2024年高考數(shù)學(xué)押題卷4附答案解析

2024年高考數(shù)學(xué)押題卷4

一.選擇題(共8小題)

1.已知集合4="61\]：<4},5={xSZ|x2-3x-4<0},貝l](CiU)^B=()

A.{0,2,3}B.{2,3}C.{x|2Wx<4}D.{x|2<x<4}

2.據(jù)統(tǒng)計(jì)，某地區(qū)所種植蘋(píng)果的果實(shí)橫徑(單位：加加)服從正態(tài)分布N(70,52),則果實(shí)橫徑在[60,75)的概率

為()

附：若X?N(山。2),則尸(R-o<x<|i+o)=0.6827；P(口-2。<X<\i+2o)=0.9545.

A.0.6827B.0.8413C.0.9545D.0.8186

3.3名工作人員安排在正月初一至初五的5天值班，每天有且只有1人值班，每人至多值班2天，則不同的安排方

法共有()

A.30種B.60種C.90種D.180種

4.某校甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加了第34屆全國(guó)青少年科技創(chuàng)新大賽，老師告知只有一位同學(xué)獲獎(jiǎng)，四人據(jù)此

做出猜測(cè)：甲說(shuō)：“丙獲獎(jiǎng)”；乙說(shuō)：“我沒(méi)獲獎(jiǎng)”；丙說(shuō)：“我沒(méi)獲獎(jiǎng)”；丁說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了”.若四人中只有一人判

斷正確，則判斷正確的是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

5.已知三條不重合的直線加，"，I,三個(gè)不重合的平面a,p,y,則下列命題不正確的個(gè)數(shù)是()

①若機(jī)〃"，〃ua,則加〃a；②若/J_a,l_Lm,貝lJa〃B；

③若a_Ly,p±y,aAp=/,貝！J/J_y；@mca,nca,n//^,貝!Ja〃仇

A.4B.3C.2D.1

6.已知函數(shù)/'(x)=kx,g(x)=詈，若關(guān)于X的方程/(x)=g(x)在區(qū)間［1,2］內(nèi)有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)

人的取值范圍是)

111ln21

A.[0,-)B.(―,-

2eec7孤)

7.已知函數(shù)/(%)=3sin(au+(p)(a)>0,|(p|<J)的部分圖象如圖所示，A,5兩點(diǎn)之間的距離為10,且/(2)

=0,若將函數(shù)/(%)的圖象向右平移，。>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后所得函數(shù)圖象關(guān)于歹軸對(duì)稱，則，的最小值為()

8.已知/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足/(2-x)=/(2+x),若/(I)=-2,則/(5)tf(2024)=()

A.-2B.0C.2D.4

第1頁(yè)(共18頁(yè))

二.多選題（共3小題）

（多選）9.若函數(shù)/（x）—xln（x+2）,貝！|（）

A./（x）的定義域是（0,+8）B.f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)

C.f（x）在點(diǎn)（-1,/（-1））處切線的斜率為-1D./G）在（0,+8）遞增

（多選）10.如圖所示，四邊形/BCD為梯形，其中/8〃C￡>,AB=2CD,M,N分別為48,DC的中點(diǎn)，則下列

T1T1T

A.AC—ADd-'2ABB.CM=^CA^-^CB

C.MN-^AD+ABD.BC=AD-AB

（多選）11.已知雙曲線C:/一1=1的左、右焦點(diǎn)分別為尸1,尸2,點(diǎn)P是雙曲線C的右支上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直

線/與雙曲線C的兩條漸近線分別交于N,則（）

A.P理—P盛的最小值為8

B.尸尸「尸尸2-?！?為定值

C.若直線/與雙曲線C相切，則點(diǎn)M,N的縱坐標(biāo)之積為-2

D.若直線/經(jīng)過(guò)尸2,且與雙曲線C交于另一點(diǎn)。，則P。的最小值為6

三.填空題（共3小題）

12.已知復(fù)數(shù)2=（?+2z）（1+/）的實(shí)部為0,其中i為虛數(shù)單位，則z表示的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.

/y2

13.已知橢圓C：/+金=1（。>6>0）的上、下頂點(diǎn)分別為43,右焦點(diǎn)為凡3關(guān)于直線肝的對(duì)稱點(diǎn)為夕.若

過(guò)N,B',尸三點(diǎn)的圓的半徑為0,則C的離心率為.

14.我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖昭提出了一條原理：“幕勢(shì)既同，則積不容異”.意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的

幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相

等.根據(jù)祖唾原理，現(xiàn)在要用3。打印技術(shù)制造一個(gè)零件，其在高為力的水平截面的面積為S（4）=n（9-廬），

0<hW3,則該零件的體積為.

第2頁(yè)（共18頁(yè)）

四.解答題（共5小題）

15.為了研究一種新藥治療某種疾病是否有效，進(jìn)行了臨床試驗(yàn).采用有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法得到如下的數(shù)據(jù):

抽到服用新藥的患者55名，其中45名治愈，10名未治愈；抽到服用安慰劑（沒(méi)有任何療效）的患者45名，其

中25名治愈，20名未治愈.

（1）根據(jù)上述信息完成服用新藥和治療該種疾病的樣本數(shù)據(jù)的2X2列聯(lián)表;

療法療效合計(jì)

治愈未治愈

服用新藥

服用安慰劑

合計(jì)

（2）依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為新藥對(duì)治療該種疾病有效？并解釋得到的結(jié)論.

2_n(ad—bc')2

附:%—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

a0.100.010.001

Xa2.7066.63510.828

第3頁(yè)（共18頁(yè)）

16.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”且&=2斯+〃-3.

(1)證明數(shù)列｛即-1｝為等比數(shù)列，并求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)在斯和斯+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為辦的等差數(shù)列，求數(shù)列｛上｝的前?項(xiàng)和Tn.

an

第4頁(yè)(共18頁(yè))

17.如圖，在圓柱。。2中，矩形A8CD是圓柱。1。2的軸截面，點(diǎn)尸在上底面圓周上(異于。，C),點(diǎn)E為下底面

圓弧荏的中點(diǎn)，點(diǎn)尸與點(diǎn)E在平面N8C?的同側(cè)，圓柱。1。2的底面半徑為1，高為2.

(1)若點(diǎn)尸是圓弧坑的中點(diǎn)，證明：平面。所_1_平面3CE；

(2)若NDOIFT，求直線。尸與平面COE所成角的正弦值.

第5頁(yè)(共18頁(yè))

18.已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)/(0,c)(c>0)到直線/：x-y-2=0的距離為；一,設(shè)P為直線/上的

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作拋物線C的兩條切線融，PB,其中45為切點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸(xo,yo)為直線/上的定點(diǎn)時(shí)，求直線48的方程；

(3)當(dāng)點(diǎn)尸在直線/上移動(dòng)時(shí)，求|/尸，的最小值.

第6頁(yè)(共18頁(yè))

19.設(shè)函數(shù)/(x)=機(jī)/+(x+l)e',其中mCR.

(1)討論/(x)的單調(diào)性;

(2)若/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，設(shè)極大值點(diǎn)為a,b為f3的零點(diǎn)，求證：a-b^lnl.

第7頁(yè)(共18頁(yè))

第8頁(yè)（共18頁(yè)）

2024年高考數(shù)學(xué)押題卷4

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題）

1.已知集合/={x€N|/<4},5={XGZ|X2-3X-4<0},貝！I(CR/)C2=

A.{0,2,3}B.{2,3}C.{x|24V4}D.{x\2<x<4}

解：由于/<4,可得-2<x<2,則集合/={0,1},x2-3x-4<0,可得-l<x<4,則集合3={0,1,2,3},

所以（CR/）A5={2,3}.故選：B.

2.據(jù)統(tǒng)計(jì)，某地區(qū)所種植蘋(píng)果的果實(shí)橫徑（單位：加加）服從正態(tài)分布N（70,52）,則果實(shí)橫徑在［60,75）的概率

為（）

附：若X?N（n，o2）,則P（廠o<X<n+o）=0.6827；P（黑-2。<X<n+2。）=0.9545.

A.0.6827B.0.8413C.0.9545D.0.8186

解：,:X?N（70,52）,，四=70,。=5,：.P（65<X<75）=0.6827,P（60<X<80）=0.9545,

：.P（60<X<75）=-，9^4-+°-6^27=0.8186.故選：D.

3.3名工作人員安排在正月初一至初五的5天值班，每天有且只有1人值班，每人至多值班2天，則不同的安排方

法共有（）

A.30種B.60種C.90種D.180種

C2xf2xC2

解：第一步，五天分成三組的分法為M23=15,第二步將這三組分給三個(gè)人，即Z3乂為3=90

故不同的安排方法種數(shù)是90種故選：C.

4.某校甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加了第34屆全國(guó)青少年科技創(chuàng)新大賽，老師告知只有一位同學(xué)獲獎(jiǎng)，四人據(jù)此

做出猜測(cè)：甲說(shuō)：“丙獲獎(jiǎng)”；乙說(shuō)：“我沒(méi)獲獎(jiǎng)”；丙說(shuō)：“我沒(méi)獲獎(jiǎng)”；丁說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了”.若四人中只有一人判

斷正確，則判斷正確的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

解：因?yàn)橹挥?人判斷正確，而甲和丙說(shuō)法矛盾，故兩人中有1人判斷正確，

故乙和丁都判斷錯(cuò)誤，則乙獲獎(jiǎng)，故丙沒(méi)獲獎(jiǎng)，即丙判斷正確，故選：C.

5.已知三條不重合的直線〃z,n,I,三個(gè)不重合的平面a,P，丫，則下列命題不正確的個(gè)數(shù)是（）

①若加〃”，〃ua,則加〃a；②若/J_a,"?u0,ll.m,貝Ua〃仇

③若a_l_y,p±Y>an0=/,貝!I/J_y；④機(jī)ua,n<za,n//^,貝！|a〃仇

A.4B.3C.2D.1

解：對(duì)于①，機(jī)〃"，〃ua時(shí)，7"〃?；?的￡1,所以①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，已知/J_a,加u0,l±m(xù),此時(shí)平面0可以是繞直線正旋轉(zhuǎn)的任一平面，所以a〃廿或a,0相交，所以②

錯(cuò)誤；

第9頁(yè)（共18頁(yè)）

對(duì)于③，記支口丫=加，0門丫="，在平面丫任取一點(diǎn)/(不在直線/上)，過(guò)點(diǎn)/作48_1_m=8,AC±n=C,

因?yàn)閍，％p±y,所以/2J_a,AC±^,所以/B，/,ACLI,即/，丫，所以③正確；

對(duì)于④，當(dāng)加〃〃時(shí)，平面a與平面0可以平行，可以相交，所以④錯(cuò)誤；則不正確的有3個(gè)，所以8正確;

故選：B.

6.已知函數(shù)/'(x)=kx,g(x)=—,若關(guān)于x的方程/(x)=g(x)在區(qū)間［1,2］內(nèi)有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)

人的取值范圍是()

11

(行；］

解：由/(x)=g(x)知，kx=詈，則k=菱令h(x)=蕓,X&［1,2］,

因?yàn)榉匠?(x)=g(x)在區(qū)間［1,2］內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

:.h(x)在［1,2］內(nèi)的圖象與直線y=人有兩個(gè)交點(diǎn)，="；磬,

1

???令l<x<y/e,令/i^x)<0/4e<x<2,.??當(dāng)x=y［e時(shí)，h(x)取最大值h(?)=%

/-V)Q

當(dāng)x=l時(shí)，h(1)=0；當(dāng)x=2時(shí)，/(2)=竽，因?yàn)椤?2)>h(1),

J4

數(shù)形結(jié)合易知，當(dāng)咐警，點(diǎn))時(shí)，〃(X)與直線尸后有兩個(gè)交點(diǎn).故選：C.

7.已知函數(shù)/(x)=3sin(a)x+(p)(3>0,即|在)的部分圖象如圖所示，A,8兩點(diǎn)之間的距離為10,且/(2)

=0,若將函數(shù)/G)的圖象向右平移/(/>())個(gè)單位長(zhǎng)度后所得函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，貝h的最小值為()

廠0

解：由題設(shè)圖象知，［48|=10,周期:;7=，102—62,解得T=16,；.3=^=奈可得/(x)=3sin(-+(|))

2/。8

7TTTTTTT,,,17T7T

'：/(2)=0,.,.sin(-x2+(|))=0,:送W①W務(wù)故得/(x)=3sin(gx—J

第10頁(yè)(共18頁(yè))

7TITTCTCTC

將函數(shù)/(x)的圖象向右平移，(f>0)的單位可得：j/=3sin[-(x-t))一耳|=3%(-%7),

0。oo4

函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，，一亞一冬=*而，整理得：f=-6-8比OO,

當(dāng)人=-1時(shí)，/的最小值為2.故選：B.

8.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足了(2-x)=/(2+x),若/(I)=-2,則f(5)t<(2024)=()

A.-2B.0C.2D.4

解：根據(jù)題意，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則/(-x)=-/(x)且/(0)=0.

又/(2-x)=/(2+x),令x=-3可得：/(5)=/(2-3)=/(-1)=-/(1)=2；

又由/(2-x)=/(2+x),變形可得/(-x)=/(x+4),而/(-X)=-/(x),所以/(x)=-/(x+4),

則有/(x+8)=-/(x+4)=/(x),所以函數(shù)/(x)是周期為8的周期函數(shù)，

所以/(2024)=/(8X253)=/(0)=0,所以/(5)+f(2024)=2+0=2.故選：C.

二.多選題(共3小題)

(多選)9.若函數(shù)/(x)—xln(x+2),貝！|()

A./(x)的定義域是(0,+8)B.f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

C.f(x)在點(diǎn)(-1,/(-1))處切線的斜率為-1D./G)在(0,+8)遞增

解：V/(x)=xln(x+2),，x+2>0,.?.函數(shù)/(x)的定義域是(-2,+0°).

對(duì)于函數(shù)的定義域是(-2,+8),故/不正確；對(duì)于2.令/(x)=0,即x歷(x+2)=0,解得x=0或x

=-1,故函數(shù)/(x)有2個(gè)零點(diǎn)，故8正確；對(duì)于C.斜率k=—1)=仞(―1+2)+^^=—1,故C正

uXX

確；對(duì)于Df(x)=bi(x+2)+15，x>0時(shí)，In(x+2)>0,-->0,

x+zx+2

故，(x)>0,f(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，故D正確；故選：BCD.

(多選)10.如圖所示，四邊形/2CO為梯形，其中AB=2CD,M,N分別為4B,OC的中點(diǎn)，則下列

結(jié)論正確的是()

A.AC=AD+^ABB.CM=^CA+^CB

C.MN=^AD+ABD.BC=AD-AB

^：AB=2CD,AB//CD,AC=AD+DC=4。+正確;M為N8的中點(diǎn)，；.CM=+CB)=^CA+^CB,

3正確；MN=MA+AD+DN=-^AB+AD+^AB=AD-^AB,C錯(cuò)誤；

T—>—>—?TT1T―>［一>

BC=BA+AD+DC=-AB+AD+^AB=AD-^AB,。錯(cuò)誤.故選：AB.

第11頁(yè)(共18頁(yè))

（多選）11.己知雙曲線C:，一1=1的左、右焦點(diǎn)分別為Q,尸2,點(diǎn)P是雙曲線C的右支上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直

線/與雙曲線C的兩條漸近線分別交于N,則（）

A.「尸：一「/^的最〃、值為8B.尸尸1?尸尸2-。尸2為定值

C.若直線/與雙曲線C相切，則點(diǎn)M,N的縱坐標(biāo)之積為-2

D.若直線/經(jīng)過(guò)尸2,且與雙曲線。交于另一點(diǎn)0,則尸。的最小值為6

解：依題意得。=1,b=?c=2,Fi（-2,0）,Fi（2,0）,\PFT\-\PFx\=2a=2,

2

2

設(shè)尸（xo,yo），則xo》l，x0--1,即為2=3久02_3,雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±Hx,

22

對(duì)于4PFl-PFl=（x0+2）+y02[（x0-2）+y02]=8x0>8,N正確；

222222

對(duì)于B,\PFr\.\PF2\-\OP\=V（x0+2）+y0?V（^-2）+y0+7o）

=J（X。+2）2+3%。2—3?1（=。-2）2+3%。2—3-（%。2+3%。2—3）

2

=（2%o+1）-（2x0-1）-（4%0-3）=2是定值，B正確；

對(duì)于C,不妨設(shè)V3%1）,N（%2，—V3X2）?直線/的方程為％=叼+〃，

X=my+n

由2y2_1，得（3冽2-1）y^+Gmny+^n2-3=0,

若直線/與雙曲線C相切，則A=36冽2層一12（3冽2-1）（層-1）=0,化簡(jiǎn)整理得幾2=1-3冽2,

則點(diǎn)N的縱坐標(biāo)之積為丫2=-3%1亞=-3?~~—=_[3：2=_3,C錯(cuò)誤；

1—V3m1+V3m

2b2

對(duì)于。，若0在雙曲線C的右支，則通徑最短，通徑為——=6,

a

若。在雙曲線C的左支，則實(shí)軸最短，實(shí)軸長(zhǎng)為2a=2<6,D錯(cuò)誤.故選：AB.

三.填空題（共3小題）

12.已知復(fù)數(shù)2=（a+2z）（1+力的實(shí)部為0,其中，為虛數(shù)單位，則z表示的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,4）

解：z=(Q+2Z)(1+z)=(Q-2)+(Q+2)ij

由復(fù)數(shù)2=（。+2力（1+z）的實(shí)部為0,得。-2=0,解得：。=2,

故z=4z.,

故復(fù)數(shù)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（0,4）.

y2

13.已知橢圓。：靛+=1(a>6>0)的上、下頂點(diǎn)分別為/，B,右焦點(diǎn)為F,3關(guān)于直線/尸的對(duì)稱點(diǎn)為夕.若

第12頁(yè)（共18頁(yè)）

,1

過(guò)/,B',尸三點(diǎn)的圓的半徑為a,則。的禺心率為

解：根據(jù)題意可得%A4FB,

...△/EB的外接圓的半徑為a,設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為E,

由對(duì)稱性易知：￡為△/EB的外接圓的圓心，

A\EA\=\EB\=\EF\=a,又|即=2c,

.c.c1

??a=2c,??e=—=亍,

ct2

,,…生,1

故答案為：

14.我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖曬提出了一條原理：“哥勢(shì)既同，則積不容異”.意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的

幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相

等.根據(jù)祖昭原理，現(xiàn)在要用3。打印技術(shù)制造一個(gè)零件，其在高為力的水平截面的面積為S(4)=TT(9-力2),

0<hW3,則該零件的體積為18TT.

解：該零件在高為〃的水平截面的面積為S(/z)=TT(9-h2)(0W〃W3),

總與一個(gè)半徑為3的半球在高為h處的水平截面面積相等，

147r

由祖眶原理，該零件的體積即為半球的體積5xwx33=187r.

故答案為：18TT.

四.解答題(共5小題)

15.為了研究一種新藥治療某種疾病是否有效，進(jìn)行了臨床試驗(yàn).采用有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法得到如下的數(shù)據(jù):

抽到服用新藥的患者55名，其中45名治愈，10名未治愈；抽到服用安慰劑(沒(méi)有任何療效)的患者45名，其

中25名治愈，20名未治愈.

(1)根據(jù)上述信息完成服用新藥和治療該種疾病的樣本數(shù)據(jù)的2X2列聯(lián)表；

療法療效合計(jì)

治愈未治愈

服用新藥

服用安慰劑

合計(jì)

(2)依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為新藥對(duì)治療該種疾病有效？并解釋得到的結(jié)論.

第13頁(yè)(共18頁(yè))

2_______?i(ad—bc)2______

X—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

a0.100.010.001

2.7066.63510.828

Xa

解：（1）2X2列聯(lián)表;

療法療效合計(jì)

治愈未治愈

服用新藥451055

服用安慰劑252045

合計(jì)7030100

2_”ad-bc）2_l0°（45x20—25x10）2?

S*—（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）—55x45x70x30~813>0.6處，

所以在犯錯(cuò)率不超過(guò)0.01的前提下，可以認(rèn)為新藥對(duì)治療該種疾病有效.

16.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S“，S.S?=2an+n-3.

（1）證明數(shù)列｛即-1｝為等比數(shù)列，并求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）在斯和斯+i之間插入"個(gè)數(shù)，使這什2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為右的等差數(shù)列，求數(shù)歹式上｝的前〃項(xiàng)和7”.

an

證明：（1）因?yàn)镾〃=2斯+〃-3①，

當(dāng)〃=1時(shí)，ai=2ai-2,所以QI=2,

當(dāng)〃三2時(shí)，52-1=2斯4②，

由①-②得Cln=2an-2斯_1+1,即Cln=2cin-1-1,

所以斯-1=2（Q〃.1-1）,又Q1-1=1,

所以數(shù)列｛即-1｝是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，

所斯-1=2nT,故斯二2九一1+1；

解：（2）因?yàn)檑?1=劭+（幾+1）dn，所以2"+1=2"I+1+（幾+1）dn，

解得％=%on-lr所以1瓦=n+后1，

所以Tn=或+―+養(yǎng)+…+

1234nn+1

/=厘+再+”??+后

療4—11111n+1

兩式相減侍=2+（天+齊+聲■+???+而T）--

1

,2.lEl-Cj）"-]n+1^n+3

—乙十_12九一D2九，

1-2

所以幾=6—霜?

第14頁(yè)（共18頁(yè)）

17.如圖，在圓柱。。2中，矩形A8CD是圓柱。1。2的軸截面，點(diǎn)尸在上底面圓周上(異于。，C),點(diǎn)E為下底面

圓弧荏的中點(diǎn)，點(diǎn)尸與點(diǎn)E在平面N8C?的同側(cè)，圓柱。1。2的底面半徑為1，高為2.

(1)若點(diǎn)尸是圓弧坑的中點(diǎn)，證明：平面。所_1_平面3CE；

(2)若NDOIFT，求直線。尸與平面COE所成角的正弦值.

(1)證明：：點(diǎn)E為下底面圓弧48的中點(diǎn)，點(diǎn)廠為上底面圓弧。。的中點(diǎn),

：.BE//CF,

是圓。1的直徑，：.DF±CF,BPDFLBE,

：3C_L圓面。1,：.BC±DF,

又CBCEB=B,.,.DF±5FffiBCE,

：DFu平面DEF,：.平面DETQL平面BCE；

(2)解：以。2為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。加、O1B、。2。1所在直線為x、y、z軸

建立空間直角坐標(biāo)系。2-xyz.

則E(1,0,0),C(0,1,2),D(0,-1,2),

：.F(y,-j,2),得法=(￥，I，0),

—>T

CE=(1,-1,-2),CD=(0,—2,0),

設(shè)蔡=(%,yfz)為平面CDE的一個(gè)法向量，則

JT

n-CD=x—y—2z=0_"一/八八八

-t，取z=l,得n=(2,0,1).

、n-CE=-2y=0

設(shè)直線。尸與平面cr>￡所成角為e,

一TTI——

sin0=|cos<n,DF>\=DP)=—

\n\-\DF\

第15頁(yè)(共18頁(yè))

18.已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)/(0,c)(c>0)到直線/：x-y-2=0的距離為；一,設(shè)尸為直線/上的

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作拋物線C的兩條切線PB,其中48為切點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸(xo,yo)為直線/上的定點(diǎn)時(shí)，求直線48的方程；

(3)當(dāng)點(diǎn)尸在直線/上移動(dòng)時(shí)，求3n的最小值.

解：(1)焦點(diǎn)/(0,c)(c>0)到直線/：x-y-2=0的距離d=與尹=賢=挈，解得c=l,

所以拋物線C的方程為x2=4y.

-11

(2)設(shè)4/)，B(%2，4虐),

由⑴得拋物線C的方程為丫=#，，=打

11

所以切線以，P3的斜率分別為5%,-%2,

所以E4：y-^xj=-x-O^PB：y-1%2=^x2(x-X2)@

聯(lián)立①②可得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(“攵，羊)，即x0=%&，%=等，

12

1y。—11

又因?yàn)榍芯€我的斜率為彳%1=------,整理得y()=^x1x0-

LXQ—XI乙4

直線AB的斜率k=母翌=號(hào)2=當(dāng)，

Xi—Xo4乙

所以直線AB的方程為y—"%：=4%0(%—%。，

]1]1

整理得y=2xox_2X1XO+4X1，即7=2久0%―y0，

因?yàn)辄c(diǎn)P(xo,J0)為直線/：x-y-2=o上的點(diǎn)，

第16頁(yè)(共18頁(yè))

所以-yo-2=0,即yo—xo~2,

所以直線的方程為xox-2y-2yo=O.

(3)根據(jù)拋物線的定義，有|/川=//+1,田川="城+1,

1111

所以|4F|?|BF|=J好+1)(4點(diǎn)+1)=i6xix2+[(/+彭)+1

11

=16X1X2+4鼠%1+X2)2-2%1久21+1，

由(2)得XI+X2=2XO,xix2=4yo,xo=/+2,

所以|明?|BF|=羽+4(4瑞-8y0)+1=%o+yo-2yo+1=(yo+2)2+%-2yo+1=2%+2y()+5=

109

2仇+])2+于

i9

所以當(dāng)yo=-十寸，M回?田產(chǎn)|的最小值為不

19.設(shè)函數(shù)/(x)=mx2+(x+1)e”,其中冽ER.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(%)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，設(shè)極大值點(diǎn)為b為f(x)的零點(diǎn)，求證：a-b^ln2.

解：(1)，(x)=2mx-xeX=x(2m-e%),

當(dāng)加WO時(shí)，2機(jī)-e%V0,

令，(x)=x(2m-e，)<0,得%>0,

令，(x)=x(2m-e-x)>0,得x<0,

所