分式與二次根式（基礎(chǔ)鞏固）-2021年中考數(shù)學(xué)一輪基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)和鞏固提升訓(xùn)練

考向03分式與二次根式一基礎(chǔ)鞏固

【知識梳理】

考點一、分式的有關(guān)概念及性質(zhì)

1.分式

設(shè)A、B表示兩個整式.如果B中含有字母，式子三就叫做分式.注意分母B的值不能

B

為零，否則分式?jīng)]有意義.

2.分式的基本性質(zhì)

4=上史4="曳(M為不等于零的整式).

BBxMBM

3.最簡分式

分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式.如果分子分母有公因式,要進(jìn)行約分化簡.

方法指導(dǎo)：

分式的概念需注意的問題：

(1)分式是兩個整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分?jǐn)?shù)線則可以理解

為除號，還含有括號的作用；

(2)分式4中，力和方均為整式，/可含字母，也可不含字母，但6中必須含有字母

B

且不為0；

(3)判斷一個代數(shù)式是否是分式，不要把原式約分變形，只根據(jù)它的原有形式進(jìn)行判

斷.

A

(4)分式有無意義的條件：在分式三中，

B

①當(dāng)6W0時，分式有意義；當(dāng)分式有意義時，肝0.

②當(dāng)廬0時，分式無意義；當(dāng)分式無意義時，廬0.

③當(dāng)且/=0時，分式的值為零.

考點二、分式的運算

1.基本運算法則

分式的運算法則與分?jǐn)?shù)的運算法則類似,具體運算法則如下：

bcb±c

(1)加減運算一土一=——

aaa

同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.

a.cad±bc

一土一=-------；

bdbd

異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進(jìn)

行計算.

acac

(2)乘法運算—.—=—■

bdbd'

兩個分式相乘,把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.

acadad

(3)除法運算

bdbcbe'

兩個分式相除,把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.

(4)乘方運算守(分式乘方)

分式的乘方，把分子分母分別乘方.

2.零指數(shù)a°=】(awO).

3.負(fù)整數(shù)指數(shù)為正整數(shù))

af

4.分式的混合運算順序

先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的.

5.約分

把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分.

約分需明確的問題：

(1)對于一個分式來說，約分就是要把分子與分母都除以同一個因式，使約分前后分式

的值相等；

(2)約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式，其思考過程與分解因式中提取公因

式時確定公因式的思考過程相似；在此，公因式是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母

最低次塞的積.

6.通分

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，異分母的分式可以化為同分母的分式,這一過程稱為分式的通分.

通分注意事項：

(1)通分的關(guān)鍵是確定最簡公分母；最簡公分母應(yīng)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有因

式的最高次累的積.

(2)不要把通分與去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟掉.

(3)確定最簡公分母的方法：

最簡公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；

最簡公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幕的積.

方法指導(dǎo)：

分式運算的常用技巧

(1)順序可加法：有些異分母式可加，最簡公分母很復(fù)雜，如果采用先通分再可加的方

法很繁瑣.如果先把兩個分式相加減,把所得結(jié)果與第三個分式可加減，順序運算下去,極為

簡便.

(2)整體通分法：當(dāng)整式與分式相加減時,一般情況下,常常把分母為1的整式看做一個

整體進(jìn)行通分，依此方法計算,運算簡便.

(3)巧用裂項法：對于分子相同、分母是相鄰兩個連續(xù)整數(shù)的積的分式相加減，分式的

項數(shù)是比較多的，無法進(jìn)行通分，因此，常用分式一--=--—匚進(jìn)行裂項.

n(n+1)nn+1

(4)分組運算法：當(dāng)有三個以上的異分母分式相加減時,可考慮分組,原則是使各組運算

后的結(jié)果能出現(xiàn)分子為常數(shù),且值相同或為倍數(shù)關(guān)系,這樣才能使運算簡便.

(5)化簡分式法：有些分式的分子、分母都異常時如果先通分，運算量很大.應(yīng)先把每一

個分別化簡，再相加減.

(6)倒數(shù)法求值(取倒數(shù)法).

(7)活用分式變形求值.

(8)設(shè)在求值法(參數(shù)法)

(9)整體代換法.

(10)消元代入法.

考點三、分式方程及其應(yīng)用

1.分式方程的概念

分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

2.分式方程的解法

解分式方程的關(guān)鍵是去分母，即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方

程.

3.分式方程的增根問題

(1)增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方

程后，方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好使原方程

中分母的值為0,那么就會出現(xiàn)不適合原方程的根--增根；

(2)驗根：因為解分式方程可能出現(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗根.驗根的方法是將

所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0,如果為0,即為增根，不為0,就是原

方程的解.

4.分式方程的應(yīng)用

列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，但要稍復(fù)雜一些.解題時應(yīng)抓住

“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知

量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進(jìn)行求解.另外，還要注意從多角度思考、分

析、解決問題，注意檢驗、解釋結(jié)果的合理性.

方法指導(dǎo)：

解分式方程注意事項：

(1)去分母化成整式方程時不要與通分運算混淆；

(2)解完分式方程必須進(jìn)行檢驗，驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看

它是否為0,如果為0,即為增根，不為0,就是原方程的解.

列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：

(1)審一一仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系；

(2)設(shè)一一合理設(shè)未知數(shù)；

(3)列一一根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

(4)解一一解出方程；

(5)驗一一檢驗增根；

(6)答一一答題.

考點四、二次根式的主要性質(zhì)

1.\fa>0(a>0)；

2.(6)=a(a20)；

r-r[a(a>0)

3.a=||=s；

-a(a<0)

4.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：瓢=8?瓜aNO,620)；

[a_\[a

5.商的算術(shù)平方根的性質(zhì):&二忑(a>0,b>0).

6.若a>Z?20,則&〉振.

方法指導(dǎo)：

(7%y與的異同點：

(1)不同點：(、G)2與"表示的意義是不同的，(?)2表示一個正數(shù)a的算術(shù)平方

根的平方，而?！霰硎疽粋€實數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在(能)2中420,而"中a

可以是正實數(shù)，0,負(fù)實數(shù).但(、。)2與肝都是非負(fù)數(shù)，即(出尸20，用紗因而

它的運算的結(jié)果是有差別的，(&)2=40之0)，而"MH：，叱上

⑵相同點：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即心0時，(后2="；。<0時，函)2無

意義，

而G=F.

考點五、二次根式的運算

1.二次根式的乘除運算

(1)運算結(jié)果應(yīng)滿足以下兩個要求：①應(yīng)為最簡二次根式或有理式；②分母中不含根號.

(2)注意知道每一步運算的算理；

(3)乘法公式的推廣：

??也7=1al?4?\，>0,a2>0,a3>0,,an>0)

2.二次根式的加減運算

先化為最簡二次根式，再類比整式加減運算，明確二次根式加減運算的實質(zhì)；

3.二次根式的混合運算

(1)對二次根式的混合運算首先要明確運算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算

加減，如有括號，應(yīng)先算括號里面的；

(2)二次根式的混合運算與整式、分式的混合運算有很多相似之處，整式、分式中的運

算律、運算法則及乘法公式在二次根式的混合運算中也同樣適用.

方法指導(dǎo)：

怎樣快速準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式的混合運算.

1.明確運算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的；

2.在二次根式的混合運算中，原來學(xué)過的運算律、運算法則及乘法公式仍然適用；

3.在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)

的解題途徑，往往能收到事半功倍的效果.

(1)加法與乘法的混合運算，可分解為兩個步驟完成，一是進(jìn)行乘法運算，二是進(jìn)行加

法運算，使難點分散，易于理解和掌握.在運算過程中，對于各個根式不一定要先化簡，可

以先乘除，進(jìn)行約分，達(dá)到化簡的目的，但最后結(jié)果一定要化簡.

例如1信+后x瓜沒有必要先對后進(jìn)行化簡，使計算繁瑣，可以先根據(jù)乘

法分配律進(jìn)行乘法運算，1倡+3XV6=^X6+A/2^6=1+273,通過約分達(dá)

到化簡目的；

(2)多項式的乘法法則及乘法公式在二次根式的混合運算中同樣適用.

如：(G+后)(6-0)=(6『一(0『=1,利用了平方差公式.

所以，在進(jìn)行二次根式的混合運算時，借助乘法公式，會使運算簡化.

4.分母有理化

把分母中的根號化去，分式的值不變，叫做分母有理化.兩個含有二次根式的代數(shù)式相

乘，若它們的積不含二次根式，則這兩個代數(shù)式互為有理化因式.

常用的二次根式的有理化因式：

(1)與直互為有理化因式；

(2)〃+芯與互為有理化因式；一般地a+cJF與互為有理化因式；

(3)&+與&-揚互為有理化因式；一般地+與。&-4揚互為有

理化因式.

【基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練】

一、選擇題

x

1.下列各式與一相等的是()

y

2.化簡：（a+包二1）的結(jié)果等于（）

a-3a-2

A.a-2B.a+2C.a-ZD.a-0

a-3a-2

Y2-1

3.若分式上」的值是0,則乂為（）

x+1

A.0B.1C.-lD.±1

4.下列計算正確的是（）

A,V8-V2=V2B.國一凡—

3

C.（2+75）（2-75）=1D6-V|=3^-

V2

5.在實施“中小學(xué)生蛋奶工程”中，某配送公司按上級要求，每周向?qū)W校配送雞蛋

10000個，雞蛋用甲、乙兩種不同規(guī)格的包裝箱進(jìn)行包裝，若單獨使用甲型包裝箱比單獨使

用乙型包裝箱可少用10個,每個甲型包裝箱比每個乙型包裝箱可多裝50個雞蛋，設(shè)每個甲

型包裝箱可裝x個雞蛋，根據(jù)題意下列方程正確的是（）

1000010000

A.--------=10

xx+50

1000010000⑺

B.--------=10

x-50x

°1000010000

C.-------=10

xx-50

1000010000

D.--------=10

%+50x

6.函數(shù)y=，2-％+一匚中自變量x的取值范圍是（）

x-3

A.xW2B.A=3

C.x<2且xW3D.xW2且xW3

二、填空題

7.下列分式中，不屬于最簡分式的，請在括號內(nèi)寫出化簡后的結(jié)果，否則請在括號內(nèi)

打“J

①w__在告③—⑷二⑤.

22

2xx+lx-1x-1a+b

122

8.化簡+的結(jié)果是.

m-9m+3

9.某同學(xué)步行前往學(xué)校時的行進(jìn)速度是6千米/時，從學(xué)校返回時行進(jìn)速度為4千米/

時，那么該同學(xué)往返學(xué)校的平均速度是千米/時.

十中,是最簡二次根式的有.

10.在.個?

11.若最簡二次根式4/不與2A/3x+5是同類二次根式,則X的值為.

/“2_12

12.(1)把“"二‘化簡的結(jié)果是

V27

（2）估計曲xg+的運算結(jié)果應(yīng)在之間.（填整數(shù)）

三、解答題

13.計算：(/

屋-b2a2-aba+b

14.(1)已知：a二6+1,求/+〃+1

的值.

2a6

(2)已知：725-x2-A/15-X2=2,求,25-/+J15—d的值.

15.在“情系地震”捐款活動中，某同學(xué)對甲、乙兩班捐款情況進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下三

條信息.

信息1：甲班共捐款300元，乙班共擋捐款232元.

信息2:乙班平均每人捐款錢數(shù)是甲班平均每人捐款錢數(shù)的士4.

5

信息3:甲班比乙班多2人.

請根據(jù)以上三條信息,求出甲班平均每人捐款多少元.

16.已知y=g+k+求x42m的值.

答案與解析

一、選擇題

1.【答案】C；

【解析】化簡鳥=2.

yy

2.【答案】B；

【解析】a(a-3)+3a-4.a-2-l=(a+2)切-2).士J+2.故選B.

a-3a-2a-3a-2

3.【答案】B；

尤2_1_n

【解析】分式的值為0‘貝I」'解得X=l.

%+1。0,

4.【答案】A；

【解析】根據(jù)具體選項，應(yīng)先進(jìn)行化簡，再計算.A選項中，曲-虎=2后-收=￡

B選若可化為￡1二冥1—=3,c選項逆用平方差公式可求得

33

(2+y/5)(2-百=4-5=-1,而D選項應(yīng)將分子、分母都乘0,得還二2=30-1.

2

故選A.

5.【答案】B；

【解析】設(shè)每個甲型包裝箱可裝x個雞蛋，

1000010000

----------------------=10.

x-50x

故選B.

6.【答案】A；

【解析】2-x20,；.xW2,3不在xW2的范圍內(nèi).

二、填空題

7.【答案】X,J,X,X,V；

【解析】①_1=2；

2xx

②一緝是最簡分式；

2

x+l

③_x-l=_____￡22_____」；

X2-1(X-1)(x+1)x+1

④口-1;

X-1

2,,2

⑤且土是最簡分式；

a+b

只有②⑤是最簡分式.故答案為：x,J,X,X,V.

2

8.【答案】——

m-3.

【解析】找到最簡公分母為（研3）（獷3）,再通分.]

9.【答案】4.8；

【解析】平均速度=總路程+總時間，設(shè)從學(xué)校到家的路程為s,則

_3^_^4^_245_24_48

￡+￡35+255s5

46

10.【答案】3；

【解析】好淌,荷苗是最簡二次根式.

2

11.【答案】T;

【解析】根據(jù)題意得x+3=3x+5,解得廣-1.

12.【答案】（1）—；(2)3和4；

3

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