山東省淄博2023-2024學(xué)年高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)卷數(shù)學(xué)試卷含解析

山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，BD=26,將菱形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC對(duì)折，使二面角B-AC-D的余弦值為1,

則所得三棱錐A-5CD的外接球的表面積為（）

2萬(wàn)/

A.——B.271C.4%D.671

3

2.已知向量。=(1,0),b=則與2o—b共線(xiàn)的單位向量為(）

3上之14”

目

C.住,』或m.fl2

I22JI22JDI22JI2J

3.已知=o+2i(aeR),i為虛數(shù)單位，則。=()

l-2i

A.&B,3C.1D.5

4.若數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且滿(mǎn)足3+%=%+/,S“為數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和，則$1=（）

A.27B.33C.39D.44

尸200+3；

5.若z=^~―,則z的虛部是()

1+z

A.iB.2zC.-1D.1

2+log,x,-<x<l

6.已知函數(shù)/'(x)=J28,若/(a)=/(b)(a<b),則。匕的最小值為（）

2x,l<x<2

參考數(shù)據(jù)：In2合0.69,h?2合0.48

[5

A.-B.C.log2GD

7.如圖，圓。是邊長(zhǎng)為2退的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，其與邊相切于點(diǎn)。，點(diǎn)〃為圓上任意一點(diǎn),

BM=xBA+yBD(x,ywR),則2x+y的最大值為()

A.V2B.73C.2D.272

8.已知數(shù)列，是公比為;的等比數(shù)列，且q〉0,若數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，則%的取值范圍為()

A.(1,2)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)

9.已知函數(shù)/(x)=log2|j^+lj+@7L則不等式/(lgx)>3的解集為()

A.B.C.(1,10)D.^,1^0(1,10)

10.已知下列命題：

?66VxeR,x2+5x>6”的否定是“3xeR,x2+5x<6”；

②已知P應(yīng)為兩個(gè)命題，若“夕vq”為假命題，則為真命題；

③“。>2019”是“。>2020”的充分不必要條件；

④“若孫=0,則x=0且丁=0”的逆否命題為真命題.

其中真命題的序號(hào)為()

A.③④B.①②C.①③D.②④

11.已知函數(shù)/(%)=Asin(o)x+0)(A>00>0,附<])的部分圖象如圖所示，且/(。+尤)+/(。一%)=0,則

1H的最小值為()

y

13.函數(shù)/（尤）=/log2%-2的定義域是

14.己知函數(shù)/'（x）=x（2崗-1）,若關(guān)于x的不等式/（/一2尤-2°）+/3-3）,,0對(duì)任意的xe[l,3卜恒成立，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是.

15.已知拋物線(xiàn)C:/=4》的焦點(diǎn)為P,過(guò)點(diǎn)尸且斜率為1的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C交于點(diǎn)AB,以線(xiàn)段AB為直徑的圓E

上存在點(diǎn)RQ,使得以P。為直徑的圓過(guò)點(diǎn)。（-2/）,則實(shí)數(shù)f的取值范圍為.

16.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件4=｛抽到一等品｝,事件8=｛抽到二等品｝,事件C=｛抽到三等品｝,

且已知P（A）=0.65,P（B）=0.2,P（C）=0.1,則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）在某外國(guó)語(yǔ)學(xué)校舉行的印MCN（高中生數(shù)學(xué)建模大賽）中,參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為1:3,且成績(jī)

分布在[40』00],分?jǐn)?shù)在80以上（含80）的同學(xué)獲獎(jiǎng).按女生、男生用分層抽樣的方法抽取200人的成績(jī)作為樣本，得到

成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示.

（I）求。的值,并計(jì)算所抽取樣本的平均值1（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）;

（H）填寫(xiě)下面的2x2列聯(lián)表，并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下能否認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與女生、男生有關(guān)”.

女生男生總計(jì)

獲獎(jiǎng)5

不獲獎(jiǎng)

總計(jì)200

附表及公式：

pgk。)0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

甘土n(ad-bc)

其中K=,n-a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

18.（12分）已知橢圓：C:j+與=1（?！?〉0）的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為2/，原點(diǎn)到直線(xiàn)二+；=1的

abab

距離為我.

4

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知定點(diǎn)尸（0,2）,是否存在過(guò)尸的直線(xiàn)/,使/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且以為直徑的圓過(guò)橢圓C的左

頂點(diǎn)？若存在，求出/的方程：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.（12分）如圖，直三棱柱ABC—4月￡中，分別是的中點(diǎn)，AA、=AC=CB=昱AB=叵.

2

(1)證明：BCi平面AC。；

(2)求二面角?！狝C-E的余弦值.

2

20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)帆.1,過(guò)點(diǎn)(私0)的直線(xiàn)/與圓尸：/+y2=1相切，且與拋物線(xiàn)Q-.y=2x

相交于A,8兩點(diǎn).

(1)當(dāng)在區(qū)間口+o。)上變動(dòng)時(shí)，求AB中點(diǎn)的軌跡；

(2)設(shè)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為尸，求A3尸的周長(zhǎng)(用機(jī)表示)，并寫(xiě)出加=2時(shí)該周長(zhǎng)的具體取值.

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=|2%—

(1)若。=1,不等式/(2%)-/(%+1)22的解集；

(2)^VXG7?,/(2X)-X>2,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

22.(10分)已知函數(shù)/'(x)=alnx+L

X

(1)討論/(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)證明：當(dāng)0<4《女時(shí)，

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

取AC中點(diǎn)N,由題意得NSZVD即為二面角5—AC—。的平面角，過(guò)點(diǎn)8作于O,易得點(diǎn)。為ADC的

[7丫/6丫

中心，則三棱錐A-BCD的外接球球心在直線(xiàn)BO上，設(shè)球心為?！?，半徑為廠(chǎng)，列出方程--r+—=廠(chǎng)

[3JI3J

即可得解.

【詳解】

如圖，由題意易知ABC與；AOC均為正三角形，取AC中點(diǎn)N,連接5N,DN,

則的VLAC,DNLAC,即為二面角3—AC—。的平面角，

過(guò)點(diǎn)5作3OLDN于O,則呂。，平面ACD,

由BN=ND=#),cosNBND=工可得ON=BN?cosNBND=昱,OD=^-,(9B=j3-f—=^-.

3331I3J3

ON=：ND即點(diǎn)。為AQC的中心，

，三棱錐A—BCD的外接球球心在直線(xiàn)5。上，設(shè)球心為。一半徑為廠(chǎng)，

?*-BO1=DO1=r,OQ]=---------r,

.(246丫(2百丫2V6

-------r+-----=r解得r=——，

332

,3

???三棱錐A-BCD的外接球的表面積為S=4乃戶(hù)=4萬(wàn)x—=6乃.

2

故選：D.

B

/1

【點(diǎn)睛】

本題考查了立體圖形外接球表面積的求解，考查了空間想象能力,屬于中檔題.

2、D

【解析】

根據(jù)題意得，設(shè)與2a-b共線(xiàn)的單位向量為(％,y),利用向量共線(xiàn)和單位向量模為1,列式求出尤,y即

可得出答案.

【詳解】

因?yàn)閍=(1,0),b=(1,y/3),則2T=(2,0),

所以2a,

設(shè)與2a-b共線(xiàn)的單位向量為(羽y)，

則卜產(chǎn)了二°,

x2+y2=1

*1[1

x=—X=——

22

解得或

V3V3

y=—y=——

r2U2

所以與2a-b共線(xiàn)的單位向量為或1

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線(xiàn)定理和單位向量的定義.

3、C

【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

【詳解】

由一-—=a+21,得l+2i=a+2i,解得a=l.

l-2i

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

利用等差數(shù)列性質(zhì)，若加+〃=〃+4，則冊(cè)+4=%+%求出每=3,再利用等差數(shù)列前幾項(xiàng)和公式得

%」*如)=[14=33

【詳解】

解：因?yàn)?+%=%+/，由等差數(shù)列性質(zhì)，若〃?+〃=p+q,則a,”+4=%,+%得，

。6=3.

s“為數(shù)列｛aJ的前〃項(xiàng)和，則=lla6=33.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前n項(xiàng)和.

⑴如果｛風(fēng)｝為等差數(shù)列，若〃z+〃=p+q,則a,.+%=%,+4(m,n,p,qeN*).

⑵要注意等差數(shù)列前九項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，如S21=(2〃-1)%.

5、D

【解析】

通過(guò)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解復(fù)數(shù)為：a+方的形式，即可得到復(fù)數(shù)的虛部.

【詳解】

泮2。+3/_U3z_(1+3/)(1-，)_l+2z-3r

由題可知2==2+i,

1+Z-7+7-(l+z)(l-z)-1-r-

所以Z的虛部是1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.

6、A

【解析】

J_<.

首先/(%)的單調(diào)性，由此判斷出,由/3)=//)求得。力的關(guān)系式.利用導(dǎo)數(shù)求得1。82。6的最小值，由

l<b<2

此求得a匕的最小值.

【詳解】

2+log,%,—<x<1,、「1、

由于函數(shù)/Xx)=28，所以“X)在上遞減，在［1,2］上遞增.由于/(a)=/3)(a<。)，

O)

2\l<x<2

d：［=2+log，=5,〃2)=22=4,令2+1叫x=4,解得%」，所以片”\且2+log"=2'化簡(jiǎn)

22

⑻〃4［1<z,<2

b

得log2〃=2-2",ffsVXlog2ab=log2a+log2b=2-2+log2b,構(gòu)造函數(shù)g(x)=2-2"+log2X(l<%<2)，

g'(x)=-21n2+=1-〃252.構(gòu)造函數(shù)h(x)=\-x-T2(l<x<2),

xIn2xIn2

h(x)=-(1+%ln2)-2X-In22<0,所以&(x)在區(qū)間(1,2］上遞減,而/⑴=l—21n22al-2x0.48=0.04>0,

/z(2)=l-81n22?1-8x0.48=-2.84<0,所以存在飛e(l,2),使用題)=0.所以g(尤)在(1,%)上大于零,在

(%,2)上小于零.所以g(x)在區(qū)間(1,%)上遞增，在區(qū)間(尤°，2)上遞減.而g⑴=0,g(2)=2—2?+log22=-1,所

以g(x)在區(qū)間(1,2］上的最小值為—1,也即log?"的最小值為-1,所以"的最小值為2T=1.

故選：A

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.

7、C

【解析】

建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，得到2x+y的表達(dá)式，進(jìn)而得到最大值.

【詳解】

以D點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線(xiàn)為x軸，AD所在直線(xiàn)為y軸，建立坐標(biāo)系，

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為1,以（0,1）為圓心，1為半徑的圓；

根據(jù)三角形面積公式得到工x/周長(zhǎng)x廠(chǎng)=S=!義A3*ACxsin60°,

22

可得到內(nèi)切圓的半徑為1；

可得到點(diǎn)的坐標(biāo)為：B（-V3,0）,C（V3,0）,A（0,3）,D（0,0）,M（cosai+sin6?）

5M=（cose+G』+sin8）,BA=（A3）,50=（73,0）

故得至IIBM=(cos0+6,1+sin6)=(Gx+6y,3x)

故得至I]cos0=y/3x+6y~A/3,sin6=3x—1

1+sin9

故最大值為：2.

故答案為C.

【點(diǎn)睛】

這個(gè)題目考查了向量標(biāo)化的應(yīng)用，以及參數(shù)方程的應(yīng)用，以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等

式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類(lèi)綜合問(wèn)題.通過(guò)向量的運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類(lèi)問(wèn)題的一

般方法.

【解析】

先根據(jù)已知條件求解出｛4｝的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)｛4｝的單調(diào)性以及4〉0得到用滿(mǎn)足的不等關(guān)系，由此求解出4的

取值范圍.

【詳解】

由已知得一-1——1,貝U

an)

因?yàn)?〉0,數(shù)列｛4｝是單調(diào)遞增數(shù)列,

所以4+1>4>0,則

化簡(jiǎn)得0<-<——1,所以0<q<L

\ai73(\

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解以及根據(jù)數(shù)列單調(diào)性求解參數(shù)范圍，難度一般.已知數(shù)列單調(diào)性，可根據(jù)4,4+1之間的大

小關(guān)系分析問(wèn)題.

9、D

【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，得到-l<lgx<l,且Igxwo,解不等式得解.

【詳解】

由題得函數(shù)的定義域?yàn)?一8,0),(。,+8).

因?yàn)?(—%)=/(%)，

所以/(*)為(—8,0)乂0,+8)上的偶函數(shù),

+1,y=，［+3都是在(°，+8)上單調(diào)遞減.

因?yàn)楹瘮?shù)

所以函數(shù)在(0,+co)上單調(diào)遞減.

因?yàn)?(l)=3,/(lgx)>3=/(l),

所以一l<lgx<l,且Igxw。，

解得ju(l』0).

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌

握水平.

10、B

【解析】

由命題的否定，復(fù)合命題的真假，充分必要條件，四種命題的關(guān)系對(duì)每個(gè)命題進(jìn)行判斷.

【詳解】

44VxGR,x2+5x>6"的否定是"三X?R,x2+5x<6",正確；

已知為兩個(gè)命題，若“Pvq”為假命題，則"(F)△(「［)，，為真命題，正確；

ua>2019”是“a>2020”的必要不充分條件,錯(cuò)誤；

“若孫=。，則％=0且y=0”是假命題，則它的逆否命題為假命題，錯(cuò)誤.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題真假判斷，掌握四種命題的關(guān)系，復(fù)合命題的真假判斷，充分必要條件等概念是解題基礎(chǔ).

11、A

【解析】

a是函數(shù)/(x)的零點(diǎn)，根據(jù)五點(diǎn)法求出圖中零點(diǎn)及，軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)可得.

【詳解】

31177TTTTTC

由題意=—工，T=萬(wàn)，.?.函數(shù)在y軸右邊的第一個(gè)零點(diǎn)為<+2=二，在y軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)是

41266412

717171

~6~1~~129

???何的最小值是

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性.函數(shù)/(x)=Asin(or+9)的零點(diǎn)就是其圖象對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo).

12、A

【解析】

用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)排除C,用/(K)<0排除瓦用/自jr)〉4排除。.故只能選A.

【詳解】

因?yàn)?(—X)=6.一翅_(7)-=61sinx|_=/(%)

Jl+(—VI+%

所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故可以排除c；

77211

/(〃)=6協(xié)用-,=1.<1—-=1-1=二0

，故排除3,

因?yàn)閂iwn+1口

兀2\22

乃(―)211

因?yàn)?(5)=62__2=6461444

16=6一君〉6_5=6_2=4由圖象知,排除。.

卜中24/+/#+?

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，辨析函數(shù)的圖像，排除法,屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、［4,+co)

【解析】

解：S^log2%-2>0.-.x>4,故定義域?yàn)閇4,+co)

14、［TO］

【解析】

首先判斷出函數(shù)/(A')為定義在R上的奇函數(shù)，且在定義域上單調(diào)遞增，由此不等式f(x2-2x-2a)+f(ax-3)?0對(duì)任

意的xe［l,3卜恒成立，可轉(zhuǎn)化為/+(“-23-2”3,,0在%€［1,3］上恒成立，進(jìn)而建立不等式組，解出即可得到答案.

【詳解】

解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(-x)=-X(2M-1)=-X(2W-1)=-/(x),

二函數(shù)/(尤)為奇函數(shù)，

當(dāng)了＞0時(shí)，函數(shù)/(刈=尤(2*-1),顯然此時(shí)函數(shù)/(尤)為增函數(shù)，

函數(shù))(x)為定義在R上的增函數(shù)，

不等式/(x2-lx-2a)+于(ax—3),,0即為X?一2尢一2④3-ax，

x2+(a-2)x一2a-3?0在九￡[1,3]上恒成立,

1+〃—2—2〃—3,,0

，解得Tf以0.

9+3(〃-2)-2a-3?0

故答案為［T,。］.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的綜合運(yùn)用，考查不等式的恒成立問(wèn)題，屬于常規(guī)題目.

15.[-1,3]

【解析】

由題意求出以線(xiàn)段AB為直徑的圓E的方程,且點(diǎn)D恒在圓E夕卜，即圓E上存在點(diǎn)P,Q，使得DP，DQ,則當(dāng)DP,DQ

與圓E相切時(shí)，此時(shí)NP'DQ'N',由此列出不等式，即可求解。

【詳解】

x=y+1,

由題意可得，直線(xiàn)A5的方程為％=丁+1,聯(lián)立方程組2二，可得y2—4y-4=0,

7=4x

設(shè)A(%,%),§(%,%)，則%+%=4,%為=-4,

設(shè)￡(年,%)，則為=-；%=2,4=%+1=3,

又|=司+々+2=%+1+%+1+2=8,

所以圓E是以(3,2)為圓心，4為半徑的圓，所以點(diǎn)。恒在圓E外.

圓E上存在點(diǎn)RQ,使得以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)。(—2/),即圓E上存在點(diǎn)尸,Q,使得。設(shè)過(guò)。點(diǎn)的兩

直線(xiàn)分別切圓E于P',Q'點(diǎn)，

兀|“14>V2

要滿(mǎn)足題意'則"刀。2于所以網(wǎng)=招+2『+(2-)2號(hào)'

整理得/_4-3<0,解得2-+,

故實(shí)數(shù)t的取值范圍為[2-J7,2+J7]

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系的應(yīng)用，以及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中準(zhǔn)確求得圓E的方程，

把圓E上存在點(diǎn)尸,Q,使得以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)。(-21),轉(zhuǎn)化為圓E上存在點(diǎn)尸,Q,使得是解答的

關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題。

16、0.35

【解析】

根據(jù)對(duì)立事件的概率和為1,結(jié)合題意，即可求出結(jié)果來(lái).

【詳解】

解：由題意知本題是一個(gè)對(duì)立事件的概率，

抽到的不是一等品的對(duì)立事件是抽到一等品，

■,P(A)=0.65,

抽到不是一等品的概率是尸=1—尸(A)=1-0.65=0.35,

故答案為：0.35.

【點(diǎn)睛】

本題考查了求互斥事件與對(duì)立事件的概率的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(I)a=0.025,無(wú)=69；(II)詳見(jiàn)解析.

【解析】

(I)根據(jù)概率的性質(zhì)知所有矩形的面積之和等于1列式可解得；

(II)由頻率分布直方圖知樣本中獲獎(jiǎng)的人數(shù)為40，不獲獎(jiǎng)的人數(shù)為160,從而可得2x2列聯(lián)表，再計(jì)算出K2，與臨界值比

較可得.

【詳解】

解：(I)a='x口_(0.01+0.015+0.03+0.015+0.005)x10]=0.025,

元=45x0.1+55x0.15+65x0.25+75x0.3+85x0.15+95x0.05=69.

(II)由頻率分布直方圖知樣本中獲獎(jiǎng)的人數(shù)為40，不獲獎(jiǎng)的人數(shù)為160,

2x2列聯(lián)表如下：

女生男生總計(jì)

獲獎(jiǎng)53540

不獲獎(jiǎng)45115160

總計(jì)50150200

因?yàn)镵?=200x(5x115—35x4554.167>3.841,

所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下能認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與女生，男生有關(guān).”

【點(diǎn)睛】

本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，以及由頻率分布直方圖求平均數(shù)的問(wèn)題，熟記獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想，以及平均數(shù)的計(jì)算方法

即可，屬于?？碱}型.

18、(1)—+21=1;(2)存在，且方程為丁=友》+2或丫=述》+2.

535-5

【解析】

(1)依題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求得a,b,進(jìn)而可得到橢圓方程；(2)聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓得到

(3+542封+20而+5=0,要使以為直徑的圓過(guò)橢圓。的左頂點(diǎn)。卜火,0),則=結(jié)合韋達(dá)定理

可得到參數(shù)值.

【詳解】

(1)直線(xiàn)二+二=1的一般方程為法+ay—必=0.

ab

2ab=2岳

ab_A/3022

依題意解得故橢圓C的方程式為上+乙=1.

荷+廿一丁53

a-=b2+c2

（2）假若存在這樣的直線(xiàn)/,

當(dāng)斜率不存在時(shí)，以為直徑的圓顯然不經(jīng)過(guò)橢圓C的左頂點(diǎn),

所以可設(shè)直線(xiàn)/的斜率為左，則直線(xiàn)/的方程為y=Ax+2.

廠(chǎng).片,得（3+5燈V+20-5=0.

由＜

3%+5y—15、

由A=400左2一20（3+5左2）＞0,得k,+8.

7

記A,3的坐標(biāo)分別為（國(guó),%）,（九2，%），

20k5

貝！IX[+々=—%犬2=T，

3+5k2123+5產(chǎn)

而二（何仇+2

+2）（2）=k^x2+2k（X]+%）+4.

要使以|為直徑的圓過(guò)橢圓C的左頂點(diǎn)可一50）,則D4.=0，

即％%+（玉+^/^）（%2+=（左2+1）/％+（2左+\/^）（須+/）+9=0,

所以（J）熹H〃+明豢+9*

整理解得&=結(jié)或左=85,

55

所以存在過(guò)P的直線(xiàn)/,使/與橢圓。交于A,3兩點(diǎn)，且以|A同為直徑的圓過(guò)橢圓。的左頂點(diǎn)，直線(xiàn)/的方程為

275°-875°

y=-------x+2或y=------x+2.

-55

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線(xiàn)的方程是一次的，圓錐曲線(xiàn)的方程是二次

的，故直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解

決圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式

的作用.

19、(1)證明見(jiàn)解析⑵

3

【解析】

(I)連接AG交4c于點(diǎn)P，由三角形中位線(xiàn)定理得BC"/r>尸，由此能證明3C"/平面4CD.

(2)以c為坐標(biāo)原點(diǎn)，。［的方向?yàn)閄軸正方向，CB的方向?yàn)閥軸正方向，CG的方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直

角坐標(biāo)系C-孫z.分別求出平面的法向量和平面ACE的法向量，利用向量法能求出二面角。-AC-E的余

弦值.

【詳解】

證明：證明：連接A￡交4c于點(diǎn)P，

則E為AG的中點(diǎn).又。是AB的中點(diǎn)，

連接則80//。尸.

因?yàn)?。尸u平面A。。，Bq/平面A。。，

所以BO"/平面ACD.

、歷

(2)由"=可得：AB=2,即AC?+=.2

所以ACL8C

又因?yàn)锳3C-A3IG直棱柱，所以以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線(xiàn)C4、CB、CG為工軸、V軸、，軸，建立空間直

角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)、4(0,0,0))、D-^-,-^-,0、E0,A/2,-^-^,

CA=(V2,0,V2),CD=與卓0,CE=0，"發(fā)

設(shè)平面4。的法向量為〃=(x,y,z),貝!J〃.CD=0且”-C<=0,可解得y=-x=z,令x=l,得平面4CD的

一個(gè)法向量為n=(1,-1,-1),

同理可得平面ACE的一個(gè)法向量為m=(2』,-2),

貝!Icos<n,m>=——

3

本題主要考查直線(xiàn)與平面平行、二面角的概念、求法等知識(shí)，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

20、(1)x=/+，i+y2?(2)AB尸的周長(zhǎng)為2療+2加—1+2md病+2m-l，加=2時(shí)，AB尸的周長(zhǎng)為

11+477

【解析】

(1)設(shè)/的方程為工=6+根，根據(jù)題意由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得=1,將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立可得

y2-2ky-2m=Q,設(shè)A.5坐標(biāo)分別是(%,%)、(%，%)，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式消參即可求解.

(2)根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得|AR|+|3P|=p+X|+x2，由(1)可得|4門(mén)+|3/|=2療+2機(jī)-1,再利用弦長(zhǎng)公

式即可求解.

【詳解】

(1)設(shè)/的方程為工=份+機(jī)

m1,

于是］---芝=1=k2=m2-1

V1+V

x=ky+m0

聯(lián)立<2=>y—2ky—2m=0

y=2x

設(shè)A.3坐標(biāo)分別是（七,%）.（尤2，%）

y+%=2k

則?，c

%+尤2=2七+2nl

設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y),則

x=k2-^m=m2—l+m

<____

y=k=+\jm2-1

消去參數(shù)M得：X=y2+ji+y2

(2)設(shè)AB(x2,y2),由拋物線(xiàn)定義知

|AF|=Xi+g\BF\=x2+^,p=l

|AF|+|BF|=p+xx+x2

由(1)知再+々=2左2+2加=2(加一1)+2機(jī)

：.\AF\+\BF|=2m2+2m-l

IAB1=J(X]—X2『+(%—%>=J(1+12)(/一%)2

=J(1+/)[(%+%)-4%%

12

yx+y2=lk,%?%=_2"Z,k=m-l

|AB|=Jm2(4m2+8m-4)=2mJm1+2m-1

ABF的周長(zhǎng)為2M+2m—1+2mylm2+2m—l

m=2時(shí)，AB產(chǎn)的周長(zhǎng)為H+4J7

【點(diǎn)睛】

本題考查了動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系、拋物線(xiàn)的定義、弦長(zhǎng)公式，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.

21、(1)(—00,——]o[2,+oo)(2)(—°0,—8]

【解析】

(1)依題意可得|4x—1|—|2》+1但2,再用零點(diǎn)分段法分類(lèi)討論可得；

(2)依題意可得|4x-a|2x+2對(duì)VxeH恒成立，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義將絕對(duì)值去掉，分別求出解集，則兩解集

的并集為R，得到不等式即可解得；

【詳解】

解：(1)若。=1,/(x)=|2x-l|,則/(2x)—/(x+l)22,即|4x—1―]2x+l|22,

當(dāng)