小學(xué)階段奧數(shù)知識點梳理

小學(xué)奧數(shù)（知識點梳理）

前言

小學(xué)奧數(shù)知識點梳理，對于學(xué)而思的小學(xué)奧數(shù)大綱建設(shè)尤其必要，不過，對于知識點的概括很

可能出現(xiàn)以偏概全掛一漏萬的現(xiàn)象，為此，本人參考了單尊主編的《小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克》中國少年

報社主編的《華杯賽教材》、《華杯賽集訓(xùn)指南》以及學(xué)而思的《寒假班系列教材》和華羅庚學(xué)校的

教材共五套教材，力圖打破原有體系，重新整合劃分，構(gòu)建十七塊體系（其第十七為解題方法匯集,

可補充相應(yīng)雜題），原則上簡明扼要，努力刻畫小學(xué)奧數(shù)知識的主樹干。

概述

一、計算

1.四則混合運算繁分數(shù)

⑴運算順序

⑵分數(shù)、小數(shù)混合運算技巧

一般而言：

①加減運算中，能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式；

②乘除運算中，統(tǒng)一以分數(shù)形式。

⑶帶分數(shù)與假分數(shù)的互化

⑷繁分數(shù)的化簡

2.簡便計算

⑴湊整思想

⑵基準數(shù)思想

⑶裂項與拆分

⑷提取公因數(shù)

⑸商不變性質(zhì)

⑹改變運算順序

①運算定律的綜合運用

②連減的性質(zhì)

（3）連除的性質(zhì)

④同級運算移項的性質(zhì)

⑤增減括號的性質(zhì)

⑥變式提取公因數(shù)

形如：a^b±a4-/?±±a=（a±a±±a）+b

12n12n

3.估算

求某式的整數(shù)部分：擴縮法

4.比較大小

①通分

a.通分母

b.通分子

②跟“中介”比

③利用倒數(shù)性質(zhì)

111

---mmmnnn

a1C則c>b>a.o形如：一*■>―>一,則一*-<—s-<―o

nnnmmm

123123

5.定義新運算

6.特殊數(shù)列求和

運用相關(guān)公式:

nm+1)

①1+2+3An=

2

〃Ci+D6〃+l)

②12+22+A+〃2=

6

③〃=n(n+l)=〃2+〃

n

?CAACAT

(4)13+23+A+〃3=U+2+AnJ2=-----------

⑤)abcabc-abcxlQQl=abcxlxllx13

⑥Q2-/?2=(a+b)G-b)

⑦1+2+3+4…（n-l）+n+（n-l）+…4+3+2+l=n2

二、數(shù)論

1.奇偶性問題

奇士奇二偶奇X奇二奇

奇士偶二奇奇X偶二偶

偶±偶=偶偶x偶二偶

2.位值原則

形如：tzbc=i00a+10b+c

3.數(shù)的整除特征:

整除數(shù)特征

2末尾是0、2、4、6、8

3各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)

5末尾是0或5

9各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)

11奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)

4和25末兩位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)

8和125末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)

7、11、13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7（或11或13）的倍數(shù)

4.整除性質(zhì)

①

如果c|a、c|b,那么c|（a±b）。

②

如果bc|a,那么b|a,c|a。

③

如果b|a,c|a,且（b,c）=1,那么bc|a。

④

如果c|b,b|a,那么c|a.

⑤

a個連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個數(shù)能被a整除。

余咻

5.帶

一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（bWO），那么一定有另外兩個整數(shù)q和r,OWr<b,使得a=b

Xq+r

當r=0時，我們稱a能被b整除。

當rWO時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡

稱為商）。用帶余數(shù)除式又可以表示為a+b=q...r,O^r<ba=bXq+r

6.唯一分解定理

任何一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即

n=pl。1Xp2?2X...Xpkflt

7.約數(shù)個數(shù)與約數(shù)和定理

設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n=pl?！縓「2。2x...Xpk成那么：

n的約數(shù)個數(shù):d(n)=(al+l)(a2+l)....(ak+1)

n的所有約數(shù)和：(1+P1+P12+--,plal)(1+P2+P22+…p2。2)...(l+Pk+Pk2+…pk誠)

8.同余定理

①同余定義：若兩個整數(shù)a,b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a,b對于模m同余,

用式子表示為a三b(modm)

②若兩個數(shù)a,b除以同一個數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a,b的差一定能被c整除。

③兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)和。

④兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)差。

⑤兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)積。

9.完全平方數(shù)性質(zhì)

①平方差：A2-B2=(A+B)(A-B),其中我們還得注意A+B,A-B同奇偶性。

②約數(shù)：約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)個的是完全平方數(shù)。

約數(shù)個數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。

③質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。

④平方和。

10.孫子定理(中國剩余定理)

11.輾轉(zhuǎn)相除法

12.數(shù)論解題的常用方法：

枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對、估計

三、幾何圖形

1.平面圖形

⑴多邊形的內(nèi)角和

N邊形的內(nèi)角和=(N-2)X180°

⑵等積變形(位移、害I補)

①②三角形內(nèi)等底等高的三角形

③平行線內(nèi)等底等高的三角形

④公共部分的傳遞性

極值原理(變與不變)

⑶三角形面積與底的正比關(guān)系

S]：S?=a：b；S]：S2=S4：S3或者5^53=5^$4

⑷相似三角形性質(zhì)(份數(shù)、比例)一

a

①：T

⑸燕尾定理

A

SAABG：SAAGC=SABGE：SAGEC=BE：EC；

SABGA：SABGC=SAAGF：SAGFC=AF：FC；

SAAGC：SABCG=SAADG：SADGB=AD：DB；

⑹差不變原理

知5-2=3,則圓點比方點多3。

⑺隱含條件的等價代換

例如弦圖中長短邊長的關(guān)系。

⑻組合圖形的思考方法

①化整為零

②先補后去

③正反結(jié)合

2.立體圖形

⑴規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式

⑵不規(guī)則立體圖形的表面積

整體觀照法

⑶體積的等積變形

①水中浸放物體：V郵

升水物

②測啤酒瓶容積：V=V"+V-

空氣水

⑷三視圖與展開圖

最短線路與展開圖形狀問題

⑸染色問題

幾面染色的塊數(shù)與“芯”、棱長、頂點、面數(shù)的關(guān)系。

四'典型應(yīng)用題

1.植樹問題

①開放型與封閉型

②間隔與株數(shù)的關(guān)系

2.方陣問題

外層邊長數(shù)-2=內(nèi)層邊長數(shù)

（外層邊長數(shù)-1）義4=外周長數(shù)

外層邊長數(shù)2-中空邊長數(shù)2=實面積數(shù)

3.列車過橋問題

①車長+橋長=速度X時間

②車長+車長=速度和X相遇時間

甲乙

③車長+車長=速度差X追及時間

甲乙

列車與人或騎車人或另一列車上的司機的相遇及追及問題

車長=速度和X相遇時間

車長=速度差X追及時間

4.年齡問題

差不變原理

5.雞兔同籠

假設(shè)法的解題思想

6.牛吃草問題

原有草量=（牛吃速度-草長速度）X時間

7.平均數(shù)問題

8.盈虧問題

分析差量關(guān)系

9.和差問題

10.和倍問題

11.差倍問題

12.逆推問題

還原法，從結(jié)果入手

13.代換問題

列表消元法

等價條件代換

五、行程問題

1.相遇問題

路程和=速度和X相遇時間

2.追及問題

路程差=速度差X追及時間

3.流水行船

順水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

船速=（順水速度+逆水速度）4-2

水速=（順水速度-逆水速度）4-2

4.多次相遇

線型路程：甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)x2-1

環(huán)型路程：甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)

其中甲共行路程=單在單個全程所行路程X共行全程數(shù)

5.環(huán)形跑道

6.行程問題中正反比例關(guān)系的應(yīng)用

路程一定，速度和時間成反比。

速度一定，路程和時間成正比。

時間一定，路程和速度成正比。

7.鐘面上的追及問題。

①時針和分針成直線；

②時針和分針成直角。

8.結(jié)合分數(shù)、工程、和差問題的一些類型。

9.行程問題時常運用“時光倒流”和“假定看成”的思考方法。

六'計數(shù)問題

1.加法原理：分類枚舉

2.乘法原理：排列組合

3.容斥原理：

①總數(shù)量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC

②常用：總數(shù)量=A+B-AB

4.抽屜原理：

至多至少問題

5.握手問題

在圖形計數(shù)中應(yīng)用廣泛

①角、線段、三角形，

②長方形、梯形、平行四邊形

③正方形

七'分數(shù)問題

1.量率對應(yīng)

2.以不變量為“1”

3.利潤問題

4.濃度問題

倒三角原理

95%60%

15%/20?

80S

20：15

例：4：3

5.工程問題

①合作問題

②水池進出水問題

6.按比例分配

八'方程解題

1-等量關(guān)系

①相關(guān)聯(lián)量的表示法

例：甲+乙=100甲+乙=3

x100-x3xx

②解方程技巧

恒等變形

2.二元一次方程組的求解

代入法、消元法

3.不定方程的分析求解

以系數(shù)大者為試值角度

4.不等方程的分析求解

九、找規(guī)律

⑴周期性問題

①年月日、星期幾問題

②余數(shù)的應(yīng)用

⑵數(shù)歹響題

①等差數(shù)列

通項公式a^a^fn-ljd

a-a,

求項數(shù)：n=?i+l

a

(a+a")n

求和：S=i——

②等比數(shù)列

a-1)

求和:S=T-----------

q—l

③裴波那契數(shù)列

⑶策略問題

①搶報30

②放硬幣

⑷最值問題

①最短線路

a.一個字符陣組的分線讀法

b.在格子路線上的最短走法數(shù)

②最優(yōu)化問題

a.統(tǒng)籌方法

b.烙餅問題

十、導(dǎo)式避

1.填充型

2.替代型

3.填運算符號

4.橫式變豎式

5.結(jié)合數(shù)論知識點

十一、數(shù)陣問題

1.相等和值問題

2.數(shù)列分組

⑴知行列數(shù)，求某數(shù)

⑵知某數(shù)，求行列數(shù)

3.幻方

⑴奇階幻方問題：

楊輝法羅伯法

⑵偶階幻方問題：

雙偶階：對稱交換法

單偶階：同心方陣法

十二、二進制

1.二進制計數(shù)法

①二進制位值原則

②二進制數(shù)與十進制數(shù)的互相轉(zhuǎn)化

③二進制的運算

2.其它進制（十六進制）

十三、一筆畫

1.一筆畫定理：

⑴一筆畫圖形中只能有0個或兩個奇點；

⑵兩個奇點進必須從一個奇點進，另一個奇點出;

2.哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈

3.多筆畫定理

村一曲奇點數(shù)

筆回數(shù)=---

十四、邏輯推理

1.等價條件的轉(zhuǎn)換

2.列表法

3.對陣圖

競賽問題，涉及體育比賽常識

十五、火柴棒問題

1.移動火柴棒改變圖形個數(shù)

2.移動火柴棒改變算式，使之成立

十六'智力問題

1.突破思維定勢

2.某些特殊情境問題

十七、解題方法

（結(jié)合雜題的處理）

1.代換法

2.消元法

3.倒推法

4.假設(shè)法

5.反證法

6.極值法

7.設(shè)數(shù)法

8.整體法

9.畫圖法

10.列表法

11.排除法

12.染色法

13.構(gòu)造法

14.配對法

15.列方程

⑴方程

⑵不定方程

⑶不等方程

另外補充說明：

在華校課本六年級中有“棋盤上的數(shù)學(xué)”三講，其實是找規(guī)律類型，知識點涉及棋盤格，幾何,

數(shù)論等，屬于綜合性問題。

匯總小學(xué)階段奧數(shù)知識點，包括小升初中?？嫉念}目類型等。有工程問題、行程問題、質(zhì)數(shù)合數(shù)問

題等等。

1.、小升初奧數(shù)知識點（年齡問題的三大特征）

①兩個人的年齡差是不變的；

②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；

③兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；

和差倍問題:

和差問題和倍問題差倍問題

已知條件幾個數(shù)的和與差幾個數(shù)的和與倍數(shù)幾個數(shù)的差與倍數(shù)

公式適用范圍已知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系

①（和一差）?2二較小數(shù)

較小數(shù)十差二較大數(shù)

和+（倍數(shù)+1）=小數(shù)差?（倍數(shù)-1）二小數(shù)

和一較小數(shù)二較大數(shù)

公式小數(shù)X倍數(shù)二大數(shù)小數(shù)X倍數(shù)二大數(shù)

②（和+差）+2二較大數(shù)

和一小數(shù)二大數(shù)小數(shù)十差二大數(shù)

較大數(shù)一差二較小數(shù)

和一較大數(shù)二較小數(shù)

求出同一條件下的

關(guān)鍵問題

和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)

和差倍問題

和差問題和倍問題差倍問題

已知條件幾個數(shù)的和與差幾個數(shù)的和與倍數(shù)幾個數(shù)的差與倍數(shù)

公式適用范圍已知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系

公式①（和一差）+2=較小數(shù)

較小數(shù)十差=較大數(shù)

和一較小數(shù)=較大數(shù)

②（和+差）+2=較大數(shù)

較大數(shù)一差=較小數(shù)

和一較大數(shù)=較小數(shù)

和+（倍數(shù)+1）=小數(shù)

小數(shù)x倍數(shù)=大數(shù)

和一小數(shù)=大數(shù)

差+（倍數(shù)-1）=小數(shù)

小數(shù)x倍數(shù)=大數(shù)

小數(shù)+差=大數(shù)

關(guān)鍵問題求出同一條件下的

和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)

2、小升初奧數(shù)知識點（植樹問題總結(jié)）：

基本類型：

在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹

在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹

在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹

基本公式棵數(shù)=段數(shù)+1

棵距X段數(shù)=總長棵數(shù)=段數(shù)一1

棵距X段數(shù)=總長棵數(shù)=段數(shù)

棵距X段數(shù)=總長

關(guān)鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系

3、雞兔同籠問題

基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯的那部分置換出來；

基本思路：

①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；

③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因；

④再根據(jù)這兩個差作適當?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。

基本公式：

①把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)=（兔腳數(shù)X總頭數(shù)一總腳數(shù)）?。ㄍ媚_數(shù)一雞腳數(shù)）

②把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)=（總腳數(shù)一雞腳數(shù)X總頭數(shù)）?。ㄍ媚_數(shù)一雞腳數(shù)）

關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。

4、奧數(shù)知識點（盈虧問題）

盈虧問題

基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標準分組，又產(chǎn)生

一種結(jié)果，由于

分組的標準不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭?

基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個關(guān)系

求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量.

基本題型：

①一次有余數(shù)，另一次不足；

基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）小兩次每份數(shù)的差

②當兩次都有余數(shù)；

基本公式：總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)）小兩次每份數(shù)的差

③當兩次都不足：

基本公式：總份數(shù)=（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）小兩次每份數(shù)的差

基本特點：對象總量和總的組數(shù)是不變的。

關(guān)鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)。

5、小升初奧數(shù)知識點（牛吃草問題）

牛吃草問題

基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；

再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。

基本特點：原草量和新草生長速度是不變的；

關(guān)鍵問題：確定兩個不變的量。

基本公式：

1）生長量=（較長時間X長時間牛頭數(shù)-較短時間X短時間牛頭數(shù)）+（長時間-短時間）；

2）總草量=較長時間X長時間牛頭數(shù)-較長時間X生長量；

3）吃的天數(shù)=原有草量+（牛頭數(shù)一草的生長速度）；

4）牛頭數(shù)=原有草量+吃的天數(shù)+草的生長速度。

6、小升初奧數(shù)知識點（平均數(shù)問題）

平均數(shù)

基本公式：①平均數(shù)=總數(shù)量+總份數(shù)

總數(shù)量=平均數(shù)X總份數(shù)

總份數(shù)=總數(shù)量+平均數(shù)

②平均數(shù)=基準數(shù)+每一個數(shù)與基準數(shù)差的和個總份數(shù)

基本算法：

②出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進行計算.

②基準數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個基準數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者

中間數(shù)為基準數(shù)；以基準數(shù)為標準，求所有給出數(shù)與基準數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些

差的平均數(shù)；最后求這個差的平均數(shù)和基準數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式②

7、小升初奧數(shù)知識點（周期循環(huán)數(shù)）

周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律

周期現(xiàn)象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。

周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期。

關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。

閏年：一年有366天；

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除；

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

8、小升初奧數(shù)知識點（抽屜原理）

抽屜原理

抽屜原則一：如果把（n+1）個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。

例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：

①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1

觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或多于2

個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。

抽屜原則二：如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m,那么必有一個抽屜至少有：

①卜?!'!/!!!]+1個物體：當n不能被m整除時。

②卜二”!!!個物體：當n能被m整除時。

理解知識點：兇表示不超過X的最大整數(shù)。

例[4.351]=4；[0.321]=0：[2.9999]=2；

關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進行運算。

9、奧數(shù)知識點（定義新運算）

基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。

基本思路：嚴格按照新定義的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運算，然后按照基本

運算過程、規(guī)律進行運算。

關(guān)鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。

注意事項：①新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。

②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。

小升初奧數(shù)知識點（數(shù)列求和）

數(shù)列求和

等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。

基本概念：首項：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用al表示；

項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用n表示；

公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d表示；

通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an表示；

數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.

基本思路：等差數(shù)列中涉及五個量：al7an,d,n,sn,,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個,

就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。

基本公式：通項公式：an=al+(n—1)d；

通項=首項+(項數(shù)一1)X公差；

數(shù)列和公式：sn,=(al+an)Xn4-2；

數(shù)列和=(首項+末項)X項數(shù)+2；

項數(shù)公式：n=(an-al)-^d+l；

項數(shù)=(末項-首項)+公差+1；

公差公式：d=(an—al))4-(n—1)；

公差=(末項一首項)+(項數(shù)-1)；

關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式

10、加法乘法原理和幾何計數(shù)

加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有ml種不同方法，在第二類方法

中有m2種不同方法……,在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：ml+m2.……

+mn種不同的方法。

關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法。

基本特征：每一種方法都可完成任務(wù)。

乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n個步驟進行，做第1步有ml種方法，不管第1步用

哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么

完成這件任務(wù)共有：mixm2Xmn種不同的方法。

關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟。

基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分。

直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。

直線特點：沒有端點，沒有長度。

線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。

線段特點：有兩個端點，有長度。

射線：把直線的一端無限延長。

射線特點：只有一個端點；沒有長度。

①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+…+(點數(shù)一1)；

②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+(射線數(shù)一1)；

③數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=長的線段數(shù)義寬的線段數(shù)：

④數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=1X1+2X2+3X3+…+行數(shù)義列數(shù)

11、小升初奧數(shù)知識點(質(zhì)數(shù)與合數(shù))

質(zhì)數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素數(shù)。

合數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。

質(zhì)因數(shù)：如果某個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

分解質(zhì)因數(shù)：把一個數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因

數(shù)。任何一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。

分解質(zhì)因數(shù)的標準表示形式：N=，其中al、a2、a3.....an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且al<a2<a3<.......

<an0

求約數(shù)個數(shù)的公式：P=(rl+1)X(r2+l)X(r3+l)X......X(rn+1)

互質(zhì)數(shù)：如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1,這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

12、小升初奧數(shù)知識點(約數(shù)與倍數(shù))

約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。

公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大

公約數(shù)。

最大公約數(shù)的性質(zhì)：

1、幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)。

2、幾個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)。

3、幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。

4、幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)m,所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。

例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；

18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18；

那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6；

那么12和18最大的公約數(shù)是：6,記作(12,18)=6；

求最大公約數(shù)基本方法：

1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。

2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。

3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。

公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小

公倍數(shù)。

12的倍數(shù)有：12、24、36、48.........；

18的倍數(shù)有：18、36、54、72.........；

那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108……；

那么12和18最小的公倍數(shù)是36,記作口2,18]=36；

最小公倍數(shù)的性質(zhì)：

1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

2、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。

求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法

13、小升初奧數(shù)知識點(數(shù)的整除)

一、基本概念和符號：

1、整除：如果一個整數(shù)a,除以一個自然數(shù)b,得到一個整數(shù)商c,而且沒有余數(shù)，那么叫做a

能被b整除或b能整除a,記作b|a。

2、常用符號：整除符號“|"，不能整除符號"”；因為符號"?1'，所以的符號

二、整除判斷方法：

1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。

5,能被7整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。

6,能被11整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。

②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

7,能被13整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

三、整除的性質(zhì)：

1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

14、小升初奧數(shù)知識點（余數(shù)及其應(yīng)用）

小升初奧數(shù)知識點（余數(shù)問題）

余數(shù)的性質(zhì)：

①余數(shù)小于除數(shù)。

②若a、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。

③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。

@a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)

余數(shù)、同余與周期

一、同余的定義：

①若兩個整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對于模m同余。

②已知三個整數(shù)a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對于模m同余，記作a三b（modm）,讀作

a同余于b模m。

二、同余的性質(zhì)：

①自身性：a=a(modm)；

②對稱性：若a三b(modm),則b三a(modm)；

③傳遞性：若a三b(modm),b=c(modm),則a三c(modm)；

④和差性：若a三b(modm),c=d(modm),貝！Ja+c三b+d(modm),a-c=b-d(modm)；

⑤相乘性：若a三b(modm),c三d(modm),貝!]aXc三bXd(modm)；

⑥乘方性：若a三b(modm),則an三bn(modm)；

⑦同倍性:若a三b(modm),整數(shù)c,貝!JaXc三bXc(modmXc)；

三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識：

①若A=aXb,則MA=MaXb=(Ma)b

②若B=c+d貝MB=Mc+d=McXMd

四、被3、9、11除后的余數(shù)特征：

①一個自然數(shù)M,n表示M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則M三n(mod9)或(mod3)；

②一個自然數(shù)M,X表示M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，

則M三Y-X或M三11-(X-Y)(mod11)；

五、費爾馬小定理：如果p是質(zhì)數(shù)(素數(shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1三l(modp)。

15、小升初奧數(shù)知識點(分數(shù)與百分數(shù)的應(yīng)用)

基本概念與性質(zhì)：

分數(shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。

分數(shù)的性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)(0除外)，分數(shù)的大小不變。

分數(shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。

百分數(shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。

常用方法：

①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向(或結(jié)果)進行思考。

②對應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應(yīng)關(guān)系。

③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換

成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標準（在分數(shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常

見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。

④假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成

立，計算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進行調(diào)整，求出最后結(jié)果。

⑤量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這

個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其

中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。

⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。

⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理。

⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

16、小升初奧數(shù)知識點（分數(shù)大小的比較）

基本方法：

①通分分子法：使所有分數(shù)的分子相同，根據(jù)同分子分數(shù)大小和分母的關(guān)系比較。

②通分分母法：使所有分數(shù)的分母相同，根據(jù)同分母分數(shù)大小和分子的關(guān)系比較。

③基準數(shù)法：確定一個標準，使所有的分數(shù)都和它進行比較。

④分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數(shù)值越大。

⑤倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數(shù)的大小，除了運用以上方法外，可以用

同倍率的變化關(guān)系比較分數(shù)的大小。（具體運用見同倍率變化規(guī)律）

⑥轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分數(shù)的值）后進行比較。

⑦倍數(shù)比較法：用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結(jié)果得數(shù)和工進行比較。

⑧大小比較法：用一個分數(shù)減去另一個分數(shù)，得出的數(shù)和0比較。

⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。

⑩基準數(shù)比較法：確定一個基準數(shù)，每一個數(shù)與基準數(shù)比較

17、小升初奧數(shù)知識點（比和比例）

比：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。比號前面的數(shù)叫比的前項，比號后面的數(shù)叫比的后項。

比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。

比的性質(zhì)：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。

比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性質(zhì)：兩個外項積等于兩個內(nèi)項積（交叉相乘），ad=bc。

正比例：若A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍（AB的商不變時），則A與B成正比。

反比例：若A擴大或縮小幾倍，B也縮小或擴大幾倍（AB的積不變時），則A與B成反比。

比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。

按比例分配：把幾個數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配

18、小升初奧數(shù)知識點（綜合行程問題）

基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關(guān)系

基本公式：路程=速度X時間；路程+時間=速度；路程小速度=時間

關(guān)鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。

相遇問題：速度和義相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）

追及問題：追及時間=路程差+速度差（寫出其他公式）

流水問題：順水行程=（船速+水速）X順水時間

逆水行程=（船速一水速）X逆水時間

順水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

靜水速度=（順水速度+逆水速度）+2

水速=（順水速度-逆水速度）+2

流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。

過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。

主要方法：畫線段圖法

基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追及時間）、速度（速度和、

速度差）中任意兩個量，求第三個量。

19、小升初奧數(shù)知識點（工程問題）

基本公式：

①工作總量=工作效率X工作時間

②工作效率=工作總量+工作時間

③工作時間=工作總量+工作效率

基本思路：

①假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量無關(guān)）；

②假設(shè)一個方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數(shù)），利用上述

三個基本關(guān)系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間.

關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應(yīng)關(guān)系。

經(jīng)驗簡評：合久必分，分久必合。

20、小升初奧數(shù)知識點（邏輯推理問題）

基本方法簡介：

①條件分析一假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)

條件矛盾的情況，說明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè)a是偶

數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。

②條件分析一列表法：當題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時，就需要進行列表來輔助

分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對象

與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運用邏輯規(guī)律進行判斷。

③條件分析一一圖表法：當兩個對象之間只有兩種關(guān)系時，就可用連線表示兩個對象之間的關(guān)

系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有

認識或不認識兩種狀態(tài)，有連線表示認識，沒有表示不認識。

④邏輯計算：在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應(yīng)的計算，根據(jù)計

算的結(jié)果為推理提供一個新的判斷篩選條件。

⑤簡單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況

推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的解決。

21、小升初奧數(shù)知識點（幾何面積）

基本思路：

在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移、旋轉(zhuǎn)、

翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進行計算；另外需要掌握和記憶一些

常規(guī)的面積規(guī)律。

常用方法：

1,連輔助線方法

2,利用等底等高的兩個三角形面積相等。

3.大膽假設(shè)（有些點的設(shè)置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設(shè)置在特殊位置上）。

4.利用特殊規(guī)律

①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的

面積）

②梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。

③圓的面積占外接正方形面積的78.5%。

22、小升初奧數(shù)知識點（時鐘問題一快慢表問題）

基本思路：

1、按照行程問題中的思維方法解題；

2、不同的表當成速度不同的運動物體；

3、路程的單位是分格（表一周為60分格）；

4、時間是標準表所經(jīng)過的時間；

5、合理利用行程問題中的比例關(guān)系；

23、小升初奧數(shù)知識點（時鐘問題一鐘面追及）

時鐘問題一鐘面追及

基本思路：封閉曲線上的追及問題。

關(guān)鍵問題：①確定分針與時針的初始位置；

②確定分針與時針的路程差；

基本方法：

①分格方法：

時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為工分格。分針每小時走60分格，即一周；

而時針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時針每分鐘走1/12分格。

②度數(shù)方法：

從角度觀點看，鐘面圓周一周是360°,分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60度，即6°,時針每分鐘轉(zhuǎn)360/12*60

度，即］/2度。

24、小升初奧數(shù)知識點（濃度與配比）

經(jīng)驗總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關(guān)系，進行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的

變化成反比。

溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。

溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑。

溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液。

基本公式：溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量；

溶質(zhì)重量=溶液重量X濃度；

濃度=X100%=X100%

理論部分小練習(xí)：試推出溶質(zhì)、溶液、溶劑三者的其它公式。

經(jīng)驗總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關(guān)系，進行混合的兩種溶液的重量和他們濃

度的變化成反比。

25、小升初奧數(shù)知識點（經(jīng)濟問題）

利潤的百分數(shù)=（賣價-成本）?成本X100%；

賣價=成本義（1+利潤的百分數(shù)）；

成本=賣價+（1+利潤的百分數(shù)）；

商品的定價按照期望的利潤來確定；

定價=成本X（1+期望利潤的百分數(shù)）；

本金：儲蓄的金額；

利率：利息和本金的比；

利息=本金義利率X期數(shù)；

含稅價格=不含稅價格X（1+增值稅稅率）；

26、小升初奧數(shù)知識點（簡單方程）

代數(shù)式：用運算符號（加減乘除）連接起來的字母或者數(shù)字。

方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。