控制工程-頻率特性分析

頻率特性分析基本要求掌握頻率特性的定義和代數(shù)表示法以及與傳遞函數(shù)、單位脈沖響應(yīng)函數(shù)和微分方程之間的相互關(guān)系；掌握頻率特性和頻率響應(yīng)的求法。掌握頻率特性的奈氏圖和Bode圖的組成原理，熟悉典型環(huán)節(jié)的奈氏圖和Bode圖的特點(diǎn)及其繪制，掌握一般系統(tǒng)的奈氏圖和Bode圖的特點(diǎn)和繪制。掌握頻域中性能指標(biāo)的定義和求法；了解頻域性能指標(biāo)與系統(tǒng)性能的關(guān)系。4.了解最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的概念。本章重點(diǎn)1.頻率特性基本概念、代數(shù)表示法及其特點(diǎn)。2.頻率特性的圖示法的原理、典型環(huán)節(jié)的圖示法及其特點(diǎn)和一般系統(tǒng)頻率特性的兩種圖形的繪制。3.頻域中的性能指標(biāo)。本章難點(diǎn)1.一般系統(tǒng)頻率特性圖的畫法以及對(duì)圖形的分析。2.頻域性能指標(biāo)和時(shí)域性能指標(biāo)之間的基本關(guān)系。(2)輸出響應(yīng)中振幅和相位差都是輸入信號(hào)頻率

的非線性函數(shù)，表示為xo

(t)

X

o

(

)

sin(

t

(

))Xixi(t)4.1 頻率特性的基本概念頻率響應(yīng)與頻率特性頻率響應(yīng):線性定常系統(tǒng)對(duì)正弦信號(hào)(諧波輸入)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)。Xoxo(t)

設(shè)輸入

xi

(t)

Xi

sin

t，xo

(t)響應(yīng)的特點(diǎn)(1)輸出與輸入為同頻率的諧波信號(hào)；一個(gè)穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在諧波函數(shù)作用下，其輸出的穩(wěn)態(tài)分量（頻率響應(yīng)）也是一個(gè)諧波函數(shù)，而且其角頻率與輸入信號(hào)的角頻率相同，但振幅和相位則一般不同于輸入信號(hào)的振幅與相位，而隨著角頻率的改變而改變。2.幅頻特性∶輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的幅值之比隨

變化的特性。XiA(

)

X

o

(

)相頻特性:輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的相位差(或相移)隨

變化的特性。

(

)

按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)為正值，

(

)

0 表超前；

(

) 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)為負(fù)值，

(

)

0

表滯后。頻率特性:通常將幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為頻率特性。A(

)e

j

(

)4.1.2

頻率特性的求法1.用拉氏逆變換求取xi(t)

Xisin

t

2s2Xi

(s)

L[xi

(t)]

L[

Xi

sin

t]

Xi

s2oX (s)

G(s)Xi

]o

2s2x(t)

L

1[G(s)

2Xi

根據(jù)頻率特性的定義即可求出其幅頻特性和相頻特性。2.令s

=jωj

將傳遞函數(shù)中的s

用G(s)

G(

j

)G(

j

)

就是系統(tǒng)的頻率特性。(1)幅頻特性：(2)相頻特性:代替，

[s]

[

j

]XiA(

)

Xo(

)

G(

j

)

(

)

G(

j

)u(

)v(

)G(

j

)

Re[G(

j

)]

Im[G(

j

)]

(

)

j

(

)

G(

j

)

u

2

(

)

v2

(

)u(

)

(

)

arctg

v(

)(3)實(shí)頻特性:(4)虛頻特性:3.用試驗(yàn)方法求取io率ω，并測出與此相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)輸出的幅值

X

(

)

與相移x

e

j

t。然根據(jù)頻率特性的定義，首先，改變輸入諧波信號(hào)

(

) 的頻后，作出幅值比Xo

(

)

/

Xi

對(duì)頻率ω的函數(shù)曲線，此即幅頻特性曲線；作出相移

(

)

對(duì)頻率ω的函數(shù)曲線，此即相頻特性曲線。最后，對(duì)以上曲線進(jìn)行辨識(shí)即可得到系統(tǒng)的頻率特性。10-1100101-400-202010

-110

010

10-90-180

=0.1

=0.1的概念可以非常容易求系統(tǒng)在諧波輸入作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。另外，系統(tǒng)頻率特性在研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響時(shí)，比較容易。1．頻率特性實(shí)質(zhì)上是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的Fourier變換。即G(j

)

F[w(t)]

。2．頻率特性分析通過分析不同的諧波輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，揭示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。3．頻率特性分析主要針對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)而言，應(yīng)用頻率特性4.1.3 頻率特性的物理意義微分方程sspp系統(tǒng)j

頻率j

特性頻率特性分析在實(shí)驗(yàn)建模和復(fù)雜系統(tǒng)分

傳遞析方面的應(yīng)用要比時(shí)域分析法更方便。

函數(shù)微分方程、傳函、頻率特性的關(guān)系如圖。4.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性頻率特性圖概述奈奎斯特圖：在

[G(

j

)]

平面上取Re及Im軸，以

作參變量，當(dāng)

從0→∞變化時(shí),

G(

j

)

端點(diǎn)的軌跡為頻率特性的極坐標(biāo)圖，稱為Nyquist圖。jv(

)

(

)A(

)v(

)

ImRe[G(

j

)]

u(

)

=

1G(

j

)u(

)

=0

=∞2.Bode圖：以

的常用對(duì)數(shù)值為橫坐標(biāo)，分別以

20

lg

A(

)

和

(

)

為縱坐標(biāo)畫出的曲線，稱為對(duì)數(shù)幅頻特性圖和對(duì)數(shù)相頻特性圖，統(tǒng)稱為頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，又稱為Bode圖。(1)

縱坐標(biāo)單位為分貝，線性分度1

dB

20

lg

G(

j

)00.100-450-900A(

)=20lgG(j

)0.1 110102

dB4020-20-40

(

)=∠

A(

)110102

900450(2)

橫坐標(biāo)單位為rad/s或1/s，對(duì)數(shù)分度。(3)

10倍頻程(dec)：若ω2=10ω1，則稱從ω1到ω2為10倍頻程。每10倍頻程對(duì)數(shù)差1。但習(xí)慣上仍標(biāo)真數(shù)值，即橫坐標(biāo)按10倍頻程均勻分度。4.2.2

典型環(huán)節(jié)的頻率特性圖1.比例環(huán)節(jié)ImRe

G(j

)

傳遞函數(shù)：頻率特性：實(shí)頻特性：虛頻特性：對(duì)數(shù)幅頻特性：

L(

)

20

lg

G(

j

)

20

lg

K相頻特性：

G(

j

)

0幅頻特性：G(s)

KG(j

)

Ku(

)

Kv(

)

0A(

)

G(j

)

KBode圖

(s-1

)(K,j

0)奈氏圖dB

(s-1

)20lg

K0.11100.1110002.積分環(huán)節(jié)sG(s)

1傳遞函數(shù)：1 1G(

j

)

jj

u(

)

0頻率特性：實(shí)頻特性：1虛頻特性：

v(

)

幅頻特性：

A(

)

G(

j

)

1ImRe

G(j

)

-90(0,-

j

1

)Bode圖

dB40200.1 1

10180對(duì)數(shù)幅頻特性：L(

)

20

lg

G(

j

)

20

lg

90相頻特性：

G(

j

)

90o -

90-

180

奈氏圖20lg

GG[-20]3.微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：實(shí)頻特性：虛頻特性：對(duì)數(shù)幅頻特性：

L(

)

20

lg

G(

j

)

20

lg

相頻特性：

G(

j

)

90o幅頻特性：G(s)

sG(j

)

j

u(

)

0v(

)

A(

)

G(j

)

奈氏圖ImRe

G(j

)

(

0

, j

)90Bode圖

(s-1

)GdB200.1 110

(s-1

)20lg

G-

2018090-

90[20]4.慣性環(huán)節(jié)Ts

11G(s)

傳遞函數(shù)：1

jT

1

T

2

21G(

j

)

1

(1

jT

)頻率特性：1

T

2

2u(

)

實(shí)頻特性：1

T

2

2v(

)

T

虛頻特性：對(duì)數(shù)幅頻特性：L(

)

20

lg

G(

j

)

20

lg相頻特性：

G(

j

)

arg

tg(T

)幅頻特性：1

T

2

21A(

)

G(j

)

奈氏圖ImRe

G(

j

)

KK

2Bode圖dBG-

20-

40

1

(T

)2-

45-

90

(s-1

)T

(s-1

)[-20]5.一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：

G(s)

Ts

1頻率特性：

G(

j

)

1

jT

G(

j

)

arg

tg(T

)相頻特性：實(shí)頻特性：

u(

)

11

(T

)2對(duì)數(shù)幅頻特性：L(

)

20

lg

G(

j

)

20

lg虛頻特性：

v(

)

T

幅頻特性：

A(

)

G(

j

)

1

T

2

2ImRe

G(j

)

tg

-1T

奈氏圖1Bode圖

(s-1

)dB

20lgGG402090450T

20dB

dec10

T

(s-1

)6.振蕩環(huán)節(jié)1(1

T

2

2

)

j2

T

頻率特性：

G(

j

)

1

T

2

2相頻特性：

G(

j

)

arg

tg

2

T

1

T

2

2(1

T

2

2

)2

(2

T

)2實(shí)頻特性：

u(

)

1

T

2

2(1

T

2

2

)2

(2

T

)2

虛頻特性：

v(

)(1

T

2

2

)2

(2

T

)2對(duì)數(shù)幅頻特性：L(

)

20

lg幅頻特性：

A(

)

G(

j

)

(1

T

2

2

)2

(2

T

)21傳遞函數(shù)：

G(s)

1T

2

s2

2

Ts

1-1-0.500.511.5-2-1.5-1-0.500.5ReIm

n

0

0.3

0.7

0.5

2

11—

2

∞奈氏圖10100-40

-1101-2002010-1100101-90-1800

=0.1.3

=0

=0.7

=0.1

=0.7

=0.3Bode圖[-40]7.二階微分環(huán)節(jié)1

T

2

2相頻特性：

G(

j

)

arg

tg

2

T

(1

T

2

2

)2

(2

T

)2對(duì)數(shù)幅頻特性：L(

)

20

lg傳遞函數(shù)：

G(s)

T

2

s2

2

Ts

1頻率特性：

G(

j

)

(1

T

2

2

)

j2

T

實(shí)頻特性：

u(

)

1

T

2

2虛頻特性：

v(

)

2

T

幅頻特性：

A(

)

G(

j

)

(1

T

2

2

)2

(2

T

)28.延時(shí)環(huán)節(jié)G(s)

e

sG(

j

)

e

j

cos

j

sin

頻率特性：

G(j

)

相頻特性：u(

)

cos

實(shí)頻特性：v(

)

sin

虛頻特性：對(duì)數(shù)幅頻特性：

L(

)

0幅頻特性：A(

)

G(j

)

1傳遞函數(shù)：Im

很小Re[G(j

)]1奈氏圖G1-

20-

40-

60Bode圖0.1 1 1010 100

(s-1)

dB402020lgG4.3

系統(tǒng)的頻率特性4.3.1

繪制系統(tǒng)奈氏圖1.奈氏圖的一般形狀n

G(s)

mij

1o

i

1 s

(Tj

s

1)K

(

i

s

1)X

(s)X

(s)

n

jm(1

jT

)(

j

)K

(1

j

i

)頻率特性（標(biāo)準(zhǔn)形式）：G(

j

)

i

1

傳遞函數(shù)形式：jv

(

)

(

)A(

)u

(

)v

(

)

ImRe[G(

j

)]=

1G(

j

)u(

)

=0

=

∞ImRe[G(

j

)]

=0

=∞0型系統(tǒng)Ⅱ型系統(tǒng)Ⅰ型系統(tǒng)Imj

1[G(

j

)]

=0∞Re

=

2.Nyquist圖作圖思路G(s)

→

G(

j

)

→（

必要時(shí)v(

)u(

)

)G(

j

)∠G(

j

)→

特殊點(diǎn)G(j∞),∠G(

j∞)G(

j

n)

,

∠G

(

j

n

)G(j0),∠G(j

)起點(diǎn)→ 經(jīng)歷的象限終點(diǎn)1G(

j

)

j

(1

j

)(1

j2

)(1

2

)(1

4

2

)

j

(1

2

)(1

4

2

)1

2

2

3

G(j

)

1解:例:

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

G(s)

作系統(tǒng)的Nyquist圖。1s(s

1)(2s

1)G(j0)

,

G(j0)

90oG(j

)

0,

G(j

)

270oω=0：ω=∞：

1

2

1

(2

)2

G(

j

)

-90o

tg

1

tg

1

(2

)特殊點(diǎn)：v(ω)=0：

1

2Im[G(jw)

]

=0

=∞Re

4.3.2

繪制系統(tǒng)Bode圖1.典型環(huán)節(jié)Bode圖①積分環(huán)節(jié)②微分環(huán)節(jié)③慣性環(huán)節(jié)④一階導(dǎo)前環(huán)節(jié)⑤二階振蕩環(huán)節(jié)⑥二階導(dǎo)前環(huán)節(jié)②③⑥⑤④①②③④⑤⑥20lg

G①GT

(s-1)180o90o45o0o-

45o-

90o-180o1

(s-1)dB40200-20-40T

2.Bode圖作圖思路(6)對(duì)各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性圖和對(duì)數(shù)相頻特性圖進(jìn)行疊加；(7)有延時(shí)環(huán)節(jié)時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性不變，對(duì)數(shù)相頻特性則應(yīng)加上

1)疊加法繪制系統(tǒng)頻率特性圖將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)轉(zhuǎn)化成由若干個(gè)典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)相乘的形式（常數(shù)項(xiàng)歸一化）

；由傳遞函數(shù)求出頻率特性G(j

)；(3)確定各典型環(huán)節(jié)的特征參數(shù)（如：比例系數(shù)、轉(zhuǎn)折頻率、曲線特點(diǎn)

）；(4)作出各典型環(huán)節(jié)頻率特性的Bode圖，即分別在對(duì)數(shù)幅頻特性圖和對(duì)數(shù)相頻特性圖中作出對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線和對(duì)數(shù)相頻特性曲線；(5)如有必要,對(duì)漸近線進(jìn)行修正，得出各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性的精確曲線；2)順序斜率法繪制系統(tǒng)頻率特性圖頻特性圖進(jìn)行疊加；將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)轉(zhuǎn)化成由若干個(gè)典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)相乘的形式（常數(shù)項(xiàng)歸一化）

；由傳遞函數(shù)求出頻率特性G(j

)；(3)確定各典型環(huán)節(jié)的特征參數(shù)（如：比例系數(shù)、轉(zhuǎn)折頻率、曲線特點(diǎn)

）,并將轉(zhuǎn)折頻率由低到高依次標(biāo)在橫坐標(biāo)軸上；(4)繪制對(duì)數(shù)幅頻特性低頻段漸近線。若系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，低頻段為一水平線，高度為20lgK;若是I型以上系統(tǒng)，則低頻段（或其延長線）在ω=1處的幅值也為20lgK，斜率為-20dB/dec；(5)按轉(zhuǎn)折頻率由低頻到高頻的順序，在低頻漸近線的基礎(chǔ)上，每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，根據(jù)環(huán)節(jié)的性質(zhì)改變漸近線斜率，繪制漸近線，直到繪出轉(zhuǎn)折頻率最高的環(huán)節(jié)為止。(6)如有必要,對(duì)漸近線進(jìn)行修正，得出各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性的精確曲線；作出各典型環(huán)節(jié)頻率特性的對(duì)數(shù)相頻特性曲線；對(duì)各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相有延時(shí)環(huán)節(jié)時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性不變，對(duì)數(shù)相頻特性則應(yīng)加上

s(s

2)(s2

s

2)例1：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

G(s)

10(s

3)

繪制系統(tǒng)Bode圖。12 2 2 22

1

1]j

(1

j1

)[(1)2(j

)2

j2

解：1.將常數(shù)項(xiàng)變?yōu)?，寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，分析組成系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)10

3(1

1

s)G(s)

3 2

s(1

1

s)

2

(

1

s2

1

s

1)2 2 27.5(1

j1

)G(

j

)

3 系統(tǒng)由比例、積分、一階慣性、二階振蕩和一階導(dǎo)前環(huán)節(jié)組成。，并從小到大排列:Ti

1T

二階↑，慣性↑，導(dǎo)前↑，iTiT2.求出各環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)角頻率1

i2 ， 2， 3，3.依次作出各環(huán)節(jié)Bode圖：積分、二階、慣性、一階導(dǎo)前環(huán)節(jié)的Bode圖,分別如圖中的①、②、③、④，比例環(huán)節(jié)的幅頻、相頻特性如⑤。4.

將各環(huán)節(jié)幅頻特性曲線合成；dB20lg

GG-15.

將各環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)相頻特性曲線合成。18090450-

45-

901-180-

270234134

(s )5

(s

-1)12237.50[-20]2[-40][-20][20]3.由Bode圖確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由Bode圖確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)，與繪制系統(tǒng)Bode圖相反。即由實(shí)驗(yàn)測得的Bode圖，經(jīng)過分析和測算，確定系統(tǒng)所包含的各個(gè)典型環(huán)節(jié)，從而建立起被測系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。3.1、頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)信號(hào)源對(duì)象記錄儀Asinwt由頻率特性測試儀記錄的數(shù)據(jù),可以繪制最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性,

對(duì)該頻率特性進(jìn)行處理，即可確定系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。3.2、傳遞函數(shù)確定對(duì)實(shí)驗(yàn)測得的系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻曲線進(jìn)行分段處理。即用斜率為

20dB/dec整數(shù)倍的直線段來近似測量到的曲線。當(dāng)某

處系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線的斜率發(fā)生變化時(shí)，此

即為某個(gè)環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。①當(dāng)斜率變化+20dB/dec時(shí),可知

處有一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)Ts+1;

②若斜率變化+40dB/dec時(shí)，則

處有一個(gè)二階微分環(huán)節(jié)

(s2/

2n+2

s/

n+1)

或一個(gè)二重一階微分環(huán)節(jié)(Ts+1)2③

若斜率變化

-20dB/dec時(shí),則

處有一個(gè)慣性環(huán)節(jié)1/(Ts+1);③若斜率變化-40dB/dec時(shí)，則

處有一個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)1/

(s2/

2n+2

s/

n+1)或一個(gè)二重慣性環(huán)節(jié)1/(Ts+1)2；（3）系統(tǒng)最低頻率段的斜率由開環(huán)積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)決定。低頻段斜率為-20

dB/dec,則系統(tǒng)開環(huán)傳遞有

個(gè)積分環(huán)節(jié)，系統(tǒng)為

型系統(tǒng)。（4）開環(huán)增益K的確定①由

=1作垂線，此線與低頻段(或其延長線)的交點(diǎn)的分貝值