機械設(shè)計與分析基礎(chǔ)- 課件 第四章 機械零件的工作能力分析

第一節(jié)零件軸向拉（壓）變形時的工作能力分析

第二節(jié)零件剪切與擠壓變形時的工作能力分析

第五節(jié)零件組合變形時的工作能力分析

第六節(jié)零件疲勞強度簡介

第五章機械零件的工作能力分析概述

第三節(jié)零件彎曲變形時的工作能力分析

第四節(jié)零件扭轉(zhuǎn)變形時的工作能力分析

第五章機械零件的工作能力分析概述教學(xué)難點：一、材料的力學(xué)性能

二、組合變形強度分析教學(xué)重點：一、機械零件軸向拉（壓）

二、剪切與擠壓、平面彎曲、圓軸扭轉(zhuǎn)、

組合變形的概念

三、材料的力學(xué)性能

四、內(nèi)力和應(yīng)力的分析與計算

五、典型工程實例的強度分析方法失效——機械零件喪失預(yù)定的功能或達不到預(yù)期要求的性能。常見的失效形式

：斷裂或塑性變形、過量的變形、失穩(wěn)；過度磨損、過熱；打滑、聯(lián)接松動；運動精度達不到要求等等。主要分析對象

：桿件——長度遠大于橫截面尺寸的零件，如：軸、立柱、梁等。

等直桿——軸線為直線且橫截面不變的桿件。包括

：強度、剛度、精度、耐磨性、穩(wěn)定性和壽命等

強度——零件在外力作用下抵抗破壞的能力。是零件必須首先滿足的基本要求

剛度——零件在外力作用下抵抗變形的能力。穩(wěn)定性——零件在壓力作用下維持原有形態(tài)平衡的能力。工作能力——在一定的工作條件下，抵抗可能出現(xiàn)失效的能力 一、軸向拉伸或壓縮概念

第一節(jié)零件軸向拉（壓）變形時的工作

能力分析

二、內(nèi)力分析與應(yīng)力分析 三、材料的力學(xué)性能 四、軸向拉伸（壓縮）強度分析實例 五、軸向拉伸（壓縮）變形簡介一、軸向拉伸或壓縮概念軸向拉伸或壓縮

——桿件受到外部沿軸線方向的拉力或壓力作用而沿軸向伸長或縮短的變形。

軸向力——軸向拉力或壓力。拉壓桿的受力圖和變形形式均可簡化為：工程實例

：簡易吊車的拉桿CD產(chǎn)生拉伸變形工程實例

：螺紋夾具中的螺桿產(chǎn)生壓縮變形工程實例：汽缸蓋螺栓聯(lián)接中的螺栓產(chǎn)生拉伸變形二、內(nèi)力分析與應(yīng)力分析1．軸力和軸力圖外力——作用在桿件上的載荷和約束反力的統(tǒng)稱。內(nèi)力——由外力引起的拉桿內(nèi)部的相互作用力。截面法——假想截開桿件確定內(nèi)力的方法。設(shè)一拉桿受外力F1、F2的作用下平衡。假想用一平面m-m截切桿件為兩段，所取任一段也應(yīng)保持平衡。在外力F1作用下，截面m-m上必然受到右段作用的內(nèi)力FN。以左段為對象：列左段桿的平衡方程：

截面上的內(nèi)力是分布力，這個分布力與外力F1平衡，故其合力FN與軸線重合。

——軸力∑F=0，F(xiàn)N－F1=0求得：FN=F1

上述結(jié)果推廣到有多個軸向外力作用的情形。

結(jié)論：截面m-m上的軸力等于左段軸上所有軸向外力的代數(shù)和。即：外力F的正負號：指向離開該截面時取正；反之取負。FN=∑F

規(guī)定軸力的正負號：截切處左、右兩側(cè)的軸力互為作用力和反作用力。為拉力者取正，即軸力方向背離截面；為壓力者取負，即軸力方向指向截面。因此，取左、右段計算時軸力的符號一致。

軸力圖——表示軸力隨橫截面位置變化規(guī)律的圖形。

軸力圖的構(gòu)成：

橫坐標(biāo)x——平行于桿件軸線；表示橫截面的位置。

縱坐標(biāo)FN——垂直于桿軸線；表示：對應(yīng)截面上軸力的大小。正值軸力繪在x軸的上方。負值軸力繪在x軸的下方。

在軸力圖上，除標(biāo)明軸力FN的大小和單位，還應(yīng)標(biāo)明軸力的正負號。例5-1：圖示為一雙壓手鉚機的活塞缸示意圖。作用于活塞桿上的力分別為F=2.62kN，P1=1.3kN，P2=1.32kN。試求活塞桿上各段橫截面上的軸力，并作軸力圖。解：（1）作活塞桿的受力圖，如圖所示：活塞桿分別在A、B、C三處受軸向外力作用。分別在每兩個力之間取截面1-1和2-2。截面1-1：

截面2-2：負號表示：軸力FN1、FN2為壓力，與假設(shè)方向相反。（2）求軸力對于截面2-2右段桿：

可見，與以截面2-2左段桿計算的結(jié)果相同。截面2-2：分別在每兩個力之間取截面1-1和2-2。截面1-1：（2）求軸力（3）畫軸力圖注意：熟練之后，可直接在受力圖下方畫軸力圖。

2．拉壓桿橫截面上的正應(yīng)力即：與內(nèi)力在橫截面上分布的密集程度(集度)有關(guān)。內(nèi)力在截面上某點處的分布集度

——該點處的應(yīng)力

工程上常用應(yīng)力來衡量構(gòu)件受力的強弱程度。

正應(yīng)力——軸力在橫截面上的分布集度。桿件的強度不僅與內(nèi)力有關(guān)，而且與截面尺寸有關(guān)。對于材料均勻連續(xù)的等截面直桿，其橫截面上各點處的正應(yīng)力相等。

對于等截面直桿，其正應(yīng)力的計算式為:

式中：A——橫截面的面積。

正應(yīng)力σ的正負號與軸力FN相對應(yīng)；拉應(yīng)力為正；壓應(yīng)力為負。

應(yīng)力的單位：帕斯卡——Pa（帕）常用單位：MPa（兆帕）1Pa=1N/m2；1kPa（千帕）=103Pa=1kN/m2；1MPa=106Pa=1N/mm2；1GPa（吉帕）=109Pa。三、材料的力學(xué)性能

材料的力學(xué)性能——材料承受外力作用時，在強度和變形方面表現(xiàn)出的特性。常用材料可分為兩大類——塑性材料：以低碳鋼為代表脆性材料：以鑄鐵為代表1．低碳鋼的力學(xué)性能縱坐標(biāo)σ：應(yīng)力σ=F/A

F：拉（壓）力；A：橫截面積。橫坐標(biāo)ε：應(yīng)變ε=△l/l△l：試件伸長（縮短）量；

l：試件原長。低碳鋼拉伸時的應(yīng)力應(yīng)變圖—σ-ε曲線（1）彈性階段（OB段）彈性極限σe——點B對應(yīng)的應(yīng)力值。低碳鋼拉伸時的σ－ε曲線依次大致分為彈性、屈服、強化和縮頸四個階段。比例極限σp——點A對應(yīng)的應(yīng)力值。由于大部分材料的比例極限σp和彈性極限σe十分接近，常將σp和σe統(tǒng)稱為彈性極限。（2）屈服階段（BC'段）屈服極限σs——

點C對應(yīng)的應(yīng)力值。材料屈服時構(gòu)件不僅幾乎喪失抵抗變形的能力，而且卸去外力后變形不能完全消失，即產(chǎn)生塑性變形，使構(gòu)件不能正常工作。屈服極限是衡量材料強度的重要指標(biāo)。（3）強化階段（C'D段）強度極限σb——點D對應(yīng)的應(yīng)力值。經(jīng)過屈服階段后，材料抵抗變形的能力又有恢復(fù)，出現(xiàn)應(yīng)變隨應(yīng)力的增大而增加的現(xiàn)象——材料的強化是材料所能承受的最大應(yīng)力。也是衡量材料強度的重要指標(biāo)。（4）縮頸階段（DE段）

經(jīng)過點D后，在試件的某一局部區(qū)域，出現(xiàn)橫截面急劇縮小的現(xiàn)象——縮頸現(xiàn)象由于縮頸部分橫截面面積急劇減小，使試件繼續(xù)伸長所需的拉力也隨之迅速下降，直至試件被拉斷。2．鑄鐵的力學(xué)性能鑄鐵抗壓強度極限高于其抗拉強度極限約2～4倍。所以，鑄鐵宜用作受壓構(gòu)件。

抗拉強度極限σb——鑄鐵拉斷時的最大應(yīng)力。鑄鐵拉伸、壓縮時的應(yīng)力應(yīng)變圖—σ-ε曲線：

是衡量鑄鐵抗拉強度的唯一指標(biāo)。塑性材料和脆性材料的力學(xué)性能主要區(qū)別如下：

①

塑性材料破壞時有較大的塑性變形，斷裂前有些有明顯的屈服現(xiàn)象；

脆性材料在變形很小時突然斷裂，無屈服現(xiàn)象。②由于塑性材料拉伸時的比例極限、屈服極限和彈性模量與壓縮時相同；塑性材料一般不允許達到屈服極限，因此：

塑性材料抗拉和抗壓的能力相同；

脆性材料抗壓能力遠遠大于抗拉能力。工程上用于衡量材料塑性的指標(biāo)有伸長率（A）和斷面伸縮率（Z）。

伸長率：

式中：l1——試件拉斷后工作段的長度;

l0——原工作段長度。

斷面收縮率：

式中：A0——試件原橫截面面積；

A1——試件斷裂處的橫截面面積。

δ和Z的數(shù)值越高，材料的塑性越大。塑性材料——A＞5%的材料。如合金鋼、鋁合金、碳素鋼和青銅等；脆性材料

——A＜5%的材料。如灰鑄鐵、玻璃、陶瓷、混凝土和石料等。幾種材料的力學(xué)性能如教材表5－1所列。

3．許用應(yīng)力和安全因素由材料的力學(xué)性能可知：塑性材料達到屈服極限σs時，發(fā)生塑性變形。

危險應(yīng)力或極限應(yīng)力σ°——

材料喪失正常工作能力的應(yīng)力。脆性材料達到強度極限σb時，發(fā)生斷裂。對于塑性材料：σ°=σs對于脆性材料：σ°=σb工作應(yīng)力σ——構(gòu)件工作時由載荷引起的應(yīng)力。即：許用應(yīng)力[σ]——考慮了強度儲備的極限應(yīng)力。對于塑性材料：對于脆性材料：式中：ns——屈服極限的安全因數(shù)；

nb——強度極限的安全因數(shù)。3．許用應(yīng)力和安全因素應(yīng)小于σ°

安全因數(shù)ns（nb

）的大小反映了強度儲備的多少。

過大的安全因數(shù)：使許用應(yīng)力過小，即強度儲備過多，材料利用率太低。

過小的安全因數(shù)：材料接近極限應(yīng)力，構(gòu)件工作的安全性差。

對于一般機械：

ns＝1.5~2.5；

nb＝2.0~3.5（或更大）。3．許用應(yīng)力和安全因素四、軸向拉伸（壓縮）強度分析實例為保證桿件安全工作，桿件應(yīng)滿足的拉、壓強度條件是：式中：FN——產(chǎn)生最大應(yīng)力危險截面上的軸力；

A——產(chǎn)生最大應(yīng)力危險截面上的面積。根據(jù)拉、壓強度條件，可以解決拉、壓桿三類強度計算問題。拉、壓桿三類強度計算問題：（1）強度校核若已知桿件尺寸、所受載荷及材料許用應(yīng)力，則（2）確定截面尺寸若已知桿件所受的載荷和材料的許用應(yīng)力，則可確定拉、壓桿的截面尺寸?？沈炈銞U件是否滿足拉、壓強度條件。（3）確定許可載荷。若已知桿件的截面尺寸和許用應(yīng)力，則FNmax≤A[σ]

可求得桿件所能承受的最大軸力。再根據(jù)靜力平衡條件進一步確定桿件所能承受的許可載荷。在強度計算中，當(dāng)工作應(yīng)力略大于材料許用應(yīng)力時，若其超過部分不超出許用應(yīng)力值的5％，仍可認(rèn)為構(gòu)件滿足強度要求。說明：拉、壓桿三類強度計算問題：例5-2：某拉緊鋼絲繩的張緊器所受的拉力為F=30kN；拉桿和套筒的材料均為Q235A鋼，屈服極限σs=235Mpa；拉桿螺紋M20其內(nèi)徑d1=17.29mm，其它尺寸如圖所示。若不考慮螺紋旋合段軸力的變化及拉桿端部A處的強度，試校核張緊器的強度。取拉桿為分析對象：取套筒為分析對象：解：（1）分析外力暫不考慮拉桿端部A處的強度螺紋副中的作用力用合力Q代替，并分別作用于拉桿和套筒的B處和C處。（2）分析內(nèi)力采用截面法求得拉桿和套筒上各橫截面間的軸力FN=F=30kN。畫軸力圖：（3）分析危險截面分析：拉桿和套筒上各橫截面間的軸力處處相等。因此，橫截面積A越小，工作應(yīng)力σ將越大。面積最小的橫截面是危險截面，其上有最大工作應(yīng)力σmax。拉桿：螺紋牙根處截面面積最小，其面積為套筒：內(nèi)徑為ф30mm處截面面積最小，其面積為

比較：A1<A2；拉桿螺紋牙根處的橫截面為危險截面。（4）確定許用應(yīng)力屈服極限：σs＝235（Q235A為塑性材料，查表5-1)；安全因數(shù)：ns＝1.5~2.5，考慮鋼絲繩的張緊器屬較重要裝置，?。簄s＝1.8。（5）校核強度結(jié)論：張緊器滿足強度要求。

例5-3：一鋼木結(jié)構(gòu)的起吊架示意圖，AB為木桿，其橫截面面積A1=104mm2，許用應(yīng)力[σ]1=7MPa；BC為鋼桿，其橫截面面積A2=600mm2，許用應(yīng)力[σ]2=160MPa。試求最大允許載重W。解：（1）受力分析鉸鏈B上各力構(gòu)成平面匯交力系。（2）求軸力

由鉸鏈B的平衡條件可求得AB、BC兩桿的軸力FN1、FN2與載荷W的關(guān)系。解得：平衡方程：（3）求最大允許載荷[W]木桿的許可軸力為：即：解得：鋼桿的許可軸力為：即：解得：為保證結(jié)構(gòu)安全，鉸鏈B處可吊起的最大允許載荷應(yīng)取40.4kN和48kN中的較小值，即由強度條件：可求得許可軸力。五、軸向拉伸（壓縮）變形簡介1．變形與應(yīng)變對于軸向載荷F作用下的桿件，由試驗表明：

桿件拉伸時，軸向尺寸增加，橫向尺寸略有減??；桿件壓縮時，軸向尺寸減少，橫向尺寸略有加大。等直桿的原長為l，橫向尺寸為b。

在F作用下：縱向長度變?yōu)閘1，橫向尺寸變?yōu)閎1。

絕對變形只表示構(gòu)件變形大小，不表示其變形程度。常以線應(yīng)變來度量桿的變形程度。

線應(yīng)變——單位原長的變形。即：可見：

①線應(yīng)變表示桿件的相對變形，無量綱。

②拉伸時，△l＞0，△b＜0，因此ε＞0，ε'＜0；壓縮時反之。

絕對變形只表示構(gòu)件變形大小，不表示其變形程度。常以線應(yīng)變來度量桿的變形程度。

線應(yīng)變——單位原長的變形。即：

2．泊松比

試驗表明：當(dāng)應(yīng)力不超過某一限度時，橫向線應(yīng)變ε′和縱向線應(yīng)變ε之間存在比例關(guān)系，且符號相反。式中：μ——泊松比，比例常數(shù)。泊松比量綱為１，其值與材料有關(guān)，一般不超過0.5，即縱向線應(yīng)變ε總比橫向線應(yīng)變ε′大。即：

3．胡克定律試驗表明，當(dāng)桿的正應(yīng)力σ不超過比例極限時，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，材料服從胡克定律，即即：桿的絕對變形△l與軸力FN及桿長l成正比，而與橫截面面積A成反比。則上式可寫成由于、，同一種材料的E值為常數(shù)，其量綱與應(yīng)力相同，常用單位：GPa，即109Pa。

常數(shù)E——材料的拉壓彈性模量。分母EA——桿的抗拉（壓）剛度。

EA表示桿件抵抗拉伸（壓縮）變形能力的大小。其它條件相同時，EA越大，桿變形越??；反之，桿變形越大。

彈性模量E和泊松比μ都是材料的彈性常數(shù)，可由實驗測定，幾種常用材料的E和μ值見教材表5-2。例5-4：汽缸的缸體與缸蓋用M12的螺栓聯(lián)接，在裝配時必需擰緊。已知，螺栓小徑d=10.1mm，擰緊后在計算長度l=80mm內(nèi)產(chǎn)生的總伸長為△l=0.03mm。螺栓材料的彈性模量E=210GPa。試計算螺栓桿橫截面上的拉應(yīng)力和螺栓聯(lián)接擰緊時的預(yù)緊力。螺栓桿橫截面上產(chǎn)生與預(yù)緊力F0等值的軸力。螺栓聯(lián)接擰緊時使螺栓受拉，使被聯(lián)接件受壓，分析:解：（1）求縱向線應(yīng)變ε螺栓受預(yù)緊力作用而被拉伸，其縱向線應(yīng)變?yōu)椋?）求拉應(yīng)力σ由胡克定律可求出螺栓桿橫截面上的拉應(yīng)力為（3）求預(yù)緊力F0由則:六、壓桿穩(wěn)定性的概念當(dāng)細長壓桿所受的軸向壓力F遠遠小于不足壓縮強度的許可值時，便已失去其原有的直線狀態(tài)，突然變彎而喪失承載能力。在細長直桿兩端作用有一對等值、反向的軸向壓力F，桿件處于平衡狀態(tài)?？疾煲患氶L直桿:對于細長直桿:

試驗發(fā)現(xiàn)：若施加一個不大的橫向干擾力，則桿件變彎。當(dāng)F＜Fcr時，若撤去橫向干擾力，壓桿將恢復(fù)到原來的直線平衡狀態(tài)。

表明：壓桿原來直線狀態(tài)的平衡是穩(wěn)定平衡。當(dāng)F≥Fcr時，若撤去橫向干擾力，壓桿不能恢復(fù)到原來的直線平衡狀態(tài)，仍處于微彎狀態(tài)。表明：壓桿原來直線狀態(tài)的平衡是不穩(wěn)定平衡。

壓桿失穩(wěn)——壓桿不能保持其原有直線平衡狀態(tài)而突然變彎的現(xiàn)象。

臨界壓力Fcr——壓桿處于由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡的臨界狀態(tài)所對應(yīng)的軸向極限壓力。

Fcr的大小表示了壓桿穩(wěn)定性的強弱：

Fcr越大，穩(wěn)定性越強，則壓桿不易失穩(wěn)；

Fcr越小，穩(wěn)定性越弱，則壓桿易失穩(wěn)。壓桿在不穩(wěn)定平衡下，只要軸向壓力F＞Fcr，立刻發(fā)生明顯的彎曲變形，直至折斷。存在穩(wěn)定性問題的工程實例

可見：對于壓桿而言，短粗桿和細長桿的破壞性質(zhì)是不同的。短粗桿是強度問題；細長桿則是穩(wěn)定性問題。失穩(wěn)危險性：細長壓桿的失穩(wěn)常發(fā)生在其強度破壞之前，而且是瞬間發(fā)生的，所以更具危險性。解決壓桿穩(wěn)定問題的關(guān)鍵：提高臨界壓力Fcr。加固端部約束；工程上提高壓桿的穩(wěn)定性的主要措施有：減小壓桿長度；采用合理的截面形狀。例如：七、應(yīng)力集中的概念對軸向拉伸或壓縮的等截面直桿，其橫截面上的應(yīng)力是均勻分布的。

實驗結(jié)果和理論分析表明：在桿件截面突變的局部區(qū)域內(nèi)，離開該區(qū)域，應(yīng)力迅速減小并趨于平均。

應(yīng)力集中——因截面突然改變而引起應(yīng)力局部增高的現(xiàn)象。截面改變越劇烈，應(yīng)力集中越嚴(yán)重，局部區(qū)域出現(xiàn)的最大應(yīng)力就越大。

如：桿件上孔、槽、切口、螺紋、軸肩等處附近。截面改變越劇烈，應(yīng)力集中越嚴(yán)重，局部區(qū)域出現(xiàn)的最大應(yīng)力就越大。應(yīng)力集中系數(shù)α——

截面突變區(qū)域的最大應(yīng)力與平均應(yīng)力的比值。

表明：α越大，應(yīng)力集中越嚴(yán)重。為減少應(yīng)力集中程度，在截面發(fā)生突變處，應(yīng)盡量緩和平滑。例如：階梯軸的軸肩處采用圓角過渡。常用應(yīng)力集中系數(shù)α

來表示應(yīng)力集中程度。即：

靜載荷作用時，應(yīng)力集中對塑性材料和脆性材料的影響不同：塑性材料制作的零件，可不考慮應(yīng)力集中的影響。對于脆性材料：因材料無屈服階段，當(dāng)外力增加時，局部最大應(yīng)力σmax將隨之不斷增大，直至到達強度極限σb時，孔和槽等邊緣處產(chǎn)生裂紋，并很快擴展導(dǎo)致整個構(gòu)件破壞。在交變應(yīng)力或沖擊載荷作用下的零件，無論是塑性材料或是脆性材料，應(yīng)力集中往往是零件破壞的根源，對零件的強度都有嚴(yán)重影響。返回 一、剪切與擠壓的概念第二節(jié)零件剪切與擠壓變形時的工作

能力分析

二、剪切與擠壓強度分析實例

一、剪切與擠壓的概念1．剪切的概念

剪切——桿件受到一對與其軸線方向垂直并且等值、反向、作用線相距很近的外力作用，在兩外力之間的截面沿外力作用方向發(fā)生相對錯動的變形。剪板機剪切鋼板

剪切面——發(fā)生相對錯動的截面。鉚釘聯(lián)接

螺栓聯(lián)接

單剪——只有一個剪切面的剪切。

剪板機剪切鋼板

鉚釘聯(lián)接

例如：雙剪——有兩個剪切面的剪切。

例如：螺栓聯(lián)接受剪桿件的分析：螺栓所受的外力：分布力的合力F

。剪切面上的內(nèi)力：分布內(nèi)力的合力FQ

。FQ——剪力。（可由截面法求得）切應(yīng)力τ——剪切面上分布剪力的集度。

2．?dāng)D壓的概念機械中的聯(lián)接件（如：螺栓、鍵、銷、鉚釘?shù)龋?，在受剪切作用的同時，在聯(lián)接件和被聯(lián)接件接觸面上互相壓緊，產(chǎn)生局部壓陷變形，甚至壓潰破壞的現(xiàn)象?！獢D壓

擠壓面——零件上產(chǎn)生擠壓變形的表面。

擠壓力Fjy——擠壓面上的壓力。

擠壓應(yīng)力σjy——在擠壓面上由擠壓力引起的應(yīng)力。只發(fā)生在構(gòu)件接觸的表面，一般分布不均勻。2．?dāng)D壓的概念二、剪切與擠壓強度分析實例

1．剪切與擠壓的實用計算在實用計算中，假設(shè)切應(yīng)力和擠壓應(yīng)力均勻分布。

切應(yīng)力：式中：FQ——剪切面上的剪力；

A——剪切面面積。擠壓應(yīng)力：式中：Fjy——擠壓面上的擠壓力；

Ajy——擠壓面的計算面積。

Ajy的確定：當(dāng)接觸面為平面時，Ajy=實際接觸面面積；當(dāng)接觸面為半圓柱面時，

Ajy取半圓柱面在直徑平面上投影面積（ABCD的面積）：Ajy=t·d。

剪切和擠壓強度條件：

剪切強度條件

[τ]——許用切應(yīng)力；[σjy]——許用擠壓應(yīng)力。(查手冊)也可按經(jīng)驗公式近似確定：

塑性材料

[τ]=(0.6～0.8)[σ]；[σjy]=(1.7～2.0)[σ]

擠壓強度條件

脆性材料

[τ]=(0.8～1.0)[σ]；[σjy]=(0.9～1.5)[σ]其中：[σ]——材料的許用拉應(yīng)力

注意：

擠壓應(yīng)力是聯(lián)接件和被聯(lián)接件之間的相互作用。當(dāng)兩者材料不同時，應(yīng)選擇其中許用擠壓應(yīng)力較低的材料進行擠壓強度校核。

剪切與擠壓強度條件解決三類問題：剪切與擠壓強度校核;確定截面尺寸;確定許可載荷。例5-5：已知：軸的直徑d=60mm，所選鍵的尺寸b×h×l=18×11×90(mm)；傳遞的轉(zhuǎn)矩M=1kN·m；鍵的材料為45鋼，許用切應(yīng)力[τ]=60MPa，許用擠壓應(yīng)力[σjy]=100MPa。試校核鍵的強度。

2．剪切與擠壓的實用計算實例解：（1）計算鍵所受的外力F以鍵和軸一起作為分析對象，畫受力圖。

由對軸心O的力矩平衡方程：解得：

（2）校核剪切強度畫鍵的受力圖。

由截面法求得剪切面上的剪力為：鍵的剪切面面積為：剪切強度條件為：故鍵的剪切強度足夠。（3）校核擠壓強度鍵工作表面的擠壓力為：擠壓面的面積為：擠壓強度條件為：故鍵的擠壓強度也足夠。

例5-6：沖床的最大沖剪力F=300kN，將鋼板沖出直徑d=25mm的孔，若鋼板材料的剪切強度極限為τb=360MPa，試所能沖剪鋼板的最大厚度t。

解：鋼板剪切面的面積為：為使鋼板沖出圓孔，鋼板在最大沖剪力作用下所產(chǎn)生的切應(yīng)力應(yīng)大于其材料的剪切強度極限τb，即：解得：故取所能沖剪鋼板的最大厚度為10mm。返回一、平面彎曲的概念第三節(jié)零件彎曲變形時的工作能力分析

二、內(nèi)力分析與應(yīng)力分析三、梁的彎曲強度分析實例四、拉伸（壓縮）與彎曲組合時的強度分析實例五、彎曲剛度簡介六、提高零件彎曲強度和剛度的措施

一、平面彎曲的概念工程實例：彎曲——當(dāng)桿件受到垂直于桿軸線的外力作用或受到位于軸線所在平面內(nèi)的力偶作用時，其軸線由直線成為曲線的變形。橫向力——

垂直于桿軸線的外力。

梁——

以承受彎曲變形為主的桿件。彎曲——當(dāng)桿件受到垂直于桿軸線的外力作用或受到位于軸線所在平面內(nèi)的力偶作用時，其軸線由直線成為曲線的變形。一、平面彎曲的概念橫向力——

垂直于桿軸線的外力。

梁——

以承受彎曲變形為主的桿件。工程實例：彎曲——當(dāng)桿件受到垂直于桿軸線的外力作用或受到位于軸線所在平面內(nèi)的力偶作用時，其軸線由直線成為曲線的變形。一、平面彎曲的概念橫向力——

垂直于桿軸線的外力。

梁——

以承受彎曲變形為主的桿件。工程實例：工程上常見梁的特點：所有外力、外力偶作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。縱向?qū)ΨQ軸與梁的軸線x組成梁的縱向?qū)ΨQ面。橫截面上有一縱向?qū)ΨQ軸。梁的軸線在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)彎曲成一平面曲線?！矫鎻澢こ虒嶋H中常見的梁分為三種：

簡支梁：梁的一端為固定鉸鏈支座，另一端為活動鉸鏈支座。工程實際中常見的梁分為三種：外伸梁：帶有外伸端的簡支梁。

簡支梁：梁的一端為固定鉸鏈支座，另一端為活動鉸鏈支座。工程實際中常見的梁分為三種：懸臂梁：梁的一端為固定支座，另一端為自由端。外伸梁：帶有外伸端的簡支梁。

簡支梁：梁的一端為固定鉸鏈支座，另一端為活動鉸鏈支座。二、內(nèi)力分析與應(yīng)力分析1．剪力、彎矩和彎矩圖以橋式起重機的大梁為例。設(shè)：起吊重物處在梁的正中位置，不考慮梁的自重。可簡化成簡支梁：由平衡方程，可求得支座反力：FA=FB=F/2。

用截面法求得梁的任一截面上的內(nèi)力：梁的受力圖：梁所受的外力：載荷F；支座反力FA、FB。左段受力為：外力F、FA；內(nèi)力FQ和內(nèi)力偶M。剪力——

與截面相切的內(nèi)力FQ

。彎矩——

作用于縱向?qū)ΨQ面上的內(nèi)力偶M。取截面m-m。用截面法求得梁的任一截面上的內(nèi)力：由左段梁的平衡方程：解得：

推廣到一般情形，結(jié)論：截面上的剪力FQ等于該截面一側(cè)梁上所有外力的代數(shù)和；

截面上的彎矩M等于該截面一側(cè)梁上所有外力和外力偶對截面形心C的力矩代數(shù)和。

彎矩方程——表示彎矩隨所取截面的位置x的變化而變化的方程。

為使這兩種計算所得彎矩M的符號一致，將彎矩M的正負符號與粱的變形聯(lián)系起來。當(dāng)取截面左、右兩段梁來計算彎矩M時，其值相等，但方向相反。彎矩M的正負符號與粱的變形有聯(lián)系：M的符號規(guī)定：使梁在截面m-m處彎曲變形凹向上時，則該截面上的彎矩M為正值；

使梁在截面m-m處彎曲變形凹向下時，則該截面上的彎矩M為負值。

同樣地，可用上述方法確定外力和外力偶的代數(shù)符號。彎矩圖——表示彎矩隨橫截面位置x變化規(guī)律的圖形。以便確定彎矩的最大值及其產(chǎn)生的位置。彎矩圖的構(gòu)成：

橫坐標(biāo)x——沿梁軸線方向。表示橫截面的位置。

縱坐標(biāo)M——垂直于梁軸線方向。表示對應(yīng)截面上彎矩的大小。

正彎矩繪在x軸的上方，負彎矩繪在x軸的下方。并標(biāo)明彎矩的大小、單位、正負號。例5-7：橋式起重機橫梁長l，起吊重物處在圖示位置，其重量為W，不計梁的自重。試畫出圖示位置橫梁的彎矩圖，并指出最大彎矩所在截面的位置；當(dāng)小車移至梁的何處時，最大彎矩有最大值。橋式起重機橫梁解：（1）繪計算簡圖橫梁簡化為簡支梁。橫梁的受力：起吊重力W（C處）；支座反力FA、FB（端點A、B處）。均為集中力。（2）求支座反力根據(jù)靜力平衡方程求得：（3）建立彎矩方程梁上AC段和BC段受力狀況不同，其彎矩M隨x變化的規(guī)律將不一樣，應(yīng)分別建立這兩段的彎矩方程。設(shè)x1、x2分別表示AC段、BC段上任一截面位置。分析：對截面左側(cè)梁段建立彎矩方程，即：AC段：BC段：（3）建立彎矩方程AC段：BC段：（4）畫彎矩圖由彎矩方程可知，彎矩圖為兩條斜直線，其中：由彎矩方程可知，彎矩圖為兩條斜直線，其中：據(jù)此可畫出橫梁的彎矩圖：

（4）畫彎矩圖（5）確定彎矩的最大值由彎矩圖可見，W作用的C點處截面有最大彎矩。當(dāng)W作用在梁的中點時，最大彎矩有最大值，即：例5-8：扳手長為l，擰緊螺栓時，受力F作用。試畫出扳手的彎矩圖，并指出最大彎矩所在截面的位置。扳手解：（1）繪計算簡圖故：扳手可簡化為懸臂梁。因：螺栓擰緊后，扳手B端可簡化為固定端。B（2）建立彎矩方程設(shè)x表示橫梁上任一截面位置；對截面左段梁建立彎矩方程。即：（3）畫彎矩圖（斜直線）據(jù)此畫出彎矩圖?？梢?，固定端處截面有最大彎矩：BB例5-9：橋式起重機橫梁的自重對其強度和剛度的影響往往不可忽略。若僅考慮橫梁的自重，則橫梁簡化為受均布載荷作用的簡支梁，其載荷集度為q，試畫出橫梁的彎矩圖，并確定彎矩的最大值。橋式起重機橫梁（空載時）

解：（1）求支座反力可由靜力平衡條件以及載荷和結(jié)構(gòu)的對稱性，求得支座反力。即：（2）建立彎矩方程設(shè)x表示橫梁上任一截面位置；對截面左段梁建立彎矩方程。即：可見：彎矩圖為二次拋物線。（3）畫彎矩圖據(jù)此可畫出彎矩圖。由彎矩圖可知，橫梁在中點處的截面有最大彎矩：（3）畫彎矩圖例5-10：某變速機構(gòu)的滑移齒輪，受撥叉的推力F作用，如不計摩擦及滑移齒輪的自重，滑移齒輪對軸的作用可視為一個集中力偶Me。軸在Me作用下可簡化為受集中力偶作用的簡支梁。試畫出軸的彎矩圖，并指出最大彎矩所在截面的位置。

滑移齒輪軸

解：（1）求支座反力根據(jù)力偶的性質(zhì)，支座反力FA、FB必形成一力偶與集中力偶Me平衡。由力偶平衡方程求得FA、FB，即：（2）建立彎矩方程因C點處有集中力偶，故彎矩需分段考慮。AC段：BC段：由彎矩方程可知，AC、BC段彎矩圖均為斜直線。BC段：AC段：（3）畫彎矩圖AC段：BC段：畫出彎矩圖：

由彎矩方程可知，AC、BC段彎矩圖均為斜直線。（3）畫彎矩圖BC段：AC段：

由彎矩圖可知：如b>a，則最大彎矩發(fā)生在集中力偶作用處右側(cè)橫截面上。即：彎矩圖變化規(guī)律歸納如下：

1）一般情況下，梁的彎矩方程是x的連續(xù)函數(shù)，而且是分段的連續(xù)函數(shù)，即彎矩圖上有轉(zhuǎn)折點：集中力作用點；集中力偶處；均布載荷的始末端。應(yīng)根據(jù)外載荷的作用位置分段建立梁的彎矩方程，并畫出彎矩圖。

2）梁段上無均布載荷時，彎矩圖一般為斜直線；梁段上有均布載荷時，彎矩圖為二次拋物線：載荷集度q向下時，彎矩圖曲線凹向下；載荷集度q向上時，彎矩圖曲線凹向上。

3）集中力作用處彎矩圖出現(xiàn)尖點，發(fā)生轉(zhuǎn)折。

4）集中力偶處彎矩圖發(fā)生突變：

突變的數(shù)值與集中力偶矩相同。集中力偶順時針方向時，彎矩圖向上突變；集中力偶逆時針方向時，彎矩圖向下突變。利用上述結(jié)論，可簡便快捷地繪制出梁的彎矩圖。彎矩圖變化規(guī)律歸納如下：

復(fù)習(xí)：彎矩圖的變化規(guī)律

1）梁的彎矩方程是x的連續(xù)函數(shù)，且為分段連續(xù)函數(shù)，即彎矩圖上有轉(zhuǎn)折點。應(yīng)根據(jù)外載荷的作用位置分段建立梁的彎矩方程，并畫出彎矩圖。

2）梁段上無均布載荷時，彎矩圖一般為斜直線；梁段上有均布載荷時，彎矩圖為二次拋物線：載荷集度q向下時，彎矩圖曲線凹向下；載荷集度q向上時，彎矩圖曲線凹向上。復(fù)習(xí)：彎矩圖的變化規(guī)律

3）集中力作用處彎矩圖出現(xiàn)尖點，發(fā)生轉(zhuǎn)折。復(fù)習(xí)：彎矩圖的變化規(guī)律

4）集中力偶處彎矩圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值與集中力偶矩相同。集中力偶順時針方向：彎矩圖向上突變。集中力偶逆時針方向：彎矩圖向下突變。利用上述結(jié)論，可簡便快捷地繪制出梁的彎矩圖。復(fù)習(xí)：彎矩圖的變化規(guī)律2．純彎曲時的正應(yīng)力

純彎曲——橫截面上只有彎矩而無剪力的作用。由前所述，確定梁的強度和剛度時通常可忽略剪力對梁的作用，也就是將梁視作純彎曲。純彎曲時：梁的橫截面上只有正應(yīng)力σ，不會有切應(yīng)力τ。梁的純彎曲變形實驗表明：梁彎曲變形后，縱向纖維有伸長層，也有縮短層。分析梁的純彎曲變形：可見：橫截面上有拉應(yīng)力，也有壓應(yīng)力。中性層——在伸長層和縮短層之間縱向纖維彎曲而長度不變的一層。

中性軸——中性層與橫截面的交線(過截面形心C)。所有橫截面仍保持平面，只是繞中性軸相對轉(zhuǎn)動?？梢姡簷M截面上中性軸的一側(cè)受拉、另一側(cè)受壓。分析梁的純彎曲變形：各點正應(yīng)力的大小與該點到中性軸的距離成正比；中性軸上的正應(yīng)力等于零；離中性軸最遠點即上下邊緣的正應(yīng)力最大。

橫截面上正應(yīng)力σ分布規(guī)律：橫截面上正應(yīng)力σ

分布規(guī)律：梁的橫截面上最大正應(yīng)力σmax的計算公式為:式中:M——橫截面上的彎矩(N·mm)；

ymax——橫截面上離中性軸最遠點到中性軸的距離(mm)；

Iz——橫截面對中性軸z的慣性矩(mm4)。是與橫截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。橫截面上正應(yīng)力σ分布規(guī)律：則：式中：

Wz——梁的抗彎截面系數(shù)（mm3）。也是與橫截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。常用截面的Iz、Wz計算公式見教材表5-3。常用型鋼的Iz(Iy)、Wz(Wy)值可從有關(guān)手冊中查得。為便于

計算，令：上式表明：當(dāng)彎矩M不變時，Wz越大，σmax越小。可見：

Wz能反映橫截面抵抗彎曲破壞能力。例5-11：圖示為一矩形截面簡支梁。已知：F=5kN，a=180mm，b=30mm，h=60mm。試問當(dāng)截面豎放或橫放時哪種抗彎能力較強。解：（1）求支座反力（2）畫彎矩圖（3）求最大正應(yīng)力

截面豎放時，最大正應(yīng)力σmax1為：截面橫放時，最大正應(yīng)力σmax2為：計算結(jié)果表明：

σmax1＜σmax2可見：截面豎放比橫放的抗彎能力強。三、梁的彎曲強度分析實例對于等截面梁，在最大彎矩作用的截面（產(chǎn)生最大正應(yīng)力σmax）。

危險點——危險截面上離中性軸最遠處(對應(yīng)邊緣)。梁的彎曲強度條件為：式中：

[σ]——許用彎曲正應(yīng)力?！ｋU截面當(dāng)材料的抗拉強度與抗壓強度不同，或橫截面相對中性軸不對稱時，應(yīng)分別計算抗拉強度和抗壓強度。彎曲強度計算解決三類問題：彎曲強度校核；確定截面尺寸；確定許可載荷。許用彎曲正應(yīng)力[σ]的確定：對于抗拉強度與抗壓強度相等的材料，[σ]采用材料的許用拉（壓）應(yīng)力。例5-12：圖示為一工字鋼簡支梁。跨距l(xiāng)=6m；載荷F1=15kN，F(xiàn)2=21kN；鋼材的許用彎曲應(yīng)力[σ]=170MPa。試選擇工字鋼的型號。解：（1）求支座反力（2）畫彎矩圖（C處為危險截面）（3）計算所需的抗彎截面系數(shù)（4）選擇工字鋼型號由機械工程手冊，查熱軋工字鋼(GB/T706—1988)表得型號為20a的工字鋼Wz=237cm3，略大于計算值，故采用型號為20a的工字鋼。例5-13：已知：板長3a＝150mm，壓板材料的許用彎曲應(yīng)力[σ]＝140MPa。當(dāng)工件受到最大壓力F＝2.5kN時，試校核壓板的強度。

螺旋壓板夾緊裝置

螺旋壓板夾緊裝置

分析：由梁的外伸部分BC可以直接求得截面B的彎矩，因此，無需計算支座反力便可畫出彎矩圖。

壓板可簡化為外伸梁。解：（1）畫彎矩圖可見，橫截面B為危險截面。畫出彎矩圖。（2）校核壓板的強度查教材表5-3中矩形截面抗彎截面系數(shù)Wz的公式?？汕蟮茫河蓮澢鷱姸葪l件可得：因為：

所以壓板滿足強度要求。

四、彎曲剛度簡介工程上有一些梁，雖有足夠的強度，但因變形過大而影響其正常工作。例如：

橋式起重機大梁，在移動被吊物體時，過大的彎曲變形會使電葫蘆爬坡困難，并引起振動。

車床主軸，若產(chǎn)生過大的彎曲變形，將降低加工精度，影響齒輪嚙合和軸承配合，并造成嚴(yán)重磨損、縮短壽命。

車床主軸四、彎曲剛度簡介工程上有一些梁，雖有足夠的強度，但因變形過大而影響其正常工作。例如：因此，許多情況下，必須將梁的彎曲變形限制在一定范圍內(nèi)，即梁應(yīng)滿足剛度條件。懸臂梁AB受載后軸線由直線彎曲成一條光滑連續(xù)的平面曲線AB'。在軸線上任取一截面形心C，彎曲變形后移到C'。

撓度y——截面形心C在垂直于原軸線方向的位移(mm)。轉(zhuǎn)角θ——橫截面相對于原來位置轉(zhuǎn)過的角度(rad)。AB'——撓曲線梁的變形可用撓度y和轉(zhuǎn)角θ

來度量。在圖示的坐標(biāo)系中，向上的撓度y為正，反之為負；逆時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角θ為正，反之為負。對于彎曲變形后會影響正常工作的梁，其剛度條件為：式中：[y]——許用撓度；[θ

]——許用轉(zhuǎn)角。[y]、[θ

]的具體數(shù)值可查有關(guān)手冊。

梁的撓曲線方程——撓度y和轉(zhuǎn)角θ與橫截面位置x的函數(shù)關(guān)系表達式。(可求任一截面的撓度y和轉(zhuǎn)角θ)單個載荷作用下：撓度y和轉(zhuǎn)角θ

的計算公式可由手冊直接查得，如教材表5-4所列。在教材表5-4所列計算公式中：

在一定外力作用下，

EI愈大，

y和θ

愈小，表示抵抗彎曲變形的能力愈強。在多個載荷作用下：可分別計算單個載荷的變形，然后采用疊加法求得所有載荷作用時的總變形。EI——梁的抗彎剛度。例5-14：橋式起重機大梁彎曲變形過大時，電葫蘆爬坡困難，故需對其進行剛度計算。已知大梁采用型號為45a的工字鋼，跨度l=9m，最大起吊重量W=60kN（包括電葫蘆重量），彈性模量E=200GPa，許用撓度[y]=0.002l，試校核大梁的剛度。解：

分析：因鋼梁重量大，應(yīng)考慮其自重。自重是均布載荷，由熱軋工字鋼(GB/T706—1988)表中查得其集度q＝788

N/m，慣性矩Iz＝32200

cm4。當(dāng)電葫蘆移到梁的中點C處時，其撓度yC最大。（1）用疊加法求撓度均布載荷q作用下：撓度yCq由教材表5-4得：

（1）用疊加法求撓度集中力F作用下：撓度yCF由教材表5-4得：

（2）校核梁的剛度計算許可撓度：所以梁的剛度足夠。則：梁的實際撓度

yC=yCq+yCF=－1－14=－15mm（1）用疊加法求撓度疊加結(jié)果：五、提高零件彎曲強度和剛度的措施

提高零件的承載能力：使受力零件用盡可能少的材料，承受盡可能大的載荷，并安全可靠。目的：在滿足強度、剛度和穩(wěn)定性的前提下，節(jié)省材料，降低制造成本、并使零件材料的作用得到充分發(fā)揮。

影響彎曲強度的主要因素：彎曲正應(yīng)力。①降低最大彎矩Mmax；②增大抗彎截面系數(shù)Wz。使最大工作應(yīng)力σmax盡可能小的途徑：工程上常用的措施有：1．改善零件的受力狀況（1）合理布置梁的支座均布載荷q作用下的簡支梁，畫彎矩圖。

均布載荷q作用下的外伸梁，畫彎矩圖。

Mmax的計算結(jié)果表明：當(dāng)支座向內(nèi)移動

0.2l時，外伸梁的承載能力可增加4倍。工程實例：龍門吊車的主梁AB，其支承點略向中間移動。

目的：通過合理布置支座位置，以減小Mmax。龍門吊車主梁的支座布置

（2）合理布置載荷傳動軸上的齒輪安裝在跨距中點，畫彎矩圖。

傳動軸上的齒輪安裝在靠近軸承的位置，畫彎矩圖。

Mmax的計算結(jié)果表明：齒輪靠近軸承安裝時，Mmax將小很多。2．合理選擇截面形狀（1）選擇比值Wz/A較大的截面形狀

梁可能承受的Mmax與Wz成正比。但截面面積A也將隨之增大（即用料增多）。故：只有比值Wz/A越大時才越有利?？捎帽戎礧z/A來衡量截面形狀的合理性與經(jīng)濟性。

①幾種常用截面的比值Wz/A見教材表5-5。

可見：

工字鋼或槽鋼比矩形截面經(jīng)濟合理；

矩形截面又比圓形截面經(jīng)濟合理。②對于一定截面面積A，可選擇Wz盡可能大而使比值Wz/A較大的合理截面。由于：σ在中性軸上為零；離中性軸越遠，σ越大。因此：使更多的材料分布在離中性軸較遠處可使材料充分地得到利用。

例如：工程結(jié)構(gòu)中的構(gòu)件常使矩形截面豎放；常用空心截面以及工字形、槽形或箱形截面。

（2）考慮不同材料的特性選擇截面形狀

對于塑性材料：宜采用圓形、矩形、工字形等中性軸對稱的截面，使材料得到充分利用。

對于脆塑性材料：宜采用T形等中性軸偏于受拉一側(cè)的截面，使最大拉應(yīng)力比最大壓應(yīng)力小。3．采用變截面梁對于等截面梁：只有Mmax的截面上，最大應(yīng)力才有可能接近許用應(yīng)力，其余各截面上應(yīng)力較低，材料未得到充分利用。對于變截面梁：可使各橫截面上的最大正應(yīng)力都接近，形成近似的等強度梁。故工程上常采用。

搖臂鉆床的搖臂

上述改善零件受力狀況和合理選擇截面形狀的措施，也能有效地提高梁的彎曲剛度。

階梯軸

疊板彈簧

工程實例：變截面梁返回 一、扭轉(zhuǎn)的概念第四節(jié)零件扭轉(zhuǎn)變形時的工作能力分析

二、內(nèi)力分析與應(yīng)力分析 三、軸的扭轉(zhuǎn)強度分析實例 四、彎扭組合時的強度分析實例 五、扭轉(zhuǎn)剛度簡介一、扭轉(zhuǎn)的概念

扭轉(zhuǎn)——桿件受到垂直于桿軸線的外力偶作用而發(fā)生橫截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動的變形。軸——以承受扭轉(zhuǎn)變形為主的桿件。一般為圓軸。汽車方向盤的操縱軸

攻制內(nèi)螺紋的絲錐

工程實例：

扭轉(zhuǎn)——桿件受到垂直于桿軸線的外力偶作用而發(fā)生橫截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動的變形。軸——以承受扭轉(zhuǎn)變形為主的桿件。一般為圓軸。工程實例：一、扭轉(zhuǎn)的概念軸——以承受扭轉(zhuǎn)變形為主的桿件。一般為圓軸。

扭轉(zhuǎn)角——圓軸扭轉(zhuǎn)時任意兩橫截面之間產(chǎn)生的相對轉(zhuǎn)角。

扭轉(zhuǎn)——桿件受到垂直于桿軸線的外力偶作用而發(fā)生橫截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動的變形。一、扭轉(zhuǎn)的概念二、內(nèi)力分析與應(yīng)力分析1．外力偶矩的計算

工程中，作用于軸上的外力偶矩計算公式為：式中：Me——外力偶矩（N·m）；

P——功率（kW）；

n——軸的轉(zhuǎn)速（r/min）。2．扭矩和扭矩圖仍采用截面法分析軸在橫截面上的內(nèi)力。圓軸兩端受到一對等值、反向的外力偶Me作用產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)并保持平衡。

取截面m-m一側(cè)的左段為分析對象。截面m-m上必存在一個內(nèi)力偶Mn與外力偶Me平衡。

扭矩——內(nèi)力偶Mn由：求得：推廣一般情形，結(jié)論：截面上的扭矩等于該截面一側(cè)軸段上所有外力偶矩的代數(shù)和。即：當(dāng)取左、右兩段來計算扭矩Mn時，其值相等，但方向相反。扭矩Mn的符號按右手螺旋法則確定，并規(guī)定：

右手四指順著扭矩方向握住圓軸軸線，大拇指伸直的指向與橫截面外法線方向一致時，扭矩為正值；反之為負值。因此，取左、右兩段來計算，所得的扭矩Mn符號一致。外力偶矩Me的符號也可按右手螺旋法則確定，但其規(guī)定與扭矩Mn相反。即：大拇指指向與橫截面外法線方向一致為負值；反之為正值。

扭矩圖的構(gòu)成：橫坐標(biāo)x——沿圓軸軸線方向。表示橫截面的位置?？v坐標(biāo)Mn——垂直于圓軸軸線方向。表示對應(yīng)截面上扭矩的大小。正扭矩繪在x軸的上方，負扭矩繪在x軸的下方。并標(biāo)明彎矩的大小、單位、正負號。扭矩圖——表示扭矩隨橫截面位置變化規(guī)律的圖形。反映圓軸各橫截面上的扭矩隨截面位置變化的情況。例5-15：已知轉(zhuǎn)速n=300r/min，主動輪A輸入功率PA=50kW，從動輪B和C的輸出功率PB=20kW，PC=30kW(不計摩擦損失)。試畫該齒輪軸的扭矩圖。若將主動輪A安裝在軸的左端，試比較兩種安裝方式那一種合理。

齒輪軸

分析:

主動力偶MeA的方向與軸的轉(zhuǎn)向一致；從動力偶MeB、MeC的方向與軸的轉(zhuǎn)向相反。解：（1）計算外力偶矩Me（2）計算各段的扭矩

根據(jù)外力偶矩作用位置，將軸分為AB、AC兩段，分別取截面1-1和截面2-2。軸的任一截面上的扭矩應(yīng)等于該截面一側(cè)軸段上所有外力偶的代數(shù)和。分析：（2）計算各段的扭矩

AB段內(nèi)的扭矩：

Mn1=

MeB=636.67N·mAC段內(nèi)的扭矩：

Mn2=

MeB－MeA

=(636.67－1591.67)N·m=－955N·m

（3）畫扭矩圖可見：該齒輪軸危險截面在AC段，即：

|

Mnmax|=|Mn2|=955N·m

（4）比較合理性若將主動輪A安置在軸的左端。畫扭矩圖。

可見：該齒輪軸危險截面在AB段，即：|Mnmax|=|Mn1|=|MeA

|

=|－1591.67

|=1591.67N·m計算結(jié)果表明：將主動輪A安裝在兩從動輪之間較合理。3．扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力實驗結(jié)果和理論分析表明：圓軸扭轉(zhuǎn)時，其橫截面上只有切應(yīng)力。切應(yīng)力的分布規(guī)律是：各點的切應(yīng)力與橫截面半徑方向垂直，其大小與該點到圓心的距離成正比。圓心處的切應(yīng)力等于零；圓周上的切應(yīng)力最大。圓軸橫截面上最大切應(yīng)力的計算公式為：式中：

τmax——截面上最大切應(yīng)力（MPa）；

Mn——截面上的扭矩（N·mm）；

R——圓軸半徑（mm）；

Ip——橫截面的極慣性矩（mm4）。是與橫截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。（見教材表5-6）圓軸橫截面上最大切應(yīng)力的計算公式為：為便于計算，令則式中：Wn——軸的抗扭截面系數(shù)（mm3）。也是與橫截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。（教材表5-6）

Wn反映橫截面抵抗扭轉(zhuǎn)破壞能力。Mn不變時，Wn越大，τmax越小，抗能力越強。三、軸的扭轉(zhuǎn)強度分析實例圓軸受扭時τ

max產(chǎn)生在危險截面的邊緣各點處。式中：[τ]—許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力（MPa）。其值可查有關(guān)手冊。扭轉(zhuǎn)強度條件為：一般情況下，[τ]可按下列經(jīng)驗公式近似確定：塑性材料

[τ]=(0.5～0.6)[σ

]脆性材料

[τ]=(0.8～1.0)[σ

]其中：[σ]——材料的許用拉應(yīng)力（MPa）。扭轉(zhuǎn)強度計算可以解決三類問題：扭轉(zhuǎn)強度校核；確定截面尺寸；確定許可載荷。例5-16：一汽車的傳動軸AB由45號無縫鋼管制成，大徑D=90mm，小徑d=85mm，傳遞的最大轉(zhuǎn)矩Memax=1500N·m，材料的許用切應(yīng)力[τ]=60MPa。試求：(1)

強度是否足夠？(2)在強度不變時改用相同材料的實心軸，軸徑應(yīng)多大？(3)空心軸和實心軸重量比為多少？汽車的傳動軸

解：（1）計算空心軸的扭轉(zhuǎn)強度AB傳動軸各截面的扭矩Mn相同，其大小為:

Mn=Memax=1500N·m汽車的傳動軸

AB傳動軸各截面的扭矩Mn相同，其大小為:

Mn=Memax=1500N·m查教材表5-6，可求得抗扭截面系數(shù)Wn為：由扭轉(zhuǎn)強度條件可得：所以AB傳動軸的強度足夠。解：（1）計算空心軸的扭轉(zhuǎn)強度（2）計算實心軸的直徑

分析：改用實心軸時，材料和扭矩相同，若要求強度不變，抗扭截面系數(shù)必定相等。查教材表5-6可知，實心軸的直徑為：

Wn=29469mm3

即：（3）求空心軸和實心軸重量之比材料和長度都相同時，重量之比即是橫截面面積之比?？傻茫杭矗嚎招妮S的重量僅為實心軸重量的31%?？梢姡谙嗤瑮l件下，采用空心軸可以節(jié)省材料，減輕重量，提高承載能力。所以，在汽車、航空和船舶工業(yè)中采用較多。設(shè)：空心軸橫截面面積為A，實心軸橫截面面積為A1。則：五、扭轉(zhuǎn)剛度簡介

式中：

G——材料的剪切彈性模量（MPa），同一種材料的G值為常數(shù)；

GIp——抗扭剛度。它表示圓軸抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，在其它條件一樣的情況下，

GIp越大，軸的變形越??；反之變形越大。對于長為l，扭矩為Mn的等截面圓軸，扭轉(zhuǎn)角

為圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形用兩橫截面之間產(chǎn)生的相對轉(zhuǎn)角來表示。為消除長度對扭轉(zhuǎn)角的影響，在對圓軸進行扭轉(zhuǎn)剛度計算時，應(yīng)限定單位長度扭轉(zhuǎn)角ψ的最大值不得超過規(guī)定的允許值，即:

——圓軸的扭轉(zhuǎn)剛度條件式中：[ψ]——許用扭轉(zhuǎn)角，°/m（度/米）。其值可查閱有關(guān)手冊。例5-17：在刀桿端部裝有鏜刀，已知切削功率P=8kW，刀桿轉(zhuǎn)速n=60r/min，刀桿直徑d=50mm，材料的許用切應(yīng)力[τ]=60MPa，剪切彈性模量G=80GPa，刀桿的許用扭轉(zhuǎn)角[ψ]=0.5°/m，試校核該刀桿的扭轉(zhuǎn)強度和剛度。鏜刀鏜孔解：（1）確定刀桿上的外力偶矩截面上的扭矩為：Mn=Me=1273N·m（2）校核刀桿的強度該刀桿扭轉(zhuǎn)強度滿足要求。（3）校核刀桿的剛度

可見，該刀桿扭轉(zhuǎn)剛度不夠。若不改變刀桿材料，可通過加大刀桿的直徑來改善其剛度。由扭轉(zhuǎn)剛度條件可得：即：軸徑必須在65.6mm以上才滿足剛度要求。返回第五節(jié)零件組合變形時工作能力分析二、彎扭組合時強度分析實例一、拉伸（壓縮）與彎曲組合時強度分析實例一、拉伸（壓縮）與彎曲組合時的強度分析實例受載特點：①桿件同時受橫向力和軸向力。

②桿件受偏心載荷。立柱的受載

一、拉伸（壓縮）與彎曲組合時的強度分析實例受載特點：①桿件同時受橫向力和軸向力。

分析方法：分解為兩種基本變形：拉伸（壓縮）和彎曲；分別求出各自產(chǎn)生的正應(yīng)力；進行正應(yīng)力的代數(shù)疊加，即得到危險截面的總應(yīng)力。②桿件受偏心載荷。

一、拉伸（壓縮）與彎曲組合時的強度分析實例受載特點：①桿件同時受橫向力和軸向力。

例5-18：立柱截面面積A=15×103mm2，對中性軸z的慣性矩Iz

=53×106mm4；工作壓力F=50kN，材料的許用拉應(yīng)力[σ]l=40MPa，許用壓應(yīng)力[σ]y=120MPa。試校核該壓力機立柱的強度。解：（1）外力分析

工作壓力F偏離立柱的軸線，立柱受偏心拉伸，偏心距為:壓力機的鑄鐵機身（2）內(nèi)力分析取m-m截面上部為分析對象。內(nèi)力：軸力FN和彎矩M根據(jù)平衡條件可求得：軸力FN、彎矩M方向如圖所示。（3）應(yīng)力分析

對應(yīng)于軸力FN——拉應(yīng)力σN均勻分布。

對應(yīng)于彎矩M——

彎曲應(yīng)力呈線性分布：中性軸z左邊為拉應(yīng)力σwl，中性軸z右邊為壓應(yīng)力σwy。

分析產(chǎn)生的正應(yīng)力：危險點處正應(yīng)力疊加：截面左側(cè)邊緣點：

σN和σwl疊加后仍為拉應(yīng)力。截面右側(cè)邊緣點：

σN和σwy疊加結(jié)果是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力，由兩者大小決定。

說明：對于鑄鐵類脆性材料，因受壓能力遠高于受拉能力，故通常使拉、壓兩種應(yīng)力疊加后是壓應(yīng)力。（3）應(yīng)力分析（4）校核強度應(yīng)使危險點的總應(yīng)力不超過許用應(yīng)力。左側(cè)邊緣點的應(yīng)力為：右側(cè)邊緣點的應(yīng)力為：計算結(jié)果表明，立柱的強度足夠。二、彎扭組合時的強度分析實例

彎扭組合變形——同時產(chǎn)生彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形。分析：帶輪軸AB。作用在帶輪軸AB上的外力：電動機輸入的外力偶Me；帶輪兩邊的拉力FT1、FT2。

帶輪軸若將FT1、FT2平移至帶輪輪心C，可得：合力FT=FT1+FT2和一個附加力偶MF。

帶輪軸畫出彎矩圖。畫出扭矩圖?？梢姡何ｋU截面在內(nèi)力最大的中間截面C處。產(chǎn)生彎扭組合變形：彎曲變形——由橫向力FT產(chǎn)生；扭轉(zhuǎn)變形——由力偶Me和MF產(chǎn)生。截面C上正應(yīng)力σ和切應(yīng)力τ分布：σ

垂直于橫截面；τ沿著橫截面。因此，危險截面的總應(yīng)力不是σ和τ的代數(shù)疊加。

運用有關(guān)強度理論可導(dǎo)出圓軸彎扭組合強度條件：

式中：

σd——當(dāng)量應(yīng)力。即：圓軸在當(dāng)量應(yīng)力σd作用下的強度相當(dāng)于正應(yīng)力σ和切應(yīng)力τ聯(lián)合作用下的強度；

M和Mn——分別為圓軸危險截面上的彎矩和扭矩；

Wz——圓軸危險截面上的抗彎截面系數(shù)；

[σ]——圓軸材料的許用應(yīng)力。如果軸上的橫向力構(gòu)成空間力系，則彎扭組合強度的計算步驟為：①將每一個橫向力分別向水平面和鉛垂面分解，分別畫出水平面內(nèi)的彎矩圖（MH圖）和鉛垂面內(nèi)的彎矩圖（MV圖）；②求合成彎矩M。合成彎矩M的計算公式為式中：MH、MV——水平面內(nèi)、鉛垂面內(nèi)的彎矩值。③將合成彎矩的最大值代入彎扭組合強度計算式即可求解。例5-19：傳動軸傳遞的功率P=7.5kW，軸的轉(zhuǎn)速n=100r/min，軸的直徑d=60mm，各軸段長l=400mm。軸上裝有C、D兩個帶輪，C輪上帶的緊邊和松邊拉力分別為F1'和F1"(F1'＞F1")，其和F1=4.2kN，方向與水平面(xz平面)的z軸平行；D輪上帶的緊邊和