排列組合與二項(xiàng)式定理（解析版）-2024年新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題

搟利做合易二項(xiàng)式正理

熱點(diǎn)單選題

（題目|1］（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）在（1+^）7+（1+x-］）6+（1-/）6+（1-07展開式中，工3的系數(shù)為

（）

A.0B.-55C.-15D.55

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椋?+/T）7與（1+k1）6的展開式中沒有產(chǎn)的項(xiàng)，

只有（1—工）6與（1-07的展開式中有力3的項(xiàng)，

其中（1一a；1的展開式的通項(xiàng)為或+產(chǎn)（一1戶或貝I1/的系數(shù)為-屐，

（1一2）7的展開式的通項(xiàng)為瑪+廣（_1聲。/上,則廣的系數(shù)為一0,

所以展開式中d的系數(shù)為一Cg—Cy=—55.

故選：B

題目②（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）為迎接元宵節(jié)，某廣場(chǎng)將一個(gè)圓形區(qū)域分成ABGRE五個(gè)部分（如圖

所示），現(xiàn)用4種顏色的鮮花進(jìn)行裝扮（4種顏色均用至！J），每部分用一種顏色,相鄰部分用不同顏色，則該區(qū)

域鮮花的擺放方案共有（）

A.48種B.36種C.24種D.12種.

【答案】A

【分析】滿足條件的涂色方案可分為B,D區(qū)域同色，且和其它區(qū)域不同色和C,E區(qū)域同色兩類，且和其它區(qū)

域不同色，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，分類加法計(jì)數(shù)原理求解即可

【詳解】滿足條件的擺放方案可分為兩類,

第一類B,。區(qū)域同色，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，

滿足條件的方案可分四步完成，

第一步，先擺區(qū)域人有4種方法，

第二步，擺放區(qū)域B,。有3種方法，

第三步，擺放區(qū)域。有2種方法，

第四步，考慮到區(qū)域不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域E有1種方法，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得第一類中共有4x3x2x1=24種方案，

第二類，。,石區(qū)域同色兩類，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，

滿足條件的方案可分四步完成，

第一步，先擺區(qū)域A有4種方法，

第二步，擺放區(qū)域B有3種方法，?M

第三步，擺放區(qū)域C,右有2種方法，

第四步，考慮到區(qū)域不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域。有1種方法，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得第一類中共有4x3x2x1=24種方案，

根據(jù)分步加法計(jì)數(shù)原理可得該區(qū)域鮮花的擺放方案共有48種，

故選：A.

題目團(tuán)（2024?河北滄州?一模）截至2024年2月25日，2024年春節(jié)檔4部影片《熱辣滾燙》《飛馳人生2》

《第二十條》《熊出沒.逆轉(zhuǎn)時(shí)空》合計(jì)票房已經(jīng)突破100億.某影城為了家庭中的大人和孩子觀影便利，對(duì)

影片播放順序做出如下要求:《熱辣滾燙》不排第一場(chǎng),《熊出沒?逆轉(zhuǎn)時(shí)空》不排最后一場(chǎng),《第二十條》和《熊

出沒?逆轉(zhuǎn)時(shí)空》必須連續(xù)安排，則不同的安排方式有（）

A.12種B.10種C.9種D.7種

【答案】。

【分析】根據(jù)已知條件，分《熱辣滾燙》排最后一場(chǎng)、《熱辣滾燙》排第二場(chǎng)、《熱辣滾燙》排第三場(chǎng)三種情況分

別計(jì)算安排方法數(shù)，最后分類加法公式計(jì)算總數(shù)即可.

【詳解】分兩種情況：

第一種：《熱辣滾燙》排最后一場(chǎng)，因?yàn)椤兜诙畻l》和《熊出沒?逆轉(zhuǎn)時(shí)空》

必須連續(xù)安排，所以用捆綁法有加種可能，并看成一個(gè)元素，

剩下元素有4種排法，所以共有A%種排法；

第二種：《熱辣滾燙》排第二場(chǎng)，

因?yàn)椤兜诙畻l》和《熊出沒.逆轉(zhuǎn)時(shí)空》必須連續(xù)安排，

而且《熊出沒?逆轉(zhuǎn)時(shí)空》不排最后一場(chǎng)，

所以《第二十條》和《熊出沒.逆轉(zhuǎn)時(shí)空》只能排在第四、第三兩場(chǎng)，

《飛馳人生2》排第一場(chǎng)，這種情況共1種排法；

第三種：《熱辣滾燙》排第三場(chǎng)，

因?yàn)椤兜诙畻l》和《熊出沒.逆轉(zhuǎn)時(shí)空》必須連續(xù)安排，

而且《熊出沒?逆轉(zhuǎn)時(shí)空》不排最后一場(chǎng)，

所以《第二十條》和《熊出沒.逆轉(zhuǎn)時(shí)空》排在前兩場(chǎng)有⑷種排法，

《飛馳人生2》排最后一場(chǎng)，這種情況共有4=2種排法.

綜上符合條件的電影安排方法總數(shù)為4+1+2=7種.

故選：D

熱點(diǎn)多選題

寇324?重慶?模赧預(yù)測(cè)）如圖，16枚釘子釘成4x4的正方形板,現(xiàn)用橡皮筋去套釘子，則下列說法

正確的有（不同的圖形指兩個(gè)圖形中至少有一個(gè)頂點(diǎn)不同）（）

A.可以圍成20個(gè)不同的正方形B.可以圍成24個(gè)不同的長(zhǎng)方形（鄰邊不相等）

C.可以圍成516個(gè)不同的三角形D.可以圍成16個(gè)不同的等邊三角形

【答案】ABC

【分析】利用分類計(jì)算原理及組合,結(jié)合圖形，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】不妨設(shè)兩個(gè)釘子間的距離為1,

對(duì)于選項(xiàng)力，由圖知，邊長(zhǎng)為1的正方形有3X3=9個(gè),邊長(zhǎng)為2的正方形有2X2=4個(gè)，

邊長(zhǎng)為3的正方形有1個(gè),邊長(zhǎng)為方的正方形有2x2=4個(gè)，邊長(zhǎng)為，^的有2個(gè)，共有20個(gè)，所以選項(xiàng)人

正確，

對(duì)于選項(xiàng)B,由圖知，寬為1的長(zhǎng)方形有3X3=9個(gè)，寬為2的長(zhǎng)方形有4x2=8個(gè)，

寬為3的長(zhǎng)方形有5個(gè)，寬為血的有2個(gè)，共有24個(gè)，所以選項(xiàng)B正確，

對(duì)于選項(xiàng)C,由圖知，可以圍成&T0a-44=516個(gè)不同的三角形，所以選項(xiàng)。正確，

對(duì)于選項(xiàng)。，由圖可知，不存在等邊三角形，所以選項(xiàng)。錯(cuò)誤，

故選：ABC.

版目回（2024?遼寧?一模）在一個(gè)只有一條環(huán)形道路的小鎮(zhèn)上，有一家酒館4,一個(gè)酒鬼家住在。，其相對(duì)

位置關(guān)系如圖所示.小鎮(zhèn)的環(huán)形道路可以視為8段小路，每段小路需要步行3分鐘時(shí)間.某天晚上酒鬼從酒

館喝完酒后離開，因?yàn)樽砭?所以酒鬼在每段小路的起點(diǎn)都等可能的選擇順時(shí)針或者逆時(shí)針的走完這段小

路.下述結(jié)論正確的是（）

A.若酒鬼經(jīng)過家門口時(shí)認(rèn)得家門，那么酒鬼在10分鐘或10分鐘以內(nèi)到家的概率為-I

O

B.若酒鬼經(jīng)過家門口時(shí)認(rèn)得家門，那么酒鬼在15分鐘或15分鐘以內(nèi)到家的概率為:

C.若酒鬼經(jīng)過家門口也不會(huì)停下來,那么酒鬼步行15分鐘后恰好停在家門口的概率為磊

OZi

D.若酒鬼經(jīng)過家門口也不會(huì)停下來,那么酒鬼步行21分鐘后恰好停在家門口的概率為焉

OZi

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理和分布計(jì)數(shù)原理可逐個(gè)判定選項(xiàng)得結(jié)果.

【詳解】選項(xiàng)4:10分鐘或10分鐘以內(nèi)到家只能是力一3一。一。，

所以酒鬼在10分鐘或10分鐘以內(nèi)到家的概率為vx=［,故A正確；

選項(xiàng)B:15分鐘或15分鐘以內(nèi)到家，即共走小于或等于學(xué)=5步，

O

可能順時(shí)針A-D走5步概率為（［丫=工，可能逆時(shí)針A-O走3步概率為（1丫=±,

或者逆時(shí)針走四步，順時(shí)針走一步,概率為二（9=擊，

故其概率概率為］+《+條=；，故B正確；

選項(xiàng)。:經(jīng)過家門口不停，15分鐘后恰好停在家門口，共走5步，

可以順時(shí)針走5步，即？1一H-G-F—E一。，概率為5=_X

2~32

可以逆時(shí)針走5步,概率為。聘y=另，

故其概率為七+擊=巨擊，故。錯(cuò)誤；

選項(xiàng)。:經(jīng)過家門口不停，21分鐘后恰好停在家門口，共走7步,

可以逆時(shí)針走5步返回2步，可以順時(shí)針走6步返回1步，

d+cl+c}

所以其概率為=￡，故。正確；

27

故選：ABD.

【題目|6）（2024?山東濟(jì)南?一模）下列等式中正確的是（）

88「e％—1_118

A.￡C：=28B.?。=或D.之0)?=縊

k=lk=2fc=0

【答案】BCD

【分析】

利用（1+為8的展開式與賦值法可判斷力，利用組合數(shù)的性質(zhì)c*c9=可判斷3,利用階乘的裂項(xiàng)法

可判斷。，構(gòu)造（1+%）16=（1+08（1+為8求其含力的項(xiàng)的系數(shù)可判斷D.

【詳解】對(duì)于4因?yàn)椋?+x）8=C^+Clx+da?+…+*8,

88

令力=1,得28=1+—FCf=1+,則>2°工=28—1,故A錯(cuò)誤;

k=i

對(duì)于B,因?yàn)榉?叱=。3,fc=i

8

所以綾=C2+C3+C4+—\-Cl~。￥+或+。：+—

k=2

=d+ci+…+點(diǎn)=…=cf+箴=cf,故石正確；

11_劃一（上一1）!_依一1）?一1）!_卜一1

對(duì)于C,因?yàn)?/p>

(k—1)!k\fc!(A；-l)!fc!(fc-l)!k\

8

所以2k-111方一/+專一卷+…+4—含=1—*,故。正確.

k=2k\(fc-1)!k\

對(duì)于。，（1+2）16=（1+2）80+08,

對(duì)于（1+為16,其含有1的項(xiàng)的系數(shù)為C3

對(duì)于（1+08（1+,）8,要得到含有1的項(xiàng)的系數(shù)，

須從第一■個(gè)式子取出k（04kW8,%CN）個(gè)c,再?gòu)牡诙€(gè)式子取出8—A;個(gè)加,

88

它們對(duì)應(yīng)的系數(shù)為5或綾f=z?y，

k=0k=0

8

所以Z（或）2=。：6,故。正確.

k=0

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題。選項(xiàng)解決的關(guān)鍵是，利用組合的思想，從多項(xiàng)式（1+力）8（1+力戶中得到含有產(chǎn)

的項(xiàng)的系數(shù)，從而得解.

熱點(diǎn)填空題

面目⑦（2024?廣東佛山?二?）甲、乙、丙3人在公交總站上了同一輛公交車，已知3人都將?在第4?站至第?

8站的某一公交站點(diǎn)下車，且在每一個(gè)公交站點(diǎn)最多只有兩人同時(shí)下車，從同一公交站點(diǎn)下車的兩人不區(qū)

分下車的順序，則甲、乙、丙3人下車的不同方法總數(shù)是.

【答案】120

【分析】分3人都在第4站至第8站的某一公交站點(diǎn)1人獨(dú)自出下車和3人中有2人在同一公交站點(diǎn)下車，

另人在另外一公交站點(diǎn)下車，兩種情況討論即可，

【詳解】由題意,3人都在第4站至第8站的某一公交站點(diǎn)1人獨(dú)自出下車，共有人460種，

3人中有2人在同一公交站點(diǎn)下車，另1人在另外一公交站點(diǎn)下車，共有綾4=60種，

故甲、乙、丙3人下車的不同方法總數(shù)是60+60=120種.

故答案為：120.

題目回（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）卜+2一2"的展開式中描3的系數(shù)為.

【答案】-560

【分析】首先將0看成一個(gè)整體，再結(jié)合13的形式，利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解.

2x

【詳解】卜+；—的通項(xiàng)公式為4+產(chǎn)5（x+；廣,（―2y）「，

當(dāng)r=3時(shí)，或+產(chǎn)比?（-2盧卜+「戶y3,

（,+4-）4中，含土2項(xiàng)的系數(shù)為Cl-X3'=2x2,

3

所以展開式中/d的系數(shù)為C3.（-2）.2=-560.

故答案為：一560

題目可（2024?浙江?模擬覆洪I）已知（aa?—l）2（2x—1）3=劭+的2+ai^+a^+a^+a^.若劭+的+&2

+&3+&4+&5=0,貝Ua3=.

【答案】38

【分析】借助賦值法可得a,結(jié)合二項(xiàng)式定理計(jì)算即可得解.

【詳解】令a?=1,則有（a—1）2=a（）+ai+a2+a3+a4+a5=0,即a=1,

3223

即有（2一1）2（2/-I）,貝寸a3=Cl-2-Cl-（-1）+（-^）-2-C1-（-1）+1-2=38.

故答案為：38.

YinBan

ReDianTi

一、單選題

〔題目〔1〕（2024?遼寧大連?一模）將ABCDEF六位教師分配到3所學(xué)校，若每所學(xué)校分配2人，其中

分配到同一所學(xué)校，則不同的分配方法共有（）

A.12種B.18種C.36種D.54種

【答案】B

【分析】先平均分組，再利用全排列可求不同分配方法的總數(shù).

【詳解】將余下四人分成兩組，每組兩人，有上黃種分法，

故不同的分配方法共有90X18種，

故選：B.

（題目|2］（2024?山西皆中?模擬預(yù)測(cè)）若二項(xiàng)式（2工—之『的展開式中所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展

開式的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.15B.60C.-60D.-160

【答案】B

【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)和求出n,再根據(jù)通項(xiàng)公式可得答案.

【詳解】因?yàn)椋?c—十）”的展開式中所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,所以2"=64,即n=6.

'=(T)，26fd管

的展開式的通項(xiàng)公式為M+尸品（22）6

令6—9丁=o,得『=4,故常數(shù)項(xiàng)為（―1）422（76=60.

故選：石

題目包（2024?廣東法江?二W已知（1-2/y=Qo+Ql力H-----1~。9力9，則QO+ZQ］=（）

i=2

A.-2B.-19C.15D.17

【答案】。

【分析】令力=1得到展開式系數(shù)和,再寫出展開式的通項(xiàng)，求出的，即可得解.

【詳解】令冗=1,得劭+的+電+—FQ9=—1,

又（1一26）9展開式的通項(xiàng)為Z+尸瑪（一2尤r=G（-2）V（0《?。?且『GN）,

9

所以0,1—（—2）］xC9——18,所以Q0+〉［a*——1—（—18）—17.

i=2

故選：。

題目@（2024?山東?一模）甲，乙，丙,丁四位師范生分配到A,B,。三所學(xué)校實(shí)習(xí)，若每所學(xué)校至少分到

一人，且甲不去4學(xué)校實(shí)習(xí)，則不同的分配方案的種數(shù)是（）

A.48B.36C.24D.12

【答案】。

【分析】分入學(xué)校只有1人去實(shí)習(xí)和人學(xué)校有2人去實(shí)習(xí)兩種情況討論求解.

【詳解】①若A學(xué)校只有1人去實(shí)習(xí)，則不同的分配方案的種數(shù)是。；或感=18,

②若A學(xué)校有2人去實(shí)習(xí)，則不同的分配方案的種數(shù)是點(diǎn)啰=6,

則不同的分配方案的種數(shù)共有18+6=24.

故選：C.

題目回（2024?安徽?二已知卜一日）”的展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為

（）

A.第5項(xiàng)B.第6項(xiàng)C.第7項(xiàng)D.第8項(xiàng)

【答案】。

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和可得n=8,即可根據(jù)通項(xiàng)特征，列舉比較可得最大值.

Sk

【詳解】由已知2"=256,故n=8,故通項(xiàng)為Tk+1=CsX~（--]k=（一1）上或2%8口供=0,1，…，8）,故奇數(shù)項(xiàng)

\Xf

的系數(shù)為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，

。物=1G22V。豺，箴2』4。舜,??.弩=管=曰＞1,寄=嚀＞1

故或2。最大，因此第七項(xiàng)的系數(shù)最大，

故選：C.

題目回（2024?湖南邵陽?二M）某市舉行鄉(xiāng)村振興匯報(bào)會(huì),六個(gè)獲獎(jiǎng)單位的負(fù)責(zé)人甲、乙、丙等六人分別

上臺(tái)發(fā)言，其中負(fù)責(zé)人甲、乙發(fā)言順序必須相鄰，丙不能在第一個(gè)與最后一個(gè)發(fā)言,則不同的安排方法共有

（）

A.240種B.120種C.156種D.144種

【答案】。

【分析】將甲乙捆綁，并確定丙的位置，排序即可.

【詳解】將將甲乙捆綁看做一個(gè)元素，由丙不能在第一個(gè)與最后一個(gè)發(fā)言，

則丙的位置有3個(gè),將剩余4個(gè)元素再排序有48種方法，

故不同的安排方法共有3x48=144種.

故選：D.

21010

題目7I（2024,江蘇南通,若（1+a?）+（l+工）'+—F（1+x）—a（）+a@+a2c?+—Fa102：，則a2等

于（）

A.49B.55C.120D.165

【答案】。

【分析】依題意可得&2=。升或+B+綾+或+5+盛+或+。；0,再根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式（1+c）”展開式的通項(xiàng)為￡+產(chǎn)且rCN）,

又（1+x）2+（l+a?）,+—F（1+2；）,0—a（）+cii2：+a^x2-!--\-aigX10,

所以a2=C'^+C'a+C^+C^+Cg+Cv+C^+C^+C'io

=cl+cl+cl+cl+cl+chcl+cl+d0

=Cl+Cl+Cl+Cl+C^+Cl+Cl+d0

=C?°+a°=C?產(chǎn)=165.

'JjX蹩/X19

故選：D

題目回（2024?湖北?模擬覆湖能被3整除，且各位數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.228B.210C.240D.238

【答案】A

【分析】根據(jù)題意將10個(gè)數(shù)字分成三組：即被3除余1的；被3除余2的；被3整除的，若要求所得的三位數(shù)

被3整除，則可以分類討論:每組自己全排列或每組各選一個(gè)，求出3的倍數(shù)的三位數(shù)個(gè)數(shù)即可.

【詳解】然后根據(jù)題意將10個(gè)數(shù)字分成三組:

即被3除余1的有1,4,7;被3除余2的有2,5,8;被3整除的有3,6,9,0,

若要求所得的三位數(shù)被3整除，

則可以分類討論:每組自己全排列，每組各選一個(gè)，

所以3的倍數(shù)的三位數(shù)有：（4+川+4-4）+QGU。=228個(gè).

故選：A.

I題目可（2024?湖北?二W把4個(gè)相同的紅球，4個(gè)相同的白球,全部放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子放

2個(gè)球,則不同的放法種數(shù)有（）

A.12B.18C.19D.24

【答案】。

【分析】先分成四組再分類放入盒子，根據(jù)加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.

【詳解】先把8個(gè)球分成4組，每組2個(gè)球，由于紅球相同，白球也相同，

所以記紅球?yàn)樾职浊驗(yàn)閃,則分組方法共有3種：WW,WW-,RW,RW,RR,WW;RW,

RW,RW,RW.

對(duì)于RR,RR,WW,WW.由于盒子是不同的，從4個(gè)盒子中選2個(gè)盒子放ER,RR,剩下2個(gè)盒子放

WW,WW,有或種不同的放法.

對(duì)于RW,WW,從4個(gè)不同的盒子中選2個(gè)盒子放有或種放法，剩下2個(gè)盒子放

RR,14W,有2種放法，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，這組的放法有2或種.

對(duì)于RW,AW,AW,AW,顯然只有1種放法.

由分類加法計(jì)數(shù)原理知不同的放法共有2。：+或+1=19（種）.

故選：C

［題目電（2024?浙江臺(tái)州?二?）房屋建造時(shí)經(jīng)常需要把長(zhǎng)方體磚頭進(jìn)行不同角度的切割，以契合實(shí)際需

要.已知長(zhǎng)方體的規(guī)格為24cmX11cmX5cm，現(xiàn)從長(zhǎng)方體的某一棱的中點(diǎn)處作垂直于該棱的截面，截取1

11K

次后共可以得到12cmx11cmx5cm,24cmx—cmx5cm,24cmx11cmx—cm三種不同規(guī)格的長(zhǎng)方

體.按照上述方式對(duì)第1次所截得的長(zhǎng)方體進(jìn)行第2次截取，再對(duì)第2次所截得的長(zhǎng)方體進(jìn)行第3次截取，

則共可得到體積為165cm3的不同規(guī)格長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.16

【答案】B

［分析］根據(jù)原長(zhǎng)方體體積與得到的體積為165cm3長(zhǎng)方體的關(guān)系，分別對(duì)長(zhǎng)寬高進(jìn)行減半，利用分類加法計(jì)

數(shù)原理求解即可.

【詳解】由題意，乙方體=24x11x5=8x165,為得到體積為165cm3的長(zhǎng)方體，

需將原來長(zhǎng)方體體積縮小為原來的士，

O

可分三類完成：第一類，長(zhǎng)減半3次，寬減半3次、高減半3次，共3種；

第二類，長(zhǎng)寬高各減半1次，共1種；

第三類，長(zhǎng)寬高減半（0,1,2）次的全排列446種，

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共3+1+6=10種.

故選：B

［題目〔11〕（2024?貴州貴相?模擬預(yù)測(cè)）2024年3月16日下午3點(diǎn)，在貴州省黔東南苗族侗族自治州榕江縣

“村超”足球場(chǎng)，伴隨平地村足球隊(duì)在對(duì)陣口寨村足球隊(duì)中踢出的第一腳球，2024年第二屆貴州“村超”總

決賽階段的比賽正式拉開帷幕.某校足球社的五位同學(xué)準(zhǔn)備前往村超球隊(duì)所在村寨調(diào)研，將在第一天前往

平地村、口寨村、忠誠(chéng)村，己知每個(gè)村至少有一位同學(xué)前往，五位同學(xué)都會(huì)進(jìn)行選擇并且每位同學(xué)只能選擇

其中一個(gè)村，若學(xué)生甲和學(xué)生乙必須選同一個(gè)村,則不同的選法種數(shù)是（）

A.18B.36C.54D.72

【答案】B

【分析】分3,1,1和2,2,1兩種情況，分別求出不同的選法再相加即可.

【詳解】若五位同學(xué)最終選擇為3,1,1,先選擇一位同學(xué)和學(xué)生甲和學(xué)生乙組成3人小組,

剩余兩人各去一個(gè)村，進(jìn)行全排列，此時(shí)有或4=18種選擇,

若五位同學(xué)最終選擇為2,2,1,將除了甲乙外的三位同學(xué)分為兩組，再進(jìn)行全排列，

此時(shí)有Cf。；屋=18種選擇,

綜上，共有18+18=36種選擇.

故選：B

題目江（2024?遼寧葫蘆島?一模）若（佚+c丫展開式中常數(shù)項(xiàng)為28,則實(shí)數(shù)小的值可能為（）

A.-1B.1C.2D.3

【答案】4B

【分析】

求出展開式的通項(xiàng)公式，利用工的賽指數(shù)為0求出小值.

【詳解】二項(xiàng)式（++力:展開式的通項(xiàng)公式T+產(chǎn)瑪（羅丁二/=小戰(zhàn)際,r&8,廠GN,

由4r8-Q,解得『=2,則￡=rr^Cl—28m6,于是28m6=28,解得m=±1,

所以實(shí)數(shù)小的值為一1或1.

故選：AB

23i!16

［題目1口（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè)）若（①一1）6=a0+axx+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x，則（）

A.Q（）=1B.。3=20

C.2（X1+40r2+803+1604+32（15+64（16=0D.IQ0+Q2+Q4+Q6I=|。1+。3+。51

【答案】ACD

【分析】將力=0,X-2,X=±1代入（力-1）6=QO+QR+0262+03/3+04/+。5力5+。6/6判斷24co，利用二項(xiàng)式

展開式的通項(xiàng)公式判斷石即可.

【詳解】將力=0代入（/-1）6=Qo+QiI+。2/2+。363+。4力4+。525+。6劣6得（0—1）6=Q（）,解得Q0=1,A正確；

由二項(xiàng)式定理可知（力一I,展開式的通項(xiàng)為￡+1=冊(cè)，—『（一1）\

令6—丁=3得丁=3,所以。3=Cf（—1）3=-20,B錯(cuò)誤；

將力=2代入（/-1）6=Q（）+Q巡+Q2/+Q3d+Q4/+Q5/+Q6/6得（2—1）6=2a1+4電+8。3+16。4+32。5

+64十6,

即2期+4a2+8。3+16。4+32。5+64。6=0,C正確；

將力=1代入3—1）6=&+。1力+。262+。3/3+。4/4+。5力5+。666得（1—1）'=劭+。1+。2+。3+。4+。5+。6,

即0）+。1+。2+。3+。4+。5+。6=0①,

623456

可尋力二-1代入（力-1）=QO+Q巡+a2x+a3x+a^x+a5x-\-a6^（―1—1）=劭-Qi+電—03+@一樂+期，

即劭一曲+電—禽+的―恁+。6=64（2）,

①+②得2（Q0+Q2+Q4+Q6）=64,所以劭+。2+。4+。6=32,

①一②得2（。1+。3+。5）=—64，所以。1+。3+&=-32,

所以|。0+。2+。4+叫=|。1+。3+恁］,D正確；

故選：ACD

［題目|14）（2024?山西看中?模擬預(yù)測(cè)）某中學(xué)的3名男生和2名女生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，比賽結(jié)束后，這5名同

學(xué)排成一排合影留念，則下列說法正確的是（）

A.若要求2名女生相鄰，則這5名同學(xué)共有48種不同的排法

B.若要求女生與男生相間排列，則這5名同學(xué)共有24種排法

C.若要求2名女生互不相鄰，則這5名同學(xué)共有72種排法

D.若要求男生甲不在排頭也不在排尾，則這5名同學(xué)共有72種排法

【答案】ACD

【分析】利用捆綁法解決選項(xiàng)4,利用插空法解決選項(xiàng)50,利用特殊元素優(yōu)先法解決選項(xiàng)D.

【詳解】選項(xiàng)4將2名女生捆綁在一起，再與3名男生進(jìn)行全排列，

則有48（種），故A正確；

選項(xiàng)B,要求女生與男生相間排列，采用插空法，

先將3名男生進(jìn)行全排列，再將2名女生插到3名男生所形成的2個(gè)空中，

則有&A土12（種），故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,先將3名男生進(jìn)行全排列，再將2名女生插到3名男生所形成的4個(gè)空中，

則有⑷4=72（種）,故。正確；

選項(xiàng)D,將5名同學(xué)排成一排，相當(dāng)于將他們放到排成一排的5個(gè)空位中，

先將男生甲排在中間的3個(gè)空位中，再將剩下4名同學(xué)進(jìn)行全排列，

則有⑷/=72（種）,故D正確.

故選：ACD.

題目正（2024?湖北?二O如果+k，山，716",則當(dāng)后取下列何值時(shí),存在小,使

得n=0成立（）

A.9B.40C.121D.7381

【答案】BCD

【分析】方法一：（■（31°°—1）=/［（80+1）25_1］,由二項(xiàng)式定理將（80+1）25展開，再對(duì)選項(xiàng)——判斷即可

10023452345

得出答案；方法二：因?yàn)閥（3-l）=1+3+3+3+3+3+…+399,結(jié)合選項(xiàng)將1+3+3+3+3+3+???

+399分解為g山+打，即可得出答案.

【詳解】方法一：對(duì)于4,如果k=9,口=0,???

那么y(3100-l)=9mn3100=18m+1n8125=18m+1n(80+1)25=18m+1

n8025+O024+?■?+C258O+1=18m+1,

因?yàn)?0不是18的整數(shù)倍，所以當(dāng)k=9時(shí)，九WO.所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,如果k=40,n=0,

那么y(3100-l)=40m03100=80m+1=(80+1)25=80m+1,

由二項(xiàng)式定理可知存在meN,使等式成立，所以B正確；

對(duì)于C,如果k=121,?i=0,

那么y(3X00-l)=121m=>3100=242m+1=(242+1)20=242m+1,

由二項(xiàng)式定理可知存在meN,使等式成立，所以。正確；

對(duì)于。，如果k=7381,n=0,

那么y(3100-l)=7381mn3100=14762m+1n(4x14762+l)10=14762m+1,

由二項(xiàng)式定理可知存在meN,使等式成立，所以。正確.

故選：BCD.

方法二：因?yàn)閥(3100-l)=1+3+32+33+34+35+???+3",

所以。(3?一1)可表示為100項(xiàng)的和，

因?yàn)?+3+32+33+34+35+???+3"=4+9(1+3+32+33+?-?+397),

所以后=9時(shí)，n=4,24錯(cuò)誤；

因?yàn)?+3+3?+33=40,所以1+3+33+33+34+33+?■-+339=40(1+34+38+■?■+396)

(共100項(xiàng)，每4項(xiàng)相加，然后提出40),所以5正確；

由于1+3+32+33+34=121,同理可知。正確；

因?yàn)檎饥?*-。=1+3+32+33+34+35+…+39〉

=(1+32+34+36+38+■-■+398)+(3+33+35+37+39+■??+3")

=4(1+32+34+36+38+…+398)

=4[(1+32+34+36+38)+310(1+32+34+36+38)+---+390(1+32+34+36+38)]

=4[7381(1+310+320+…+3刃],所以。正確.

故選：BCD.

三、填空題

題目,（2024?山東?二O己知二項(xiàng)式（府一5工廠的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，n=

【答案】10

【分析】借助二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得.

【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式（①一5，）”的展開式中，第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,

所以。噂=&，由組合數(shù)的性質(zhì)可得n=10.

故答案為：10.

遒亙卮（2024?江西段州?一模）（/++工+工丫展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

Vxy/-------

【答案】630

11

【分析】+—+工丫表示7個(gè)（x2+y+工+工）相乘，再結(jié)合組合即可得解.

\xy/\xy/

【詳解】（/+"+工+表示7個(gè)（x2-\-y-\~—+工）相乘，

\xy）\x