【初中數(shù)學(xué)】三角形的高+中線、角平分線+課件+2023-2024學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)上冊

11.1.2三角形的高知識點(diǎn)1

畫三角形的高【例1】畫出下列三角形的三條高．【變式1】畫出△ABC的邊AC上的高BE，若AC＝3，BE＝6，求△ABC的面積．解：∵AC＝3，BE＝6，

結(jié)論：三角形都有________條高，且三條高所在的直線相交于同一點(diǎn)，銳角三角形三高的交點(diǎn)在它的________部，直角三角形的三高的交點(diǎn)在它的__________，鈍角三角形的三高的交點(diǎn)在它的_____部．三內(nèi)直角頂點(diǎn)外知識點(diǎn)2

等面積法【例2】如圖，AD，BE分別為△ABC中邊BC，AC上的高，BC＝12，AC＝10，AD＝9.求BE的長．

【變式2】在△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB上的高．若AC＝6，BC＝8，AB＝10，求CD的長．

解得CD＝4.8.【例3】如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝3.(1)作出△ABC的高BE和CD；解：(1)如圖所示；【例3】如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝3.(2)若CD＝2，求BE的長．

【變式3】如圖，在△ABC中AB＝6，BC＝8.(1)畫出AB，BC邊上的高CD和AE；解：(1)如圖所示；【變式3】如圖，在△ABC中AB＝6，BC＝8.(2)若AE＝5，求CD的長．

1．在下列各圖的△ABC中，正確畫出邊AC上的高的圖形是(

)C2．下列說法中正確的是(

)A．直角三角形的高只有一條B．銳角三角形的三條高交于三角形內(nèi)部C．直角三角形的高沒有交點(diǎn)D．鈍角三角形的三條高所在的直線沒有交點(diǎn)B3．下列各圖中，陰影面積相等的是(

)A．①與② B．①與③C．②與③ D．②與④B4．(人教教材母題)如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝4.△ABC的高AD與CE的比多少？

5．(中考新考法·類比思想)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P是射線BC上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為點(diǎn)D，E，BF為△ABC的腰AC上的高．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，試探究BF，PD，PE之間的關(guān)系，并說明理由？解：(1)BF＝PD＋PE，理由如下：∵S△ABC＝S△ABP＋S△ACP，

∵AB＝AC，

∴BF＝PD＋PE.5．(中考新考法·類比思想)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P是射線BC上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為點(diǎn)D，E，BF為△ABC的腰AC上的高．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到BC的延長線上時，BF，PD，PE之間的關(guān)系，直按寫出．解：(2)BF＝PD－PE.課后強(qiáng)化1．用三角尺作△ABC的邊AB上的高線，下列三角尺的擺放正確的是(

)B2．如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1，2)，過點(diǎn)C作AB邊上的高線CD，則垂足D的坐標(biāo)是________．(1，1)3．畫出下列三角形AB邊上的高CD．(1)

(2)

解：如圖：4．如圖，已知△ABC，畫出AB邊上的高CD．(1)若AB＝4，CD＝3，則S△ABC＝______；(2)若AB＝6，S△ABC＝9，則CD＝______．解：如圖：635．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，BC＝3，求點(diǎn)C到AB的距離．解：設(shè)點(diǎn)C到AB的距離為h．∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，BC＝3，

即5h＝3×4．

6．如圖，在△ABC中，AC邊上的高是(

)A．BE

B．ADC．CF

D．AFA7．如圖，在△ABC中，AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD＝4．若點(diǎn)P在邊AC上移動，則BP的最小值為_______．

8．如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝10．(1)畫出△ABC的高AD和CE；(2)求AD∶CE的值．解：(1)如圖，AD，CE即為所求．

9．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD．(1)畫出△ABD的邊AB上的高DE；解：(1)如圖，DE即為所求．9．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD．(2)若DE＝CD，求DE的長．解：(2)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∵S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，

又CD＝DE，∴3DE＋5DE＝8DE＝24．∴DE＝3．11.1.2三角形的中線、角平分線

圖例定義性質(zhì)數(shù)量及特點(diǎn)三角形的中線連接三角形的________與對邊______的________叫三角形的中線．∵AD是△ABC的中線，∴S△ABD______S△ACD.三角形的中線有3條，且相交于同一點(diǎn)，這個交點(diǎn)叫三角形的_______.三角形的角平分線三角形一內(nèi)角的平分線與對邊相交，則這內(nèi)角的頂點(diǎn)與這個交點(diǎn)所連的______叫三角形的角平分線.∵AD是△ABC的角平分線，∴__________________．三角形的角平分線有3條且相交于同一點(diǎn)．頂中點(diǎn)線段＝重心線段∠BAD＝∠CAD點(diǎn)知識點(diǎn)1

三角形的中線、角平分線的畫法及基本性質(zhì)【例1】如圖，在△ABC中，∠BAC＝50°.(1)請畫出△ABC的角平分線AD；(2)求∠BAD的度數(shù)．解：(1)如圖所示；(2)∵AD平分∠BAC，∠BAC＝50°，

【變式1】(多維原創(chuàng))如圖，在△ABC中，BD是AC上的高，AC＝5，BD＝4.作出△ABC的中線CE，并求S△ACE.解：如圖所示：

∵CE為△ABC的中線，

知識點(diǎn)2 利用中線、角平分線的性質(zhì)計(jì)算或證明【例2】(整體思想)如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，點(diǎn)D是邊BC上的中點(diǎn)，連接AD.若△ACD的周長為20，則△ABD的周長是(

)A．16 B．18C．20 D．22D【變式2】如圖，已知在△ABC中，CF，BE分別是邊AB，AC上的中線，若AE＋AF＝7，△ABC的周長為20，則BC＝________．6【例3】(人教教材母題)如圖，AD是△ABC的角平分線.DE∥AC，DE交AB于點(diǎn)E，DF∥AB，DF交AC于點(diǎn)F.∠1與∠2有什么關(guān)系？為什么？解：∠1＝∠2.∵DE∥AC，∴∠1＝∠DAC.∵DF∥AB，∴∠2＝∠BAD.∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠DAC.∴∠1＝∠2.【變式3】如圖，CD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，且∠EDC＝∠DCE.求證：∠BDE＝∠A.證明：∵CD平分∠BCA，∴∠DCE＝∠ACD.∵∠EDC＝∠DCE，∴∠EDC＝∠ACD.∴DE∥AC.∴∠BDE＝∠A.課堂總結(jié)：1．三角形中有3種線段：高、中線、角平分線，注意這三種線是線段．2．三角形的中線把三角形分成兩個小三角形，這兩個小三角形的面積相等，周長差等于兩邊之差．

D2．如圖是三位同學(xué)的折紙示意圖，則AD依次是△ABC的(

)A．中線、角平分線、高線

B．高線、中線、角平分線C．角平分線、高線、中線

D．角平分線、中線、高線C3．下列說法中，正確的是(

)A．三角形的中線就是過頂點(diǎn)平分對邊的直線B．三角形的高就是頂點(diǎn)到對邊的垂線C．三角形的角平分線就是三角形的內(nèi)角平分線D．三角形的三條中線交于一點(diǎn)D4．如圖，圖中的小正方形的邊長均為1cm，已知△ABC的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(1)畫出△ABC的高AD及中線AE；(2)BC邊上的高為________cm；(3)△ABE的面積為________cm2.5．如圖，點(diǎn)O為△ABC的重心，陰影部分S△BOC＝2，則△ABC的面積為______．31.566．(多維原創(chuàng))如圖，CD為△ABC的中線，△ACD與△BCD的周長之差為3(AC＞BC)，且AC＋BC＝11，求AC與BC的長．解：∵△ACD與△BCD的周長之差為3，即(AC＋AD＋CD)－(BC＋CD＋BD)＝3.∵CD為△ABC的中線，∴AD＝BD.∴AC－BC＝3.又∵AC＋BC＝11，∴AC＝7，BC＝4.7．(中考新考法·思維遷移)如圖，BE，CF均是△ABC的中線，且BE＝CF，AM⊥CF于點(diǎn)M，AN⊥BE于點(diǎn)N.求證：AM＝AN.

∵BE，CF分別是△ABC的中線，∴AE＝CE，AF＝BF.

∴S△ABE＝S△ACF.

∵BE＝CF，∴AM＝AN.

AB3．如圖，AE是△ABC的中線，點(diǎn)D是BE上一點(diǎn)，若BD＝5，CD＝9，則CE的長為(

)A．5

B．6C．7

D．8C4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，CD為中線，CE平分∠ACB，則DB＝______，∠ACE＝______°．3455．如圖，畫出△ABC的高AD，角平分線AE，中線AF．解：如圖，AD，AE，AF即為所求．6．如圖，AD為△ABC的中線．

(1)若BD＝3cm，則BC的長是______cm；(2)若△ABD的面積為4cm2，則△ACD的面積為_____cm2．64

D8．如圖，AD，BE是△ABC的兩條角平分線，若∠BAC＋∠ABC＝146°，則∠1＋∠2的度數(shù)為_______．73°9．如圖，D是△ABC中BC邊上一點(diǎn)，DE∥AC交AB于點(diǎn)E．若∠EDA＝∠EAD，求證：AD是△ABC的角平分線．證明：∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD．∵∠EDA＝∠EAD，∴∠CAD＝∠EAD．∴AD是△ABC的角平分線．10．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點(diǎn)，且S△ABC＝4cm2，則陰影部分的面積為______cm2．