2024年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測(cè)模擬卷4（新高考九省聯(lián)考題型）（解析版）

決勝2024年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測(cè)卷04

數(shù)學(xué)

（新高考九省聯(lián)考題型）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己

的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.__________

21-1

A=\x\y=yl-x+x+2\5=fy|y=2）4R

1.已知集合?J,°/j,則A（B=（）

A.{x|0WxW2}B.{x|0<x<2}C.{x|x>-l}D.{x|x>-l}

【答案】B

【解析】由—/+》+220,得d—%—2<0,-l<x<2,即4={%]-1?無V2},

由y=2*T〉0,得3={x|x>0},

故Ac3={x|0<xW2}.

故選：B

2.在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間沒有發(fā)生在規(guī)模群體感染的標(biāo)志為

“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”.根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，

一定符合該標(biāo)志的是（）

A.甲地：總體均值為3,中位數(shù)為4B.乙地：總體均值為1,總體方差大于0

C.丙地：中位數(shù)為2,眾數(shù)為3D.丁地：總體均值為2,總體方差為3

【答案】D

【解析】由于甲地總體均值為3,中位數(shù)為4,即中間兩個(gè)數(shù)（第$6天）人數(shù)的平均數(shù)為4,因此后

面的人數(shù)可以大于7,故甲地不符合.乙地中總體均值為1，因此這10天的感染人數(shù)總數(shù)為10,又由

于方差大于0,故這10天中不可能每天都是1，可以有一天大于7,故乙地不符合，丙地中中位數(shù)為

2,眾數(shù)為3,3出現(xiàn)的最多，并且可以出現(xiàn)8,故丙地不符合，故丁地符合.

故選：D

3.己知eb均為單位向量.若則。在〃上的投影向量為（）

A—aB.-aC.—bD.-b

2222

【答案】D

r【o°I

【解析】由|a—b|=l,可得a-la-b+b=1，所以=

貝Ui在b上的投影向量為華必=-b.

b22

故選：D

4.已知加，〃是兩條不同的直線，a,夕是兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（）

A.若mHn,且〃ua,則7〃//aB.若_L”，且〃ua,則mJ_a

C.若mJ/a,且則a〃/D,若H2_La,且加，/，則a//，

【答案】D

【解析】

如圖所示正方體,

對(duì)于A,若i〃〃，。對(duì)應(yīng)直線A6,C￡＞與平面A6CQ,顯然符合條件,但mua,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,若對(duì)應(yīng)直線A昆CB與平面ABC。，顯然符合條件,但mucz,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,：若zn,a,力對(duì)應(yīng)直線與平面”GCD,平面HGFE,顯然符合條件，但。ca=HG,故

C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若；加_Le,且相，耳，又僅是兩個(gè)不同的平面，則&//￡,故D正確.

故選:D

5.冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字‘'冬"（如圖1甲）為靈感來源，結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國傳統(tǒng)

文化底蘊(yùn)與國際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時(shí)代的新形象、新夢(mèng)想.某同學(xué)查閱資料得知，書法

中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如彎折位置通常采用30°,45。，60°,90°,120°,150°

等特殊角度.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求.該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了△/劭（如圖

4,AC=AD=2,若點(diǎn)給好在邊班上，請(qǐng)幫忙計(jì)算sin/力加勺值（）

?371511

AB-5U.-------D.—

-41616

【答案】C

【解析】由題意，在△ABD中，由余弦定理可得,

2ADBD2x2x416

3715

因?yàn)閆ADBG(0,7T),所以sinZADB=Jl-cos，ZADB=

16

在，ACD中，由AC=A￡>=2得sin/ACZ)=sinNAZ)B=2更

16

故選:c

6.已知a為銳角，且tana+tan1巴—a]=3,則包1Z巴tl=（）

14）3cos2a

11

J32

【答案】A

【解析】tan^+--tana=—,「.tane=2或一,，a為銳角,tana=2

1+tancr33

sin2a+1_（sina+cosa）2_sincz+cosa_tana+1_3_

cos2acos2cr-sin2acosa-sina1-tancr-1

故選：A

22

7.已知過原點(diǎn)徽直線/與雙曲線=-當(dāng)=1（。>0/>0）交于46兩點(diǎn)（點(diǎn)/在第一象限）,可,

ab

尸2分別為雙曲線加左.右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)4尸2交￡于點(diǎn)C，若忸耳|=|AC|，/48鳥=三，則雙曲線那J

漸近線方程為（）

Ay=±42xB.x=±0yC.y=±y/3xD.x=土小y

【答案】A

【解析】如下圖所示：

連接4￡,。耳，

由直線/過原點(diǎn)。并利用雙曲線的對(duì)稱性可知，A8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，耳,工也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;

可得四邊形A耳3工為平行四邊形，所以忸閭=|A4|=|AC|,

由雙曲線定義可得|四|—|明|=2」，即|ACj—卜|Cg|=2a,

又|C6|-|C閭=2a,可得|C制=4a,

由NRBF]=|可得=；,又1|=|AC|可得△明。為正三角形，

所以|M|=|C4|=gC|=4a,可得閨閶=2瘋z=2c,即。=嗎；

又。2=/+/=3",所以。2=2〃2,即力=

可得漸近線方程為y=±-x=土缶；

a

故選：A

111

8.已知1086。="log4b=]，c=(l+e尸，則()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.a<c<b

【答案】A

【解析】由log6a=:,得到a=6：，Xlog4/?=1,所以人消，

所以42=(6"產(chǎn)=216，〃2=(43)12=256，又256>216,

所以"2>"2,又。>0*>0,得到〃>。，

111,11八\1

令y=(l+x)，x>l)，則lny=《ln(l+x),所以],=_'ln(l+x)+訴不，

\_

得到/-[一-\ln(l十%)十1](1+%)*—(；：尤)[尤-(l+x)ln(l+MP

Xx(l+X)X(1+x)

令/z(無)=x-(l+x)ln(l+x),則h'(x)=l-ln(l+x)-l=-ln(l+x)<0在區(qū)間(1,+co)上恒成立，

所以/z(x)=x-(1+x)ln(l+x)在區(qū)間(1,+oo)上單調(diào)遞減，

r

又/z(l)=]_(l+l)ln(l+l)=]_21n2=]_ln4<0,當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，0+^)n.

x2(l+x)

I

得到y(tǒng)=W±a」x—(l+x)ln(l+創(chuàng)<0在區(qū)間(L轉(zhuǎn))上恒成立，

X(1+x)

1

所以y=(1+%戶在區(qū)間(L長(zhǎng)。)上單調(diào)遞減，

1I

又ev3,所以c=(l+e戶>(1+3)§=6，得至

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)4=1—3i,Z2=(2—丁，z3=^1121,則()

1+i

A.4+Z2=4+7iB.4/2,23的實(shí)部依次成等比數(shù)列

c.yJio\z}\=2\z2\D.Z],Z2，Z3的虛部依次成等差數(shù)列

【答案】ABC

,、28+10i(8+10i)(l-i)

【解析】因?yàn)閆2=(2—i)2=3—4i,23=<一=匕=9+1,所以Z]+Z,=4-力，所

\71+1%—V

以z1+Z2=4+7i,故A正確；

因?yàn)?，z2,Z3的實(shí)部分別為1,3,9,所以4，z2,Z3的實(shí)部依次成等比數(shù)列，故B正確；

因?yàn)?，z2,Z3的虛部分別為-3,T,1,所以4，Z2，Z3的虛部依次不成等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤；

VlOlzJ=V1OXA/1+9=2|Z2|=2x5=10,故C正確.

故選：ABC.

10.已知函數(shù)/（x）=tan[5x+：）+l，則（）

A./（x）的一個(gè)周期為2B.7（力的定義域是g+

C.〃尤）的圖象關(guān)于點(diǎn)心,1）對(duì)稱D."可在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減

【答案】AC

（7兀1兀1T=~=2

【解析】對(duì)于A,由〃x）=tan[—x+—1+1可知其最小正周期71,故A正確;

2

?」./?/\,(兀兀)1—，兀7171j1^11f-r

對(duì)于B,由/(x)=tan|—x+—|+1可知一x+—w—+E=>XH—+2左,％eZ,

[22422

故B錯(cuò)誤；

._,/./\|71?！?1717171

對(duì)于C,由/(x)=tan|—x+—1+1可知x=-n—尤+―=—，

''124J2242

此時(shí)的圖象關(guān)于點(diǎn)9j對(duì)稱，故C正確；

對(duì)于D,由/（x）=tan[]x+；）+l可知xe[1,2]n+：e

兀3兀3兀5兀兀3兀

Xy=tanx^上遞增，顯然—u,故D錯(cuò)誤.

122」1_44」|_22」

故選：AC

11.已知函數(shù)/（X）及其導(dǎo)函數(shù)/'（無）的定義域均為R,S.f（x-l）-f（l-x）=2x-2,7'（x）的

圖象關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱，貝I（）

A./（0）=1

B.y=/（x）-x為偶函數(shù)

c.〃龍）的圖象關(guān)于點(diǎn)（L0）對(duì)稱

D.廣（2024）=—2023

【答案】ABD

【解析】由/（尤一1）一/（1一%）=2%一2,可得/（九）一/（一%）=2%，則/'（尤）+/'（—％）=2,令

x=0,得/'（。）=1,A正確.

令g（x）=〃x）-x,則g（—x）=/（T）+x=/（x）—尤=g（x）,故y=/（x）-x為偶函數(shù)，B正確.

假設(shè)/（無）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱，則/'（x—l）+/（l—x）=0,

則廣（九一1）一「（1—X）=。，gpr（x）-r（-x）=o,貝i」r（x）=i,

這與/'（無）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱矛盾，假設(shè)不成立，C不正確.

因?yàn)槭?力的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，所以/'(l+x)+/'(l—x)=0,

令//(尤)=+,則/(x)=/'(l+x)+/'(l_x)=0,

則/i(x)=/(l+x)_/0_x)=C(C為常數(shù))，則〃x_l)_〃x+l)=2x_2_C,

從而廣(x—1)—/(x+1)=2,即/(尤+2)=/⑺—2,

由/'(0)=1,得/'(2024)=/'(0)—2x2012=—2023,D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.拋物線C：V=8x焦點(diǎn)為歹，過產(chǎn)的直線/與曲線。交于A3兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為6,則

M=—■

322

【答案】-##10-

33

【解析】由題意可得拋物線C:V=8x的焦點(diǎn)為尸(2,0),

由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，則點(diǎn)B在第四象限，

因?yàn)辄c(diǎn)A的橫坐標(biāo)為6,

所以V=8X6=48,解得y=±4百，不妨設(shè)4(6,46)，

所以七尸=4&-。=6,所以直線/的方程為＞尤—2),

6—2

設(shè)3(々，％)，聯(lián)立＜［一"("一2)，可得3%2_20X+12=0,

y=8x

,202

所以A＞0,x2+6=,解得/=§，

所以=Jl+36-J=事.

32

故答案為：—

3

13.已知隨機(jī)變量X?N(2,4),且尸(XWa)=P(XNl),則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為

【答案】1215

【解析】X?N(2,4)，P(X<a)=P(X2l),

〃+1C

=2,:.a=3.

展開式第r+1項(xiàng):

__16_3

=(2產(chǎn)(_3)42<屋(_3)42’

r=4,Cg(-3)4=15x81=1215.

故答案為：1215.

14.在四面體ABCD中，AB=a，AD=BC=1,CD=R,且NB4D=NA5C=],則該四面

體的外接球表面積為.

【答案】7兀

【解析】

B

如圖，作加，平面ABC,連接易得，A民因AS,AD,

ADnDH=D,AD,DHu平面DAH,

所以AB1平面ZMH,AHu平面D4H，故ABLAH,

由題可得NBAC=30，AC=2,則z7￡4C=120.

不妨設(shè)AH=x,DH=h,則有/+外=1①，

△HAC中，由余弦定理，HC2=x2+4-2x2xcos120=x2+2x+4,在△HDC中，

A2+x2+2x+4=6?，

將兩式相減化簡(jiǎn)即得：x=~,h=-.

22

取線段AC中點(diǎn)E,過點(diǎn)E作OE，平面ABC,其中點(diǎn)。為外接球的球心，設(shè)外接球半徑為R,

,117

由余弦定理求得=—+1—2x—COS120=—,

424

在直角梯形HEOD中，O￡2=R2—1，由R2=(JR2—1_曰)2+:計(jì)算可得:R2=；,則該四面

體的外接球表面積為7m

故答案為：77r

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.不透明的袋子中有8個(gè)除所標(biāo)數(shù)字外均相同的球，其中標(biāo)號(hào)為1號(hào)的球有3個(gè)，標(biāo)號(hào)為2號(hào)的球有3個(gè),

標(biāo)號(hào)為3號(hào)的球有2個(gè).現(xiàn)從這8個(gè)球中任選2個(gè)球.

(1)求選出的這2個(gè)球標(biāo)號(hào)相同的概率；

(2)設(shè)隨機(jī)變量X為選出的2個(gè)球標(biāo)號(hào)之差的絕對(duì)值，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

127

【答案】(1)—(2)分布列見解析，—.

428

【解析】(1)依題意，選出的這2個(gè)球標(biāo)號(hào)相同的概率為03+=二=±.

(2)X的所有可能取值為0，1，2,

C；C；63

P(X=0)=p.(x=D=c；c；胄Cq,P(X=2)=

C2-28-14

4C82oo

X的分布列如下：

X012

￡153

P

42814

15327

拗?jǐn)?shù)學(xué)期望E(X)=—+—=

28728

16.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+￡%eR.

x

(1)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(e,7(e))處的切線與直線％—2=0垂直，求左的值；(其中e為自然對(duì)數(shù)的

底數(shù))

(2)在(1)的條件下求/J)的單調(diào)區(qū)間和極小值.

【答案】(1)k=e(2)/(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,e),單調(diào)增區(qū)間是(e,+8),極小值為2

k1k

【解析】(1)由/(x)=lnx+—可得/'(》)=——r(x>0),

XXX

因?yàn)閥=在點(diǎn)(e,/(e))處的切線與無一2=0垂直，

1k

所以此切線斜率為0,即廣(e)=——^=0,解得左=e；

ee

jex—p

(2)由(1)可得r(x)=——(x>0),

xxx

由/'(無)<0得0<x<e,由/'(無)>0得%>e,

所以"X)的單調(diào)減區(qū)間是(0,e),單調(diào)增區(qū)間是(e,+co),

e

所以當(dāng)％=e時(shí)，〃幻取得極小值/(e)=lne+—=2

e

17.在三棱臺(tái)DEF-ABC中，CE_L平面ABC,AB1BC,且區(qū)4=3C,AC=2DF,M為

CFMC

AC的中點(diǎn)，尸是CT上一點(diǎn)，且J=2(zl>l).

DFCP

(1)求證：CDJ_平面PBM；

(2)已知CP=1,且直線5c與平面尸現(xiàn)f的所成角的正弦值為逅時(shí)，求平面ER以與平面？

6

所成夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）2場(chǎng)

15

【解析】（1）'：BA=BC,且M是AC的中點(diǎn)，則

?.,CE_L平面ABC,3"匚平面43。，；.。/"18”.

又CF4。=。,?！?。＜=平面4。￡0,；.5加工平面4?！?，

因?yàn)?。Cu平面ACED,

DCLBM.①

b黨NCFD-CP/,

DF

,CFD^MCP,則ZPMC=ZFCD.

TI?71

NACD+NFCD=-,：.NPMC+ZACD=-,

22

...在平面ACFD中DC，.②

BMPM=M,BM,PMu平面PBM,

由①②知，平面PBM.

（2）由題意得/〃C尸，CFL平面ABC,

DM，平面ABC.

由（1）可知故M為坐標(biāo)原點(diǎn).

如圖，以MB,MC,MD所在直線分別為x,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

：.CM=DF=A,DM=CF=A2.

.-.M（0,0,0）,B（2,0,0）,C（0,2,0）,D（0,0,22）-

;AC=2DF,

由棱臺(tái)的性質(zhì)得BC=2EF,BC=（-2,2,0）,

ME=

由⑴可知平面PBAf的一個(gè)法向量為CD，且CD=（0,-尢硝.

■直線與平面PBM的所成角的正弦值為邁，

6

\BC-CD\

/.|cosBC,CD|=j-(2>0)

BC|-|CD|6

2

即H|解得4=0.

WLxJ/P+i6

...平面PBM的一個(gè)法向量為CD，且。=倒,一衣2).

平面EFM的法向量為、n=(%,y,z).

?；ME,2,MF=(0,0,21

口萬7

n?ME=x+y+2z=0y=-A/2Z

22，即<

-A/2Z，

n-MF-6y+2z=0x=

當(dāng)z=-1時(shí)，x-5/2，y=V2.

平面MEF的一個(gè)法向量為〃=(&,&,—1).

|市|」〃。4一2+2一2回

COS凡CD\—--i----r——尸---尸—-----.

11|n||CL>|76x7515

二平面EFM與平面PBM所成夾角的余弦值2甄.

15

18.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)施J點(diǎn)網(wǎng)1,0)的距離與到直線x=4的距離之比為［

(1)求動(dòng)點(diǎn)斕L跡㈱方程；

(2)過點(diǎn)邢J兩條直線分別交吁/,方兩點(diǎn)和C砸點(diǎn),線段45,如的中點(diǎn)分別為RQ.設(shè)直線CD

11,

的斜率分別為左，k2,且7+1=1，試判斷直線國是否過定點(diǎn).若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，

化1左2

請(qǐng)說明理由.

22

【答案】⑴：+：=1(2)直線胤過定點(diǎn)(0,-4).

【解析】(1)設(shè)點(diǎn)施勺坐標(biāo)為(x,y),由題意可知，J(xT)+/=］_,

\4-x\2

22

化簡(jiǎn)整理得，解J方程為土+匕=1.

43

(2)由題意知，設(shè)直線做方程為y=4(無—1),與腑］方程:+(_=1聯(lián)立可得,

(4片+3產(chǎn)一哈+4片-12=0,

8k2

1

設(shè)B(孫％)，由韋達(dá)定理得，^+%2=,

4Kl?、

則%+%=&(%+%)—2勺=彳左?+3，

所以，點(diǎn)崩坐標(biāo)為

（4女2一3人1

同理可得，曲）坐標(biāo)為22,22.

（4%+34片+3）

4kk一3

所以，直線H的斜率為即o=4（：；4）,

4M、3kl

所以，直線國的方程為y=呀2二3x-

4（：+匕）46+3,46+3

4Az-3匕鼠

即y=Ejx-K,

111

又丁+干=1，則匕+左2=4上2,

K]^^2

4kk-3

所以直線閭的方程即為y=—rA—%T，