4WNM4O,求直線/斜率的取值范圍.

1

x=-m

2

18.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系龍。y中，直線/的參數(shù)方程為〈為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸

y=----m

2

‘2岳2萬'

非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為"-2"cos6-2=0,點(diǎn)A的極坐標(biāo)為E司

(1)求直線/的極坐標(biāo)方程;

(2)若直線/與曲線。交于3,C兩點(diǎn)，求ABC的面積.

19.(12分)如圖，直三棱柱ABC—A4c中，D,E分別是A3,6用的中點(diǎn)，AA、=AC=CB.AB=近.

2

(1)證明：BC1平面4。。；

(2)求二面角。一A?！狤的余弦值.

20.(12分)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABC。為矩形，平面ABE尸，平面ABC。，EF//AB,ZBAF=90°,AD

=2,A3=4F=2EB=2,點(diǎn)P在棱。尸上.

(1)若「是。歹的中點(diǎn)，求異面直線3E與CP所成角的余弦值；

(2)若二面角O-AP-C的正弦值為逅，求尸產(chǎn)的長度.

3

21.(12分)已知橢圓C:9d+y2=加2(根〉0),直線/不過原點(diǎn)。且不平行于坐標(biāo)軸，/與。有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線

段AB的中點(diǎn)為

(I)證明：直線的斜率與/的斜率的乘積為定值；

rrj

(II)若/過點(diǎn)(],加)，延長線段與C交于點(diǎn)P,四邊形Q4PB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)/的斜率，若

不能，說明理由.

22.(10分)己知A4BC的內(nèi)角A,瓦C的對邊分別為“，4c.設(shè)變出+%￡=金曰_+4行

sinCsinBsinBsinC

(1)求tanA的值；

(2)若&sinB=3sinC，￡5加?=2叵，求。的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

運(yùn)用輔助角公式，化簡函數(shù)/(九)的解析式，由對稱軸的方程，求得。的值，得出函數(shù)/(%)的解析式，集合正弦函數(shù)

的最值，即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，函數(shù)/(x)=asinx—6cosx=Ja?+3sin(x+6)(。為輔助角)，

*皿5萬口兀、a3

由于函數(shù)的對稱軸的方程為x=且/(丁)二7+7，

6622

即E+；=J/+3,解得4=1,所以F(x)=2sin(x—K),

223

又由/&)?/(9)=T,所以函數(shù)必須取得最大值和最小值，

_57r7i一

所以可設(shè)％=2K兀7----,k[eZ,x=2k?兀,k?eZ,

626

所以卜]+々|=24]?+2左2乃+飛-,左eZ,

rs

當(dāng)仁=履=。時(shí)，卜+々|的最小值T，故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中利用三角恒等變換的公式，化簡函數(shù)的解析式，合理利用正弦函

數(shù)的對稱性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.

2、C

【解析】

試題分析：A中，函數(shù)為偶函數(shù)，但y21,不滿足條件；B中，函數(shù)為奇函數(shù)，不滿足條件；C中，函數(shù)為偶函數(shù)且

ywR,滿足條件；D中，函數(shù)為偶函數(shù)，但＞20,不滿足條件，故選C.

考點(diǎn)：1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的值域.

3、C

【解析】

根據(jù)利用。即主要聽音樂的人數(shù)和使用。加主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)作大小比較，可判斷①的正誤；計(jì)算使用

。加主要玩游戲的大學(xué)生所占的比例，可判斷②的正誤；計(jì)算使用勾中主要找人聊天的大學(xué)生所占的比例，可判斷③

的正誤.綜合得出結(jié)論.

【詳解】

使用a即主要聽音樂的人數(shù)為5380,使用。加主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為4450,所以①正確；

Q130

使用WP主要玩游戲的人數(shù)為8130,而調(diào)查的總?cè)藬?shù)為56290,-------?0.14,故超過10%的大學(xué)生使用。即主

56290

要玩游戲，所以②錯(cuò)誤；

使用。即主要找人聊天的大學(xué)生人數(shù)為16540,因?yàn)轲╚＞工，所以③正確.

562904

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查統(tǒng)計(jì)中相關(guān)命題真假的判斷，計(jì)算出相應(yīng)的頻數(shù)與頻率是關(guān)鍵，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

4、D

【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)，設(shè)出直線方程，代入拋物線方程，求得上的值，設(shè)出雙曲線方程，求得2“=|AF2|-|AFi

I=(V2-DP，利用雙曲線的離心率公式求得e.

【詳解】

直線F2A的直線方程為：y—kx——,Fi(0,—),尸2(0,~~),

222

代入拋物線C：好=2外方程，整理得：x2-Ipkx+p2^,

AA=4A:2p2-4p2=0,解得：k=±l,

22

.?.A(p,K),設(shè)雙曲線方程為：二—二=1,

2a2b2

IAFiI=p,IAF2I=個(gè)p?+p?=0p,

2a=IAF2I-IAFiI=(V2-DP>

2c=p9

/.離心率e————i=——A/2+1,

a72-1

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

5、B

【解析】

由題意可將方程轉(zhuǎn)化為叱-2a=出-2,令《％)=皿，xe(O,l)(1,+8),進(jìn)而將方程轉(zhuǎn)化為

xInxx

[?(%)+2][r(x)-2a]=0,即()=-2或r(x)=2a,再利用，(x)的單調(diào)性與最值即可得到結(jié)論.

【詳解】

由題意知方程/(x)=g(力在(0,1)1(1,-+W)上恰有三個(gè)不相等的實(shí)根，

_4左

即In九一lax=------2x①.

Inx9

Inx4/7Y

因?yàn)閤>0,①式兩邊同除以x,得-----2a=-----2.

xInx

所以方程-InV-2〃-4丁/7Y二+2=0有三個(gè)不等的正實(shí)根.

xInx

記—,xe(O,l)(1,”)，則上述方程轉(zhuǎn)化為f(x)—2a-西+2=0.

即[f(x)+2][(x)-2a]=0,所以Z(x)=-2或r(x)=2a.

因?yàn)?無)=上手，當(dāng)尤?0,1)(l,e)時(shí)，t'(x)>0,所以/(%)在(0,1),(l,e)上單調(diào)遞增，且％.0時(shí)，

0-^0.

當(dāng)x￡(e,+oo)時(shí)，/(%)<0,1X)在(e,+8)上單調(diào)遞減，且兄—”時(shí)，0.

所以當(dāng)x=e時(shí)，/(力取最大值L當(dāng)心)=—2,有一根.

e

所以《％)=2。恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以0<。<L.

2e

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

6、D

【解析】

根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合|AF|=3,求出A的坐標(biāo)，然后求出AE的斜率即可.

【詳解】

解：拋物線的焦點(diǎn)廠(L0),準(zhǔn)線方程為x=-1,

設(shè)A(x,y),貝！]IAF|=x+l=3,故x=2,此時(shí)y=±2j^,即A(2,±2，^).

則直線AF的斜率k=竺亞=±2A/2.

2-1

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的定義，直線斜率公式，屬于中檔題.

7、B

【解析】

由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的頻率即可得到車輛數(shù)，同時(shí)利用頻率分布直方圖能

求行駛速度超過90km/h的頻率.

【詳解】

由頻率分布直方圖得：

在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90）的頻率為Q06x5=0.3,

在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90）的車輛數(shù)為：0.3x1000=300，

行駛速度超過90k”/〃的頻率為：（0.05+002）x5=0.35.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查頻數(shù)、頻率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

8、A

【解析】

求導(dǎo)得到/5）=靖，根據(jù)切線方程得到b=alna,故"=/lna，設(shè)g（尤六三卜］,求導(dǎo)得到函數(shù)在0,”上

IJ

c口

單調(diào)遞減，在e2,+oo上單調(diào)遞增，故8（力加=ge2,計(jì)算得到答案.

I）\7

【詳解】

x

f(x)=e+b,貝!J/'(x)=",取e%=a，(a>0),故x()=lna,f^x0)=a+b.

故a+b=a(lna+1),故b=alna,ab=a2lna?

設(shè)g(%)=%21nx,g'(x)=2xlnx+x=x(21nx+l),取g'(x)=0,解得毛

（、口1

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在2

0,e—5e-5,+s上單調(diào)遞增，故g（x）1nhi=ge

2e

I）I）/

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的切線問題，利用導(dǎo)數(shù)求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

9、B

【解析】

首先由|A5|=行求得雙曲線的方程，進(jìn)而求得三角形的面積，再由三角形的面積等于周長乘以內(nèi)切圓的半徑即可求

解.

【詳解】

由題意6=1將％=代入雙曲線C的方程，得'=±4則2=四,“=點(diǎn),0=追,由

aa

\AF2\-\AFl\=\BF2\-\BFl\=2a=2y/2,^^ABF2的周長為

\AF2\+\BF2\+\AB\=2a+\AF1\+2a+\BFl\+\AB\=4a+2\AB\=672,

設(shè)AABK的內(nèi)切圓的半徑為廣，則工x6四廠=、2抬\應(yīng),廠=且,

223

本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的內(nèi)心的概念，考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題.

10、A

【解析】

分析：題設(shè)的直線與拋物線是相離的，4+4可以化成4+1+4-1，其中4+1是點(diǎn)p到準(zhǔn)線的距離，也就是p到

焦點(diǎn)的距離，這樣我們從幾何意義得到4+1+4的最小值，從而得到4+4的最小值.

y2=

詳解：由①得到3/+16y+48=0,A=256-12x48<0,故①無解，

[3x+4y+12=0

所以直線3x+4y+12=0與拋物線是相離的.

由4+人=4+1+4-1，

而4+1為p到準(zhǔn)線x=—1的距離,故4+1為P到焦點(diǎn)b(1,0)的距離，

11x3+0x4+121

從而4+1+%的最小值為F到直線3尤+4y+12=0的距離J一廠_丁1=3,

"A/32+42

故4+4的最小值為2,故選A.

點(diǎn)睛：拋物線中與線段的長度相關(guān)的最值問題，可利用拋物線的幾何性質(zhì)把動線段的長度轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線或焦點(diǎn)的距離

來求解.

11、B

【解析】

方法一：令gO)=or-tanx,則/(x)=此g(x),g'(x)=a——二，

cosX

當(dāng)〃01,萬)時(shí)，g(JT)<0,g(%)單調(diào)遞減，

7T

Axe(——,0)時(shí)，g(x)>g(0)=0,f(x)=x-g(x)<0,且「(尤)=xg'(x)+g(x)>。，

2

TT

廣。)>0,即/(X)在(一耳,0)上單調(diào)遞增，

兀

xe(0,—)時(shí)，g(x)<g(0)=0,f(x)=x-g(x)<0,且/(x)=xg'(x)+g(x)<0,

2

7T

.?.廣(x)<0,即f(x)在(0,耳)上單調(diào)遞減，.?.xnO是函數(shù)/(尤)的極大值點(diǎn)，滿足題意；

711

當(dāng)。>1時(shí),存在re(0,5)使得cosr=區(qū)，即g⑺=0,

177

又g3=a-一J在(0,7)上單調(diào)遞減，...xee/)時(shí)，g(x)>g(O)=O,所以/(尤)=*超。)>。，

cosx2

這與X=0是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾.

綜上，a<l.故選B.

方法二：依據(jù)極值的定義，要使％=0是函數(shù)/(尤)的極大值點(diǎn)，須在x=0的左側(cè)附近，/(%)<0,即方-tanx>0；

在％=0的右側(cè)附近，f(x)<0,即ox—tanx<0.易知，。=1時(shí)，V=四與y=tan尤相切于原點(diǎn)，所以根據(jù)'

與丁=1311尤的圖象關(guān)系，可得aWl,故選B.

12、B

【解析】

間接法求解，兩盆錦紫蘇不相鄰，被另3盆隔開有看看，扣除郁金香在兩邊有2M出，即可求出結(jié)論.

【詳解】

使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有國種，

然后將3盆錦紫蘇放入到4個(gè)位置中有A：種，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有用團(tuán)，扣除郁金香在兩邊，

排2盆虞美人、1盆郁金香有2尺種，

再將3盆錦紫蘇放入到3個(gè)位置中有用,

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理有2月國，

所以共有用團(tuán)-2&制=120種.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列應(yīng)用問題、分步乘法計(jì)數(shù)原理，不相鄰問題插空法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、(1,+℃)

【解析】

根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)F(x)=△?,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.

ex

【詳解】

設(shè)廠(x)=旦0,

ex

則F，G)J—”

ex

r(x)>/(x),

：.F'(x)>0,即函數(shù)尸(x)在定義域上單調(diào)遞增.

???/〃力<“21)

于(——,—■——,即F(x)<F(2x-l)

?*-x<2x-l,即x>l

二不等式ex-xf(x)</(2x-l)的解為(1,+s)

故答案為：(1,內(nèi))

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.

14、1

【解析】

可看出“W。，這樣根據(jù)4'、5。0即可得出。=2,從而得出滿足條件的實(shí)數(shù)。的個(gè)數(shù)為L

【詳解】

解：AfB豐0,

."=2或〃一,

Cl—t-

在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)V=x與尸院的圖象,

〃無解，則滿足條件的實(shí)數(shù)〃的個(gè)數(shù)為1?

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

考查列舉法的定義，交集的定義及運(yùn)算，以及知道方程無解，屬于基礎(chǔ)題.

人一C

15、I￥

【解析】

利用兩角和的正切公式結(jié)合tan，+：=3可得出tan。的方程，即可求出tan。的值，然后利用二倍角的正、余弦公

式結(jié)合弦化切思想求出cos2。和sin2。的值，進(jìn)而利用兩角差的余弦公式求出cos2，-?的值.

【詳解】

tan0+1

tan18+巳J=3n=3。ntan0八=—1

1一tan。29

222

八八2八.2八cos0-sin01-tan03

cos2,=cos6/-sin，=--------------=----------=一

cos26^+sin201+tan205

.”c.八八2sin6^cos<92tan84

sin2,=2sin<9cos，=——--------；-=——-----=—

sin0+cos3tan0+15

7

二.cos126一(=(cos20+sin26)=—&.

故答案為：—；7版

210

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，考查兩角和的正切公式、兩角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦

化切思想的應(yīng)用，難度不大.

16、325

【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)先求出九=0.02,再求出1分鐘至少能做到30個(gè)仰臥起坐的初三女生人數(shù)即可.

【詳解】

解：(0.015+x+0.035+x+0.01)-10=1,

x=0.02.

則1分鐘至少能做到30個(gè)仰臥起坐的初三女生人數(shù)為[1-(0.015+0.02)-10]-500=325.

故答案為:325.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

【解析】

2b之c

(I)由題意可得里=3,e=—,a2^b2+c2,解得即可求出橢圓的C的方程;

aa

(II)由已知設(shè)直線/的方程為產(chǎn)《(x-2)，(際0),聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根

與系數(shù)的關(guān)系求得B的坐標(biāo)，再寫出所在直線方程，求出H的坐標(biāo)，由解得yH.由方程組消去y,解

得為，由NMQ4WNM4O,得到xM21,轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式，求得k的范圍.

【詳解】

(I)因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為3,

2b1

所以且=3,

a

11

因?yàn)闄E圓離心率e為不，所以c一=彳，

2a2

又〃=廿+，

解得a=2,c—ltb=6,

22

所以橢圓C的方程為L+匕=1；

43

（II）設(shè)直線/的斜率為左億。0）,則丁=4（％-2）,設(shè)8（4,力），

y=攵(％-2)

2

由/y_得(4K+3)尤2—16汰2^+16汰2—12=0,

[43

解得尤=2,或X=咚、，由題意得％

4左2+34左2+3

u*T2k

從而為=*'

由（I）知，F(xiàn)（l,0）,設(shè)〃（0,%）,

所以切=（-1,%）,“=（]—Q-4P,￡]），

因?yàn)?尸，彼，所以B戶-HF=0,

所以W+禺"解得

19一4"2

所以直線的方程為丫=-+

k12k

y=左(％-2)

2042+9

設(shè)/國，坨），由,2消去兒解得X"=

19-4k12(42+1)'

y=——x+

'k12k

在AM4O中，ZMOA<ZMAO\MA\<\MO\,

222

即(與-2)+yMxM+yM,

20k2+9,

所以與'I'即可臼

解得小4或T

所以直線/的斜率的取值范圍為-8,-,+8.

7

【點(diǎn)睛】

本題考查在直線與橢圓的位置關(guān)系中由已知條件求直線的斜率取值范圍問題，還考查了由離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,

屬于難題.

18、(1)6>=y(pe7?)(2)

【解析】

(1)先消去參數(shù)根，化為直角坐標(biāo)方程>=氐，再利用丁=Q5由。,％=。(：056求解.

F一2「cos8-2=0

(2)直線與曲線方程聯(lián)立｛5，得P2—夕一2=0,求得弦長

、一§

忸q=|q—聞=］屹+夕2)2—4pg和點(diǎn)A浮到直線/的距離d=2誓sin(q￡—再求，45C的

面積.

【詳解】

(1)由已知消去加得y=則夕sin。=JWpcos。，

TTJT

所以6=1,所以直線/的極坐標(biāo)方程為。=§(夕eR).

「2一2「cos8-2=0

(2)由<JI,得夕~一夕一2=0,

、一§

設(shè)3,C兩點(diǎn)對應(yīng)的極分別為01，02，則夕1+夕2=1，P\P［=-2,

所以忸。|=|夕1_夕21=，(21+夕2)2-4夕10=3，

又點(diǎn)A［3￡,2?［到直線/的距離［=2些sin(22—工］=行

I33J3I33J

所以SABC=^\BC\d=

【點(diǎn)睛】

本題主要考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程及極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和直線與曲線的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)

算求解的能力，屬于中檔題.

19、(1)證明見解析⑵旦

3

【解析】

(1)連接AG交4。于點(diǎn)歹，由三角形中位線定理得BG//D/，由此能證明3￡//平面4CD.

(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4的方向?yàn)閤軸正方向，CB的方向?yàn)?，軸正方向，CG的方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直

角坐標(biāo)系孫z.分別求出平面的法向量和平面ACE的法向量，利用向量法能求出二面角。-4C-E的余

弦值.

【詳解】

證明：證明：連接AC交4c于點(diǎn)口，

則r為AG的中點(diǎn).又。是AB的中點(diǎn)，

連接則尸.

因?yàn)?。尸u平面A。。，Bq/平面4。。，

所以3￡//平面A。。.

(2)由懼=AC=C3=*A5=0,可得：AB=2,即AC?+=.2

所以AC_L3C

又因?yàn)锳BC-451cl直棱柱，所以以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線C4、CB、CQ為工軸、y軸、z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)、4(3,0,3))、D與，號,0、E0,0,￡),

CA=(V2,0,V2),CD=—,—,0,CE=0,V2,—

I22JI27

設(shè)平面4。的法向量為"=(x,y,z),貝！|〃.C￡)=0且止區(qū)=。，可解得丁=一工=2,令％=1,得平面人。。的

一個(gè)法向量為n=(1,-1,-1),

同理可得平面ACE的一個(gè)法向量為加=(2,1，-2),

貝！Icos<n,m>-

3

所以二面角D-A.C-E的余弦值為1.

3

本題主要考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

20、(1)漢I0.(2)0.

15

【解析】

(1)以A為原點(diǎn)，A3為x軸，AZ)為y軸，AF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則BE=(-1，0,2),CP=(-2,

-1,1),計(jì)算夾角得到答案.

2%

(2)設(shè)EP=/IED，0<2<1,計(jì)算尸(0,22,2-22),計(jì)算平面APC的法向量“=(1,-1,---------),平面AOf

2-22

的法向量機(jī)=(1,0,0),根據(jù)夾角公式計(jì)算得到答案.

【詳解】

(1)'：BAF=90°,：.AF±AB,

又?..平面A8E尸_L平面ABCD,且平面A3E歹n平面ABCD=AB,

尸工平面A5CZ),又四邊形A5CD為矩形，

；?以A為原點(diǎn)，A3為x軸，為y軸，A尸為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

,：AD=2,AB=AF=2EF=2,尸是。尸的中點(diǎn)，

：.B(2,0,0),E(1,0,2),C(2,2,0),P(0,1,1),

BE=(T，0,2),CP=(-2,-1,1),

設(shè)異面直線BE與CP所成角的平面角為e,

BECP\42A/30

則COSO-------?=—F=一斤='

BE\\CFyV5-V615

二異面直線BE與CP所成角的余弦值為2叵.

15

(2)A(0,0,0),C(2,2,0),F(0,0,2),D(0,2,0),

設(shè)P(a,b,c),FP=AFD>0<2<l,即(a,b,c-2)=2(0,2,-2),

解得a=0,b=21,c=2-27,：.P(0,2A,2-2A),

AP=(0,2A,2-24),AC=(2,2,0),

設(shè)平面APC的法向量〃=（x,y,z）,

n-AP=22y+(2-22)z=0,24)

則"7,取x=L得”=(1,

n-AC=2x+2y=02-24

平面AOP的法向量加=（1,0,0）,

?.?二面角D-AP-C的正弦值為逅,

/.\cos<m,ri>\

解得人;，(0,1,1),

PF的長度|PF|二J(0-0)2+(1—0)2+(1—2)2=y/2.

z

X

【點(diǎn)睛】

本題考查了異面直線夾角，根據(jù)二面角求長度，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.

21、（I）詳見解析；（II）能，4-幣或4+幣.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)直線/：y=H+b（左力。//0）,直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理求根與系數(shù)的關(guān)系，并

表示直線的斜率，再表示［.：:；

9

（2）第一步由（1）得。河的方程為丁=-7%.設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為修，直線與橢圓方程聯(lián)立求點(diǎn)尸的坐標(biāo)，第

k

二步再整理點(diǎn)一的坐標(biāo)，如果能構(gòu)成平行四邊形，只需一-二.，，如果有值，并且滿足左＞0,k/3的條件就說

明存在，否則不存在.

試題解析：解：⑴設(shè)直線/：y=H+人（左wO,bw。），AU，%）,B（x2,y2）,

y=kx+bcc

工由,(^2+9)x2+2kbx+b2-m2=0

9x9+y9=m99

x+x9kb779b

%M二=Q,yK/f-k^M+b=-z?

M2k~+9MMk2+9

直線OM的斜率=