人教版高中數(shù)學(xué)選修二4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（二）-B提高練（解析版） 同步練習(xí)

4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（2）-B提高練一、選擇題1．（2020·全國(guó)高二課時(shí)練）某城市年有人口萬(wàn)，該年醫(yī)療費(fèi)用投入億元，此后年該城市每年新增人口萬(wàn)，醫(yī)療費(fèi)用投入每年新增億元，已知年該城市醫(yī)療費(fèi)用人均投入元，則的值為（）．A．B．C．D．【答案】A【詳解】從年起該城市的人口組成一個(gè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，到年，該城市的人口為萬(wàn)，故年的醫(yī)療費(fèi)用投入為(元)，即億元，由于從年到年醫(yī)療費(fèi)用投入組成一個(gè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，∴，解得，故選A．2．（2020·吉林市第二中學(xué)高二期中）中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記載的“日月歷法”曰：“陰陽(yáng)之?dāng)?shù)，日月之法，十九歲為一章，四章為一部，部七十六歲，二十部為一遂，遂千百五二十歲，…．生數(shù)皆終，萬(wàn)物復(fù)蘇，天以更元作紀(jì)歷”．某老年公寓住有19位老人，他們的年齡（都為正整數(shù)）依次相差一歲，并且他們的年齡之和恰好為一遂，則最年長(zhǎng)者的年齡為（）A．71 B．72 C．89 D．90【答案】C【詳解】設(shè)這些老人的年齡形成數(shù)列，設(shè)最年長(zhǎng)者的年齡為，則由題可知數(shù)列是公差為-1的等差數(shù)列，且，則，解得.故選：C.3．（2021·上海松江區(qū)高二期末）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知點(diǎn)在直線上，若有且只有兩個(gè)正整數(shù)n滿足，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：由已知可得，由，所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為8，公差為-2，所以，當(dāng)n=4或5時(shí)，取得最大值為20，因?yàn)橛星抑挥袃蓚€(gè)正整數(shù)n滿足，所以滿足條件的和，因?yàn)?，所以?shí)數(shù)k的取值范圍是．故選：C．4．（2021·榆樹(shù)市第一高級(jí)中學(xué)校高二期末）風(fēng)雨橋是侗族最具特色的建筑之一．風(fēng)雨橋由橋、塔、亭組成．其亭、塔平面圖通常是正方形、正六邊形和正八邊形．如圖是風(fēng)雨橋亭、塔正六邊形的正射影．其正六邊形的邊長(zhǎng)計(jì)算方法如下：，，，…，，其中．根據(jù)每層邊長(zhǎng)間的規(guī)律．建筑師通過(guò)推算，可初步估計(jì)需要多少材料．所用材料中，橫向梁所用木料與正六邊形的周長(zhǎng)有關(guān)．某一風(fēng)雨橋亭、塔共5層，若，．則這五層正六邊形的周長(zhǎng)總和為（）A．100 B．110 C．120 D．130【答案】C【詳解】由已知得：，，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列前5項(xiàng)和為，因此有，所以這五層正六邊形的周長(zhǎng)總和為.故選：C.5．（多選題）（2020·揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C．當(dāng)或時(shí)，取得最大值 D．【答案】ABD【詳解】∵等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，∴，解得，故，故A正確；∵，，故有，故B正確；該數(shù)列的前項(xiàng)和，它的最值，還跟的值有關(guān)，故C錯(cuò)誤；由于，，故，故D正確，故選：ABD.6.（多選題）（2021·隨州一中高二期末）在數(shù)列中，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．C． D．【答案】BD【詳解】依題意得，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，，即數(shù)列中的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，，所以，兩式相減，得，即數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)從開(kāi)始，每隔一項(xiàng)的兩項(xiàng)相等，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)呈周期變化，所以，在中，令，得，因?yàn)?，所以，?duì)于數(shù)列的前31項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)滿足，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，故選：BD二、填空題7．（2021·安徽六安市高二期末）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差且，則取得最小值時(shí)，n的值為_(kāi)________．【答案】3或4【詳解】由，可得，因?yàn)?，所以，所以，所以．因?yàn)椋允沁f增數(shù)列，所以，顯然前3項(xiàng)和或前4項(xiàng)和最小．8．（2021·河南信陽(yáng)市高二期末）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，已知，，若對(duì)任意都有成立，則的值為_(kāi)_________．【答案】【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，解得，.所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，對(duì)任意都有成立，則為數(shù)列的最大值，因此，.9．（2021·河南駐馬店市高二期末）數(shù)列1，-2，2，-3，3，-3，4，-4，4，-4，5，-5，5，-5，5，…，的項(xiàng)正負(fù)交替，且項(xiàng)的絕對(duì)值為1的有1個(gè)，2的有2個(gè)，…，的有個(gè)，則該數(shù)列第2020項(xiàng)是__________．【答案】【詳解】將絕對(duì)值相同的數(shù)字分為一組，則每組數(shù)字個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，因?yàn)?，則2020項(xiàng)前共包含63個(gè)完整組，且第63組最后一個(gè)數(shù)字為第2016項(xiàng)，且第2016項(xiàng)的符號(hào)為負(fù)，故2020項(xiàng)為第64組第4個(gè)數(shù)字，由奇偶交替規(guī)則，其為.10．（2020·山東菏澤高二期末）植樹(shù)節(jié)某班41名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹(shù)，每人植一棵，相鄰兩棵樹(shù)相距10米.開(kāi)始時(shí)需將樹(shù)苗集中放置在第（）個(gè)樹(shù)坑旁邊，則將樹(shù)苗集中放置在第______個(gè)樹(shù)坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹(shù)坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和最小.【答案】.【詳解】設(shè)每位同學(xué)從各自樹(shù)坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和為，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.三、解答題11．（2021·云南省保山第九中學(xué)高二期末）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列.（3）令，問(wèn)數(shù)列的前多少項(xiàng)的和最?。孔钚≈凳嵌嗌?？【詳解】解：（1）由已知得，，，；，，化簡(jiǎn)得，，又由已知得，，（2）由題意得，，①令，得，②得，，化簡(jiǎn)得，，進(jìn)而得到，，又由為正項(xiàng)數(shù)列得，，故有，，所以，，故數(shù)列是等差數(shù)列，由（1）得，，所以，（3）由（2）得，，明顯地，為等差數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為，故有，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，的對(duì)稱軸為，因?yàn)闉檎麛?shù)，明顯地，取或時(shí)，有最小值，故最小值為，，所以，數(shù)列的前9或前10項(xiàng)的和最小，最小值為.12．（2021·上海浦東新區(qū)華師大二附中高二期末）某種病毒感染性腹瀉在全世界范圍內(nèi)均有流行，感染對(duì)象主要是成人和學(xué)齡兒童，寒冷季節(jié)呈現(xiàn)高發(fā)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，某市11月1日開(kāi)始出現(xiàn)該病毒感染者，11月1日該市的病毒新感染者共有20人，此后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人，由于該市醫(yī)療部分采取措施，使該病毒的傳播速度得到控制，從第天起，每天的新感染者比前一天的新感染者減少30人，直到11月30日為止.（1）設(shè)11月日當(dāng)天新感染人數(shù)為，求的通項(xiàng)公式（用表示）；（2）若到11月30日止，該市在這30日感染該病毒的患者共有8670人，11月幾日，該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多？并求出這一天的新患者人數(shù).【詳解】(1)由題意得,當(dāng)時(shí)是以公差為50,首項(xiàng)為20的等差數(shù)列,此時(shí)