江蘇泰州2024屆高三2月調(diào)研測試數(shù)學試題 含答案

泰州市2024屆高三調(diào)研測試

數(shù)學試題

（考試時間：120分鐘；總分：150分）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.有一組樣本數(shù)據(jù)9,4,5,7,8,2,則樣本中位數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

2.已知｛4｝為等差數(shù)列，若〃3n,p,q是正整數(shù)，則加+“=p+q是a,”=4+4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分不必要條件

3.每袋食鹽的標準質(zhì)量為500克，現(xiàn)采用自動流水線包裝食鹽，抽取一袋食鹽檢測，它的實際質(zhì)量與標準質(zhì)

量存在一定的誤差，誤差值為實際質(zhì)量減去標準質(zhì)量.隨機抽取100袋食鹽，檢測發(fā)現(xiàn)誤差X（單位：克）

近似服從正態(tài)分布N（002）,尸（X22）=0.02,則X介于一2?2的食鹽袋數(shù)大約為（）

A.4B.48C.50D.96

4.若,，6是夾角為60°的兩個單位向量，則向量色與色的夾角為（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

pQinx

5.已知函數(shù)=是定義在R上的奇函數(shù)，則實數(shù)（）

1

A.-1B.0C.-D.1

2

6.若復數(shù)z滿足|z—l|=|z+i|,貝“z-l|的最小值為C)

V2

A.B.——C.1D.、

22

7.已知點P(Xo，%))在雙曲線必啖=19〉0)上，過點尸作雙曲線的漸近線的垂線，垂足分別為A,B,

—?—?21

若無o〉l,PAPB=——,貝!］方=()

32

A.V3B.2C.V?D.2也

8.在△ABC中，角A,B,。的對邊分別為〃，b,c,若A=*,(V3-l^sinC=V2tanAsin+

則()

A.c<b<41cB.V2c<b<y/3cC.V3c<b<2cD.b>2c

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/(%)=sin2x+2sin2%,則()

A.函數(shù)的圖象關(guān)于點1,0對稱

B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增

Q-TT

C.函數(shù)/（X）的圖象向左平移B個單位長度所得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)

8

D.函數(shù)”X）在區(qū)間（-兀,兀）上恰有3個零點

10.已知正方形A3CD的邊長為4,點E在線段上，BE=1.沿DE將△ADE折起，使點A翻折至平

面BCDE外的點P,貝U（）

A.存在點P,使得PELDCB.存在點P,使得直線〃平面尸￡（￡

C.不存在點P,使得PCLDED.不存在點尸，使得四棱錐P-BCDE的體積為8

11.甲、乙兩個口袋各裝有1個紅球和2個白球，這些球除顏色外完全相同.把從甲、乙兩個口袋中各任取

一個球放入對方口袋中稱為一次操作，重復〃次操作后，甲口袋中恰有0個紅球，1個紅球，2個紅球分別記

為事件A，Bn,Cn,則（）

尸⑻=［

A.B,P（C3|A）=1-C,P（B1C2）=1-D,P（A+52）=||

yZ/0101

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合4=｛（羽丁）,+丁=2卜5=｛（x,y）|（x-l）2+y2=1｝,則AA3中元素的個數(shù)為.

22

13.在平面直角坐標系xOy中，橢圓T+云=1（?！怠贰怠悖┑淖蠼裹c為八點尸在橢圓上，PP的中點為

Q,若PF=V3OP,則橢圓離心率的值為.

14.將“用一條線段聯(lián)結(jié)兩個點”稱為一次操作，把操作得到的線段稱為“邊”.若單位圓上〃個顏色各不相

同的點經(jīng)過上次操作后，從任意一點出發(fā)，沿著邊可以到達其他任意點，就稱這〃個點和左條邊所構(gòu)成的圖

形滿足“條件T”，并將所有滿足“條件T”的圖形個數(shù)記為則T（5,4）=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知函數(shù)〃％）=%4+加，xeR.

（1）若函數(shù)在點處的切線過原點，求實數(shù)a的值；

（2）若。=-4,求函數(shù)“X）在區(qū)間［-1,4］上的最大值.

16.(15分)某游戲設(shè)置了兩套規(guī)則，規(guī)則A：拋擲一顆骰子〃次，若"次結(jié)果向上的點數(shù)之和大于2時，

繼續(xù)下一次拋擲，否則停止拋擲；規(guī)則B：拋擲一顆骰子一次，結(jié)果向上的點數(shù)大于2時，繼續(xù)下一次拋

擲，否則停止拋擲.

(1)若執(zhí)行規(guī)則A,求拋擲次數(shù)恰為1次的概率；

(2)若執(zhí)行規(guī)則8,證明：拋擲次數(shù)的數(shù)學期望不大于3.

17.(15分)如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABC。是菱形，ABAD=60°,△PAO為等邊三角形,

點M,N分別為AB,PC的中點.

(1)證明：直線MN〃平面B4Z)；

(2)當二面角尸-AD-C為120。時，求直線與平面PCD所成的角的正弦值.

18.(17分)已知拋物線氏x2=2y,焦點為R過歹作y軸的垂線/。，點尸在無軸下方，過點P作拋物線

E的兩條切線/r/2,小4分別交了軸于48兩點，L，4分別交4于C，D兩點.

(1)若小人與拋物線E相切于C，。兩點，求點尸的坐標；

(2)證明：△PA3的外接圓過定點；

(3)求△PC。面積S的最小值.

19.(17分)已知數(shù)列｛%,｝滿足2%+]T+一2,neN*.

a

n2a"+i

(1)已知an>0,

①若a3=l,求％;

②若關(guān)于根的不等式4<1的解集為M,集合M中的最小元素為8,求％的取值范圍；

(2)若％=^,是否存在正整數(shù)左(左之2),使得久=%，若存在，求出左的最小值，若不存在，請說明

理由.

泰州市2024屆高三調(diào)研測試

數(shù)學參考答案

(考試時間：120分鐘；總分：150分)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.【答案】B

【解析】2,4,5,7,8,9,中位數(shù)2=6,選B.

2

2.【答案】A

【解析】陰+〃=p+q時，+〃〃=+(加一l)d+%

=24+(用+〃—2)d=2q+(p+q—2)d=q+(p—l)d+%+(q—l)d=冊,

充分〃機+4=冊+〃］時，(陽+〃-2)d=(p+q—2)d,

d=0時，加+幾與p+q不一定相等，不必要，選A.

3.【答案】D

【解析】X?N(0Q2),p(X>2)=0.02,則P(O<X<2)=O.48,

尸(―2<X<2)=0.96,100x0.96=96,選D.

4.【答案】D

/??\????2］］

［解析］一q)g=耳與一與=?

『「sbJci-ZGIV+G=卜-2義萬+1=1,

ee

/———\(^1~2)251

cos\—^2^2/="F^一||一?=---=---，夾角120。，選D.

'/*4間1x12

5.【答案】C

【解析】〃x)為奇函數(shù)，g(x)=----?為偶函數(shù),g(-x)=g(x),

1+e

..------=------,..-------=------,x-ax=ax,a=—

1+ex1+e%ex+lex+l2

6.【答案】B

【解析】令z=x+yi,|z—l|=|z+i|,.,?>=-%,

|z-l|=+y-J/一2%+1+%2=J2%"-2%+1,

1/?

x=g時匕―1|取最小值三，選B.

7.【答案】C

[解析】B4：y—%=—g(x—x())，＜

y-bx

x_x0+by0

解得

_1+/%(6+1b+1J

/=~^7r

；、

、I

=1/X-X；y-K=—(x-xn)

PB：y-y0T(O)\b，

b[y=-bx

'x^x0-by0

解得F+i

_-bx°+b2yo(6+1b+1J

k一+1

P^J如J/E-%]—J_如一/%心o-%、

2，22

[b+lb+1)[&+1b~+1?

麗麗_/焉—方尤?一年_/方,_21

,」.+1)2.+1)2.+1)2.+1)232

b=5，選C.

8.【答案】A

-^-^-[―sinC+—cosC

【解析】(G—OsinC=0

cosAl22

V3sinCcosA=sinAsinC+sinAcosC+sinCcosA

=sinAsinC+sin(A+C)=sinAsinC+sinB,

sinB=V3COSA-sinsinC,—=2sin(g-A]=2sin^G(1,行),

c<b<V2c,選A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.【答案】BCD

【解析】/(x)=sin2x+l-cos2x^42sinf2x-^-j+1,對稱中心縱坐標為1,A錯.

7T_兀兀rI兀3兀

——<2x—<—,貝!)——<X<——，.??/■（X）的一個單調(diào)增區(qū)間為

24288

.??/（X）在0,（口，B對.

/[x+g]=V^sin21%+事]一：+1=V^sin[2x+^]+l=V^cos2x+l為偶函數(shù)，C對.

/(%)=0,貝ijsin[2x—：]=一^^,2%一巳=-g+24]?；蛞凰?242兀，

X=-1+%]?；蜃?兀，Z]=0,X———；左]=1,X=-71;鼠=0,X=0,

4-

...”X)在(-私兀)有三個零點，D對,選BCD.

10.【答案】AC

【解析】若PELDC，又PE工PD,則PEL面PCD,則PELPC,

而CE=屈,PE=3,PC=20有解，A對.

若BC〃平面PZJE,BCu平面3CDE,平面BCDEPl平面PDE=OE，

取PC中點N,?.?PD=DC,則。NLPC,若PCLOE,則PC,面。EN,

則尸CLNE,則EP=EC矛盾，.?.不存在P使得「CLDE,C對.

SBCD=^(1+4)-4=10,A到QE距離1=言=￡,

11?

(L—BCDE)max=§*二、10=8,存在，D錯，選AC.

11.【答案】ABD

119?5

【解析】方法一：P(B)=-x-+-x-=-,A對.

,"133339

2214

尸(GlA)=lx—x—x—二一,B對.

13|〃33327

P（B,C）=-x-x-=—,C錯.

v12793381

2255224Q

P（B2）=P（?l1B2）+P（BlB2）+P（C1B2）=-xlx-+-x-+-x-xl=—,

4

產(chǎn)（4團=藥,

1249455

P（A+與）=尸（4）+「（52）-p（4昆）=￥義6+嬴一行=￡,D對，選ABD.

3jo1Z/o1

方法二：甲：1紅2白，乙：1紅2白.

11225

對于A,重復1次操作，甲口袋中有1紅的概率尸=—x—+—x—=/,A正確.

33339

,,、P（AC）,122/、12221

對于B,P（GA）=V尸（A）=x+x*=*,P（AG=-x-x-x-x-

131”尸（a）\"339v733333

17221

（-X-：甲：3白乙2紅1白，一x—x—：甲2白1紅；乙1紅2白）

33333

；?2914）=2,B正確.

2?14

或P（C31A）=—X—X—=一（甲：2白1紅，乙1紅2白）

’31“33327

11222110

對于C,P（BQ=—x—+—x—x—x—C錯.

33333381

對于D,尸（4+與）=尸（4）+尸（與）一尸（4鳥）

1122^51222121212255

—X—+—X—X—+—X—X—+—X—X—+—X----X—X—=—,D正確.選：ABD.

3333；93333333333381

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.【答案】2

叱=也＜

【解析】B表示（1,0）為圓心1為半徑的圓，A表示直線，d=1,

V22

直線與圓相交有兩個公共點，An3的元素的個數(shù)為2.

13.【答案】V3-1

【解析】取右焦點工，:。為尸尸中點，OQLPF,則△尸口/為等腰三角形，PO=OF,APFF?為

直角三角形，PF=6c,PF?=c,GC+C=2〃，—=—j=—=也—1.

aV3+1

14.【答案】30

【解析】情形1：有3個點是2條邊的端點，另2個點是1條邊的端點，C；砥=10.

情形2：有1個點是3條邊的端點，有1個點是2條邊的端點，

另3個點是1條邊的端點，

C；C；C；=20,T（5,4）=30.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15?【解析】

（1）切點（1,1+。），=4x3+3ax2,k=r（l）=4+3a.

切線y-(l+a)=(4+3a)(x—l)過(0,0),

3

-1-a=(4+3a)(-1),:.a=—.

(2)o=-4,/(x)=x4-4x3,

r(X)=4x3—12/=%2(4x—12)=0,x=0或3,

〃x)在[—1,3)口，(3,4]|D

43

〃T）=l+4=5,/（4）=4-4X4=0,，4M、=5.

16?【解析】

（1）若執(zhí)行規(guī)則A,拋擲次數(shù)恰為1次的概率p=1.

（2）若執(zhí)行規(guī)則B,拋擲次數(shù)X的所有可能取值為1,2,3,-

尸（X=l）fP（X=2）=n，P（X=3）=S",

記S"=l+2x：+3x]|）+…+"|）①,

3

Sn<9.：.E（X）<3.

17?【解析】

(1)證明：取中點E,連接AE,NE,YN為PC中點、,

AEN//-CD,又：AM〃工CD,?.EN//AM,

=2=2=

四邊形AMNE為平行四邊形，；.MN//AE,

?.?加二平面及⑦，AEu平面E4D,MN〃平面

(2)取中點R如圖建系，設(shè)A3=2,

.".B（V3,0,0）,P,0,-,C（V3,2,0）,A（0,-l,0）,

（22J

"1、

：.M——,0,0（0,1,0）,N—,1,-,

22'744

\7\J

3yf33

X+2y-2Z=°^n=（-j3,3,l）

設(shè)平面PC￡>的一個法向量〃=(x,y,z),/.<2

-y/3x-y=0

設(shè)MN與平面PCD所成角為。,

18.【解析】

(1)???/1,乙與拋物線石相切于

1

y+51

此時4方程：一％=2-------,即x+y+—=0.

122

1

一+y

/,方程：x=2-^—nx—y—g=0,聯(lián)立得P(0,g1].

222

(2\

(2)設(shè)過產(chǎn)的兩條切線分別與拋物線切于。西，.，R%2，之，

I2JV27

2,2

1-+y,同理PR方程：x2x=^+y>

拳。,

22

)3+々石+%2X1

設(shè)△P4B外接圓方程為:+(y-機J=I+加之，

4

222

%1+%2xx

它過尸，???9+m2，

42

,XXX,22?x,x+,11

..^-^9-+-L^--mxx=0,..m=9——

441294

222

xx+1XX+1

%Xl+%2I+L-r2+x2

,444

整理得V-弋迨、+/一可尸苧=°'

2,

.22yX1+%

..X+y----------1——-x+

224

2

X+/-2O

2=x=0

1，.?.△PA3的外接圓過定點(0,；］

令%=0

y=

l-2y=02

/(、/(、

1111

(3)CD：y二—,：.C-^+―,D-%T-----

2121’5121

11

；.|CD|=~xl-x2H------=--石-”+1-

石工22中2

xx111xx1

尸到CD的距離為d二{2sAPCD=^r2

-2__2-2--2

xxx2J

設(shè)/々=_『，/>0,|xj-x2|=m,

m>2t,當且僅當玉+%=0時等號成立.

22

T+1、myt'+1『+1

1-m-(14---

-

2212，--sF4t

2+了

t2+1]2(廠+]).27,2

令f?)=

4?t2

(

(八^-,+co上口,

/”)在0,手上口；

3J

(4G

3J9

19?【解析】

26f1

(1)Q3-+￡l1l=2^±+f2±l=2=>a：—3%+2=0,；.%=1或2,