山西省運(yùn)城市鹽湖區(qū)2024屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

山西省運(yùn)城市鹽湖區(qū)2024屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若［a+工］的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則二項(xiàng)式展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為（）

A.85B.84C.57D.56

2.已知等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為乂，且%=-2,必=1。，則Sg=()

A.45B.42C.25D.36

3.若復(fù)數(shù)m（m-2）+（m2-3m+2）z是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（）

A.0或2B.2C.0D.1或2

4.已知雙曲線C：斗=1（。>0力>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1,B，尸為雙曲線C上一點(diǎn)，。為雙曲線C漸近

a"b~

線上一點(diǎn)，P,。均位于第一象限，且2QP=PF2,QF｝QF2=0,則雙曲線C的離心率為（）

A.73-1B.6+1C.713+2D.V13-2

5.設(shè)a=ln3,則人=lg3,則（）

A.a+b>a-b>abB.a+b>ab>a-bC.a-b>a+b>abD.a-b>ab>a+b

6.若復(fù)數(shù)z滿足z（l-2，）=10,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

7.如圖，在AABC中，點(diǎn)。為線段AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P為線段BQ上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，則尸A+尸。=

（）

Q

P

B

I2571-1027

A.—BA+—BCB.-BA+-BCC.-BA+—BCD.-BA+-BC

33999999

8.已知在A45C中，角的對邊分別為名4c,若函數(shù)/（x）+g公2+；（/存在極值，則

角B的取值范圍是（）

9.已知雙曲線C：二一與=1(a>0,Z?>0)的右焦點(diǎn)與圓M：(x—2)2+/=5的圓心重合，且圓加被雙曲

ab

線的一條漸近線截得的弦長為2應(yīng)，則雙曲線的離心率為()

A.2B.72C.73D.3

10.已知拋物線C：y2=2px(。>0)的焦點(diǎn)為b，%］為該拋物線上一點(diǎn)，以〃為圓心的圓與C的準(zhǔn)線

相切于點(diǎn)A,NAMF=120。，則拋物線方程為()

A.y2=2xB.y2-4xC.y2~6xD.y2=8x

11.2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國成立70周年，小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨(dú)立完成一

幅十字繡贈送給當(dāng)?shù)氐拇逦瘯?，這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國富民強(qiáng)”、“興國之路”，為了弄清“國富民強(qiáng)”

這一作品是誰制作的，村支書對三人進(jìn)行了問話，得到回復(fù)如下：

小明說：“鴻福齊天”是我制作的；

小紅說：“國富民強(qiáng)”不是小明制作的，就是我制作的；

小金說：“興國之路”不是我制作的，

若三人的說法有且僅有一人是正確的，貝！1“鴻福齊天”的制作者是()

A.小明B.小紅C.小金D.小金或小明

12.設(shè)集合A={1,2,6},5={—2,2,4},C={xeR|—2<龍<6},貝！J(AC=()

A.{2}B.{1,2,4)

C.{1,2,4,6}D.{xeR|-l<x<5}

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13.如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是二，則"=,該幾何體的表面積為.

3

I*-2*1H-2*|

F

14.數(shù)列｛4｝滿足遞推公式%,+2=4+a“+i,且4=%a2Ol9-a2020=2020,貝!1al?+4+...+。短=_________.

15.如圖，棱長為2的正方體ABC。-AgG。中，點(diǎn)M,N,E分別為棱AA，A3,A。的中點(diǎn)，以A為圓心，1為半

徑，分別在面和面ABCD內(nèi)作弧和NE,并將兩弧各五等分，分點(diǎn)依次為M、月、鳥、鳥、鳥、N

以及N、。1、0、。3、04、E.一只螞蟻欲從點(diǎn)6出發(fā)，沿正方體的表面爬行至。4,則其爬行的最短距離為

.參考數(shù)據(jù)：cos9°=0.9877；cos18°=0.9511；cos27°=0.8910）

16.對任意正整數(shù)“，/（?）=2H3-7n2cosnjv-An-i,若/⑵》0,則彳的取值范圍是；若不等式

/（九）20恒成立，則2的最大值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在三棱柱ABC-45cl中，AC,3C,A3，33],AC=5C=3g，。為A3的中點(diǎn)，且CD，DA.

（1）求證：55]，平面ABC；

(2)求銳二面角C—OR—G的余弦值?

22

18.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓c：與+]=a〉b〉O)的離心率為;，且過點(diǎn)(0,6).

a2b2

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知ABMN是橢圓C的內(nèi)接三角形，

①若點(diǎn)3為橢圓。的上頂點(diǎn)，原點(diǎn)。為△5W的垂心，求線段MN的長；

②若原點(diǎn)。為ABMN的重心，求原點(diǎn)。到直線MN距離的最小值.

x=y/3+t

19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為《廣。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半

y=-y/3t

軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=4cos，.

(1)求直線/的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；

11

(2)設(shè)點(diǎn)河(0,3),直線/與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,求京有+六百的值.

20.(12分)設(shè)拋物線。:丁2=2°式°〉0)的焦點(diǎn)為b，準(zhǔn)線為/,A3為過焦點(diǎn)歹且垂直于x軸的拋物線C的弦，

已知以A6為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)(-1,0).

(1)求。的值及該圓的方程；

(2)設(shè)M為/上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作。的切線，切點(diǎn)為N,證明：MFLFN.

33

21.(12分)設(shè)/(%)=(〃-4)log.%-----x+----(。〉0且awl).

一a—1a—1

(1)證明:當(dāng)a=4時(shí)，lnx+/(x)<0；

(2)當(dāng)時(shí)/(x)W0,求整數(shù)。的最大值.(參考數(shù)據(jù)：歷2Mo.69,小310,/?5?1.61,Zn7?1.95)

22.(10分)以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位,

x20

建立極坐標(biāo)系，已知曲線C1：0sinH+5卜=cos

-應(yīng),曲線。2：＜b=sin.,為參數(shù)），求曲線G，G交點(diǎn)的直角坐標(biāo)?

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

先求〃，再確定展開式中的有理項(xiàng)，最后求系數(shù)之和.

【詳解】

解：的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256

故2"=256，n=8

8-r8-4廠

r

Tr+l=C；x~x-=C"=

要求展開式中的有理項(xiàng)，則r=2,5,8

則二項(xiàng)式展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為：C；+《+C；=85

故選：A

【點(diǎn)睛】

考查二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)及展開式中有理項(xiàng)系數(shù)的確定，基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知％+a9=a2+外,進(jìn)而代入等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和的公式即可.

【詳解】

9（4+佝）9（4+為）9x（-2+10）

出題,=---------=---------=-----------=JO.

222

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的前"項(xiàng)和.

3、C

【解析】

試題分析：因?yàn)閺?fù)數(shù)機(jī)（加一2）+?！?一3根+2"是純虛數(shù)，所以加（加―2）=0且m2一3m+2/0,因此機(jī)=0.注意不

要忽視虛部不為零這一隱含條件.

考點(diǎn)：純虛數(shù)

4、D

【解析】

22

由雙曲線的方程工-二=1的左右焦點(diǎn)分別為耳，鳥，P為雙曲線C上的一點(diǎn)，。為雙曲線C的漸近線上的一點(diǎn)，

ab

且P,Q都位于第一象限，且2QP=PF2,QFlQF2=Q,

可知P為的三等分點(diǎn)，且。￡，。月，

點(diǎn)。在直線法-3=0上，并且Q0=c,則Q（a,?,馬（GO）,

設(shè)P（無1，%）,則2（為一。,%-/?）=（。一七,一%）,

&力/口2a+c2b2b、

解得Xi=、—，乂=§，a即na：-，至）'

代入雙曲線的方程可得（2"+；）一—1=1,解得e=￡=而一2,故選D.

4a24a

點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重

要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出。，。，代入公式6=￡；②只需要

a

根據(jù)一個條件得到關(guān)于”,仇。的齊次式，轉(zhuǎn)化為。，c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式），

即可得e（e的取值范圍）.

5、A

【解析】

根據(jù)換底公式可得6=上且，再化簡a+b,a—比較In3/n10—1,In10+1的大小，即得答案.

In10

【詳解】

Z，=lg3=log103=^|）,

.?.i=ln3+U?”型In3_ln3（lnl0-l）

,a—b=In3一—,

In10In10InlOIn10

In3xIn3

ab=

In10

ln3>0,lnl0>0,^a+b>a-b.

3e<10,In(3e)<In10,即In3+1<In10,In3<In10-1,

In3xIn3In3(in10-1)

In10<InlO即

綜上，a+b>a-b>ab.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查換底公式和對數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題.

6、A

【解析】

化簡復(fù)數(shù)，求得z=2+4i,得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解.

【詳解】

1010(1+2?)0八

由題意，復(fù)數(shù)z滿足z(l-2，)=1。，可得z=「^=]I=2+4z,

l-2z(l-2z)(l+2z)

所以復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,4)位于第一象限

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何表示方法，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)的表示方法求解

是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

PA+PC=BA-BP+BC-BP=BA+BC-^BQ,將BQ=BA+AQ=BA+gaC,AC=BC—BA代入化簡即

可.

【詳解】

PA+PC=BA—BP+BC—BP=BA+BC―鼻BQ

=BA+BC-^(BA+AQ)

=-BA+BC--x-AC

333

1.257

=-BA+BC——(BC-BA)=-BA+-BC.

3999

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道中檔題.

8、C

【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)/'(x),由尸(?=。有不等的兩實(shí)根，即/>0可得不等關(guān)系，然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)

論.

【詳解】

f(X)—+~bx^+—(a2+C2—Xff\x)=+bx+—(a?+C?一.

若/⑺存在極值，則人4x%(a2+c2-涮>。，

又cos3="+1—匕,：cos3<4.又Be(Q,Ti),:.-<B<n.

2ac23

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，考查余弦定理.掌握極值存在的條件是解題關(guān)鍵.

9、A

【解析】

2b

由已知，圓心M到漸近線的距離為G，可得6=又0=2="+〃，解方程即可.

da2+/

【詳解】

由已知，c=2,漸近線方程為法土分=0,因?yàn)閳AM被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為2夜，

所以圓心M到漸近線的距離為次_(仿2=73=五+7="=6，故。===1，

所以離心率為e=f=2.

a

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線離心率的問題，涉及到直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道容易題.

10、C

【解析】

根據(jù)拋物線方程求得〃點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)AM//x軸、NAMF=120。列方程，解方程求得。的值.

【詳解】

不妨設(shè)〃在第一象限，由于M在拋物線上，所以方由于以〃為圓心的圓與C的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)A,根據(jù)

拋物線的定義可知，|肱4|=|物|、MA//X軸，且/仁,。］由于NAMF=120。，所以直線怵的傾斜角a為120,

-0/-11

所以％w=tanl2°=丁方=—'3,解得。=3,或。=工（由于工―'<0,。>1,故舍去）.所以拋物線的方程

———322

22

為>2=6%.

故選:C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查拋物線的定義，考查直線的斜率，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

11、B

【解析】

將三個人制作的所有情況列舉出來，再一一論證.

【詳解】

依題意，三個人制作的所有情況如下所示：

123456

鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金

國富民強(qiáng)小紅小金小金小明小紅小明

興國之路小金小紅小明小金小明小紅

若小明的說法正確，則均不滿足；若小紅的說法正確，則4滿足；若小金的說法正確，則3滿足.故“鴻福齊天”的制作

者是小紅，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.

12、B

【解析】

直接進(jìn)行集合的并集、交集的運(yùn)算即可.

【詳解】

解：AoJB={-2,l,2,4,6};

.,.（AoJB）nC={l,2,4}.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合描述法、列舉法的定義，以及交集、并集的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1；；+#

【解析】

試題分析:如圖：此幾何體是四棱錐,底面是邊長為.的正方形,平面一平面”CP，并且4d裳蛭=隔;，=

所以體積是旃=」浜，::將=之，解得口=1,四個側(cè)面都是直角三角形，所以計(jì)算出邊長，表面積是

孽與一

S=l:+-xlx2+lxlxJ5>-xlx2+lxlx^=3+^

考點(diǎn)：1.三視圖；2.幾何體的表面積.

14>2020

【解析】

a

可對an+l=?！?2-n左右兩端同乘以為用得=?！?~”+2-，

依次寫出d=,0"-1=>的=a2a3—可。2,累加可得%+%4卜4”='再

由4=%得d+al+a；+…+a；=anan+l,代入〃=2019即可求解

【詳解】

aaaaaa

n+l~n+2~n左右兩端同乘以勺+1有=%+。+2-%。用，從而~，,tl=n-\n-%.2%>

aa—

a￡—a2a3—%電>將以上式子累加得藥+4---—?n+i4電?

由％=a?得a；++f/j+?—a~—a”a,+i.令〃=2019>有a：++…+tzf019=ci70l9-￡12020=2020.

故答案為：2020

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列遞推式和累加法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

15、1.7820

【解析】

根據(jù)空間位置關(guān)系，將平面旋轉(zhuǎn)后使得各點(diǎn)在同一平面內(nèi)，結(jié)合角的關(guān)系即可求得兩點(diǎn)間距離的三角函數(shù)表達(dá)式.根據(jù)

所給參考數(shù)據(jù)即可得解.

【詳解】

棱長為2的正方體ABCD-中，點(diǎn)M,N,石分別為棱的中點(diǎn)，以A為圓心，1為半徑，分別在

面ABB^和面ABCD內(nèi)作弧MN和NE.

將平面ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)至與平面ABB,A,共面的位置，如下圖所示:

1QM

則NAAQ=-^-x8=144，所以田Qj=2sin72；

將平面ABC。繞AQ旋轉(zhuǎn)至與平面A。，4共面的位置，將A3與4繞441旋轉(zhuǎn)至與平面4共面的位置，如下

圖所示:

則N《AQ4=?x2+90=126，所以|勺以|=2sin63；

因?yàn)閟in63<sin72，且由誘導(dǎo)公式可得sin63=cos27，

所以最短距離為田Q|=2sin63=2x0.8910=1.7820,

故答案為：1.7820.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間幾何體中最短距離的求法，注意將空間幾何體展開至同一平面內(nèi)求解的方法，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)

用，綜合性強(qiáng)，屬于難題.

13

~2

【解析】

將〃=2代入求解即可；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),coswr=-1，則轉(zhuǎn)化/(〃)=2川+7"一九九—12o為幾42"+7〃一工,設(shè)

g(“)=2n2+7〃-L由單調(diào)性求得g(")的最小值；同理，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),cos切=1，則轉(zhuǎn)化

n

/(n)=2/—7"_九〃_120為九4—7〃—工,設(shè)h(x)=2x2-7x--U^2)，利用導(dǎo)函數(shù)求得h(x)的最小值,

rzx

進(jìn)而比較得到X的最大值.

【詳解】

由題,/(2)=16—28—24—120,解得4W—二

2

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),cos〃〃=—1,由/(")=2n3+71-力2-120,得4W2n2+7?-—,

而函數(shù)g⑺=2/+7〃-,為單調(diào)遞增函數(shù)，所以gSUn=g(D=8,所以248；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),cos/7=1,由/(?)=2"-7"-2”-120,得2W2n2-7zi--,

設(shè)h(x)=2x~—lx——(x22),

x22,h'(x)=4x-7+—>0,/.h(x)單調(diào)遞增,

1313

???入(初皿=丸(2)=—萬，所以2W—萬，

13

綜上可知，若不等式f(n)>0恒成立，則2的最大值為一萬.

故答案為:⑴1-°0,j；⑵-?

I2J2

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值，考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析；(2)叵.

【解析】

(1)證明CDLAB后可得CD,平面5耳4A,從而得CD_LBB],結(jié)合已知得線面垂直;

(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以C5為x軸，CC為y軸，C4為z建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CG=2,寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求

出二面角的面的法向量，由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值.

【詳解】

（1）證明：因?yàn)锳C=5C,。為中點(diǎn)，

所以CDLAB,又CD，%,AB\D=D,

所以平面AA1與5,又BAU平面A4耳3,

所以C￡＞，43,又與3LAB,ABCD=D,

所以與5J_平面ABC.

（2）由已知及（1）可知CB,CG，C4兩兩垂直，所以以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB為x軸，CG為，軸，C4為z建

立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CG=2,則

C（0,0,0）,5（2,0,0）,A（0,0,2）,Q（0,2,0）,4（0,2,2）,D（l,0,l）.

設(shè)平面。*的法向量4=（X］，x，Zi）,則

“CD=0x+z—0

即2；+*-0'令【T則”=（LLT）；

勺-CAj=0、乙必十乙4一u

設(shè)平面。GA的法向量巧=（X2，%，Z2），則

、

n2-C}D=0x2-2y2+z2=0/

<即，令%=1，貝U/2=（2，L0），

乙z、

n2,GA=0—u

3_y/15

所以cos（〃i，%）=占％

百X斯—5,

故銳二面角c-D\-G的余弦值為半.

【點(diǎn)睛】

本題考查證明線面垂直，解題時(shí)注意線面垂直與線線垂直的相互轉(zhuǎn)化.考查求二面角，求空間角一般是建立空間直

角坐標(biāo)系，用向量法易得結(jié)論.

18、（1）^+￡=1;（2）①WH；②旦.

743、72

【解析】

（1）根據(jù)題意列出方程組求解即可;

（2）①由原點(diǎn)。為兒W的垂心可得30,MN,MN//x軸,設(shè)”（x,y）,則N（—x,y）,%2=4-1y2,根據(jù)

BAfON=0求出線段ACV的長；

②設(shè)MN中點(diǎn)為。，直線”）與橢圓交于4,B兩點(diǎn),。為的重心，則50=20￡）=。4,設(shè)用可：y=kx+m,

N（x2,y2）,則A（玉+&,%+%），當(dāng)MN斜率不存在時(shí)，則。到直線MN的距離為1,

sy=kx+m22

（4人2+3）為9+4/%左（％,+々）+47/+6=0,^[3x2+4y2=12貝!）（4左之+3）x+8mAx+4m-12=0,

—Smk4m2-12Iml14k2+3

,,得出根據(jù)求解即可.

%1+九2=9，4"/=4k2+3,d=4土+4

-4左2+3士+37F7T

【詳解】

b—V3a2=4

解：（1）設(shè)焦距為2c,由題意知：-b1—a1—c1,<b2=3

c_1C=1

?2

22

因此，橢圓C的方程為：L+2L=1；

43

（2）①由題意知：BO±MN,故ACV//X軸，設(shè)M（x,y）,則N（—%,y）,x2=4-jy2,

BM-ON=—x2+y2—=~y2~—4=0,解得：y=或_4~\^,

B,〃不重合，故y=—逑，X2=—,故MN=2|X|=&B3;

②設(shè)MN中點(diǎn)為。，直線8與橢圓交于A,B兩點(diǎn),

。為的重心，則5O=2OD=Q4,

當(dāng)MN斜率不存在時(shí)，則。到直線的距離為1；

設(shè)W：y=kx+m,N（x2,y2）,則人（石+/,%+%）

二+武=芷+21=。+%）2+（%+%『=1，3x^+4%%=-6

434343

3xyX2+4（何+m）（Ax2+m）=-6

2

（4左2+3）玉%2+4相左（玉+x2）+4m+6=0

y=kx+m

貝!)(4左2+3)尤2+8區(qū)42-12=0

[37+4/=12'm+m

22

A=48(4Z:2+3-m2)>0,-4mk±4k+3-m

x=---------

4/71

—Smk4m2-12

則：再+4=代入式子得:

4左2+3

32mV

8m2-6-—0,4m2=4產(chǎn)+3

4k2+3

設(shè)。到直線MN的距離為d,則d=「一

JFTT\4k~+4

左=0時(shí)，d=—；

min2

綜上，原點(diǎn)。到直線MN距離的最小值為1.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的方程的知識點(diǎn)，結(jié)合運(yùn)用向量，韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線的距離的知識，屬于難題.

19、(1)y/3x+y-3=0,(x-2)2+y2=4(2)2+^

【解析】

(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,利用消去參數(shù)f即可得到直線/的

直角坐標(biāo)方程；

(2)由于M(0,3)在直線1上，寫出直線I的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程參數(shù)方程，代入曲線C的方程利用參數(shù)的幾何意義即可得出

1111|%+修

-----1----=1—r+1-r——j1求解即可.

\MA\\MB\用LIhl

【詳解】

(1)直線/的普通方程為y=—gx+3,即氐+y-3=0,

根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)化，X=PCQS6,夕2=必+/，

而夕=4cos。，貝！1/=4pcos。，

即(%_2)2+y2=4,

故直線1的普通方程為氐+y-3=0,

曲線C的直角坐標(biāo)方程(x—2『+y2=4

(2)點(diǎn)M(0,3)在直線/上，且直線/的傾斜角為120。,

可設(shè)直線的參數(shù)方程為:(t為參數(shù)),

尸3+彳

代入到曲線C的方程得

/+(2+36)/+9=0,=-(2+3回，他=9,

由參數(shù)的幾何意義知/'=』+＞=單￥=2常回.

\MA\\MB\M\t2\K也|9

【點(diǎn)睛】

熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、方程思想、直線/的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵，難度一般.

20、(1)。=2,圓的方程為：(x-l)2+V=4.(2)答案見解析

【解析】

(1)根據(jù)題意，可知A點(diǎn)的坐標(biāo)為土P)即可求出0的值，即可求出該圓的方程；

(2)由題易知，直線M的斜率存在且不為0,設(shè)M(-1，%)，MN的方程為＞=依尤+1)+%,與拋物線C聯(lián)立方程組，

根據(jù)△=(),求得％+左=，，化簡解得＞=:,進(jìn)而求得N點(diǎn)的坐標(biāo)為Ui｝分別求出.，F(xiàn)N，利用向量的

數(shù)量積為0,即可證出月V.

【詳解】

解：⑴易知4點(diǎn)的坐標(biāo)為］，土P)

所以。=勺(-1)，解得。=2.

又圓的圓心為尸(1,0),

所以圓的方程為(x—IT+V=4.

(2)證明易知，直線〃的斜率存在且不為0,

設(shè)M(-1,y0),MN的方程為y=/+1)+%,

代入C的方程，得外2-4y+4(%+〃)=0.

令△=16—16左(%+%)=0,得％+女

k

所以@2_4y+4(%+4)=左丁—j6+4=0,解得y=J.

KK

將y=l代入°的方程，得x=A，即N點(diǎn)的坐標(biāo)為(★，￡|?

所以尸M=(-2,%),FN：］}-1,"}

222<1>2

FM-FN=2--+y0--=2--+1——=0.

本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的方程，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，利用聯(lián)立方程組、求交點(diǎn)坐標(biāo)以及向量的數(shù)

量積，考查解題能力和計(jì)算能力.

21、(1)證明見解析；(2)a=5.

【解析】

⑴將a=4代入函數(shù)解析式可得/(%)=-x+1,構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx—x+1,求得g'(x)并令g'(x)=0,由導(dǎo)函

數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性并求得最大值，由g(x)a=0即可證明g(x)<。恒成立，即不等式得證.

(2)對函數(shù)求導(dǎo)，變形后討論當(dāng)a>1時(shí)的函數(shù)單調(diào)情況：當(dāng)上二皿二9V3時(shí)，可知滿足題意；將不等式化簡后

Ina

構(gòu)造函數(shù)g(a)=「2—5a+4-31na,a>l,利用導(dǎo)函數(shù)求得極值點(diǎn)與函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最小值為g(3),分別

依次代入檢驗(yàn)g(3),g(4),g(5),g(6)…的符號，即可確定整數(shù)。的最大值；當(dāng)4)("T)>3時(shí)不滿足題意,因

In<2

為求整數(shù)