河北省邯鄲市2022年高三年級(jí)下冊(cè)第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.關(guān)于圓周率亞數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，我們也可

以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)〃的值：先請(qǐng)全校加名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)（龍,?。辉俳y(tǒng)計(jì)兩數(shù)

能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（龍,的個(gè)數(shù)。;最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)a估計(jì)兀的值，那么可以估計(jì)靠的值約為（）

4a〃+2〃+2加4。+2M

A.B.C.D.-------

mmmm

2.設(shè)i是虛數(shù)單位，則（2+3。（3—2，）=（）

A.12+5zB.6-6iC.5iD.13

3.若(l+2ai)i=l—bi,其中a,bGR,則|a+bi|=().

A.-B.J5C.好

D.5

22

4.已知/(%)=ACOS(69X+^)(A>0,69>0,|^|<^,xe1的部分圖象如圖所示,

則/（%）的表達(dá)式是（)

B.2cosx+—

I4

3n

D.2cos—x---

24

5.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，問物幾

何？”人們把此類題目稱為“中國(guó)剩余定理”，若正整數(shù)N除以正整數(shù)機(jī)后的余數(shù)為“，則記為N=”(modm),例如

ll=2(mod3).現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的“等于().

A.21B.22C.23D.24

x>1

6.已知實(shí)數(shù)X,y滿足卜-y<0,則Z=x2+y2的最大值等于（）

x-\-2y-6<0

A.2B.2血C.4D.8

7.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()

俯視圖

A.24+萬(wàn)B.24—71

C.24—2〃D.24—3%

8.若a<Z?<0,則下列不等式不能成立的是（）

11

A.—>-B.C.\a\>\b\D.a2>b2

aba-ba

x-2y-2<0

9.若x、y滿足約束條件%-j+l>0,貝!]2=3%+2,的最大值為()

y<0

A.5B.9C.6D.12

10.我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和

陰爻“------如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻的概率是（）

11.在一個(gè)數(shù)列中，如果VneN*，都有44+M,+2=左（左為常數(shù)），那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，女叫做這個(gè)數(shù)列

的公積.已知數(shù)列｛4｝是等積數(shù)列，且4=1,g=2,公積為8,則4+。2+…+”2020=（）

A.4711B.4712C.4713D.4715

12.如圖，圓。是邊長(zhǎng)為2岔的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓,其與邊相切于點(diǎn)。，點(diǎn)〃為圓上任意一點(diǎn),

BM=xBA+yBD（x,yeR）,則2x+y的最大值為（）

uDc

A.V2B.73C.2D.2叵

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13.雙曲線好―工=1的離心率為________.

3

14.以（4,0）,（W，。）為圓心的兩圓均過（L0）,與V軸正半軸分別交于（0,%）,（0,%），且滿足lnyi+lny2=。，則

點(diǎn)（q,4）的軌跡方程為.

15.設(shè)S〃為數(shù)列｛〃篦｝的前憶項(xiàng)和，若詼>0,?1=1,且2s后詼（斯+力，〃￡N*,貝！ISio=.

16.已知a>0,b>0,c>4,且a+/?=2,則竺+￡—￡+正的最小值為.

bab2c-2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)｛x）=|x—2|一|x+l|.

（I）解不等式式x）>l;

（II）當(dāng)x>0時(shí)，若函數(shù)飄用="二^3>0）的最小值恒大于/（%）,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

X

8

x----

18.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為2：'（f為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正

〔y二—2+t

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為夕=2sin6.

（1）求直線/的普通方程與曲線。的直角坐標(biāo)方程；

jr

（2）若射線9=z（P>0）與/和。分別交于點(diǎn)A3,求IABI.

31

19.（12分）在AABC中，角A,3,C的對(duì)邊分別為a,4c,且COSA=M，tan（B-A）=-.

（1）求tanB的值；

（2）若c=13,求AABC的面積.

20.（12分）已知函數(shù)/⑺=a%+J+1—L

（1）證明：當(dāng)x>0時(shí)，/>/；

（2）若函數(shù)/（%）只有一個(gè)零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)。的值.

21.（12分）如圖，在三棱柱ADE-5CE中，平面A3CD，平面?zhèn)让鍭3CD為平行四邊形，側(cè)面至防為

正方形，AC±AB,AC=2AB=4,M為ED的中點(diǎn).

(1)求證：EB//平面AQW；

(2)求二面角A/-AC—尸的大小.

22.(10分)如圖，在四棱柱ABC。-AgGR中，底面ABC。為菱形，AB^CB].

(1)證明：平面5。，四，平面ABC。；

(2)若NZMB=60。，ADB]B是等邊三角形,求二面角4-8。-C1的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

0<%<1

由試驗(yàn)結(jié)果知力對(duì)o?1之間的均勻隨機(jī)數(shù)羽V，滿足c,,面積為1,再計(jì)算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(x,y),

O<J<1

滿足條件的面積，由幾何概型概率計(jì)算公式，得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計(jì)萬(wàn)的

值.

【詳解】

/、0<%<1

解：根據(jù)題意知，加名同學(xué)取加對(duì)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)(羽y),即彳，

對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形，其面積為1,

x2+y2<1

x+y>1

若兩個(gè)正實(shí)數(shù)羽y能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有八.，，

0<%<1

0<y<1

71i5,04a+2m

其面積S=-7—二；則有一=—解得力=

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問題.線性規(guī)劃可行域是一個(gè)封閉的圖形，可以

直接解出可行域的面積；求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)

變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.

2.A

【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可求得結(jié)果.

【詳解】

由復(fù)數(shù)的乘法法則得（2+3z）（3-2Z）=6+5Z-6Z2=12+5Z.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.C

【解析】

試題分析：由已知，-2a+i=l—bi,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，有a=-1,b=-l

所以|a+bi|=5（―萬(wàn)）？+（—1）2=,選C

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的充要條件，復(fù)數(shù)的模

4.D

【解析】

由圖象求出A以及函數(shù)y=/（力的最小正周期T的值，利用周期公式可求得。的值，然后將點(diǎn)1。21的坐標(biāo)代入函

數(shù)丁=/（光）的解析式，結(jié)合。的取值范圍求出9的值，由此可得出函數(shù)'=/（X）的解析式.

【詳解】

由圖象可得A=2,函數(shù)y=的最小正周期為—.?.0=,弓

將點(diǎn)信2）代入函數(shù)y=/（x）的解析式得/（看）=2?^]|^?+“=2,得cos[°+7]=l,

7171re7i37rr,"八兀

：----<(p<——,.——<69+—<——,貝!|0+—=0,(D=——

2244444

因此,/(%)=2cos

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用圖象求三角函數(shù)解析式，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

5.C

【解析】

從21開始，輸出的數(shù)是除以3余2,除以5余3,滿足條件的是23,故選C.

6.D

【解析】

畫出可行域，計(jì)算出原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離，由此求得z的最大值.

【詳解】

畫出可行域如下圖所示，其中，1,目,。（2,2）,由于|O4|=，2+[：=§,Qc|=2夜,所以|0C|>|Q4|,

所以原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離為2也.

所以z的最大值為（2應(yīng)了=8.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后結(jié)合空間結(jié)構(gòu)特征即可求得其表面積.

【詳解】

由三視圖可知，該幾何體為邊長(zhǎng)為2正方體ABCD-AB'C'D'挖去一個(gè)以3為球心以2為半徑球體的,，

如圖，故其表面積為24—3乃+衛(wèi)*4乂乃義22=24—乃，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

⑴以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治觯瑥娜晥D中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元

素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.

⑵多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.

(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的

面積之和.

8.B

【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】

選項(xiàng)A：由于a<3<0,即ab〉O,b-a>0,所以工―工="@〉0,所以所以成立；

ababab

116c11

選項(xiàng)B：由于a<Z><0,即a—Z?<0,所以一-一—=-一-<0,所以——<-,所以不成立;

a-baa{a-b)a-ba

選項(xiàng)C由于a<Z><0,所以—a>—。>0,所以|a|>屹I，所以成立；

選項(xiàng)D：由于a<b<0,所以—a>—3>0,所以|a|>屹|(zhì),所以/>/,所以成立.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查不等關(guān)系和不等式，屬于基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線z=3x+2y,找出直線在V軸上的截距最大時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)

計(jì)算即可.

【詳解】

x-2y-2<0

作出滿足約束條件y+120的可行域如圖陰影部分（包括邊界）所示.

y<0

y

/<?\/x-y+】=O

由z=3x+2y,得丁=—臥3+彳7，平移直線丁=一j會(huì)+^7,當(dāng)直線y=—臥3+彳7經(jīng)過點(diǎn)（2,0）時(shí)，該直線在V軸上

的截距最大，此時(shí)z取最大值，

即zmax=3X2+2X0=6.

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值，一般利用平移直線的方法找到最優(yōu)解，考查數(shù)形結(jié)合思想

的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對(duì)立事件，即該重卦沒有陽(yáng)爻或只有1個(gè)陽(yáng)爻的概率，再根據(jù)兩對(duì)立事件的概率和為1

求解即可.

【詳解】

設(shè)“該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻”為事件A.所有“重卦”共有26種；“該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻”的對(duì)立事件A是“該重卦沒有陽(yáng)

爻或只有1個(gè)陽(yáng)爻“，其中，沒有陽(yáng)爻（即6個(gè)全部是陰爻）的情況有1種，只有1個(gè)陽(yáng)爻的情況有C：=6種，故

1+67757

「⑷=F=d所以該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻的概率是「⑷?尸⑷》才彳

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了對(duì)立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎(chǔ)題.

11.B

【解析】

計(jì)算出血的值，推導(dǎo)出q+3=%(〃eN*),再由2020=3x673+1,結(jié)合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列｛4｝的前2020項(xiàng)

和.

【詳解】

—8,

由題意可知4+避“+2=8,則對(duì)任意的“eN*，。產(chǎn)0,則qa2a3=8,，%=-----=4,

由=8,得an+ian+2an+3=8,…4。"+1。"+2=4"+1""+2。”+3>-4+3=>

2020=3x673+1)因此，4+的■1----Fa，o2o=673(4+4+%)+4=673x7+1=4712.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列求和，考查了數(shù)列的新定義，推導(dǎo)出數(shù)列的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等

題.

12.C

【解析】

建立坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，得到2x+y的表達(dá)式，進(jìn)而得到最大值.

【詳解】

以D點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標(biāo)系，

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為1,以(0,1)為圓心，1為半徑的圓；

根據(jù)三角形面積公式得至！J|xZmxr=S=1xABxACxsin60°,

可得到內(nèi)切圓的半徑為1;

可得到點(diǎn)的坐標(biāo)為：B(-A/3,0),C(V3,0),A(0,3),D(0,0),M(cosai+sin6?)

麗=(cose+6/+sin8),麗=(6,3),而=(6,0)

故得到BM=^cos0+6,1+sin8)=(Gx+6y,3x)

故得至!|cos0=y/3x+也y-y/3,sin=3x-1

1+sin9

%=-------

3ccos61sin。42,、4八

2x+y=—『H-----H—=—sin(Z9zl+0)+—W2.

cos0sin82A/33333

'FF+g

故最大值為：2.

故答案為C.

【點(diǎn)睛】

這個(gè)題目考查了向量標(biāo)化的應(yīng)用，以及參數(shù)方程的應(yīng)用,以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等

式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的運(yùn)算,將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一

般方法.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2

【解析】

a=l,b=A/3c=y/a2+b2=2,e=—=2

a

x

14.y=-----

-2x-l

【解析】

根據(jù)圓的性質(zhì)可知（q,0）在線段AB的垂直平分線上，由此得到城=1-2%,同理可得賢=1-2電，由對(duì)數(shù)運(yùn)算法

則可知W%=1，從而化簡(jiǎn)得到出=/:，由此確定軌跡方程.

—1

【詳解】

In%+In%=In（%%）=°，二>1%=1，

QA（LO）和6（0，x）的中點(diǎn)坐標(biāo)為且（4,0）在線段AB的垂直平分線上,

A

.?.彳2—?鼻=—1,即才=1-2%,同理可得：4=1—2g,

工一1

???(1-2^)(1-2a②)=(%為丫=1，二%=丁=，

???點(diǎn)(q,出)的軌跡方程為V=—.

2x-l

X

故答案為：y=--

2x—1

【點(diǎn)睛】

本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用圓的性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則構(gòu)造出q,g滿足的方程，由此得到結(jié)果.

15.55

【解析】

由2al=2百=4(4+。求出/=1.由2s“=4(%+1),可得2S,i=a,i(%7+1),兩式相減，可得數(shù)列｛4｝是以1

為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即求Ho.

【詳解】

由題意，當(dāng)”=1時(shí)，2al=2S]=q(q+r),

%=1,2=1+%,「./=1

當(dāng)"N2時(shí)，由2Sn=an[an+1),

可得2SM=an_x(??_i+1),

兩式相減，可得2a“=an[an+1)—(??_1+1),

整理得(%+-an_x-1)=0,

an+%>0,/.an-%-1=0,

即an-%-l=1，

二數(shù)列｛4｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

故答案為：55.

【點(diǎn)睛】

本題考查求數(shù)列的前〃項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題.

1fi5百

10.-------

2

【解析】

由2=絲土生，先將f+J-1變形為生土少，運(yùn)用基本不等式可得最小值，再求

2bab24ab

好c+正=75[-(c-2)+—+1]的最小值，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性即可得到所求值.

2c—22c—2

【詳解】

解：因?yàn)椤?gt;0,b>0,c>4,且〃+匕=2,

b”cc，5(a11、A/5

bab2c-2\bab2)c-2

c(26+2—ab)A/5

labc-2

/7、2c2(〃+b)2I

2a+ab

因?yàn)?=("+’)，所以2a2+2-a?！?

2----------=-----------------

-2ablab

2

5a+b->2s/5ab45

4ab4ab2

當(dāng)且僅當(dāng)6=可時(shí)，取等號(hào)，

bycc，5(a1OA/5

所以一+------+——=c\-+------+——

bab2c-2\bab2)c-2

C(2〃2+2-ab)+yfi

2abc—2

A/5A/5

>-------CH-------------

2c-2

=聞9-2)+工+1]

2c-2

令/=c—2(/>2),則y/5[—(c—2)H-------------1-1]=A/5(—tH—l-1),

2c-22t

1111

令FQ)=5/+：+l(/22),貝!J/⑺=2—7>0,

所以函數(shù)f(t)在［2,+8)上單調(diào)遞增,

所以/Q)?/(2)=；x2+g+l=g

所以石[工(c—2)+^—+1]=6(工/+!+1)?6

2c—22t22

則所求最小值為生6

2

故答案為：生5

2

【點(diǎn)睛】

此題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意變形和滿足的條件：一正二定三相等，考查利用單調(diào)性求最值，考查化簡(jiǎn)

和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(I){x|x<0};(II)工+⑹。

【解析】

(I)分類討論，去掉絕對(duì)值，求得原絕對(duì)值不等式的解集；(H)由條件利用基本不等式求得g(x)m1n=26-1,

/(X)G[-3,1),再由2折一121,求得。的范圍.

【詳解】

(I)當(dāng)尤>2時(shí)，原不等式可化為％—2—x—1>1,此時(shí)不成立；

當(dāng)—時(shí)，原不等式可化為2—x—x—1>1,解得x<0,即—lWx<0；

當(dāng)光<一1時(shí)，原不等式可化為2-x+x+l>l,解得xv-l.

綜上，原不等式的解集是w%<()}.

(II)因?yàn)間(x)=ox+L—1226—1,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)等號(hào)成立，

xa

所以g(x)n?=g[Fl=2GL

當(dāng)x>0時(shí)，/(尤)=[12：；<g2,所以13,1).

所以26—121,解得故實(shí)數(shù)。的取值范圍為[L+8).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，難度一般；常見的絕對(duì)值不等式的解法，法一：利用絕

對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三:

通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.

18.(1)Z：x+y-4=0(x*0)；C:f+y2—2y=0.⑵|AB|=V2

【解析】

Q

(1)由％=4可得"0,

[8

x=-----

由2：’,消去參數(shù)f,可得直線/的普通方程為尤+y-4=0(x*0).

At

由夕=2sin?？傻孟?=2夕sin。，將y=psine,夕？=/十,2代入上式，可得f+>2一？>二。，

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0.

（2）由（1）得，/的普通方程為x+y-4=0（尤片0）,

JT

將其化為極坐標(biāo)方程可得0cos6+/?sin6>-4=O（（9#5）,

當(dāng)夕>0）時(shí)，幺=2及，必=忘，

所以|A81=|pA-pB|=|2忘一應(yīng)|=應(yīng)?

19.(1)3(2)78

【解析】

tan(B-A)+tanA

試題分析：（1）由兩角和差公式得到tanB=tan[（B-A）+A],由三角形中的數(shù)值關(guān)系得到

1-tan(3-A)-tanA

tanA=2也=±,進(jìn)而求得數(shù)值；（2）由三角形的三個(gè)角的關(guān)系得到sinC=^叵，再由正弦定理得到b=15,故面

cosA350

積公式為S=78.

解析:

3

（1）在5c中，由cosA=《，得A為銳角，所以sinA

，sinA4

所以tanA=-----=—

cosA3

tan(B-A)+tanA

所以tanB二A)+A]=

l-tan(B-A)-tanA

14

-+-

_33,o

，14

1—x—

33

(2)在三角形ABC中，由tanB=3,

所以si包呼,c°s5=需

由sinC=sin(A+3)=sinAcosB+cosAsinB=

]3x酒

由正弦定理名=白，得人岑=高卜=15,

sinBsinCsine13V10

50

114

所以AABC的面積S=—Z?csinA=—義15X13義一=78.

225

20.(1)證明見解析；(2)

2

【解析】

⑴把6工>「轉(zhuǎn)化成x>glnx,令g(x)=x-glnx,由題意得，即證明g(%)而0>0恒成立，通過導(dǎo)數(shù)求證即可

(2)直接求導(dǎo)可得，，“、"廠a『，令/。)=0,得x=2——或無(wú)=0,故根據(jù)0與2+—的大小關(guān)

f(%)=--——------aa

系來(lái)進(jìn)行分類討論即可

【詳解】

<<。<

證明：(1)令g(%)二%——Inx,貝！|g'(%)=l-----=———?

22犬2x

分析知，函數(shù)g(x)的增區(qū)間為||,+oo],減區(qū)間為

1-ln>0

所以當(dāng)xe(0,+8)時(shí),g(x)mm=g0=|"-"llnl=；11—Ing]|^|^

所以x>/nx,即x>inj

所以當(dāng)x>0時(shí),

解：(2)因?yàn)?(x)=ax：j+l—1,所以廣⑴「以2+(2。1'—a1%--

eexex

討論：

1/(尤2、

①當(dāng)a=時(shí)，/'(%)=--<0,此時(shí)函數(shù)〃尤)在區(qū)間(-吃位)上單調(diào)遞減.

又/⑼=0,

故此時(shí)函數(shù)/(%)僅有一個(gè)零點(diǎn)為0；

②當(dāng)0<4<《時(shí)，令/''(x)>。，得—1<x<0,故函數(shù)/(%)的增區(qū)間為[也」?,()],減區(qū)間為Jo」“J

2a\a)\a)

(0,+oo).

又極大值/(0)=0,所以極小值

當(dāng)x<一工時(shí)，有0<產(chǎn)<1.

a

又.+%+1>/+x>0，此時(shí)/(%)>。，

故當(dāng)0<。<3時(shí)，函數(shù)/(%)還有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

③當(dāng)a〉，時(shí)，令/''(%)>0得0<x<生'，故函數(shù)/(光)的增區(qū)間為10,33],減區(qū)間為(一8,0),\2a\+00

2a<aJ[a

又極小值/(0)=0,所以極大值/1號(hào)二]〉0.

若x>2,則(a+1)￡—(內(nèi)；?+]+])=%2—%—1,得(Q+1)12>+工+1,

所以f(x)=aX'+X+1-l

ex

<(￡+l)￡_1

e*

所以當(dāng)x>2且x>(a+l)2時(shí)，/(x)<0,故此時(shí)函數(shù)/(x)還有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.

綜上，所求實(shí)數(shù)。的值為1.

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式的恒成立問題和函數(shù)的零點(diǎn)問題，本題的難點(diǎn)在于把導(dǎo)數(shù)化成因式分解的形式，如

(2a-1)

-y-一廠廠,進(jìn)而分類討論，本題屬于難題

r（x）=

21.(1)證明見解析(2)45°

【解析】

(1)連接6。，交AC與。，連接由MO//EB,得出結(jié)論；

(2)以A為原點(diǎn)，AC,AB，AF分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACM的法向量，利用夾