2021屆河南省濮陽市高三年級上冊第三次質量檢測數(shù)學及答案

濮陽市一高2021級高三上學期第三次質量檢測

數(shù)學試題

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

2

A-（xlx-9<0）B=lx\y=ln（2-x）lAD

1,已知集合1I兀l?'”,則4c5=（）

A.（2,3）B.（-3,2）C.（0,3）D.（—8,3）

2.已知命題夕：存在XER,x>sinx,則命題夕的否定為（）

A.—'P：存在XER,x<sinxB.—'P：任意XER,X<sinX

C.~^P：存在XER,x<sinxD.~^P：任意XER,X<sinX

3.下列函數(shù)中，與函數(shù)/(》)=》是同一函數(shù)的是()

A./(x)=(Vx)2B.=

c-/(x)=V?D./?)=,

4.已知/(x)=——，下列說法正確的是()

JC

A./(x)無零點B.單調遞增區(qū)間為(-8,e)

c./(X)的極大值為工D./(X)的極小值點為％=e

e

1、

5.若函數(shù)/(x)=5r—x+a的定義域和值域均為口力］S>1),則a+b的值為()

97595

ABC或

---2--

?2222

6.已知々為第二象限角，sina=—,則竺吧二=()

131+tana

177177

A.—B.—C.——D.——

717717

7.“環(huán)境就是民生，青山就是美麗，藍天也是幸福”，隨著經(jīng)濟的發(fā)展和社會的進步，人們的環(huán)保意識日益

增強.某化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為1.2mg/cn?,排放前每過濾一次，該污染物的含量都會減少

20%,當?shù)丨h(huán)保部門要求廢氣中該污染物的含量不能超過OZmg/cn?,若要使該工廠的廢氣達標排放,

那么該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為()(參考數(shù)據(jù)：坨2。0.3,lg3。0.477)

A.5B.7C.8D.9

8.已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足/(2-x)+/(x)=O,當xe(O,l]時，/(x)=.若函數(shù)

尸(x)=/(x)—sin〃x在區(qū)間[―1,機]上有10個零點，則實數(shù)加的取值范圍是()

A.[3.5,4)B,(3.5,4]C,(5,5.5]D,[5,5.5)

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知集合幺=卜卜〉0},5={^》2。},若xeZ是xeB的充分條件，則a可以是()

A.-1B.0C.1D.2

10.(多選題)已知a>0,且中1,函數(shù)y=log/,y=ax,歹=X+Q在同一坐標系中的圖象不可能是()

11.已知。為銳角，且cosa—sina=g,則下列選項中正確的有()

4

B.tano=一

3

.7

Csinacosa=——D.sma+cosa=—

.255

12已知函數(shù)/(x)=Qe"一’―(QER)有兩個極值點玉,々(王<12)，則J()

，2

B./(xj>g

A0<a<一

?e

C./(%)<；

D.再+/〉2

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.集合/={x|x(x-2)=0},則集合A的子集的個數(shù)為.

14.若函數(shù)Ax)的定義域為[-2,2],則函數(shù)/(x+l)+/(l-2x)的定義域為.

\-ax+i,x<\,

15.已知a>0且awl,若函數(shù)/(x)=<,11在R上單調遞減，則a的取值范圍為

—X+CLX---,X21

4

16.定義在R上的函數(shù)/(X)滿足/(O)=O,/(x)+/(l-x)=l,=,且當0〈石<X241

時，/(x1)</(x2),則/［短,-

四、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.實數(shù)集為凡集合N=W/+》_240}集合8=卜三二14°:求

(1)(CRA)UB

(2)C-{x\2m-l<x<m},C,求實數(shù)加的范圍.

18.已知/(%)=

(1)化簡/(%)；

(2)已知/(a)=2,求sin2a的值.

3

19.已知函數(shù)/(x)=Qlnx-bd,a,be/?,若/(%)在x=1處與直線y=相切.

(1)求見6的值；

(2)求/(x)在［±e］上的極值.

e

20.已知函數(shù)/(x)=必-(a+2)x+alnx.

(1)當a<2且awO時，求函數(shù)/(x)的單調區(qū)間；

(2)若a=4,關于光的方程/(x)=0有三個不同的實根，求加的取值范圍.

21.某服裝廠擬在2022年舉行促銷活動，經(jīng)調查測算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)加萬件與年

促銷費用無(0<x<10)萬元滿足m=3—一匚.已知2022年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬

x+1

件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的促銷價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的2倍(產(chǎn)品成本包

括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用).

(1)將2022年該產(chǎn)品的利潤y元表示為年促銷費用x萬元的函數(shù)；

(2)該服裝廠2022年的促銷費用投入多少萬元時，利潤最大？

22.已知函數(shù)/(x)=+e7?).

(1)求函數(shù)/(x)的單調區(qū)間和最大值；

⑵設函數(shù)g(x)=/(x)-丘+工有兩個零點七戶2,證明：%1+x2>2.

濮陽市一高2021級高三上學期第三次質量檢測

數(shù)學試題

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

A=(xlx2-9<0)B=[x\y=ln(2-x)),?

1.已知集合II>,I?I〃，則()

A.(2,3)B.(-3,2)C.(0,3)D.(-?,3)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)解一元二次不等式的方法，結合對數(shù)型函數(shù)的定義域、集合交集的定義進行求解即可.

【詳解】x?—9<0=—3<x<3，2-x>0=>x<2,

所以幺=(一3,3),5=(-co,2),

則403=(-3,2),

故選：B

2.已知命題夕：存在XER,x>sinx,則命題夕的否定為()

A.~^P：存在xeR,xvsinxB.~^P：任意XER,x<sinx

C.~^P：存在XER,x<sinxD.~^P：任意XER,X<sinX

【答案】B

【解析】

【分析】特稱命題的否定為全稱命題，否定的方法：改量詞，否結論.

【詳解】因為夕：存在XER,x>sinx,

所以「射：任意XER,x<sinx,

故選：B.

3.下列函數(shù)中，與函數(shù)/卜)=》是同一函數(shù)的是()

A./(x)=(Vx)2B.f(x)=E

___2

C./(x)=Vx7D./?)=>

【答案】C

【解析】

【分析】由同一函數(shù)的定義依次判斷選項即可.

【詳解】解：函數(shù)/(x)=x,定義域為R.

選項A中/(x)=(、6)2=x,定義域為［0,+e),故A錯誤；

選項B中/卜)=值=國，定義域為R,故B錯誤；

選項C中/(x)=#7=x,定義域為R,故C正確；

選項。中/(/)='=/,定義域為故D錯誤.

故選：C.

1nx

4.已知/(x)=——，下列說法正確的是()

JC

A./(x)無零點B.單調遞增區(qū)間為(―②,e)

C./(X)的極大值為』D./(X)的極小值點為％=e

e

【答案】C

【解析】

【分析】由/(X)的定義域為(0,+。)，可判定B不正確；求得/門)=匕學，得到函數(shù)/(x)的單調

JC

性和極值的概念，可判定C正確，D不正確；結合單調性和/。)=0,可判定A不正確.

【詳解】由函數(shù)/(》)=皿，可得定義域為xe(O,+s),所以B不正確；

JC

又由/'(》)=匕學，令/'卜)=0,解得％=e,

X

當xe(0,e)時,/?(x)>0,/(x)單調遞增；

當xe(e,+oo)時,/(x)<0,/(x)單調遞減,

所以當％=e時，函數(shù)/(x)取得極大值，極大值為/(e)=』，無極小值，

e

所以C正確，D不正確；

當xw(0,l)時，/(%)<0；當x=l時，/(1)=0；當x>l時，/(%)>0,

所以函數(shù)/(x)在定義域內有一個零點，所以A不正確.

故選：C.

1、

5.若函數(shù)X+Q的定義域和值域均為［i,3s>i),則〃+b的值為()

97595

BC或

A.2-2-2-2-2-

【答案】A

【解析】

【分析】

1,1

整理/(X)=5(X—1)一+。一5,由二次函數(shù)的性質可知當xe[l,切時，/(x)min=/(1)，/(初皿=/S),由

值域為[1,切求解即可

c171,1

[詳解],1'f(x)=_x—x+ci=—(x—1)i+a—,

222-

11,

???當xe[l,b](b>1)時,/(》濡=/(l)=?--,/(x)max=f(b)=-b^-b+a,

又了⑺在工加(6〉1)上的值域為[1,6]S>1),

23

.?.<，解得。=5,6=3或6=1(舍去)，

-b2-b+a=b2

[2

39

:?a+b=—F3——

22

故選：A

【點睛】本題考查二次函數(shù)性質的應用，考查已知函數(shù)的值域、定義域求參問題

6.已知々為第二象限角，sina=』，則"吧二1=()

131+tana

177177

A.—B.C.——D.——

717717

【答案】C

【解析】

512

【分析】根據(jù)a為第二象限角，sina=一,利用同角三角函數(shù)的基本關系求出cosa=—-,進而得到

1313

tana=—9,代入計算即可求解.

12

【詳解】因為a為第二象限角，JLsintz=一，所以cosa=—Jl-sin2a=-----,

1313

__L—i

則tana=^9=-￡,所以學匚=+=-?

cosa121+tana'

~12

故選：c.

7.“環(huán)境就是民生，青山就是美麗，藍天也是幸福”，隨著經(jīng)濟的發(fā)展和社會的進步，人們的環(huán)保意識日益

增強.某化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為1.2mg/cn?,排放前每過濾一次，該污染物的含量都會減少

20%,當?shù)丨h(huán)保部門要求廢氣中該污染物的含量不能超過0.2mg/cn?,若要使該工廠的廢氣達標排放，

那么該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為()(參考數(shù)據(jù)：坨2"0.3,炮3“0.477)

A.5B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

【分析】設該污染物排放前過濾的次數(shù)為由題意1,2x08'<0.2,兩邊取以10為底的對數(shù)

可得,根據(jù)參考數(shù)據(jù)即可求解.

l-31g2

【詳解】解：設該污染物排放前過濾的次數(shù)為"由題意1,2x0.8"W0.2，即>6,

兩邊取以10為底的對數(shù)可得21g6,即“Ig[1[21g2+lg3,

Ig2+lg3

所以〃2

l-31g2

因為lg2。0.3,lg3x0.477,所以箱卷“卷嘿=7-77-

1-31g21-3x0.3

所以“27.77,又〃GN*，所以〃mm=8，即該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為8次.

故選：C.

8.已知定義在R上的奇函數(shù)/(X)滿足/(2-x)+/(x)=0,當xe(0,l]時，/(x)=.若函數(shù)

尸(x)=/(x)-siivrx在區(qū)間[-1,間上有10個零點，則實數(shù)制的取值范圍是()

A.[3.5,4)B,(3.5,4]C.(5,5.5]D,[5,5.5)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知/(x)和sin(?)都是周期為2的周期函數(shù)，因此可將尸(x)=/(x)—sin(m)的零

點問題轉換為了(X)和sin(7ix)的交點問題，畫出函數(shù)圖形，找到交點規(guī)律即可找出第10個零點坐標，而

的取值范圍就在第10個零點和第11個零點之間.

【詳解】由/(2—x)+/(x)=0n/(x)=-/(2-x)=/(x-2)得/(x)是一個周期為2的奇函數(shù),

當xe(0,l]時，/(x)=-log2x,因此/1g]=_log2；=l，/(1)=0

[-\=T，小1)=0

因為/(x)是奇函數(shù)，所以/⑼=0，

2jr且g(-l)=0，gH=Tg(o)=。,=L

且g(x)=sin(7ix)的周期為T=—=2

71

g⑴=0

求%x)=/(x)-sin(7ix)的零點，即是/(x)與g(x)的交點，如圖:

為/(x)與g(x)在卜1』區(qū)間的交點圖形，因為/⑴與g(x)均為周期為2的周期函數(shù)，

因此交點也呈周期出現(xiàn)，由圖可知尸(x)的零點周期為:，

若在區(qū)間［T間上有10個零點，則第10個零點坐標為(3.5,0),

第11個零點坐標為(4,0),因此3.54機＜4.

故選：A

【點睛】思路點睛：函數(shù)的零點問題，往往可以轉化為常見函數(shù)的交點的個數(shù)問題，而圖象的刻畫需結合

函數(shù)的奇偶性、周期性等來處理.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知集合2=卜,〉0｝,5=｛司》2。｝,若xeZ是xeB的充分條件，則a可以是()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件的概念，得出集合之間的包含關系，即可得出。的范圍，選出選項.

【詳解】解:因為xeZ是xeB的充分條件，

所以所以有aW0.

故選:AB

10.（多選題）已知a>0,且存1,函數(shù)y=logaX,y=ax,y=x+a在同一坐標系中的圖象不可能是（）

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)y=log/,了=出圖象關于y=x對稱且同一坐標系中底數(shù)。相同，而一次函數(shù)圖象中。是

y軸上的截距，即可判斷各選項的正誤

【詳解】選項A,指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象可知而一次函數(shù)知故錯誤

選項B,函數(shù)夕=必與y=log/的圖象關于直線y=x對稱，故錯誤

選項C,正確；

選項D,指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)可知0<a<l,而一次函數(shù)知a>l,故錯誤

故選：ABD

【點睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)圖象及性質，結合同底指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)關于y=x對稱，及一次函數(shù)性

質，判斷圖象的正誤

11.已知a為銳角，且cosa—sina='，則下列選項中正確的有（）

5

A.e（八0,兀—1B.tana=4一

I4j3

,127

C.sinacosa=——D.sina+cosa=-

255

【答案】ACD

【解析】

【分析】運用同角的三角函數(shù)關系式進行運算逐一判斷即可.

【詳解】因為cosa—sina=1〉0,

所以cosa>sina,而a為銳角，

所以aw[。,：],選項A正確；

.12?2c-112

cosa—sina=-ncos-a+sina-2costzsintz=一ncosasma=一,

52525

所以選項C正確；

因為a為銳角，

.廠.1247

所以sma+cosa=J(sina+cosa)=J1H---=一，

。J\255

因此選項D正確，

7[.3

sma+cosa=一sma13

5n<JJ

由《=tana=—

144

cosa-sma=—cosa=—

[5[5

所以選項B不正確，

故選：ACD

12.已知函數(shù)/(x)=ae*—1■x2(aeR)有兩個極值點石,X2(石<》2)，則()

A.0<a<—B.

e

C./(%2)<2D.為+%2〉2

【答案】ACD

【解析】

【分析】A選項，轉化為a=二有兩個不同的根，令g(x)=F，求導得到其單調性和極值情況，畫出函

ee

數(shù)圖象，數(shù)形結合得到0<。(工；B選項，先得到且苞6(0,1),故

e

2]]

I00

=—5(西—1)+—<—；C選項，得到ae"=x29且/e(I+)，

1911

/(^2)=--(^2-ir+-<->D選項,構造G(x)=g(x)-g(2—x),利用導數(shù)得到

g(x1)<g(2-x1),從而得到g(x2)<g(2-x1),再由g(%)=三在。,+oo)上單調性得到答案.

e

【詳解】A選項，/(x)=ae=定義為R,且/[x)=ae「x,

由題意得/'(x)=aex-x有兩個變號零點，

V

令ae"-％=0，即?！赣袃蓚€不同的根，

e

令g(x)=5,則g，(x)=q，

ee

當x<l時，g'(x)>0,當x>l時，gf(x)<0,

故g(x)=2在(―8，1)上單調遞增，在(1，+8)上單調遞減，

e

Y1

所以g(x)=F在X=1處取得極大值，也是最大值，且=

ee

vv

又當x<0時，g(x)=—<0,當x>0時，g(x)=—>0,

ee

畫出g(x)=之的圖象，如下，

e

1

二

一"f—

故0＜。(一，A正確；

e

B選項，由A選項可知，aex,=Xj，且再€(0,1),

111

19

故/(石)=ae*-萬X：=x{——x^=--(X]—1)H—＜—,B錯誤;

2、722

C選項，由A選項可知，aeX2=X.,且/e(l,+°°),

1/1\2II

/(%)=a。'2—5￥=%—5%=---(工2-1)＜一'C正確H；

2V722

D選項，設G(x)=g(x)-g(2—.%),xe(O,l],

xx-l(x-l)(e^-e2^)

則G(x)=g(x)+g(2x)=--1----=---------------，

eec2re2

因為xe(0,l),所以x-lWO,x<2-x,則e*-e2r<0，

故G，(x)=(xT(ei_e［〉0,

故G(x)=g(x)-g(2-x)在xe(O,l］上單調遞增，

又G6=g⑴一g(2—1)=0,

而再€(0,1),故G(xJ=g(xJ-g(2-xJ<0,即g(xj<g(2—xj,

又g(xj=g(x2)，所以g(x2)<g(2—xj,

其中％e(l,+°°)，2-X1e(l,2),

而由A選項可知，g(x)=2在(1,+s)上單調遞減，

e

所以%>2—x-即天+%>2,D正確.

故選：ACD

【點睛】方法點睛：極值點偏移問題，通常會構造差函數(shù)來進行求解，極值點偏移問題，若等式中含有參

數(shù)，則消去參數(shù)，由于兩個變量的地位相同，將特征不等式變形，如常常利用In苞-In%=In±進行變

x2

形，可構造關于/=上的函數(shù)，利用導函數(shù)再進行求解.

x2

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.集合/={x|x(x—2)=0},則集合A的子集的個數(shù)為.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)題意求得集合/={0,2},結合集合中子集的定義，即可求解.

【詳解】由方程x(x—2)=0,解得x=0或x=2,即集合Z={0,2},

所以集合A的子集為0,{0},{2},{0,2},共有4個子集.

故答案為：4.

14.若函數(shù)/(x)的定義域為［-2,2］,則函數(shù)/(》+1)+/(1-2》)的定義域為.

【答案】［二，1］

【解析】

【分析】由函數(shù)/⑴的定義域為［-2,2］,分別由x+1,1-2x在［-2,2］內求解》的集合，取交集后可得函數(shù)

/(x+l)+/(l—2x)的定義域.

【詳解】解：,??函數(shù)/㈤的定義域為卜2,2］,

由—2WX+1W2,得—3Vx<l.

函數(shù)/(x+1)的定義域為［-3,1］.

13

由—241—2x?2,得——.

22

函數(shù)/(l-2x)的定義域為一.

-131「1一

函數(shù)/(x+l)+/(l—2x)的定義域為=--,1.

故答案為：一5」.

【點睛】本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了復合函數(shù)定義域的求法，給出函數(shù)"X)的定義域為［。力］,

求解函數(shù)/［g(x)］的定義域，只需由g(x)在內求解X的取值集合即可，是中檔題.

\-ax+i,x<\,

15.已知a>0且awl,若函數(shù)/(x)=1,11在R上單調遞減，則a的取值范圍為

---,X21

［—X+ax4

【答案】

\2_

【解析】

a>\

【分析】由題意可得,解不等式即可得出答案.

2

,2、,11

［1-a>-1+a---4--

【詳解】由題意可知/(x)=l-優(yōu)+1在(-8,1)上單調遞減，則a>l.

又/(x)=-必+ax-T=—[x一+好口在[1,+8)上單調遞減,

a11

所以一41,解得〃<2,且1—。2之一1+Q---，

24

解得一—<a<y/~5—.

22

綜上，1<aV—，

2

故。的取值范圍為.

故答案為：^1,A/5--.

16.定義在7?上的函數(shù)/(x)滿足/⑼=0,/(x)+/(l-x)=l,/^=1/(x),且當04玉</<1

1

時，/(x1)</(x2),貝J/1/b?

【答案】占

32

【解析】

【分析】由/⑼=o,/(x)+/(i-x)=i,可得〃1)=1,/《卜；，根據(jù)了電=13得

/[]=；/⑴=；,反復套用后得到/[焉]=再由。<再</<1時，

/(xj</(x),得到」一〈」一〈」一

2所以/從而得到答案.

\"')321520191250

【詳解】因為定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(。)=0,/(x)+/(l-x)=l

令x=l,得/(1)=1,令x=；,得/

又因/

所以/E=;/⑴=

又因為/(X)滿足當0<X］<x2<1時，/(x1)</(x2),

所以根據(jù)有/(二一］</(二一］</1二一］

321520191250(3215J(2019)(1250J

所以—-----|〈—，

32I2019J32

故答案為二.

32

【點睛】本題考查抽象函數(shù)的性質，求抽象函數(shù)的函數(shù)值，屬于中檔題.

四、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.實數(shù)集為凡集合Z={x|必+》一2<0}集合8=}、|<()|求

(1)(CRA)<JB

(2)C={x\2m-l<x<m},C工，,求實數(shù)冽的范圍.

【答案】(1)(CRN)U5={X[x<-2或x〉—1}；(2)m...-1.

【解析】

【分析】

(1)解一元二次不等式和分式不等式，化簡集合48,再進行集合的運算;

(2)對集合C分成空集和不為空集兩種情況，再根據(jù)子集關系得到不等式組;

【詳解】(1)={x|-2<x<1},B={x\-l<x<2],

CRA={x\x<-2或x〉1},

/.(CRA)u5={x［x<-2或x〉一1}；

(2)???，34,

2m-1?m

①當Cw/時，＜2機—L—2,解得:

機”1;

m?1

②當C=。時，2機一1〉機二＞機〉1；

綜上所述：加…-

【點睛】本題考查集合的基本運算和基本關系，求解分式不等式時要注意端點能否取到，同時要借助數(shù)軸

進行集合的運算.

18已知/(%)=

(1)化簡/(x)；

(2)已知/(a)=2,求sin2a的值.

【答案】(1)-tanx

4

(2)

5

【解析】

【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式結合同角的三角函數(shù)關系化簡，即可得答案.

(2)利用二倍角正弦公式，結合齊次式法求值，可得答案.

【小問1詳解】

由題意得/(x)=

(-sinx)(-cosx)sinx_sinx_

-------------------------——tanx.

(-cosx)sinxcosxcosx

【小問2詳解】

由/(a)=2,可得一tana=2,「.tana=-2,

….八2sinacosa2tana4

則sm2a=-：-------「=-a-----二一一

sma+cosatan。+15

3

19.已知函數(shù)/(x)=alnx-bx?,a,Z?G/?,若/(x)在x=1處與直線y=x-/相切.

(1)求6的值；

(2)求/(x)在已,句上的極值.

e

【答案】(1)a=2,b=-(2)極大值為ln2—1,無極小值.

2

【解析】

a-2b=l

【分析】(1)求導得到/'(%)=0-2區(qū)，根據(jù)切線方程聯(lián)立方程組，1解得答案.

X-0-——

I2

12-x2

(2)/(x)=21nx——/9則/(乃=上工得到函數(shù)的單調區(qū)間，計算極值得到答案.

2x

【詳解】(1)/(%)=@一2-，：函數(shù)/(x)在x=l處與直線y=x—士相切，

x2

7'(1)=1[a-2b=\[a=2

?T,即1,i,解得Li；

/(1)=——-b=——b=—

I2〔2〔2

1o9—Y2

(2)由(1)得：/(x)=21nx--x2,定義域為(0,+8),/，(x)=3_x=土旦，

2xx

令/'(x)〉0，解得OvxvVL令/'(x)<0，得

.../(X)在(上血)上單調遞增，在(V2,e)上單調遞減，

e

.../(X)在句上的極大值為/(V2)=21nV2-l=ln2-l,無極小值.

【點睛】本題考查了函數(shù)的切線問題，極值，意在考查學生的計算能力和對于函數(shù)知識的綜合應用.

20.已知函數(shù)-(a+2)x+alnx.

(1)當。<2且。工0時，求函數(shù)/(x)的單調區(qū)間；

(2)若a=4,關于x的方程/(x)-機=0有三個不同的實根，求加的取值范圍.

【答案】(1)答案不唯一，具體見解析；(2)(4In2-8,-5)

【解析】

【分析】(1)先求導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的零點情況對參數(shù)進行分類討論，研究導函數(shù)的正負區(qū)間，進而得到

函數(shù)的單調區(qū)間；

(2)將方程的根的問題轉化為函數(shù)的圖象與水平直線的交點個數(shù)問題，利用(1)的結論，研究函數(shù)的最

值和圖象，進而得到參數(shù)的取值范圍.

【詳解】⑴函數(shù)/(x)=x2-(a+2)x+alnx的定義域是(0,+e),

、c(a2x"-(a+2]x+a

/(x)=2x-(a+2)x+-=---------------

x

①當a<0時，/'(%)<0在(0,1)上恒成立，/心)>0在(1,+⑹上恒成立，

/(x)的增區(qū)間為［1,+8),/(x)的減區(qū)間為(01］.

②當0<a<2時，

/心)>0在］。,￡|和(1,+s)上恒成立，/'(x)<0在仁,11上恒成立.

.?.0<a<2時，/(x)的增區(qū)間為10,■|和［l,+oo),/(X)的減區(qū)間為pl.

綜上所述，當a<0時/(x)的單調遞增區(qū)間為［1,+s),單調遞減區(qū)間為(0」］；

當0<。<2時，/("的單調遞增區(qū)間為和［1,+s),單調遞減區(qū)間為1,1.

(2)若Q=4,/(X)=X2-6x+41nx,

關于x的方程/(x)-加=0有三個不同的實根，等價于歹二/卜)的圖象與直線天二加有三個交點.

/(切=2-6+3=2/6刀+4=2卜—2)(1),沖尸

由/?x)>0解得0<x<l或2<x由/'("<0,解得l<x<2.

5

.?.在(0』上/(x)單調遞增，在［1,2］上“X)單調遞減，在［2,+。)上/(x)單調遞增，

.-./(2)=41n2-8,/⑴=-5,

又???當X趨近于+8時/(X)趨近于+8,當X在定義域(0,+8)內趨近于。時，歷X趨近于-8,."(X)趨

近于?0°，

：.y=f(x)的圖象與直線y=機有三個交點時m的取值范圍是(4In2—8,—5).

【點睛】本題考查利用導數(shù)求含參數(shù)的函數(shù)的單調區(qū)間問題和方程的零點問題，考查分類討論思想和數(shù)形

結合思想，考查運算能力，邏輯思維能力，涉及利用導數(shù)求函數(shù)的最值.屬中檔題.

21.某服裝廠擬在2022年舉行促銷活動，經(jīng)調查測算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)機萬件與年

促銷費用X(0<x<10)萬元滿足m=3——L.已知2022年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬

x+1

件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的促銷價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的2