2024年高考第一次模擬考試-數(shù)學（天津卷2）（全解全析）

2024年高考數(shù)學第一次模擬考試

數(shù)學(天津卷02)?全解全析

第I卷

注意事項：

1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號，

2,本卷共9小題，每小題5分，共45分

參考公式：

?如果事件N、6互斥，那么P(/uB)=P(/)+P(B).

?如果事件N、6相互獨立，那么尸(Z8)=尸(⑷尸(8).

?球的體積公式V=；萬左，其中火表示球的半徑.

?圓錐的體積公式其中S表示圓錐的底面面積，〃表示圓錐的高。

選擇題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合/={x|2f-5x+2<0},S={x|0<x<l},則/口8=()

A.(°，]C.(1,2)D.(2,+oo)

【答案】B

【解析】-：2X2-5X+2<0,.-.1<X<2,故/才5=(利

故選：B

2.已知條件p」41,條件q：f-2尤20,則p是q的()

X

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】由題意?：,41=^~~"一或l<0,q:x2-2x>0^>x>2^x<0,

xx[xw0

若x=0,則條件中%2—2x20成立，但條件不成立，

若x=l,則條件P441成立，但條件q:x?-2x20不成立，

x

因此。是q的既不充分也不必要條件.

故選：D.

3.已知函數(shù)/(x)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為()

A./(%)=(3*+)sin2xB./(x)=+3-x)cos2x

C./(JC)=(3X-3-%)COS2XD./(x)=(3'-3nsin2x

【答案】C

【解析】因為/(無)的圖象關于原點對稱，所以/(x)為奇函數(shù)，

而y=3,+3T為偶函數(shù)，y=3工-3一”為奇函數(shù)，y=sin2x為奇函數(shù)，y=cos2x為偶函數(shù),

/'(x)應該為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積，排除B與D.

又因為了用=0，/3=爐+3-，卜心不滿足/圖=0,排除A,

故選：C

4.(log43+log83)(log32+log92)=()

54

A.-B.-C.15D.12

45

【答案】A

(log43+log83)(log32+log92)

=f|log23+^-log23Ylog32+1嗎2

5

=|log23|log32

【解析】6

一級匣x酸

41g21g3

=4'

故選：A

5.已知數(shù)列｛凡｝滿足凡+1=J—，a,=-l,貝1][0（）=（）

I.%

A.-1B.yC.2D.1

【答案】A

【解析】由題意，數(shù)列｛%｝滿足。0+1=7^—，4=-1,可得出=1，%=2,&=T必=巳…,

]一七22

所以數(shù)列｛g｝構成以3項為周期的周期數(shù)列，則為。。=?3x33+1=?1=-1.

故選：A.

6.PM2.5的監(jiān)測值是用來評價環(huán)境空氣質量的指標之一,劃分等級為：PM2.5日均值在35席/0?以下，空

氣質量為一級；PM2.5日均值在35?75）ig/m3,空氣質量為二級；PM2.5日均值超過75Ng/n?為超標.如圖

是某地8月1日至10日PM2.5的日均值（單位：pig/m3）變化的折線圖，下列關于PM2.5日均值說法正確

B.前4天的日均值的極差小于后4天的日均值的極差

C.前4天的日均值的方差大于后4天的日均值的方差

D.這10天的日均值的中位數(shù)為45

【答案】B

【解析】解：對于A,將10天中的PM2.5日均值按從小到大排列為30,32,34,40,41,45,48,60,

78,80,根據(jù)百分位數(shù)的定義可得，這10天中PM2.5日均值的70百分位數(shù)是竺普=54,故選A錯誤；

對于B,前4天的日均值的極差為41-30=11,后4天的日均值的極差為78-45=33,故選項B正確；

對于C,由折線圖和方差的定義可知，前4天的日均值波動性小，所以前4天的日均值的方差小于后4天日

均值的方差，故選項C錯誤；

對于D,這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)為上詈=43,故選項D錯誤.

2

故選：B.

7.半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，

棱長為力的正方體截去八個一樣的四面體，則下列說法錯誤的是（）

A.該幾何體外接球的表面積為4兀

B.該幾何體外接球的體積為4三7r

C.該幾何體的體積與原正方體的體積比為5:6

D.該幾何體的表面積與原正方體的表面積之比為（2+V3）:6

【答案】D

【解析】由題意得該幾何體外接球的球心為原正方體的中心，

4

故外接球半徑為1,外接球的表面積為4兀，體積為§兀，故A,B正確；

對于C,該幾何體的體積f正方體一陽面體=（也）18x；x；x⑶X。*

正方體體積為2后，故該幾何體的體積與原正方體的體積比為5:6；

對于D,該幾何體有6個面為正方形，其余的面為邊長為1的正三角形，S表=6xl+8x曰=6+26,

S正=6x（VI『=i2,

所以該幾何體的表面積與原正方體的表面積之比為（6+2班）:12=（3+C）:6,故D錯誤.

故選：D.

8.在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線=1m>0/>0）的左、右焦點分別為％F,,過耳的直線

與雙曲線C的右支相交于點尸，過點。，&作ON，尸片,尸.，尸片，垂足分別為N,M,且M為線段尸N的中

點，|ON|=a,則雙曲線C的離心率為（）

A°RV5+1?A/3+1nVo

222

【答案】D

【解析】因為片，巴為雙曲線C的左、右焦點，

所以歸用=2c,

因為ON_LPF},F2M1PF1

所以ON//F2M,又。為線段耳巴的中點，

所以N為線段的中點，且|ON|=g|M周，

又W為線段尸N的中點，

所以由時=1刈/|=.卜:冏1，

在RMO^N中，|ON|=a,周=6,

所以山N|=J|西2To甘=b，

所以歸國=3b,pWP|=6,

因為點P在雙曲線的右支上，

所以歸片|-|尸閶=2°,

i^\PF2\=3b-2a,

在RtAA外尸中，\MF2\=2a,\MP\=b,\PF2\=3b-2a,

由勾股定理可得：（2a）2+〃=（36-2“f,

所以8b2=12。6,即26=3°,

所以4/=9.2,y.b2=c2-a2,

故4c2=13/,

Cy/13

所以e

a2

有5個不同的零點，則正實數(shù)。的取值范圍為()

【解析】由題，當尤＞0時，/(x)=x+lnx,顯然單調遞增，且了5lnl0<0,/(2)=2+ta2>0,所

有此時/(x)有且只有一個零點,

71

所有當一萬4x40時，/(x)=sinCOXH---有4個零點，令/(x)=0,即+?=左萬，左cZ,解得

4

71,

-----1-kn

X=--------------,kGZ'

co

由題可得＜x?0區(qū)間內的4個零點分別是k=0,-1-2-3,所以-)即在左=-3與左=-4之間,

4>-71

CD1317

即《,解得片0＜了

71.

-------47r

4

<-71

CD

故選：A

第II卷

注意事項

1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.

2.本卷共11小題，共105分.

二、填空題，本大題共6小題，每小題5分，共30分，試題中包含兩個空的，答對1個的給

3分，全部答對的給5分。

10.已知復數(shù)z滿足葉包=2i（其中i為虛數(shù)單位），則同=.

Z

【答案】叵

2

【解析】由華衛(wèi)=方,1+3i(l+3i)x(—i)3—i31.

得2=

Z2i-2ix(-i)23'

【答案】60

rr

【解析］展開式的通項為-=C6-i--x^,

取6-|廠=0,解得廠=4,常數(shù)項為或-21.（-1）4=60.

故答案為：60.

12.已知圓心為（凡0）的圓C與直線/：y=相切于點則圓C的方程為.

【答案】（X-4『+/=4

【解析】解：因為圓心為（。,0）的圓C與直線/：y=相切于點N（3,6）,

所以巫=-百，解得。=4,

3-Q

所以圓心為（4,0）,半徑為r=J（4-3）?+（6）=2,

所以圓C的方程為（尤-4『+必=4,

故答案為：（X-4『+J?=4

13.已知。>1,b>l,則2%"+16崛"的最小值是

【答案】8

【解析】因為。＞1，b＞l,所以log6a＞0,log，＞0,

1h坨6

ioSb=~-

aIga

因為＜,nlog,bxlog/=l,

log/,a=~r~T

lg6

b

所以,2臉+\6log?0>2glogj=2亞。g-b《log;,a>242"：

當log“b=2時取

故答案為：8.

14.某同學從家中騎自行車去學校，途中共經過5個紅綠燈路口.如果他恰好遇見2次紅燈，則這2次紅

燈的不同的分布情形共有種；如果他在每個路口遇見紅燈的概率均為g，用J表示他遇到紅燈的次數(shù),

則E（/=.（用數(shù)字作答）

【答案】101

【解析】解：經過5個紅綠燈路口，恰好遇見2次紅燈的分布情形有C；=10種；

因為隨機變量8（5,；）,所以E（J）=5xg=；

故答案為：10；g

7T

15.如圖，在平行四邊形MCO中，ZBAD=-,AB=2,AD=1,若M,N分別是邊4D,CD上的點,

且滿足多二2一

其中）e[05,則祈.方祈的取值范圍是

【答案】[-3,-1]

【解析】

jr

作DH1AB;:ABAD=—,AD=\.

AH=-,DH

22

4(0,0),8(2,0),C

^=^=A,:.AM=(l-A)AD,DN=(l-A)DC,

:.AN=AD+Dl5^AD+(l-A)DC+(l-2)(2,0)=

同理可得:

(iry(oin、

BM=AM-AB=(I-A")Ab-AB=(1-A)-(2,0)=--------A,--——A

222222

故麗?兩的取值范圍是[T-l].

三、解答題，本大題共5小題，共75分,解答應寫出文字說明，證明過程成演算步驟。

16.在M8C中,。,6,c分別是角42,C的對邊,且3cosAcosC(tanAtanC-l)=1.

57r

(I)求sin(2B—二)的值；

6

(H)若a+c=孚，6=6,求AA8C的面積.

sirUsinC八

【解析】(I)由3cos4cosC(taib4tanC—l)=l得:3cosAcosC---------------1=1

cosZcosC)

3(siiL4sinC-cos/cosC)=1

cos(Z+C)=-~cosB——

又0<B<7i

._2A/2

..sin5D—------

3

/.sin2B=2sin5cosB=4\cos2B=1-2sin?B=-口

99

⑻(7)17-476

=sin25cos----cos2Bsin——二---------------—I------I,-------------------

6692)\9)218

1QC-24c-b21

(II)由余弦定理得：cos5=-—匕二^(+)

lac3lac3

V73^/3.rz_45

又cic—---,b=\3>ac—

232

15A/2

=—acsinB=

232

17.如圖，在長方體中，/。=/4=1,AB=2,點E1在棱上移動.

⑴求證：AE_L4。；

(2)當點E為棱的中點時，求點E到平面ACD,的距離；

77

(3)當4E為何值時，平面與平面所成的角為二？

4

【解析】(1)解：。為坐標原點，直線。4。。,。2分別為'//軸，建立空間直角坐標系,

設AE=x,0<x<2

則4(1,0,1)Q(O,0,1),E(l,x,0),41,0,0,q0,2,0

因為西?用=(1,0,1).(1,x,-1)=0,所以西_L/g

所以

(2)解：因為￡為48的中點，則￡0,1,0),

從而屏=(1,1,-1),AC=(-1,2,0),疝=(-1,0,1),

?.AQ-0

n一?A二D二=0,

{X

—a+2b—0a=2b

即,_n，得,從而為=(2,1,2),

—u+c—0a=c

所以點E到平面ACO,的距離為

,河￡臼2+1-2￡

h=1-；—；―L=--------:

3

TT

(3)解：由(1)AE=x,0<x<2時，平面與平面ZECD所成角為一.

4

則￡(1戶,0),2(0,0,1),C(0,2,0),

CE=(l,x-2,0),西=(0,-2,1),

設平面REC的法向量m=(a,b,c),

m-CE=a+(x-2)fe=0

，取6=1,得加=(2-x,1,2),

mCDl=-2b+c=0

平面4￡CZ)的法向量2=(0,0,1),

兀2_V2

cos—=2

4\m\'\p\7(2-X)+5-2

由0<x<2,解得x=2-G或x=2+6(舍去).

,/E=2-G時，平面平。與平面所成角為正

22

18.設橢圓1T+方=1(°>6>0)的左、右焦點分別為耳，弓點P(。⑼滿足附|=內用.

(1)求橢圓的離心率e；

(2)設直線與橢圓相交于A,8兩點，若直線尸工與圓(x+l『+(y-6)=16相交于M,N兩點，且

\MN\=^\AB\,求橢圓的方程.

O

【解析】(1)設耳(fO),&(c,0)(c>0),

因為|尸耳|=|大工所以加.—)2+/=2°,

整理得2(9)2+￡-1=0,得￡=-1(舍)，或￡=_1,

aaaa2

所以e=g；

(2)由(1)知a=2c,b-y/3c>可得橢圓方程為3x,+4/=12c?,

直線尸區(qū)的方程為廣百(x-c),

3x2+4y2=12c2

A,2兩點的坐標滿足方程組為，

y=y/3(x-c)

8

消去y并整理，得5/—8cx=0,解得：再=0,%—C

5

8

玉二0

得方程組的解和，

%=一&3G,

乂二可0

不妨設：N([C，￥^),5(0,-V3C),

所以|48|=J(|C)2+(?C+&)2=*,于是|MV|=:/8|=2c,

圓心(-1,6)到直線尸鳥的距離為d=

22

\MN\23

因為小+=4,所以產

2

整理得：7c2+12C-52=0,得c=-y(舍)，或c=2,

所以橢圓方程為：—+^=L

1612

19.已知。和::均為給定的大于1的自然數(shù)，設集合財=料.II黑…啰遮，集合

A—mxsX]-x：q---己=1.二」

(1)當q=二；；=，時，用列舉法表示集合A；

(2)設了.[w且s=q.%q....*qq*4,r=b：+-…b^q*"1.其中.電離瘧源.請;=』￡；??一?明證明：若

a.v貝L<r.

【解析】⑴本題實質是具體理解新定義，當《=2,"=3時，"={0,1},

A={x\x=xl+2x2+4X3,X;eM,i-1,2,3},再分別對(項,修，馬)取

(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1),得到A={0,1,2,3,4,5,6,7}(2)證明大小不等式,

般利用作差法.s—=Q-幻+(出-M+…+(%一%)產+(%-bn,根據(jù)新定義:

ai-bt<q-1,an-/>?<-1,(z=1,2,???,?-1),所以

l

s-/V(g-l)+(q-l)g+…+(4-1)/L2_/，T=-q"-=-1<0,即s<f.

i-q

20.設函數(shù)/(x)=xsinx(xwR).

⑴證明/(x+2左兀)-/(x)=2Esinx,其中左為整數(shù)；

⑵設X。為f(x)的一個極值點，證明［/(尤。)丁=#y;

1+%

7T

⑶設/(X)在(0,+8)內的全部極值點按從小到大的順序排列明,…