圖形變換模型之翻折（折疊）模型（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)常見(jiàn)幾何模型

圖形變換模蟄之翻折（折疊）模爨

幾何變換中的翻折（折疊、對(duì)稱）問(wèn)題是歷年中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，試題立意新穎，變幻巧妙，主要考查學(xué)生的

識(shí)圖能力及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

涉及翻折問(wèn)題，以矩形對(duì)稱最常見(jiàn)，變化形式多樣。無(wú)論如何變化，解題工具無(wú)非全等、相似、勾股以及三

角函數(shù)，從條件出發(fā)，找到每種對(duì)稱下隱藏的結(jié)論，往往是解題關(guān)鍵。本專題以各類幾個(gè)圖形（三角形、平行四

邊形、菱形、矩形、正方形、圓等）為背景進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

【知識(shí)儲(chǔ)備】

翻折和折疊問(wèn)題其實(shí)質(zhì)就是對(duì)稱問(wèn)題，翻折圖形的性質(zhì)就是翻折前后圖形是全等的，對(duì)應(yīng)的邊和角都是相等

的。以這個(gè)性質(zhì)為基礎(chǔ)，結(jié)合三角形、四邊形、圓的性質(zhì)，三角形相似，勾股定理設(shè)方程思想來(lái)考查。

解決翻折題型的策略：

1）利用翻折的性質(zhì):①翻折前后兩個(gè)圖形全等;②對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分；

2）結(jié)合相關(guān)圖形的性質(zhì)（三角形，四邊形等）；3）運(yùn)用勾股定理或者三角形相似建立方程。

模型1.矩形中的融折模型

【模型解讀】

網(wǎng)］1（2023?遼寧鞍山?統(tǒng)考中考真題）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOBC的邊OB,分別在力軸、沙軸

正半軸上，點(diǎn)。在邊上,將矩形AOBC沿AD折疊,點(diǎn)。恰好落在邊上的點(diǎn)E處.若。4=8,

OB=10,則點(diǎn)D的坐標(biāo)是.

【答案】（10,3）

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出AE=AC=10,在Rt/\AOE中，勾股定理求得OE=6,進(jìn)而得出BE=4,在

RtADBE中，勾股定理建立方程，求得BD的長(zhǎng)，即可求解.

【詳解】解：?.?四邊形AOBC是矩形，/.AC=OB=10,

?.?折疊，二AB=10,在Rt^AOE中，OE=^AE2-AO2=V102-82=6

二EB—OB—OE=10—6=4,二設(shè)DB=m,則CD—8—m,

?.?折疊，DE=CD=8-館,在Rt/SDEB中，DE?=EB2+BD2,

：.（8—館）2=力2+42,解得：館=3,.?.DB=3,二。的坐標(biāo)為（10,3）,故答案為：（10,3）.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形與折疊，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

的2（2023春?江蘇泰州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=8,E是的中點(diǎn)，將

△ABE沿直線AE翻折，點(diǎn)落B在點(diǎn)F處，連結(jié)CF,則CF的長(zhǎng)為（）

【答案】B

【分析】連接交AE于點(diǎn)H,根據(jù)三角形的面積公式求出,得到BF,根據(jù)直角三角形的判定得到

90°,根據(jù)勾股定理求出答案.

【詳解】解:連接BF交AE于點(diǎn)

?.?將△ABE沿直線AE翻折，點(diǎn)落B在點(diǎn)F處，

；.點(diǎn)、B、F關(guān)于AE對(duì)稱，：.BH=FH,BF_LAE,；BC=8,點(diǎn)、E為BC的中點(diǎn)、，；.BE=4,

又：AB=3,AB=VAB2+BE2=V32+42=5,=孕，則BF="，

555

■：FE=BE=EC,：.ZBFC=90°,：.CF=^/BC2-BF2=/82-(V=4^?故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后

圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

血］3（2023?湖北?統(tǒng)考中考真題）如圖，將邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M?落在

邊AD上（點(diǎn)用■不與點(diǎn)4。重合），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，與CD交于點(diǎn)P,折痕分別與邊AB,CD交于點(diǎn)

E,F,連接⑴求證：2AMB=/BMP；（2）若DP=1,求MD的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）7WD=孕

5

【分析】（1）由折疊和正方形的性質(zhì)得到NEMP=NEBC=90°,EM=EB,則NEMB=NEBM,進(jìn)而［正明

再由平行線的性質(zhì)證明即可證明NAMB=/BMP;

（2）如圖，延長(zhǎng)AW,BC交于點(diǎn)Q.證明△DMP?△CQP得到QC=2MD,QP=2MP,

設(shè)皿D=o;,則。。=2必，BQ=3+2rc.由=/MBQ,得到MQ=BQ=3+2c.則叱二士皿口

o

=3+2a:.由勾股定理建立方程/+12=（Jd等解方程即可得到皿0=".

【詳解】（1）證明：由翻折和正方形的性質(zhì)可得，NEMP=/EBC=90°,EM=EB.

：.2EMB=NEBM.：.NEMP-2EMB=AEBC-ZEBM,即/BMP=AMBC,

?.?四邊形ABCD是正方形，:"AMB=2MBC.：.ZAMB=ZBMP.

（2）解:如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q.AD//BC,：./\DMP-ACQF.

又?.?DP=1,正方形ABC。邊長(zhǎng)為3,：.CP=2：.嗯=嗯=哮=飛

/.QC=2MD,QP=2MP,設(shè)MD=a;,則QC=2c,，BQ=3+2，.

?：4BMP=/AffiC,即ABMQ=AMBQ,：.MQ=BQ=3+2x.：.MP=^-MQ=3H~-.

oo

在RtADMP中，Mlf+DP2^MP2,：.x2+l2^（3+2a:V.解得：g=o（舍）,孕.MQ=孕.

\3，55

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形與折疊問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定

理等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

刷4（2023春?江蘇宿遷?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8.點(diǎn)。為?矩形AMBCD的

對(duì)稱中心,點(diǎn)E為邊AB上的動(dòng)點(diǎn),連接EO并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F.將四邊形AEFD沿著EF翻折,得到四

邊形邊4E交邊BC于點(diǎn)G,連接。G、OC,則△OGC的面積的最小值為（）

A.18-3B.-|-+3V7C.12-^^D.6+

【答案】。

［分析］在EA上截取EM=EG,連接OM,證明^MOE法/\GOE，所以O(shè)M=OG，即可得最短時(shí)，

OG也就最短，而當(dāng)OM_L時(shí)，最短,且OM=4=OG,再過(guò)點(diǎn)。作OK_LB。,得OH=3,又因

為OC=5，就可以根據(jù)勾股定理計(jì)算GH、X。的長(zhǎng)，從而計(jì)算出最小面積.

【詳解】解:在EA上截取百=EG,連接OM,

由折疊得：4MEO=AGEO,又,/EO=EO,：./\MOE空△GOE（SAS）,

.?.OM=OG,二?！白疃虝r(shí)，OG也就最短，而當(dāng)0M_LAB時(shí)，QM■最短，

此時(shí)，?.?點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，二OM=fBC=4=OG,即OG的最小值是4,

在△OGC中，：點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，

/.OC長(zhǎng)度是矩形對(duì)角線長(zhǎng)度的一半，即是5,定值,4BCO度數(shù)也不變，是定值，

當(dāng)OG=4最小值時(shí)，AOGC面積最小.過(guò)點(diǎn)。作。

?.?點(diǎn)。為矩形ABCD的對(duì)稱中心，：.OH=^-AB=3,

：.Rt^OGH中，GH=A/OG2-OH2=A/42-32=V7,

Rt/\OHC中，W=y/OC2-OH2=V52-32=4,GC=GH+HC=V7+4,

.?.△OGC面積的最小值是4XGCXOH=—X（J7+4）X3=^/7+6.故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及垂線段最短等知識(shí)，解題關(guān)鍵是找到OG最小

值.

題5（2023春?遼寧撫順?八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6,BG=10,點(diǎn)E、G分別在

BC、上，將/\DCE、4BEG分別沿DE、EG翻折，翻折后點(diǎn)。與點(diǎn)F重合，點(diǎn)B與點(diǎn)P重合.當(dāng)A、

P、F、E四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，線段GP長(zhǎng)為（）?M

A.4^2B.4C.4D.^-V2

oooo

【答案】B

【分析】據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD=AB=6,AD=BC=1Q,ZB=/。=90°,據(jù)折疊的性質(zhì)得到DF=CD

=6,EF=CE,2DFE=2C=40況4=90°,根據(jù)勾股定理得到AF=8,設(shè)EF=CE=*,由勾股定理列

方程得到AE=10,BE=8,由折疊的性質(zhì)得到PG=BG,Z.APG=NEPG=NB=90°,PE=BE=8,

求得AP=AE—PE=2,設(shè)PG=BG=?/,則4G=6-v，據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.

【詳解】解:在矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=10,：.CD=AB=6,AD=BC=W,/8=/C=90°,

?/將△DCE沿DE翻折，翻折后點(diǎn)。與點(diǎn)F重合，

DF=CD=6,EF=CE,NDFE=/C=NDFA=90°,/.AF=VAD2-DF2=V102-62=8,

i受EF=CE=:c,：.BE=1。一",AE^8+x,

1/AB2+BE2=AE2,：.62+（10—x）2=（8+J：）?,解得：2=2,AE=10,BE=8,

?/將△BEG沿EG翻折，翻折后點(diǎn)B與點(diǎn)P重合，

:.PG=BG,NAPG=NEPG=NB=90°,PE=BE=8,；.AP=AE-PE=2,:SLPG=BG=y,則

AG=6-y,

?：A&=AP2+PG2,：.（6-yf=22+y2,二沙=《■,.?.線段GP長(zhǎng)為日,故選:B.

OO

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換（折疊問(wèn)題），矩形的性質(zhì)，勾股定理,根據(jù)勾股定理列方程是解題關(guān)鍵.

血］6（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐

【問(wèn)題情境】如圖1,小華將矩形紙片ABCD先沿對(duì)角線折疊,展開(kāi)后再折疊,使點(diǎn)B落在對(duì)角線BD

上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為8,折痕與邊AD,分別交于點(diǎn)E,F.

【活動(dòng)猜想】（1）如圖2,當(dāng)點(diǎn)片與點(diǎn)。重合時(shí)，四邊形BEDF是哪種特殊的四邊形？答:.

【問(wèn)題解決】（2）如圖3,當(dāng)48=4,40=8,39=3時(shí),求證：點(diǎn)人'，F(xiàn)，。在同一條直線上.

【深入探究】（3）如圖4,當(dāng)與BC滿足什么關(guān)系時(shí),始終有AF與對(duì)角線AC平行？請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑷在⑶的情形下，設(shè)AC與BD,EF分別交于點(diǎn)O,P,試探究三條線段AP,BD,EF之間滿足的等量

關(guān)系,并說(shuō)明理由.

【答案】（1）菱形；（2）證明見(jiàn)解答；（3）BC=，iL4B,證明見(jiàn)解析；（4），3EF=2G4P+ED）,理由見(jiàn)解析

【分析】（1）由折疊可得：EF_LBD,OB=O。,再證得人時(shí)。空△DEOG4sA）,可得OE=OF,利用菱形

5

的判定定理即可得出答案；⑵設(shè)EF與BD交于點(diǎn)河，過(guò)點(diǎn)B'作B'K，BC于K,利用勾股定理可得BD

=4V5,再證明4BFM?八即。，可求得=◎絲，進(jìn)而可得的=與⑤，再由ABBK?^BDC,可求

55

得BK=孕，BK="，CK=BC-BK=8—甲="，運(yùn)用勾股定理可得F。=4,運(yùn)用勾股定理逆定

5555

理可得ACBF=90°,進(jìn)而可得AABF+ACBF=90°+90°=180°，即可證得結(jié)論；

⑶設(shè)/0AB=/OBA=a，則90°—%利用折疊的性質(zhì)和平行線性質(zhì)可得：NABB=NAOB=

明再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理即可求得a=60°,利用解直角三角形即可求得答案；

(4)過(guò)點(diǎn)E作EG_LBC于G,設(shè)EF交BD于設(shè)AE=77i,EF=n，利用解直角三角形可得=

—BB—V3n—V3(m+["九)=~及m，AP—2AE-cos30°=V3m,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：⑴當(dāng)點(diǎn)B'與點(diǎn)。重合時(shí)，四邊形BEDF是菱形.

理由：設(shè)EF與BD交于點(diǎn)O,如圖，

由折疊得：EF_LBD,OB=OD,：.NBOF=/DOE=90°,

■：四邊形ABCD是矩形，AD//BC,：./LOBF=NODE,

：.△BFO空/^DEO{ASA）,/.OE=OF,：.四邊形BEDF是菱形.故答案為：菱形.

（2）證明：?.?四邊形ABCD是矩形，AB=4,AD=8,BF=3,：.BC=AD=8,CD=AB=4,ZBCD=

90°,

:.CF=BC—BF=8—3=5,；.BD=y/BC2+CD2=V82+42=475,

如圖，設(shè)EF與BD交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)B'作BKLBC亍K,

由折疊得：NKRF=/ABF=NBMF=/BMF=90°,BF=BF=3,BR=2BM,；.4BMF=4BCD,

ZFBM=ADBC,ABFM?4BDC,；.=等,即空^=，,BM=，,BE=絲⑤,

BCBD84V555

?/NBKP=/.BCD,AB'BK=ADBC,：./\BBK?"DC,：.冬冬=器=暮~，即旦善=器=

GZ?BCDL）48

124

5

：.B'K=^--,BK=^-,：.CK=BC-BK=8-：.BC=y/B'K2+CK2==

4,

BF2+BC2^32+42=25,CF?=52=25,：.B'F2+B'C2^CF2,：./CFF=90°,

/./48歹+/田歹=90°+90°=180°,.?.點(diǎn)4,B',。在同一條直線上.

（3）當(dāng)3。=遍AB時(shí),始終有與對(duì)角線AC平行.

理由：如圖，設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O,

四邊形ABCD是矩形，OA^OB,AOBA+NOBC=90°,：.AOAB=AOBA,

設(shè)/OAB=/OB4=a，則/OBC=90°-a,由折疊得：AABF=AABC=90°,BF=BF,

AABBF+/90°,〃JBC=90°-a,：.AABB^AOBA=a,

?/AB//AC,：.AAB'B=ZAOB=a,V/OAB+AOBA+AAOB=180°,

a+a+a—180°,即3a=180°,.'.a—60°,Z.BAC—60°,=tanZBAC=tan600=V3，:.BC—

fAB

V3AB;

(4)、后EF=2(AP+B;D),理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)石作EG_LBC于G,設(shè)EF交BD于

由折疊得：EF±BD,BF=BF,NBFE=2BFE,設(shè)AE=m,EF=n,

由⑶得：ZR4C=60°=ZABL>,A/BBF=4DBC=30°,二ZBFE=ABFE^60°,

AEG=EF*sin60°=笄n,FG^EF-cos60°=-j-n，:NEAB=AABG=NBGE=90°,

四邊形ABGE是矩形，/.AB=EG=烏n,BG=AE=m,AD//BC,

：.BF—BlF—m+-^-n,BH=BF-cos30°=—^~（rn+■九）,：.BR=2BH=V3（m+-j-n）,

BD—2AB—V3n，r.BD=BD—BS=V3n—■九）=—遍1m,

AD//BC,：.NDEF=4EFG=60°，:.NAPE=NDEF-ADAC=60°-30°=30°=ADAC,

AP—2AE-cos300=V3m,AP+B,D—Vim+~=-^-n,

AP+B'D=與EF,即V3EF=2(AP+BD).

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性質(zhì)，等腰三

角形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，涉及知識(shí)

點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，難度較大.

模型2.正方形中的翻折模型

【模型解讀】

圖1備用圖

網(wǎng)］7(2023?河南洛陽(yáng)?統(tǒng)考二模)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)F為CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AD邊上不與

端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，連接.將△4BP沿BP翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,則線段EF長(zhǎng)的最小值為

()

C.V34D.3V7-2

【答案】8

【分析】先確定線段EF的最小值的臨界點(diǎn)，然后結(jié)合正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，以及勾股定理，即可求出

答案.

【詳解】連接,則跳1>-BE,當(dāng)點(diǎn)B、E、F在同一條直線上時(shí)，EF的長(zhǎng)度有最小值，如圖

?M

由翻折的性質(zhì)，BE=AB=4,在正方形ABCD中，BC=CD=4,2C=90°,

,:點(diǎn)、F為CD邊的中點(diǎn)，，。尸二？，.-.BF=V42+22=2V5,

:.EF=BF—BE=2"一4;故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵掌握所學(xué)的知識(shí)，正

確找出線段最小值的臨界點(diǎn)，從而進(jìn)行解題.

題8（2023?廣西玉林?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖,在正方形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)E,連接CE，將ABCE沿CE

翻折，點(diǎn)B恰好與對(duì)角線AC上的點(diǎn)F重合，連接DF,若BE=2,則△CDF的面積是（）

Ai+更2B.3V2+4C.6V2+8D.

42

【答案】B

【分析】由折疊可得EF=BE=2,ZCFE=ZB=90°,且NFAE=45°可得AF=2,AE=2^/2,即可求對(duì)

角線BD的長(zhǎng)，則可求△CDF面積.

【詳解】如圖連接交47于O,

?/ABCD為正方形，/ABC=90°,AB=BC,AC_LBD,DO=BO,ABAC=45°,

；ABCE沿CE翻折，：.BE=EF=2,BC=CF,NEFC=90°,

?：ABAC=45°,/EFC=90°,NEAF=AAEF=45°,：.AF=EF=2,：.AE=272,

AB=2冊(cè)+2=BC=CF,：.BD=4^AB=4+20：.OD=2+",?：$皿二^XCFXDO=

32+4,故選旦

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、正方形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟

練應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

網(wǎng)］9（2023?廣東九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形48。。中，43=6,點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3OH.將

△ADE沿AE對(duì)折至△APE，延長(zhǎng)即交邊BC于點(diǎn)G,連接AG、CF,則下列結(jié)論:①A4BG篤4AFG；

②AAGB+NAED=135°③GF=3；④AG〃CF；其中正確的有(填序號(hào)).

【答案】①②③④

【分析】根據(jù)折疊，得到AD=AF,Z￡?=NAFE=90°，推出AB=力?，ZAFG=ZB=90°,可證明

Rt/\ABG空Rt/\AFG,即可判斷①正確；根據(jù)NDAE=NEAF"BAG=/E4G,進(jìn)而可得ZGAE=45°,

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得ZAEF+ZADF=135°,得到ZAGB+ZAED=135°,進(jìn)而判斷②正確；

設(shè)BG=GF=則CG=6-x,EG=x+2,CE=4,在EABGC中，根據(jù)勾股定理建立方程Q+2)2=

(6-02+42,解方程可得GF=3,即可判斷③正確；根據(jù)BG=FG=3,得到CG=BC-BG=6—3=3,

得到CG=FG,推出/GCF=/GFC,根據(jù)/力GB=/4GF,得到/BGF=2/AGF=2/GFC,得到

AAGF=/GFC,推出AG〃CF,即可判斷④正確

【詳解】?.?四邊形ABCD是正方形，=ZABC=ADAB=ABCD=90°,AB=BC=CD=AD=Q,

■：CD=3DE,：.DE=2,.?.CE=4,?.?將△力DE沿AE對(duì)折至

AAFE=NADE=90°,AF=AD,EF=DE=2,：.NAFG=AABG=90°,AF=AB,

—(4471

在Rt/\ABG和Rt^AFG中~：.Rt^ABG竺Rt/\AFG(HL)，二①正確；

2T.(_T----JTICT

?.?將AADE沿AE對(duì)折至AAFE,：./DAE=NEAF,；Rt^ABG2Rt^AFG,：./BAG=/FAG,

NDAE+NEAF+/BAG+AFAG=/DAB=90°,/.ZEAG=AEAF+AFAG=yZDAB=45°,

：.AAEF+NADF=135°,Z.AAGB+AAED=135°,/.②正確；

設(shè)BG=GF=c,則CG=6-c,EG=x+2,

CE—4,(x+2>=(6—立>+邛,解得x—3,BG—GF—3,③正確；

-：BG=FG=3,:.CG=BC-BG=6-3=3,CG=FG,NGCF=ZGFC,

NAGB=AAGF,：.4BGF=2ZAGF=2AGFC,：./4GF=AGFC,：.AG//CF：.④正確；

故答案為：①②③④.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)，折疊圖形全等的性質(zhì)，三角形全等的判斷和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾

股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

血］10（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E、F分別在邊AD.BC上，將

正方形沿著HF翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為

3：5,那么線段FC的長(zhǎng)為

【答案】4

O

【分析】連接BE,過(guò)點(diǎn)F作FH_L40于點(diǎn)及，設(shè)CF=,，則。H=①，則BF=1—,根據(jù)已知條件，分別

表示出AE,EH,HD,證明4EHFW^BCB{ASA），得出EH=B'C=/2c,在Rt^ffFC中,WS

。2+。92,勾股定理建立方程，解方程即可求解.

【詳解】解:如圖所示，連接BB',過(guò)點(diǎn)F作FH±AD于點(diǎn)H,

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3：5,

S回返〃ABFE=春x1=■，設(shè)CF=x,則DH=x,則BF=1-x

oo

1Q1Q1

???5四邊形力即石="5"（4石+89）x4B=可即f（4E；+1—力）xl=—AE=x——

/ozo4

DE=1-AE=^~K-x,：.EH=ED-HD=^K--x-Ax=-2x,

444

V#4,BB±EF,：.Z1+Z2=ZBGF=90°,VZ2+Z3=90°,A/l=/3,

又FH=BC=1,AEHF=ZC/./XEHF^^BCB^ASA）,/.EH=FC=等一2，

在Rt/^FC中，BF?=BC2+CF2即（1-/）2=?。ㄈ铡?力解得：①=卷,故答案為：名.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)

是解題的關(guān)鍵.

睥111（2023?江蘇?統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐定義:將寬與長(zhǎng)的比值為花事二工（九為正整數(shù)）的矩形稱

為n階奇妙矩形.（1）概念理解:當(dāng)n=1時(shí),這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1）,這就是我們學(xué)習(xí)過(guò)的黃

金矩形，它的寬（AD）與長(zhǎng)（CD）的比值是.

（2）操作驗(yàn)證:用正方形紙片ABCD進(jìn)行如下操作（如圖（2））：

第一步:對(duì)折正方形紙片,展開(kāi),折痕為EF,連接CE；

第二步:折疊紙片使CD落在CE上，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H,展開(kāi),折痕為CG；?M

第三步:過(guò)點(diǎn)G折疊紙片，使得點(diǎn)A、B分別落在邊AD.BC上，展開(kāi)，折痕為GK.

試說(shuō)明:矩形GDCK是1階奇妙矩形.

AB

DC

圖⑴

（3）方法遷移:用正方形紙片ABCD折疊出一個(gè)2階奇妙矩形.要求:在圖（3）中畫(huà)出折疊示意圖并作簡(jiǎn)

要標(biāo)注.（4）探究發(fā)現(xiàn):小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)九階奇妙矩形都可以通過(guò)折紙得到.他還發(fā)現(xiàn):如圖（4）,點(diǎn)

E為正方形ABCD邊上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn),連接CE,繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊

形AGHE的周長(zhǎng)與矩形GDCK的周長(zhǎng)比值總是定值.請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)定值,并說(shuō)明理由.

【答案】⑴汽二工（2）見(jiàn)解析；（3）：,理由見(jiàn)解析

【分析】（1）將n=1代入S+1-1，即可求解.（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得AE=

2n

踮=1,設(shè)7%;=N,則4G=2—力,在R/A4SG,放△GHE中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；（3）

仿照（2）的方法得出2階奇妙矩形.（4）根據(jù)（2）的方法，分別求得四邊形的周長(zhǎng)與矩形GDCK

的周長(zhǎng)，即可求解.

【詳解】解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，-1=展:',故答案為：理＞.

2九22

⑵如圖（2）,連接EG,

圖(2)DNFC

AEB

G三——K

、、、

DC

圖(4)

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得AE=EB=1

設(shè)OG=c,則AG=2—①根據(jù)折疊，可得GH=GD=x,CH=CD=2,

在Rt^BEC中，EC=VEB2+BC2=Vl2+22=娓，：.EH=4l—2,

在RtAAEG,Rt4GHE中,AG2+AE2^GE\GH2+EH^GE2：.(2-J：)2+12=(V5-2)'2+a;2

解得：2=逐一1；.償=空D矩形GDCK是1階奇妙矩形.

1.702

(3)用正方形紙片ABCD進(jìn)行如下操作(如圖)：

第一步：對(duì)折正方形紙片，展開(kāi)，折痕為兒W,再對(duì)折，折痕為EF,連接CE;

第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)笈，展開(kāi)，折痕為CG;

第三步：過(guò)點(diǎn)G折疊紙片，使得點(diǎn)4B分別落在邊AD、BC上，展開(kāi)，折痕為GK.

矩形GDCK是2階奇妙矩形，

理由如下，連接GE,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4,根據(jù)折疊可得EB=1,則AE=4—1=3,

設(shè)。G=c,則AG=4—c根據(jù)折疊，可得GH=GD=。，CH=CD=4,

在Rt/\BEC中，EC=y/EB2+BC2=Vl2+42=V17,EH=V17-4,

在Rt^AEG,Rt^GHE中,AG2+AE2^GE\GH2+EH2^GE2

222

：.(4-Xy+3=(V17-4)+X解得：/=VI7—1，器=丐T

當(dāng)n=2時(shí)，交-丁1-1=/T....矩形GDCK是2階奇妙矩形.

2n4

(4)如圖(4),連接諛GE,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,設(shè)=則AE^l-m,

設(shè)。G=x,則43=：1—2；根據(jù)折疊，可得67/=30=2，CH=CD=1,

在Rt/\BEC中，EC=y/EB2+BC2=Vl+m2,：.EH=Vl+m2-1,

在Rt/\AEG,Rt/\GHE中，AG2+AE2=GE2,GH2+EH2=GE2

(1—a;)2+(l—m)2—(V1+m2—ij+a?整理得，x=Vm2+1—m

四邊形AGHE的邊長(zhǎng)為1—a:+c+V1+m2—1+1—m—vTTn?—m+1=c+1

矩形GDCK的周長(zhǎng)為2(3。+。。)=20+1),四邊形AGHE的周長(zhǎng)與矩形GDCK的周長(zhǎng)比值總是

定值］

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的折疊問(wèn)題，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

模型3.菱形中的翻折模型

【模型解讀】

BD

血］12（2023?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形ABCD中，NABC=120°,將菱形折疊，使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角

線上的點(diǎn)G處（不與B、D重合）,折痕為EF,若。G=2,BG=6,則BE的長(zhǎng)為.

【答案】2.8

【分析】作EH_L于H,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到EG=五4,根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理得到

△ABD為等邊三角形，得到AB=BD,根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可.

【詳解】解:作E"_LBD于X,由折疊的性質(zhì)可知，EG=EA,由題意得，BD=OG+BG=8,

?.?四邊形ABCD是菱形，"。二極AABD=ACBD=yZABC=60°,

.?.△4BD為等邊三角形，.?.4B=BD=8,設(shè)BE=;r,則EG=AE=8—2，?M

在Rt^EHB中，BH=9,EH=苧a;,在Rt^EHG中，EG2=EH2+GH2,

即（8—a?）2—+（6—，/），解得，8=2.8,即BE=2.8,故答案為：2.8.

【點(diǎn)睛】本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形，掌握翻轉(zhuǎn)變換是一種對(duì)稱

變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

網(wǎng)］13（2023?安徽?統(tǒng)考一模）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，=60°,點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是

AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將/XAMN沿7WN所在的直線翻折得到△力如W,連結(jié)4。，則4。長(zhǎng)度的最小值是

（）.

A.V7B.V7-1C.V3D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，在N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中4在以河為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)4。取最

小值時(shí)，由兩點(diǎn)之間線段最短知此時(shí)M、4、。三點(diǎn)共線，得出4的位置，進(jìn)而利用銳南三南函數(shù)關(guān)系求

出4。的長(zhǎng)即可.

【詳解】如圖所示：

?/MA'是定值，4。長(zhǎng)度取最小值時(shí)，即4在上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作MF_LDC于點(diǎn)、F,

?.?在邊長(zhǎng)為2的菱形4BCD中，/A=60°,河為4D中點(diǎn)，.”兒外二人"二①二？，AFDM=6Q°,

：.ZFMD=30°,/.FD=^-MD=y,：.FM=DMxcos30°=平，

：.MC=^FM2+CF2=V7,：.A'C=MC-MA'=V7-1.故選B.

血114（2023?山東棗莊?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖,在菱形紙片ABCD中，=4,=60°,將菱形紙片翻

折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處,折痕為FG,點(diǎn)F,G分別在邊AB,AD上，則EF的長(zhǎng)為（）

?M

D

A.B.4C.~D.

224

【答案】A

【分析】連接BE、BD,根據(jù)菱形的性質(zhì)可知'BCD是等邊三角形，由E是CD中點(diǎn)，可求得DE,BE,又因

為CD//AB,可得NABE=ZCEB=90°,利用勾股定理即可求解.

【詳解】解:連接BE、BD,

?.?四邊形ABCD為菱形，乙4=60°,：.AB=4：=BC=CD,乙4=60°=NO,r.ABCD是等邊三角形，

?:E是CD中點(diǎn)，:.DE=2=CE,BE_LCD,AEBC=30°,BE=V3CE=2Vi,

?：CD!IAB,：.NABE=NCEB=90°,由折疊可得AF=EF,

???EF2=BE2+BF2,：.EF2^12+（4-EF）2,：.EF^^.故選：4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出

輔助線得到等邊三角形再由勾股定理求解.

的115（2023春?湖北十堰?八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在菱形紙片ABCD中，乙4BC=60°,E是CD邊的中點(diǎn),

將菱形紙片沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在直線AE上的點(diǎn)G處,折痕為與CD交于點(diǎn)H,有

如下結(jié)論：①NCFH=30°；②。E=圣AE；③CH=GH；④S^BF：SmAFCD=3：5,上述結(jié)論中，所有

O

正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④

【答案】B

【分析】連接AC,得到AACD是等邊三角形，根據(jù)三線合一的性質(zhì)得到AG_LCD,由折疊得/G=/B=

60°,求出ZC.ZCHF的度數(shù)即可判斷①；利用30度角的性質(zhì)求出DE,勾股定理求出AE,即可判斷②；連

接CG,由折疊得AG=AB=,根據(jù)等邊對(duì)等角求出2ACG=/AGC,得到AHCG=/HGC,即可判

斷③;過(guò)點(diǎn)F作FM_LAB于點(diǎn)河，先求出ABAG=90°,由折疊得ABAF=ZGAF=45°,7WF=V3BM,

設(shè)2，則AA1=AiF=,求出S^^F,再得到AD=CD—AB=(1+根據(jù)S菱形入反;。—SAABF

求出四邊形AFCD的面積，即可判斷④.

【詳解】解:連接AC,?.?四邊形ABCD是菱形，AD=CD,乙D=乙48。=60°,二△ACD是等邊三角

形，

；E是CD邊的中點(diǎn)，/.AG±CD,：.zLAED=ZGEH=90°,

由折疊得/G=/B=60°,.I/CBF=/EHG=30°,???/C=180°—/B=120°,J./CFH=30°,故①正

確；

NDAE=90?！?。=30。，.?.AD=2DE,：.AE=^A^-DE2=聰DE,

：.器==艱，即*AE,故②正確；連接CG,由折疊得4G=AB=AC,/.AACG=

AEy/3DE33

2AGC,

■：AACD=AAGF=60°,A4HCG=AHGC,：.CH=GH,故③正確；

過(guò)點(diǎn)F作FN_LAB于點(diǎn)M,?：/BAD=180°-NB=120°,4DAE=30°,

：./BAG=90°,由折疊得/BAF=/GAF=45°,45°=ABAF,：.AM^FM,

/BFM=90°—/B=30°,設(shè)BN=c,則AM^MF^V^x,

：.AB=(1+Vi)x,SAABF=-yx(1+-Vix=AD=CD=AB=(1+V3)s,AE=

空(1+遍)/=，二S奏形ABCD=CD?AE=(1+g*?=(3+2g/,

：.四邊形AFCD的面積=S菱形,co-S^B產(chǎn)(3+2")/_上1產(chǎn)/=3+產(chǎn)/,

ASMBF：S四邊形人廿一產(chǎn)出注管/=(豐三,故④錯(cuò)誤；故選：B.

//OD

【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形30度角的性質(zhì)，三線合一的性質(zhì)，等邊三角形的判

定和性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

網(wǎng)］16(2023.浙江.九年級(jí)期末)對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8的菱形ABCD如圖所示，點(diǎn)。為對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。

折疊菱形，使B,兩點(diǎn)重合，山W是折痕.若BM=1,則CN的長(zhǎng)為.

【答案】4

【分析】連接AC、,如圖，利用菱形的性質(zhì)得OC=^AC=3,。。=^BD=4,/COD=90°,再利用

勾股定理計(jì)算出CD=5,接著證明AOBM^AODN得到DN=BN,然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得

=1,從而有DN=1,于是計(jì)算CD—_DN即可.

【詳解】解：連接A。、BD,如圖，

?.?點(diǎn)O為菱形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，二OC=,OD=^-BD=4,ACOD=90°,

在RtACOD中，CD=J32+42=5,?：ABHCD,：.AMBOANDO,

（AMBO=ANDO

在&OBM和bODN中（OB=OD,AOBM=kODN,：.DN=BM,

［ABOM^ADON

?：過(guò)點(diǎn)。折疊菱形，使B,兩點(diǎn)重合，MN是折痕，,BM=BM=1,

DN=1,C7V=CD—￡W=5—1=4,故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱,折疊前后圖形的形狀和大小不變,

位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.也考查了菱形的性質(zhì).

的17（2023秋?重慶?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖,在菱形ABCD中，及7=4,乙8=120°,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)