浙江省聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二年級上冊期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023學(xué)年第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試

高二數(shù)學(xué)試題卷

考生須知：

1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；

2.請用黑色字跡的鋼筆或簽字筆再答題卷指定的區(qū)域（黑色邊框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的

作答無效！

3.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分（共60分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求.

1.已知集合1°，1，2,3,4},於呼2-5—},則AB=」）

A{1,2,3,4}B.{2,3}C.{1,4}D.{0,1,4）

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合8,利用交集的定義可求得集合AcB.

【詳解】因為§=5X+4NO}={HX<1或九24},A={0,1,2,3,4},

則A5={0,1,4}.

故選：D.

2.已知（2+i）z=i,i為虛數(shù)單位，則忖=（）

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)z,利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得目的值.

ii（2-i）12

【詳解】因為（2+i）z=i,則z=I7T（2+i）（2-故忖=JU

故選：C.

3.已知平面向量W=（2,0）,Z?=（-l,l）,且6切―））〃（「+）），貝|］加=（）

1+J3

A.-1B.OC.1D.v

2

【答案】A

【解析】

【分析】首先求出根a-6、a+b的坐標，再根據(jù)平面向量共線的坐標表示得到方程，解得即可.

【詳解】因為a=(2,0),Z?=(-l,l),

所以ma—6=加(2,0)—(一1,1)=(2加+1,-1),a+Z>=(2,0)+(-1,1)=(1,1),

因為卜7〃z-Z?)〃(a+Z?),所以(2〃z+l)xl=—1x1,解得〃“-I.

故選：A

22

4.已知雙曲線.—%=1(?！?力〉0)左，右焦點分別為4(―c,0),乙(c,0)，若雙曲線左支上存在點尸

3

使得|P段=5,—2a,則離心率的取值范圍為()

A.[6,+oo)B.(1,6]

C.[2,+co)D.[4,-HX))

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)：雙曲線左支上的點P到右焦點工的距離：|即|?a+c可確定雙曲線離心率

的取值范圍.

31

【詳解】由題意：一c-2a2a+cn—c23a=>e=c—26.

22a

故選：A

5.已知2cos28—cos6=l，0￡(。,兀)，貝!JsinS=()

A.0B.1C.走或0D.2

222

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可得出-1vcosOvl,解方程2cos28—cos。=1,可得出cos。的值，再利用同角三角函

數(shù)的基本關(guān)系可求得sin6的值.

【詳解】因為兀），則-1<COSO<1,由已知可得2cos2?！猚os?！?=0，解得cos8=—g,

故sind=Jl—cos20=—

故選：D.

6.數(shù)學(xué)家歐拉研究調(diào)和級數(shù)得到了以下的結(jié)果：當x較大時，1+2+1+

+-=lnx+/(xeN*)常數(shù)

23X

/=0.557）.利用以上公式，可以估算7^7+7^+…的值為（

)

101102300

A.ln30B.In3C.—ln3D.-In30

【答案】B

【解析】

【分析】依題意可得1+,+工++—^―=In300+/,1+—+—+

H——=lnl00+/,兩式相減，根

2330023100

據(jù)對數(shù)的運算法則計算可得.

【詳解】依題意可得1+工+工++-^―=In300+y,

23300

1+-+-++^—=lnl00+r

23100

兩式相減可得----1-----F...H-----=In300—In100=In3.

101102300

故選：B

7.已知e[0,2],貝i]“cos（（z—4）（工"是"cosa+sin/?<L呃（）

I2J44

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】依題意可得?05（。-4）=8$]85/?+$由0^11/?<8$。+5山分，利用充分條件、必要條件的定義判

斷可得答案.

【詳解】一①則0<cos/?<l,0<sin?<l,

所以cos(a一%=cosacos/?+sinasin尸vcosa+sin月,

所以由cos（。一4）v，不能推出cosc+sin￡<—,充分性不成立;

44

反之，<3002+5皿刀<l=>以%（。-力）〈,成立，即必要性成立；

44

則“cos（a—尸）<：”是“cosa+sin/?<：”的必要不充分條件.

故選：B.

8.已知圓C:x2—2x+_/=。與直線/：y=儂+2m（加〉0）,過/上任意一點P向圓C引切線，切點為A

和B,若線段長度的最小值為0,則實數(shù)加的值為（）

、2幣RV7rV14nV14

7727

【答案】D

【解析】

【分析】推導(dǎo)出PC垂直平分A3,分析可知，當1Pq取最小值時，|A用取最小值，此時，PCLI,利用

點到直線的距離公式可得出關(guān)于機的等式，解之即可.

【詳解】圓C的標準方程為（％—圓心為半徑為1,如下圖所示：

由圓的幾何性質(zhì)可知AC±PA,BCLPB,

因為|R4|=|PB|,Mq=Wq,1Pq=|PC|,所以,PACAPBC,

所以，ZAPC=ZBPC,則PCLAB,

設(shè)ABPC=E,則石為AB的中點,

'|PC|2-|AC|2=4N2—1，

2

2%PC|-1=213-y

由等面積法可得|A口=2\AE\-

p\pC\

\c\V\pc\

1一總=&，可得|PC|=夜，

所以，當|PC|取最小值時，|A國取最小值，由2

所以，|PC|的最小值為當PC與直線/垂直時，|PC|取最小值,

\3m\應(yīng)，因為m>0,解得m=也

則

2

y/m+17

故選：D.

【點睛】方法點睛：本題考查圓的切點弦長的計算，一般方法有如下兩種：

(1)求出切點弦所在直線的方程，然后利用勾股定理求解；

(2)利用等面積法轉(zhuǎn)化為直角三角形斜邊上高，作為切點弦長的一般求解.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知一組數(shù)據(jù)：3,3,4,4,4,x,5,5,6,6的平均數(shù)為4.7,貝(I()

A.x=7

B.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4

C.若將這組數(shù)據(jù)每一個都加上0.3,則所有新數(shù)據(jù)的平均數(shù)變?yōu)?

D.這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為5.5

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)求出x值，再根據(jù)百分位的性質(zhì)求出結(jié)果.

【詳解】由題意得而(3+3+4+4+4+x+5+5+6+6)=4.7,解得％=7,故A正確；

4+5

將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為3,3,4,4,4,5,5,6,6,7,則中位數(shù)——=4.5,故B錯誤；

2

若將這組數(shù)據(jù)每一個都加上0.3,則所有新數(shù)據(jù)的平均數(shù)變?yōu)?.7+03=5,故C正確；

因為10x70%=7,所以這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為(5+6)+2=5.5,故D正確.

故選：ACD.

10.在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為“、b、c,且。=5,b=6,c=7,下面說法正確的是

()

A.sinA:sinB:sinC=5:6:7

B.cosA:cosB:cosC=5:6:7

C..ABC是銳角三角形

D.ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍

【答案】AC

【解析】

【分析】利用正弦定理可判斷A選項；利用余弦定理可判斷BC選項；利用二倍角的余弦公式可判斷D選

項.

【詳解】對于A,由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=a:Z?:c=5:6:7,A對;

36+49-25_5

對于B,由余弦定理可得cosA=~—

2bc2x6x7-7

222222

na+c-b25+49-3619「a+b-c25+36-491

lac2x5x735lab2x5x65

所以，cosA:cosB:cosC5:6:7,B錯；

對于c,因為a<6<c,則C為最大角，又因為cosC=g〉0,則。為銳角，故為銳角三角形，C

對；

對于D,由題意知，A為最小角，貝1Jcos2A=2cos?A-l=-1=—^cosC，

（7）49

因為Ac[。,]],則2Ae（O,兀），則C/2A,D錯.

故選：AC.

11.如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABC。是邊長為2的正方形，面ABC。，P￡>=26，點

E是棱上一點（不包括端點），尸是平面PCD內(nèi)一點，則（）

A.一定不存在點E,使AE〃平面PCD

B.一定不存在點E,使尸平面ACE

TT

C.以。為球心，半徑為2的球與四棱錐的側(cè)面尸AD的交線長為一

3

D.目+|E同的最小值與

【答案】ACD

【解析】

【分析】建立坐標系，利用空間向量判斷A,B,把PC5展開到同一平面內(nèi)計算判斷D,求出球

面與dPAD,-PAB的交線，再借助對稱計算判斷C即可.

【詳解】對于A,在四棱錐P—A5CD中，2D，面ABC。，因為DADCu面ABCD,

所以PDLDAP。，。。,

因為底面A5CD是正方形，所以。A_LDC,

以。為原點，射線DADC,。尸分別為蒼％z軸非負半軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則4（2,0,0）,3（2,2,0）,。（0,2,0）,。（0,0,2有），

設(shè)而=4而=4（2,2,—2⑹=修4,22,-2A/32）,2G（0,1）,

AE=PE-PA=（2A,22,-2732）-（2,0,-273）=（22-2,22,2君-2732）,

顯然面PCD一個法向量為DA=（2,0,0）,而D4-AE=4X—4<0，

即D4,AE不垂直，所以與平面PCD不平行，故A正確；

對于B,又AC=（—2,2,0）,PB=（2,2,—26），

所以AC-P3=—4+4+0=0，即AC,尸5，

若AE.P5=42—4+4/1—2/（26—2后）=202—16=0,則X=ge（0,l）,

所以存在點E,使得AELPB,

又AEcAC=A,AE,ACu平面ACE,所以平面ACE,故B錯誤；

對于C,由題意球面與Rt^B4￡>的交線如圖中圓弧〃，

TTJT

而DJ=DI=DA=2,/PAD=—,所以N/DJ="

36

JTJT

所以圓弧〃的弧長為一x2=—,故C正確；

63

對于D,由于9_1面/18。。，ABu面ABCD,所以？D,A3，

而ABLAD,PD4。=￡),即,4￡><=面正4￡),所以AB1面0A。，

又以匚面B4。，所以A5LQ4，

同理CB_LP￡),且PA=PC=J12+4=4,

把」PA3,一PCfi展開到同一平面內(nèi)，要使|AE|+|EE|取得最小值，當且僅當點尸在PC上，且

AF±PC,如圖，

因為AB=2,所以由勾股定理得PB=J16+4=2百，

所以sin/BPA=美=9，cosZBPA==羋，

而ZBPA=ZBPC,所以sinZAPF=sin2NBPA=2x—x正=

555

所以(仙目+但目心=\AF\=\PA\'sinZAPF=4xj=y,故D正確.

故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及空間圖形中幾條線段和最小的問題，把相關(guān)線段所在的平面圖形展開并放在同

一平面內(nèi)，再利用兩點之間線段最短解決是關(guān)鍵.

12.己知函數(shù)〃x)=-------e%x>l),g(x)=---1114工>1)的零點分別為/、4,則下列結(jié)論正確

X1X1

的是()

11

一+——1

A.x.=lnx2B.=1

X]x2

C.%!+x2>4D,X[X2<e

【答案】ABC

【解析】

【分析】分析可知，函數(shù)＞=*的圖象關(guān)于直線y=x對稱，利用圖象的對稱性可判斷A選項；由

X—L

言pe'f化簡可判斷B選項；由基本不等式可判斷C選項；利用不等式的基本性質(zhì)可判斷D選項.

【詳解】對于函數(shù)＞=告，可得(x—l)y=x,可得尤(丁—l)=y,則％=

所以，函數(shù)＞的圖象關(guān)于直線,=%對稱，

X—L

由=—ex=o(x＞l),得

X~1X~1

YX

由=------lnx=o(x＞l),得ln%=——,

x-1x-1

作出函數(shù)＞=/、y=lnx、＞■的圖象如下圖所示：

X—L

由對稱性可知，點關(guān)于直線V=無對稱,

對于A選項，%!=lnx2,%2二。甌，A對；

x

}x1

對于B選項，由-----=e=X,可得再%2-％2=再，所以，再入2=%2+%1，

七一12

11X,+%1

故一+—=4---=1,B對;

石x2xrx2

對于C選項，石再=X?＞1,由=%2+X］可得玉=2玉,則再—X?=2,

這與e*即e?=2矛盾，所以，石

/

11、

%+%2=（再+尤2）—+—=2+土+寇＞2+2,工三=4,C對;

xxx不

1279%2

V1

對于D選項，因為占＞1,x2=e＞e,由不等式的基本性質(zhì)可得X々＞e,D錯.

故選：ABC.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵分析出函數(shù)y的圖象關(guān)于直線丁=%對稱，以及同底數(shù)的指數(shù)

函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的對稱性來得出等量關(guān)系，再利用不等式的基本性質(zhì)求解.

非選擇題部分（共90分）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.過尸（1,退+1）、Q（3,36+1）兩點的直線的斜率為.

【答案】73

【解析】

【分析】利用兩點間的斜率公式可得出直線尸。的斜率.

【詳解】由己知可得kpQ=（3百+1）-（G+1）=6.

故答案為：6

14.在直三棱柱ABC-431cl中，AB=2,AC=20，BC=4,A&=8,則該直三棱柱的外接球的

表面積為.

【答案】8071

【解析】

【分析】將直三棱柱A3C-4與￡補成長方體ABDC-A42G，求出該直三棱柱的外接球的直徑，利用

球體的表面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】因為AB=2,AC=2百，BC=4,則A3?+AC?=臺。2,則他工人。，

將直三棱柱A3C-4與￡補成長方體43。。一44。?！溉缦聢D所示：

所以，直三棱柱ABC-AgG的外接球直徑為2R=JAB2+AC2+A&2=14+12+64=4百,

因此，該直三棱柱外接球的表面積為4兀友=7Cx(2R)2=80兀.

故答案為：8071.

15.己知函數(shù)/(%)=$足,》+1]+5也。%(0〉0)在[0,兀|上的值域為與市,則實數(shù)①的取值范圍

是.

「12]

【答案】

【解析】

【分析】先把函數(shù)化成/(x)=Asin(0x+0)的形式，再根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間上的值域求。的取值范圍.

(Dx+—\-\-sina)x=sina>xcos—+coscoxsin—+sincox

=sincox^-+costyx^--6sin\a>x+y

22I6J

7C7L7L

又0<X<71—VCOX~\VCOTlH.

666

因為(x)<sinf&>x+—^<1=>—<a)7i+—<—=>—<?<—.

22(26633

故答案為：耳

22

16.已知雙曲線C：(―￡=1(?！?8〉0)的右頂點，右焦點分別為A,F,過點A的直線/與C的一條

漸近線交于點尸，直線尸尸與C的一個交點為。，-(OP+OF^OA+OPOF=Q,且。尸=5戶戶，

則C的離心率為.

［答案］4+而'

5

【解析】

【分析】先根據(jù)條件：。4?—(。尸+。尸＞。4+。尸?。尸=0,可確定尸點坐標，再根據(jù)條件：

QP=5FP可確定。點坐標，依據(jù)Q在雙曲線上可求出雙曲線的離心率.

【詳解】如圖:

)=a(c—a)

所以：(c-a)/=a(c-a)n%=a.

所以P點坐標為(。力).，所以B4_Lx軸.

過P作x軸的垂線，過。作Q4軸的垂線，相交于E點.

則.QA尸?.PEQ,又QP=5FP,所以(a-q/一%)=5(a—c,Z?),可得。點的坐標為

(5c-4a,-4/?),

因為。在雙曲線C上，所以(5。-4a)4b)=i=25e2—40e—l=0=e=4+g或

a2b25

e=4-V17(舍去).

5

故答案為4+后.

5

【點睛】方法點睛：求雙曲線的離心率，常見的方法有兩種：

(1)求出。，c,利用e=￡求出離心率；

a

(2)根據(jù)條件得到關(guān)于a,b,C的齊次式，結(jié)合82=。2—02和e=￡,解方程可得e的值.

a

四、解答題：本題共6小題，第17題10分，第18-22題每題12分，共70分.解答應(yīng)寫出文

字說明，證明過程或演算步驟.

17.設(shè)函數(shù)/(x)=sinx-cosx(xeR).

(1)求函數(shù)y=的最小正周期；

(2)求函數(shù)y=/(x)在上的最大值.

【答案】(1)2兀

(2)1

【解析】

【分析】(1)化簡函數(shù)/(X)的解析式，可得出函數(shù)y=+的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期公式

V2J

(兀、

可求得函數(shù)y=/x+不的最小正周期；

k2)

(2)由0<x<］求出x-：的取值范圍，再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)/(%)在。卷上的最大

值.

【小問1詳解】

解：因為/(x)=sinx-cosx=J^sin(x-：］,

則小+邪攻sin"升:二夜sin(x+：

(兀、

故函數(shù)》=/無+不的最小正周期為2Tl.

【小問2詳解】

解：當0<x<巴時，—巴Kx—色《四，

2444

所以，函數(shù)“X)在og上單調(diào)遞增，故/(x)1mx=/[U=0sin5=l.

18.如圖，在/ABC中，已知AB=2,AC=4,ZBAC=60°,M,N分別為AC,BC上的兩點

AN=-AC,BM：BC,AM,BN相交于點P.

23

（1）求[AM]的值；

（2）求證：AM±PN.

【答案】（1）生8

3

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）用AB、AC表示AM，再根據(jù)數(shù)量積的定義及運算律計算可得;

（2）用AB、AC表示AM，、BN＞根據(jù)數(shù)量積的運算律求出AM-BN，即可得證.

【小問1詳解】

因為

11Q1

所以AM=AB+3M=AB+—3C=AB+—(AC—AB)=—AB+—AC,

33、733

所以|AM「=(2AB+』AC]=-AB2+-AB-AC+-AC2=-X4+-X2X4X-+-X16=—,

II^33J99999293

所以|AM|=#；

【小問2詳解】

因為AN=

2

所以5N=3A+AN=-AB+，AC,

2

(21(1)221221

所以AAT5N=—A3+—AC?-A5+—AC=——AB+-AC=——x4+—xl6=0,

133Jv2J3636

所以AMLBN，即40L5N,所以AMLPN.

19.樹人中學(xué)從參加普法知識競賽的1000同學(xué)中，隨機抽取60名同學(xué)將其成績（百分制，均為整數(shù)）分成

[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]六組后得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形

中的信息，回答下列問題：

頻率

1101

0.035-

0.030-

0.025-------------------------------

0.020-

0.015-----------1_-

0.010----------

0.005------------------------------------

405060708090100^數(shù)

(1)補全頻率分布直方圖，并估計本次知識競賽成績的眾數(shù)；

(2)如果確定不低于88分的同學(xué)進入復(fù)賽，問這1000名參賽同學(xué)中估計有多少人進入復(fù)賽；

(3)若從第一組，第二組和第六組三組學(xué)生中分層抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求所抽取的2

人成績之差的絕對值小于25的概率.

【答案】(1)補全頻率分布直方圖見解析；估計眾數(shù)為75.

(2)100

⑶2

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中各矩形的面積之和為1,求出[70,80)組的頻率，可補全頻率分布直

方圖，由此估計本次知識競賽成績的眾數(shù)；

(2)由頻率分布直方圖求出成績不低于88的頻率，由此估計進入復(fù)賽的人數(shù)；

(3)根據(jù)分層抽樣求出各組抽取的人數(shù)，再用古典概型求出所抽取的2人成績之差的絕對值小于25個概

率.

【小問1詳解】

[70,80)組的頻率為：1-(0.01+0.015+0.015+0.025+0.005)x10=0.3.

所以補全頻率分布直方圖為:

頻率

AMse

0.035-

0.030-------------------------

0.025--------------------------------

0.020-

0.015-----------I一~-

0.010------------

0.005-------------------------------------

405060708090100^數(shù)

因為［70,80）組對應(yīng)的小矩形最高，

所以估計本次知識競賽成績的眾數(shù)為亞士處=75.

2

【小問2詳解】

由頻率分布直方圖得分數(shù)不低于88分的頻率為：

90-88

------x0.025x10+0.005x10=0.1.

10

所以這1000名參賽同學(xué)中估計進入復(fù)賽的人數(shù)為：1000x0.1=100.

【小問3詳解】

從第一組，第二組和第六組三組同學(xué)中分層抽取6人，

因為第一、二、六組的頻率之比為2:3:1,

231

所以第一組抽取6x—=2人，第二組抽取6x^=3人，第六組抽取6x—=1人.

666

設(shè)這6人分別為：從這6人中任選2人的抽法有：

44，414，岫2,a也，a2bl,ajb2,a2b3，出。,4打，44，白仇名，仇b3c

基本事件總數(shù)〃=15,

所抽取的2人成績之差的絕對值小于25包含的基本事件有：

01a2,。占,a?,01b3,a2bl,a2b2,a2b3,b?,bib3,b2b3,

基本事件個數(shù)個數(shù)m=10.

vn102

所以所抽取的2人成績之差的絕對值小于25的概率為P=-=—=-.

〃153

20.如圖，在多面體ABCDEE中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，EF//AD,AE=2EF=2,

/FAD=120，平面平面ABC。.

E

（1）求證：BDLCF；

（2）求平面ABE與平面應(yīng)＞尸所成銳角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵叵

4

【解析】

【分析】（1）連接AC、AF＞推導(dǎo)出AFLAD，利用面面垂直的性質(zhì)可得出AB工平面ADEE,可得出

AF±AB,推導(dǎo)出平面A8CD，可得出B￡）_LA產(chǎn)，利用正方形的性質(zhì)可得出8。，AC,可得出

8D1平面ACW，再利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；

（2）以點A為坐標原點，AB.AD，"所在直線分別為無、＞、z軸建立空間直角坐標系，利用空間

向量法可求得平面A5E與平面BDF所成銳角的余弦值.

【小問1詳解】

證明：連接AC、A/，

因為四邊形ABC。為正方形，則6。，AC,AB±AD,

因為EF=1，AE=2,NEW=120，EF//AD,則NAEP=6O°，

由余弦定理可得4尸2=石/2+4石2—24￡?跖＜：0560=l+4-2xlx2x-=3,

-2

所以，AF2+EF-=AE2＞則AF_LEF，則AF_LAD，

因為平面A￡＞EE_L平面ABCD,平面ADFEi平面ABCD=AZ）,AB±AD,

ABu平面ABCD，則AB/平面ADEE,

因為A尸u平面ADEE,則APLAB,

因為A5cAD=A,AB、AOu平面ABC。，則AR,平面ABC。，

因為50u平面ABC。，則3D，A尸，

因為AbAC=A,AF＞ACu平面ACE,則1平面ACE,

因為Cbu平面ACE,則班）

【小問2詳解】

解：因為ARJ_平面ABC。，AB±AD,以點A為坐標原點，

AB，AD，■所在直線分別為無、＞、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,

則4（0,0,0）、6（2,0,0）、￡＞（0,2,0）、F（0,0,6）、E（0,—1,6），

設(shè)平面ABE的法向量為m=（石，%,zj,AB=（2,0,0）,AE=（0,-1,73）,

AB=2x=0

則彳}廠，取4=1,可得7"=(O,G,",

m-AE=-yx+y/3zl=0

設(shè)平面3D戶的法向量為〃=（X2，%，Z2），DB=（2,-2,0）,DF=（0,-2,^）,

n-DB-2X2—2y2=0

則取%=百，可得〃=（指，石,2）

n-DF=-2y2+A/3Z2=0

m,n5

所以,cosm,n=?~1心

|mp|n|2回_4

因此，平面ABE與平面應(yīng)＞尸所成銳角的余弦值為?

4

21.如圖，在圓爐+產(chǎn)=4上任取一點尸，過點尸作x軸的垂線段p￡）,。為垂足，且滿足P￡）=CM￡）.當

點尸在圓上運動時，M的軌跡為Q.

（1）求曲線。的方程;

⑵點4（2,0）,過點A作斜率為女傳。0）的直線/交曲線。于點B,交丁軸于點C.已知G為A5的

中點，是否存在定點。，對于任意左（左。0）都有。G，。。，若存在，求出點。的坐標；若不存在，請

說明理由.

22

【答案】(1)—+^=1

42

（2）存在，且點Q（1,O）

【解析】

xQ=x

【分析】（i）設(shè)點「（％,%）、〃（羽?。?，則。（九。，。），根據(jù)平面向量的坐標運算可得出＜）。=岳’代入

等式焉+$=4化簡可得出曲線。的方程;

（2）記加=工/0,則直線/的方程可化為x=/ny+2,將該直線方程與曲線。的方程聯(lián)立，求出點B的坐

k

標，進而求出點G的坐標，求出及點C的坐標，根據(jù)C。，0G可求出直線CQ的方程，即可得出直線

CQ所過定點的坐標，即為所求的點

【小問1詳解】

解:設(shè)點尸（面,%）、M（%,y）,則。（卬0）,

A/2(X0—%)=0

因為1PD=6.MD,貝i|（O,—%）=血（天一羽一?。?則＜

一%=-\fly

x=X

所以，《Q

%=5’

22

2

因為點尸在圓￡+y2=4,則考+$=4,所以，X+2/=4,整理可得上+匕=1.

--42

22

因此，曲線。的方程為土+匕=1.

42

小問2詳解】

解：存在，理由見解析.

記加=2H0,則直線/的方程為x=my+2,

k

x=my+2

4m2八4—2m2

聯(lián)立卜2+2/=4可得（m2+2)y2+4my=0,解得y=——,則x=—1—+2=———

7m+2m2+2m2+2

"0

2mf丁m

m2+2，貝qkoG=--

-12

因為。G_LC。，則上。=一1—=一，

化OGm

c2即點C10,---

在直線1=切+2中，令％=0,可得y=——，

m\m

222

所以，直線CQ的方程為了=—x=—(%—1),

mmm

所以，存在定點。(1,0)，使得c。LOG.

【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：

(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；

(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方

程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；

(3)求證直線過定點(％,%),常利用直線的點斜式方程y—%=左(?！?)或截距式＞=區(qū)+6來證明?

22.已知函數(shù)/(%)和g(x)的定義域分別為2和2，若對任意玉)e2,恰好存在幾個不同的實數(shù)

Xi，/，玉CD2,使得g(%)=/(X0)(其中i=及，及eN*),則稱g(x)為/(%)的“九重覆蓋函

(1)判斷g(x)=f—2x+l,(龍目0,4])是否為/(尤)=尤+4(尤e[0,5])的“〃重覆蓋函數(shù)”，如果是,求

出”的值；如果不是，說明理由.

ctx~+(2tz_3)x+l,—2Kx〈12工+2

(2)若g(x)=<I),為〃x)=log,"4,的"2重覆蓋函數(shù)”，求實數(shù)。的

x-l,x>l2X+1

取值范圍;

(3)函數(shù)國表示