甘肅省2024屆高三年級上冊1月高考診斷考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

甘肅省2024屆高三上學(xué)期1月高考診斷考試數(shù)學(xué)試題

一、單項(xiàng)選擇題

1.已知集合人=人31},5={xM—2x—3<0},則A,B=（）

A?加B?加

C.（3,+co）D.（-1,+co）

（答案》A

（解析U易知A={x|y='4x—1}

由尤2一2%—3<0，解得一l<x<3,即JB={x|-1<%v3},

所以Ac_B=J%|工<%<3]=-P3}

I4JLz

故選：A.

2.若復(fù)數(shù)Z滿足（3—i）z=l—2i,其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于

（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

k答案》D

k解析』因?yàn)椋?—i）z=l—2i,

所以.J"（I-2i）（3+i）_3+i-6i-2i211.

所以3-i—（3—i）（3+i）——1,

1022

則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為]；,一gj,位于第四象限.

故選：D.

3.在等差數(shù)列{%}中，出，%是7寧程12+如一8=0的兩根，若&+&=d+l，則機(jī)的

值為（）

A.-6B.-2C.2D.6

k答案》B

K解析U因?yàn)殡?，?是方程+71ZX-8=0的兩根,

所以。2+%=一〃1，a2a&=一8,A=m2+32>0.

在等差數(shù)列｛4｝中，。2+“8=。4+“6=2a5,又。4+。6=W+1，

所以2%=。；+1,所以。5=1，

所以—m-a2+a8-2a5=2,所以m—2.

故選：B.

4.眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).

在如圖所示的分布形態(tài)中，平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的大小關(guān)系是（）（由小到大排列）

A.眾數(shù)〈中位數(shù)（平均數(shù)

B.平均數(shù)〈眾數(shù)（中位數(shù)

C.中位數(shù)〈平均數(shù)（眾數(shù)

D.眾數(shù)〈平均數(shù)（中位數(shù)

［答案XA

K解析R眾數(shù)是最高矩形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，因此眾數(shù)在第二列的中點(diǎn)處.

因?yàn)橹狈綀D第二、三列所占數(shù)據(jù)較多，且在右邊拖尾，

所以平均數(shù)大于中位數(shù)，在第三、四列的位置，因此有眾數(shù)〈中位數(shù)（平均數(shù).

故選：A.

x2+2x,x<0,

5.已知函數(shù)/'(x)=.若函數(shù)g(x)=/(x)—“有3個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范

——,%>0,

圍為()

A.0,5B,f-1,^仁[5+00]D.(-8,—1)

（答案』B

K解析U當(dāng)XMO時(shí)，/(X)=*+2兀,

當(dāng)1)時(shí)，“X)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(—1,0)時(shí)，/(x)單調(diào)遞增.

當(dāng)％＜。時(shí),fCOmin二fQi)二—1

當(dāng)尤＞0時(shí)，/(%)=—,貝=

XX

當(dāng)xe(O,e)時(shí)，/,(x)＞0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)%￡(5+。)時(shí)，/(X)＜O,函數(shù)/(X)單調(diào)遞減

當(dāng)X〉。時(shí),/(X)max=/(e)=—=i.

ee

畫出函數(shù)的圖象如圖所示：

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=/(力-772有3個(gè)零點(diǎn),

所以y=7W與y=/(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，由圖知：一1＜根＜』.

e

所以加的取值范圍為I).

故選：B

6.已知平行四邊形A5CD,若點(diǎn)尸是邊A。的中點(diǎn)，AQ=3QB,直線AC與尸Q相交于

1AM

點(diǎn)、M,則——=()

AC

1133

A.-B.C.—D.-

65105

［答案XC

K解析H如下圖所示:

4

設(shè)A尸=〃,AQ=b,則AC=2a+§b,尸。=/?—〃.

設(shè)AM=2AC,PM=juPQ,

4

則AM=22aH—Ab，

3

PM=/nb-fj.a

因?yàn)锳M=AP+PM=a+jub-jua=(l-^a+jub,

2A=1-]U

32

所以《4,，解得4=—,〃二一

-2=zz105

13尸

一3AMAM3

所以AM=—AC,即——=

10ACAC10

故選：C.

DC

)

72424

A-士B.C.D.

252525

K答案』B

1.4

(解析》因?yàn)閟ina+——sina=cosa——sina=cosa+—

I3J2I6J5

71]71717T?1o2兀7

所以sin2a——=sin2a+—=-cos2a+—=I-2cosa+—

l6JLV6J2I6〃I625

故選：B

8.設(shè)定義在(0,+oo)上的函數(shù)f(x)滿足xP(x)—f(x)=xlnx,)

A.有極大值，無極小值B.有極小值，無極大值

C.既有極大值，又有極小值D.既無極大值，又無極小值

K答案UD

05~,xf(x)-f(x)InxInx”…

K解析U因?yàn)閤f(x)~fix)=xlnx,所以------j-----=----,所以(-----)—---，所以

XXXX

?x)=因?yàn)?(，)=，-h?，+cx-=-,所以c=；，所以/(x)=；ln2x+lnx+；

乙eIeeee/乙/

=1(irw+i)2>o,所以y(x)在(o,+◎上單調(diào)遞增，所以五x)在(0,+◎上既無極大值，也

無極小值，故選D.

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知函數(shù)/(x)=Asin(2ox+0)(A>O,o>O,O<0<7i)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所

示，圖象與>軸的交點(diǎn)為伍,6),則下列結(jié)論正確的是()

A.〃x)的最小正周期為兀

B.“X)的最大值為2

5幾

C.直線x=7是/(%)圖象的一個(gè)對稱軸

D./(x)在區(qū)間-；,0上單調(diào)遞增

(答案XABD

K解析X設(shè)/(x)=Asin(2公r+0)(A>O,o>O,O<0<7i)的最小正周期為T,

77rIT1

由圖象可知-------=-T,解得丁=兀,故選項(xiàng)A正確；

12122

因?yàn)榭凇?,所以2。q=2,解得勿=1,故/(x)=Asin(2x+0.將代入K解

析X式得Asin[+°]=A,

因?yàn)?<°<兀，則巴(四+夕<2￡,所以4+0=工，得0=三，故/(%)=Asin(2x+g].

666623V3J

又因?yàn)閳D象與y軸的交點(diǎn)為（0,8），所以Asin］=g,得A=2,故/（x）的最大值為2,

選項(xiàng)B正確；

由上述分析知〃x）=2si，2x+M，當(dāng)工=?時(shí)，2x+-=2n,則點(diǎn)（注,0）是函數(shù)

<3y636

5冗

/（X）的對稱中心，即直線X=7不是其對稱軸，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

因當(dāng)XC--,0時(shí)，取2=2X+1C，而y=sinz在一1，］上單調(diào)遞增，故

/（%）在區(qū)間一方刀上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)D正確.

故選：ABD.

10.己知a>0/>0,若。+2》=1,則（）

A.ab的最大值為:B.4+萬2的最小值為1

8

21L

C.一+7的最小值為8D.2"+4&的最小值為2

ab

（答案XACD

k解析》對于A，由2ab=a-2）<（生上］=-,即

L2J48

當(dāng)且僅當(dāng)。=2》，且。+2）=1,即。=!力=工時(shí)，取等號，所以A正確；

24

對于B,因"+/=（］—2））2+/=5及一4人+1=5（人一|］+g，

21

當(dāng)且僅當(dāng)人=不時(shí)，/+/取到最小值y,所以B錯(cuò)誤；

對于C,因?yàn)椤?gt;01>0,所以2+工=（〃+2Z?）|—+—?=4+竺+色24+2^/?=8,

ab\abJab

4ba11

當(dāng)且僅當(dāng)——二一，且。+2〃=1,即。=一，b二—時(shí)，取等號，所以C正確；

ab24

對于D,2"+4〃22亞匚^=2亞題=2點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)。=2》，且。+25=1,

即。=—,b=—時(shí)，取等號，所以D正確.故選：ACD.

24

11.已知直線/過拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)口，且與拋物線。交于44%）,6（9,多）兩點(diǎn)，

點(diǎn)M為。的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若再+%=5,貝！||AB|=7

B.過C的焦點(diǎn)的最短弦長為4

C.當(dāng)AF=2FR時(shí)，直線/的傾斜角為g

D.存在2條直線/,使得?忸閘=|所卜|4囪成立

k答案》AB

（解析X由拋物線的定義可得|/叫=|”|+忸同=石+%+0=5+2=7,所以A正確；

當(dāng)過拋物線。的焦點(diǎn)且與x軸垂直時(shí)弦長最短，此時(shí)弦長為4,所以B正確；

x=my+1。

設(shè)直線/的方程為1=陽+1,聯(lián)立方程組2，整理得y—4叫—4=0,

y=4x

可得X+%=4m,yty2=-4,

當(dāng)Ab=2fB時(shí)，X=-2%，則乂+%=4加，％%=—4,

解得%=±行,3］；,±收］/=±2后，所以傾斜角不是三，所以C錯(cuò)誤;

由網(wǎng)1,0）,“（—L0），則|4刊=］&—+才=J(g+1-1『+y；=’(1+療)

\BF\+yl=J。佻+IT『+式=和+現(xiàn)

\AM+靖=y；+4myl+4,

\BM+

,22

AF\AM1+m)y；+4myx+4

由|何卜忸叫=|破,則，可得與

加W

化簡可得（mx%+%+%）（x-為）=0，

由為*%,則加/%+%+%=0,

將%+%=4根，=-4代入，則-4/77+4772=0恒成立，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.

12.已知直三棱柱ABC-A4cl內(nèi)接于球O,AA=8,AB_LAC,AB=AC=4,點(diǎn)￡),E為

A3,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)。為側(cè)面BCG4上一動點(diǎn)，且4。=4,則下列結(jié)論正確的是（）

Q

A.點(diǎn)A到平面ABC的距離為目

B.存在點(diǎn)。，使得CQJ_平面4。后

C.過點(diǎn)。作球的截面，截面的面積最小為4兀

D.點(diǎn)。的軌跡長為2a兀

（答案》ACD

K解析1A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)A到平面A6C的距離為〃，因?yàn)樨耙恍汀?Klj-ABC，

所以§S.&BC.”=§S_ABC.AA'S.ABC=5x4x4=8,441=8,

取BC的中點(diǎn)G,連接AG,由勾股定理得＜3=AC=，8?+42=4逐，

BC=J42+42=4后，故BG=CG=2日

由三線合一可得\GLBC,由勾股定理得4G=yl^-BG2=V80-8=672，

1QxQQQ

SABC=5AGIC=24,所以丸=寸=1,即點(diǎn)A到平面ABC的距離為三,A正確;

B選項(xiàng)，以A為原點(diǎn)，所在直線為蒼％z軸建系,

則C（0,4,0）,。（2,0,0），石（0,2,0）,4（0,0,8）,設(shè)。（44—,則①=（",〃）,

DEn=(-2,2,0)-(x,y,z)=-2x+2y=0

設(shè)平面AOE的法向量為”=（%,%Z）,則＜

A^E-n=(0,2,-8)-(x,y,z)=2y—8z=0

令z=l,則尤=y=4,故”=(4,4,1),

4=4%

設(shè)CQ=/〃，two,即(4—4〃)=[4,4,1),故＜—2=47,無解，

N=t

故CQ與法向量力不平行，

所以不存在點(diǎn)。，使得CQ，平面AOE,B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，三棱柱的外接球。即為以AB,AC,A&為鄰邊的長方體的外接球，

當(dāng)OZ)與過點(diǎn)。的截面垂直時(shí)，截面的面積最小，

球心0(2,2,4),DO=2區(qū)AO=2娓,則過點(diǎn)D作球的截面，

截面半徑的最小值為J(2標(biāo)月―(2行了=2，

所以截面的面積最小為4兀，C正確；

D選項(xiàng)，過點(diǎn)A作旦G于H，則4〃=20，

又平面A^iG，A〃u平面A4G，所以8片，4〃，

因?yàn)?片4cl=4,u平面84G。，所以A/，平面88。。,

因?yàn)椤癚u平面BBCC，所以

故HQ=QAQ2-AH。=116-8=2^/2,又B、H=CXH=2\/2,

則點(diǎn)。的軌跡是以點(diǎn)H為圓心，2夜為半徑的半圓，

其圓心角為兀，點(diǎn)Q的軌跡長即為2血兀，D正確.故選：ACD.

三、填空題

x

n

13.已知—+加(?！?)是奇函數(shù)，則加=.

K答案X—

2

K解析』由函數(shù)〃%)=^可知其定義域?yàn)?一”,0)U(0,”)，

ci—1

所以/(T)=----1■加=Fm.

ax_1(JX_1

因?yàn)?（X）是奇函數(shù)，所以/（%）+/（—x）=0,

即------1-m-------\-m=0>解得〃z=—彳.故K答案II為：—

ax-lax-l22

14.傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直

徑恰好與圓柱的高相等.“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn).在一個(gè)“圓柱容球”模型中，

若球的體積為4后，則該模型中圓柱的表面積為.

［答案工1871

k解析X設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為尺，母線長為2R,

4I-_

則球的體積為耳兀肥=4,兀，所以尺=百，

所以圓柱表面積為2兀/?2+2兀7?乂2R=6兀尺2=18兀.故11答案X為：18Tl.

22

15.如圖，點(diǎn)1，a是雙曲線G：=—3=1（。〉01〉0）的左，右焦點(diǎn)，同時(shí)也是雙曲

ab

22

線。2：二-當(dāng)=1的左，右頂點(diǎn)，過點(diǎn)片的直線交雙曲線G的左，右兩支分別于A,B

工4a24/

兩點(diǎn)，交雙曲線。2的右支于點(diǎn)M（與點(diǎn)尸2不重合），且45月片與的周長之差為

6,則雙曲線G的方程為.

22

（答案］—-^=1

927

［解析》不妨設(shè)雙曲線G的焦距為2c,

因?yàn)榕c△48工的周長之差為6,

所以忸叫+寓閭一|AB|一|A段=寓詞—（|4閶—|4周）=2c—2a=6,

又點(diǎn)F],尸2是雙曲線。2：三—翥=1的左，右頂點(diǎn)，所以。=2。，

所以〃=3,c=6,b-3y/3，

22

所以雙曲線G的方程為土—工=1.

927

22

故(答案』為：土-匕=1.

927

16.某學(xué)校有A、B兩個(gè)餐廳，已知同學(xué)甲每天中午都會在這兩個(gè)餐廳中選擇一個(gè)就餐，如

果甲當(dāng)天選擇了某個(gè)餐廳，他第二天會有60%的可能性換另一個(gè)餐廳就餐，假如第1天甲

選擇了A餐廳，則第九天選擇A餐廳的概率匕為.

K答案H0.5+0.5x(-0.2)1

K解析》當(dāng)“之2且“cN*時(shí)，若甲在第(〃—1)天選擇了A餐廳，

那么在第九天有40%的可能性選擇A餐廳，

若甲在第(〃-1)天選擇了B餐廳，那么在第〃天有60%的可能性選擇A餐廳，

所以第〃天選擇A餐廳的概率匕=047"+0.6(1—J(〃22,〃eN*),

即P?=-0.2^+0.6,所以Pn-0.5=-0.2(^-0.5).

又由題意得，＜=1,所以｛《—0.5｝是以4—0.5=0.5為首項(xiàng)，-0.2為公比的等比數(shù)列，

所以匕—0.5=0.5x(—0.2)“;所以2=0.5+0.5x(-0.2)3.

故[答案》為：O.5+O.5x(-O.2)J.

四、解答題

17.已知uABC的內(nèi)角ASC的對邊分別為J且CCOS5+Z?COSC=-22COS5.

(1)求角5的大小，

(2)若A的角平分線交邊5c于點(diǎn)O,且AD=?c=4i,求邊力.

解：（1）由正弦定理可得一2cos^BsinAusinCcosb+sinBcosCusiMjB+CXsinA,

因?yàn)锳e（0,兀），所以sinA>0，可得cos3=—g.

27r

又3€（0,兀），故3=學(xué).

（2）如下圖所示：

在中，----=----------

sinBsin/ADB

所以sin/ADB==立，

AD2

結(jié)合3=」，所以乙4。8=工，

34

JT

所以NRW=ZDAC=—,

12

兀

可得NACB=ZBAC=—，

所以是等腰三角形，且。=。，所以b=2acos工=6.

6

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A5CD為正方形，側(cè)棱底面ABCD,且

B4=A5,點(diǎn)E,尸分別為的中點(diǎn).

（1）若平面PBCc平面Q4D=/,證明：/_L平面乃43；

（2）求平面AE產(chǎn)與平面BIB夾角的余弦值.

（1）證明：因?yàn)榈酌鍭5CD為正方形，所以AO//BC,

又＜2平面PBC,BCu平面PBC,

所以AD//平面PBC.

又因?yàn)槠矫鍼BCc平面PAD=/,ADu平面QAD,

所以AD///.

因?yàn)榈酌鍭BCD,ADU平面ABCD,所以A￡），B4.

又因?yàn)锳D_LAB,ABcE4=A,AB,B4u平面Q4B，

所以AD,平面Q43.

所以/，平面7^45.

⑵解：因?yàn)?4J_底面A5cD,A5<=平面ABCO,所以ABLA4,

由（1）知，AB,AL）,AP兩兩相互垂直,

如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，”,4）,AP所在直線分別為了軸、V軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系.

設(shè)AB=2,則4(0,0,0),5(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(l,0,1),F(0,1,1),

AE=(l,O,l),AF=(O,l,l).

設(shè)平面AE產(chǎn)的一個(gè)法向量為勺=（%,y,z）,

AE-n=(1,0,1)-(^,y,z)=x+z=0

即《1

AF?4=(0,1,1)?(x,y,z)=y+z=0

令x=l,則y=l,z=—1，得4=(1,1,一1),

又平面上鉆的一個(gè)法向量為%=（0,1,0）,

_,囹_1_y/3

所以平面AEF與平面PAB夾角的余弦值是cos%,n

2同?同^3x13

19.第18屆亞洲杯將于2024年1月12日在卡塔爾舉行，該比賽預(yù)計(jì)會吸引億萬球迷觀看.

為了了解某校大學(xué)生喜愛觀看足球比賽是否與性別有關(guān),該大學(xué)記者站隨機(jī)抽取了100名學(xué)

生進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中女生喜愛觀看足球比賽的占女生人數(shù)的工，男生有10人表示不喜歡看足

4

球比賽.

（1）完成下面2x2列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值。=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為喜愛

觀看足球比賽與性別有關(guān)聯(lián)？

男女合計(jì)

喜愛看足球比賽

不喜愛看足球比賽

合計(jì)60

（2）在不喜愛觀看足球比賽的觀眾中，按性別用分層隨機(jī)抽樣的方式抽取8人，再從這8

人中隨機(jī)抽取2人參加校記者站的訪談節(jié)目，設(shè)抽到的男生人數(shù)為X,求X的分布列和期

望.

2fL\LLCL—tzC)

附，%(a+Z?)(c+d)(a+c)(〃+d)'

a0.10050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

解：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知抽取的女生共40人,喜歡觀看足球比賽的女生為40義工=10人,

可得得2x2列聯(lián)表如下:

合

男女

計(jì)

喜愛看足球比

501060

賽

不喜愛看足球

103040

比賽

合計(jì)6040100

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得

2_100x(50x30-10x10)21225

?34,028>10.828=x,

60x40x60x40360001

根據(jù)小概率值々=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，即認(rèn)為喜愛觀看足球比賽與性別有關(guān)聯(lián).

（2）按照分層隨機(jī)抽樣的方式抽取8人，根據(jù)抽樣比可知其中男生2人，女生6人,

則X的可能取值為0』,2,

P(X=0)=fi=H，尸(X=l)=善4

C8ZoC8/

r21

唳=2)=百F

所以X的分布列為

X012

1531

P

28728

期望值E（X）=0X：|+1><；+2X2=；.

Zo/ZoZ

20.己知數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為sn，且S“=2an-2,｛an-bn｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差

數(shù)列.

（1）求｛4｝,｛/｝的通項(xiàng)公式;

⑵若數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為北，且不等式2》"（3—7；）對一切〃eN*恒成立，求實(shí)數(shù)％

的取值范圍.

解：（1）當(dāng)〃=1時(shí)，q=2q—2,解得q=2.

當(dāng)〃之2時(shí)，=2a,-2,S“_]=2加—2,兩式相減得見=2a“—2%_],

即4=2an_1（n>2）,

所以｛4｝是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，故。“=2〃.

/、72〃—12〃—1

又。小a=1+2（"-1）=2〃-1,故仇=-----=—^―

,、「“72n-\SIT1352n-l

（2）因?yàn)椤?,所以（=5+57+至++—^一①，

乙乙乙乙乙

1Tl352n—J

51=尹+石+夢++L②’

①-②得=；+1；+/+2n-l2n—l32n+3

2向C〃+lcr\n+\

所以北=3-空」

不等式X2〃(3—%)對一切〃eN*恒成立，轉(zhuǎn)化為222"；3"對一切〃N*恒成立.

令/(〃)=2"2：3”(〃GN*卜則

又小+1)-仆)=—產(chǎn)--------1=—產(chǎn)一，

當(dāng)”=1時(shí)，/(?+1)-/(?)>0,當(dāng)“22時(shí)，/(?+1)-/(?)<0,

所以〃1)〈〃2)〉〃3)>〃4)>,則北/(")皿"△2)=!

所以實(shí)數(shù)2的取值范圍為(，+。)

21.已知函數(shù)/(x)=(x+a)ln(x+l).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線〃力在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(%)-%在(0,+。)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

解:(1)當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=(x+2)ln(x+l),

r(x)=ln(x+l)+^-,易知〃O)=O"'(O)=2,

■X十J-

所以/(x)在點(diǎn)(0"(0))處的切線方程為y—0=2(x—0),即y=2x.

(2)令g(x)=/(x)_x=(x+