江西省南昌市2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試題（附答案）

o

江西省南昌市2023_2024學(xué)年高二上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.已知直線4：x+，+7=O和幺（機(jī)-2）x+3y+2〃=0互相平行，則

A.加二-3B.加=TC.加=1或冽=3D.加=T或機(jī)=3

122

2.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為2,且它的長軸長等于圓C：x'+>-2x-15=°的半

徑，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

2222

oXVxy1

而——+—=1——+—=1

43

抑A.B.1612

1-1

—+/=1

C.4D.164

3.直線乙=行）與曲線/一/=1。>°）相交于A、8兩點(diǎn)，則直線/傾斜角的取值范

圍是（）

喙

A.根夕）

o

4.在三棱錐/「BCD中，M是平面上一點(diǎn)，且=++則片（）

教

j_2

A.1B.2C.5D.5

5.已知尸為拋物線°：V=4x的焦點(diǎn)，過廠的直線/與C相交于A、B兩點(diǎn)，線段的垂

直平分線交x軸于點(diǎn)加，垂足為￡,若M冏=6,則忸的長為

o

A.2亞B.后C.2D.G

CZ+￡=i,,,,

6.已知耳，工是橢圓59的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且下用=1耳項(xiàng)，則

K△尸與鳥的內(nèi)切圓的半徑r=（）

后

A.1B.石C.5D.2

O

7.已知雙曲線。/一記的兩個(gè)頂點(diǎn)為&4,雙曲線C上任意一點(diǎn)P（與

5

4,4不重合）都滿足P4,P4的斜率之積為則雙曲線c的離心率為（）

221Vs

A.4B.2c.3D.2

8.已知M是/=8y的對(duì)稱軸和準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)"是其焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在該拋物線上，且滿足

盧叫叫叫，則實(shí)數(shù)"的最大值為（）

3

A.2B.6C.2D.^2

二、多選題

9.已知空間向量"=（-2廠1，1）,'=。，4,5）,則下列結(jié)論正確的是（）

c.al（5a+60D.%在B上的投影向量為〔io'（以

10.已知橢圓C：2516,與分別為它的左右焦點(diǎn)，A,B分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)

尸是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（）

TT

A.存在尸使得

7

B.c°s”大秋的最小值為不

ZFPF=—A16y

C.'23,則△耳尸片的面積為3

16

D.直線尸/與直線尸5斜率乘積為定值25

11.已知拋物線C：/=12丫，點(diǎn)尸是拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)尸是拋物線C上的一點(diǎn)，點(diǎn)

.（4,3）,則下列說法正確的是（）

A.拋物線C的準(zhǔn)線方程為-3

B.若歸制=7,則△PMF的面積為2"一3

c.附T嗎的最大值為癡

D.Am?的周長的最小值為7+.

12.已知耳、耳分別為雙曲線/一爐」（">°'>°）的左、右焦點(diǎn)，且I"卜a，點(diǎn)尸為雙

曲線右支一點(diǎn)，/為鳥的內(nèi)心，若％嶼=$，%+K即i成立，則下列結(jié)論正確的有

（）

1+V5

A.當(dāng)P尸2,X軸時(shí)，/尸耳尸2=30。B.離心率e2

7V5-1

X=--------

C.2D.點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為定值°

三、填空題

13.拋物線C：V=2px（P>0）的焦點(diǎn)為凡點(diǎn)尸（2,加）為。上一點(diǎn)，若|尸產(chǎn)|=3,則加=

14.經(jīng)過點(diǎn)尸GT）,且被圓C：無2+/一6》-2了-15=0所截得的弦最短時(shí)的直線/的方程為一

22

15.已知匕丹分別為雙曲線C：/一屏一乂">°'>°）的左、右焦點(diǎn)，內(nèi)司=4.以線段

71

片￡為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)4雙曲線C的一條漸近線的傾斜角為3,則直

線片”的斜率為.

2222

-y+與=1（。>6>0）—2~^~T=Km>0,?>0）Fp

16.已知橢圓。b2和雙曲線/n2有相同的焦點(diǎn)么，力,尸為

ji

e9,Z-F.PE.——

橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，橢圓與雙曲線的離心率分別為3,且

%c［幾百］,則G的取值范圍為.

四、解答題

17.已知空間三點(diǎn)/（一2，°，2）,雙T』,2）,C（-3,0,4）,設(shè)標(biāo)&,AC=b.

⑴求Z與3的夾角夕的余弦值；

⑵若向量煬+刃與筋-2族互相垂直，求后的值.

18.已知直線/經(jīng)過兩條直線2無一"3=0和4x_3y_5=0的交點(diǎn)，且與直線x+y-2=0垂

直.

(1)求直線/的一般式方程；

(2)若圓C的圓心為點(diǎn)G，°),直線/被該圓所截得的弦長為2a，求圓°的標(biāo)準(zhǔn)方程.

f273V6

1+4=1(°>6>0)A

19.已知橢圓。b2“過點(diǎn).其左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳、工，短

軸的一個(gè)端點(diǎn)為S且6

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

7C

AMON&

(2)設(shè)直線/：了=h+2與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M,N,且。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若5"

求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

20.己知雙曲線a的離心率為3

(1)求雙曲線C的方程.

(2)直線V=+M.-°)與該雙曲線°交于不同的兩點(diǎn)河、N,且〃、N兩點(diǎn)都在以點(diǎn)

為圓心的同一圓上，求優(yōu)的取值范圍.

2

21.已知拋物線C：丁=2px經(jīng)過點(diǎn)尸(1,2).過點(diǎn)0(0,1)的直線/與拋物線C有兩個(gè)不

同的交點(diǎn)B,且直線尸/交了軸于直線尸2交/軸于N.

(I)求直線/的斜率的取值范圍；

11

----------------1------

(II)設(shè)。為原點(diǎn)，QM=2QO,QN=/°,求證：2〃為定值.

22

C：—+A-=l(a>6>0)F尸p

22.己知橢圓。b2的左、右焦點(diǎn)分別為《、F2,過心且垂直于x軸的直線

OU

與C交于兩點(diǎn)，且M的坐標(biāo)為I2人

(1)求橢圓°的方程；

(1)過&作與直線“乂不重合的直線/與C相交于P,0兩點(diǎn)，若直線尸用和直線0N相交于點(diǎn)

T,求證：點(diǎn)7在定直線上.

1.D

根據(jù)兩條平行直線的斜率相等，且截距不等，解方程即可求得加的值.

【詳解】因?yàn)橹本€4：x+磔+7=。和々(%-2)x+3y+2加=0互相平行

當(dāng)7〃=0時(shí)兩條直線不平行，即N°

1m—27工2m

則加3,且加3

化簡(jiǎn)可得力-2加-3=0

解方程可得，"=T或機(jī)=3

經(jīng)檢驗(yàn)％=T或僅=3都滿足題意

故選:D

本題考查了直線平行時(shí)的斜率關(guān)系，根據(jù)平行關(guān)系求參數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【分析】求出圓C的半徑，可得出。的值，結(jié)合離心率可得出。的值，進(jìn)而可求出6,結(jié)合橢

圓焦點(diǎn)的位置可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為。一1)一+/=16,圓C的半徑為4,則2a=4,即a=2,

c_c_\

又因?yàn)?。?一］,則c=l,所以，b￡a°一c2=N2K,

IT

因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在X軸上，因此，該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是43.

故選：A.

3.B

【分析】聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，利用判別式和韋達(dá)定理可求斜率的范圍，從而得到傾斜

角的范圍.

y=kQ-血)

【詳解】由i-2=l(x>0)可得⑸=i(x>0),

整理得到0-H)/+2岳2X_2FT=0在(0,+8)上有兩個(gè)不同的根,

-2F-1

>0

\-k2

<8rt+4（1-左2）G后2+1）>0

>0

故〔1-H,解得上<T或后>1,

故直線的傾斜角的范圍為:

故選：B

4.B

【分析】結(jié)合向量的減法運(yùn)算對(duì)已知關(guān)系進(jìn)行變形，結(jié)合向量四點(diǎn)共面結(jié)論列方程求看.

UUUULAUUUU

【詳解】根據(jù)向量的減法運(yùn)算可得九少=/。-

又5而=3萬+/就+礪，

所以5而=3萬+t就+而-而，

所以6萬7=39+/就+五5,

AM=-AB+-AC+-AD

所以266,

又M是平面8。上一點(diǎn)，所以3初=》就+＞前,

AM-AB=x(AC-ABy-y(AD-AB^

所以

所以/A/=(l-x-y^AB+xAC+yAD

11

1-X-y=-x=—y=-

所以266

21

x=-y=—

所以6,6,t=2.

故選：B.

5.B

【分析】設(shè)直線/的方程為％=叼+1,設(shè)“石，%），8（%，%）/6，%），M+歹2=4加，利用“設(shè)

而不求法”表示出“（2"2+1'2心），再求出河（2療+3,0）,禾U用兩點(diǎn)間的距離公式求出阿.

【詳解】由尸為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)得尸（1,0）.

設(shè)直線/的方程為、=叩+1,并與V=4x聯(lián)立得-4=0

設(shè)/（XQi）I（X2，%），E（/，%）/i+y2=4m,則%=2=2冽,/=2/+1,

/、21

（2加2+1,2加）又［4同=玉+%2+2=加（必+%）+4=4加2+4=6解得機(jī)=2

線段的垂直平分線為一加=-加々-2/_1）,令…，得M（W+3,0）,

\ME\=^（2m2+3-2m2-+（0-2w）2="+4加？=而

從而

故選：B.

6.C

【分析】根據(jù)橢圓方程求出。、b、c的值，即可得到陽四、忸閭、聲用的值，從而求出

△尸片外的面積，再利用等面積法求出內(nèi)切圓的半徑.

22

。?上+匕=1

【詳解】解：橢圓59中，力=9,按=5,則/=02_尸=4,j=3,c=2,

...閨閭=2c=4.J吶+|尸閭=2a=6,附上閨周，，|尸閭=2,

^=1x2x74^7=715邑呻=:《尸￡|+|尸閭+由村＞=而

,?,2.，?,?2.，

V15

r=-----

解得5.

故選：C.

7.B

222

k.k=上.上=?上一匕=i

【分析】首先設(shè)尸（X/）,根據(jù)題意直接求出時(shí)x+ax-a再由/b2代

,,b25

入可得"/4,再利用。2=/+〃，即可得解.

【詳解】設(shè)尸（X/）,由4（一。,0），4（。,0）,

2222

上一匕=1丫2二”.

由//，所以b2,

k.k=工.j=/二生=）

P1P2

可得X+Qx-ax2-a2a24,

所以5Q2=4〃=4（c2-a2）,

c2_9_c_3

即9/=4H,所以/一^,所以離心率e-Z-，.

故選：B

8.D

【分析】利用拋物線的定義及直線與拋物線的位置關(guān)系計(jì)算即可.

【詳解】

易知N(0,2),M(0,-2),如圖所示，過p作于準(zhǔn)線，垂足為A點(diǎn)，

\PM\\PM\1

J____L-=-____L=___________

由拋物線定義知網(wǎng)中M,則|即一K-^APMA

易知當(dāng)直線尸M與拋物線相切時(shí)NPMA最小，則m取得最大值，

不妨設(shè)勒：了=履-2,與拋物線方程聯(lián)立得f-8區(qū)+16=°nA=(-8A-)--16x4=°n左=土1,

ZPMA=45°n加=--------=V2

此時(shí)可知smZPMA

故選：D

9.BCD

【分析】利用空間向量的坐標(biāo)表示及投影向量的定義一一計(jì)算即可.

__12_Z

【詳解】易知2a+'=(T2,7),顯然與“口”7,故A錯(cuò)誤；

易知B|=J(_2)2+(_1)2+.=后,忖=J32+42+52=5亞=5同=6忖

故B正確;

55+6^=（8,19,35）^5-^+66）=-2x8+（-l）xl9+lx35=0

易知故C正確;

a-bf-5（3,4,5）=/,一

—「b=——x

3b50

z在行上的投影向量,故D正確.

故選：BCD

10.BC

【分析】由橢圓方程得。=5,6=4,c=3,利用向量的數(shù)量積得最大張角的余弦符號(hào)，可判

斷張角的大小，對(duì)焦點(diǎn)三角形使用余弦定理可得c°s”月尸外的最值，利用三角形公式可求得焦

點(diǎn)三角形面積，設(shè)橢圓上一點(diǎn)尸（尤））,通過坐標(biāo)運(yùn)算可以得到的/原B的值.

【詳解】設(shè)橢圓C短軸上下頂點(diǎn)分別為。，E,

。=1

由題知橢圓C：2516中，a=5,6=4,c=3,

所以耳（一3,0）,鳥（3,0）,工（-5,0）,3（5,0）,￡>（0,4）；￡（。,一4）,

對(duì)于A選項(xiàng)，由于斯=（T一4）,研=（3，-4）,函.函=-9+16=7>0

71

所以/丹桃的最大角為銳角，故不存在P使得尸"一5,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，記附卜機(jī)"*=〃，則枕+〃=10,

m2+n2-36(m+w)2-2mn-36

COSZFXPF2=

由余弦定理:2mn2mn

64-2mn321、32.7

=------------=-------1>-----------7--1=—

2mnmn(m+n\25

當(dāng)且僅當(dāng)歸用=歸工1時(shí)等號(hào)成立，B正確;

71

/F\PF?=—

對(duì)于C選項(xiàng)，由于3,

2

由焦點(diǎn)三角形面積公式得到B=btan；ZFtPF2=16xtan己=~~

C正確;

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)尸GM（XH±5）,4（-5,0）,'（5,0）

一+

則2516

y

x+5

故選：BC.

11.ACD

【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得準(zhǔn)線方程為x=-3,即可判斷A,根據(jù)拋物線定義得到

%=4,故尸點(diǎn)可能在第一象限也可能在第三象限，分情況計(jì)算三角形面積即可判斷B,利用

三角形任意兩邊之差小于第三邊結(jié)合三點(diǎn)一線的特殊情況即可得到'（再用=1"列，

計(jì)算即可判斷C,三角形加尸的周長=仍叫+阿+四口也+即+而，再結(jié)合拋物線定

義即可求出口“什尸廠I的最小值，即得到周長最小直

【詳解】?3=12x,."=6,"（3,0）,準(zhǔn)線方程為工=一3,故A正確；

根據(jù)拋物線定義得附=辱+耳=辱+3=7「.=4「"（4,3）,

軸，當(dāng)x=4時(shí)，y=±4A/3；

若9點(diǎn)在第一象限時(shí)，此時(shí)也"），

故PM=4卮3,*的高為1,故29（3>1=2癢之

若點(diǎn)?在第四象限，此時(shí)P。"），故尸屈=46+3,

△PMF的高為1,故叢的=于?"+3）<1=2"+5,故B錯(cuò)誤；

■.■\PF\-\PM\<\MF\t：.（|尸可-|PM晨=|即|=J（4-3）2+（3-07=而，故c正確;

（連接八勿，并延長交于拋物線于點(diǎn)?，此時(shí)即為最大值的情況，

圖對(duì)應(yīng)如下）

過點(diǎn)P作尸。1準(zhǔn)線，垂足為點(diǎn)。,

△PMF的周長=歸叫+1防1+1尸川=I尸闿+1"1+而=I尸闿+1尸。+河

若周長最小，則戶M+戶以長度和最小，顯然當(dāng)點(diǎn)己機(jī)。位于同一條直線上時(shí),

戶M+M的和最小,

此時(shí)1PM+|融|=|叫=7,

故周長最小值為7+廂，故D正確.

故選：ACD.

12.BCD

【分析】當(dāng)尸用口軸時(shí)，由戶閶="='=寸"周，得的"幽'=5；由舊閶=7可得

e~T=O求出離心率；設(shè)△小尸2的內(nèi)切圓半徑為人由附㈤*=2。，|贈(zèng)|=2c，用

的邊長和廠表示出等式中的三角形的面積，解此等式求出幾；由切線的性質(zhì)面積和雙

曲線的定義可得/的橫坐標(biāo).

【詳解】當(dāng)尸耳二軸時(shí)，因卜了“#用，

tanZPFR=—

此時(shí)2,所以《錯(cuò)誤；

整理得/-0-1=0（e為雙曲線的離心率），

1+V5

??,e>l,「-2,所以2正確.

設(shè)△尸耳耳的內(nèi)切圓半徑為「，

由雙曲線的定義得附T明=2〃，|/=2C,

SFrS

AIPFI=1|^i|,$△里=g|P用"AFIF2=1-2cr=cr

..S△左母二S/尸尸2+/SIFXF2,

,llPFll-r=llp^l-r+2cr

1_V5-1

X-=---------------=-=-------=--------

2cc1+V52

故2,所以。正確.

設(shè)內(nèi)切圓與尸耳、尸鳥、片工的切點(diǎn)分別為〃、N、T,

可得1PMi=|PNI=閨「，I&N卜|居7|.

由歸司一|「蜀=|可叫一上川=閨「一舊7|=2a,

閨匐=|單1+1取1=2c,

可得照7卜c-a,可得T的坐標(biāo)為（出°）,

即I的橫坐標(biāo)為a,故。正確；

故選BCD.

本題考查雙曲線的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)的值，考查圓的切線的性質(zhì)，化

簡(jiǎn)運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題.

13.±2如

【分析】根據(jù)拋物線的定義，利用代入法進(jìn)行求解即可.

【詳解】拋物線2"的準(zhǔn)線方程為：‘一一,，因?yàn)楦?=3,

所以2，把弋入拋物線方程中，得

m2=2x2x2^>m=±2也,

故土2也

14.x+2y=0

【分析】當(dāng)P是弦中點(diǎn)，她能a，/時(shí)，弦長最短.由此可得直線斜率，得直線方程.

【詳解】根據(jù)題意，圓心C為"』），當(dāng)。尸與直線/垂直時(shí)，直線/被圓C所截得的弦最短，

k=1-（T）=2kJv+l^--（x-2）

此時(shí)0P3-2,則直線/的斜率2,則直線/的方程為’2、）,

變形可得x+2y=°.

故x+2.y=°

4-e

15.3

【分析】根據(jù)條件求出雙曲線方程再結(jié)合圓的方程，聯(lián)立可解出點(diǎn)A坐標(biāo)，進(jìn)一步計(jì)算即可.

【詳解】力尸闖=4」.2C=4,C=2,

—萬—b—+tan—n—7國3

又一條漸近線的傾斜角為3,所以。3，結(jié)合c2="+/,

可解的a=1,6=百，

X=1,??

所以雙曲線C的方程為3①,

又線段片名為直徑的圓的方程為/+/=4…②,

聯(lián)立①②，結(jié)合點(diǎn)A在第一象限，可得2'5),

又片(-2,0),則T+2

4-V7

故答案為.3

■而

至，虧

16.L」

Z72=-Z?2吊=孑一土仔

【分析】根據(jù)題意得到等量關(guān)系，結(jié)合余弦定理得到3,3,利用

T萬向求出TIT,進(jìn)而得到“edS事.

22222

【詳解】由題意得：附卜附|=2切，附|+|%=2。，F(xiàn)xF2=2ca-b=m+n=c,解

得：閥|=°+加"*="%由余弦定理得：

8S/但=生J

2方甩3一2〃2,解得：/+3/=公2,因?yàn)?/p>

1+e

a2-b2^m-+n2^c\解得："=-ifrh=a2--Z72弓=5

3.3，因?yàn)?/p>

仔「32

#-----￡〔—5'—3

解得:

A/3TIP

故135

Vio

17.(i)10

k」

(2)2或左=2

【分析】（1）根據(jù)空間向量夾角公式求解即可.

（2）根據(jù)題意得到（"1）/+2）+*-8=0,再解方程即可.

［詳解］(1)力C=B=(-l,0,2)

-1Vio

雨-7T7Flo-

“、ka+b=k0)+1,0,2)=(k—1,k,2)ka—2b—k0,1,0)—21,0,2)=(左+2,k,—4)

因?yàn)橄蛄孔骯+9與筋-2族互相垂直，所以（1）（左+2）+8=0,

k=~-

即2/+斤_io=o,解得2或左=2.

18.（l）x-"l=°

2

（2）（X-3）+/=4

【分析】（1）由題意求出兩直線的交點(diǎn)，再求出所求直線的斜率，用點(diǎn)斜式寫出直線/的方程;

（2）根據(jù)題意求出圓的半徑，由圓心寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

j2x-y-3=0（x=2

【詳解】（1）解：由題意知1以一3了一5二°,解得〔＞=1,

，直線2x7-3=°和4》-3了-5=°的交點(diǎn)為（2,1）；

設(shè)直線/的斜率為左，與直線x+V-2=°垂直，.?.左=1；

二直線/的方程為＞T=（X一2）,化為一般形式為X-＞T=°；

（2）解：設(shè)圓C的半徑為廠，則圓心為C（3，。）到直線/：x-〉T=°的距離為

|3-0-1|=屋+（號(hào)）2=訴2+（*

=叵F2=4

#+T由垂徑定理得

解得尸=2,

???圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（X_3）2+/=4

X22,

—+y=1

19.(1)4

⑵kG(-CO,-2)U(2,+OO)

【分析】（1）利用橢圓的性質(zhì)結(jié)合待定系數(shù)法計(jì)算即可

（2）利用平面向量的夾角公式結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即可.

42

33

/十F一1n/=46=1

b￡

sin4KF2

【詳解】（1）由題意可知Ia2

X22?,

—i-y=1

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：4'

（2）設(shè)”&，乂），"（工2，8），

D=()n("2+1”+16丘+12=0

聯(lián)立

A=(-16A;)2-48(4A;2+l)>0

16k29

x,+x2=------

124左2+1

12

所以

7T

/MON￡—,TI2

則麗.礪=xxx2+yxy2=(k+1)//+2k(X[+x2)+4<0

又2

12優(yōu)2+1)32.2

—~2一蘭」+L2“

即4女2+14^2+1

所以左￡（-8,-2）。（2,+8）

-——y2=1——<m<Q

20.(1)3；(2)4或心>4

2A/3

【分析】（1）根據(jù)離心率為亍，6=1結(jié)合性質(zhì)/=/+/,列出關(guān)于。。的方程組，求

y=kx+m,

"X22

出。的值，即可得結(jié)果；（2）由〔3'一1,消去了得：（1-36-6而x-3/一3=0,

由/尸1MV,可得弘2=4優(yōu)+1,由判別式大于零可得力+1>3公，綜合兩式即可得結(jié)果.

c

V廠亍，

【詳解】（1）依題意［02+12='2,解得./=3

X22.

---y=1

所以雙曲線C的方程為.3-

y=kx+m,

⑵由匕一"=1,消去了得：（1-3左2/-6府-343=0

由已知：1-3公wo,且△=12（m2+l-3A）>0nm2+i>3左2①

設(shè)：(尤2，%),的中點(diǎn)尸&，％),

x+x93km.m

則021—3〃，為01-3P,因?yàn)榧癢,

m

_1_3左2._m+\-3k2_1

AP===

3kmQ3km"I

所以1-3公，

整理得：3左2=4加+l②

聯(lián)立①②得：m2-4m>0,所以加<°或加>4,又3左？=4機(jī)+1>0,

m>——<m<0

所以4,因此4或%>4.

本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬于難題.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

的方法一般為待定系數(shù)法，根據(jù)條件確定關(guān)于a，°，c的方程組，解出。，仇，從而寫出雙曲線的標(biāo)

準(zhǔn)方程.解決直線與雙曲線的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與雙曲線方程

聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題.

21.(1)取值范圍是(-00,-3)U(-3,0)U(0,1)

(2)證明過程見解析

【詳解】分析：(1)先確定p,再設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零解得直線/

的斜率的取值范圍，最后根據(jù)尸尸8與y軸相交，舍去k=3,(2)先設(shè)/(打，力)，

2k-4_J_

B(X2,/)，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得再+“—一由，.再由由=幾前，

得'=1-"，〃=.利用直線尸尸3的方程分別得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，代入

11

—+—

化簡(jiǎn)彳〃可得結(jié)論.

詳解：解：(I)因?yàn)閽佄锞€產(chǎn)=2px經(jīng)過點(diǎn)尸(1,2),

所以4=2/解得p=2,所以拋物線的方程為f=4x.

由題意可知直線/的斜率存在且不為0,

設(shè)直線/的方程為嚴(yán)丘+1(存0).

(y2=4x

由［歹=Ax+1得k2x1+(2左—4)x+1=0

依題意A=。"4)2-4xrxl>0,解得k<()或0<k<1

又PA,尸2與y軸相交，故直線/不過點(diǎn)(1,-2).從而快3.

所以直線/斜率的取值范圍是(-00,-3)U(-3,0)U(0,1).

(II)設(shè)/(引，力)，B(%2，?2).

2k—41

由⑴知―一丁，*卞.

1=修(1)

直線尸/的方程為西-1

=一凹+2+2=_何+1+2

令x=0,得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為X］一］X］—1

%=■+2

同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為迎-1.

由麗=彳聲，麗=〃函得2=1-%，〃=1一%.

所

22k-4

1,1_11_X]-lX2-l_12平2-（X]+無2）_1左2+左2_

--1---------1---------------1-----------------------------------------------------乙

2〃1一加