寧夏石嘴山市2024年高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)卷數(shù)學(xué)試卷含解析

寧夏石嘴山市平羅中學(xué)2024年高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知平面戊，/，直線/滿足/ua,則“/，夕”是“。，尸”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.即不充分也不必要條件

2.圓心為（2,1）且和x軸相切的圓的方程是（）

A.(^-2)2+(y-l)2=1B.(x+2)~+(y+以=1

C.(X-2)2+(J；-1)2=5D.(x+2)2+(y+l)2=5

3.函數(shù)y=2Nsin2x的圖象可能是

x-y+3>0

5.已知實(shí)數(shù)國(guó)y滿足約束條件x+2yN0，則z=3x+y的最小值為()

x<2

A.-5B.2C.7D.11

6.已知非零向量a，人滿足(a—(b-yfla^Lb,則。與b的夾角為()

兀兀九■萬(wàn)

A.—B.—C.—D.一

6432

7.已知加，九是兩條不重合的直線，a,夕是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中錯(cuò)誤的是()

A.若心〃a,a〃6,則心〃/或mu/7

B.若加〃九，m//a,〃atz,則“〃a

C.若mX.a,n±)3,則。

D.若加_L〃，m±a,則〃〃a

8.已知函數(shù)/(x)=；?x3+x2(a>o).若存在實(shí)數(shù)/e(—1,0),且使得/(x0)=/(—；),則實(shí)數(shù)。的取

值范圍為()

22121Q

A.(3,5)B.(3,3)0(3,5)C.(y,6)D.(—,4)0(4,6)

9.已知向量。與向量〃z=(4,6)平行，〃=(—5,1),且口.)=14，則”=()

A.(4,6)B.(T-6)

10.某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點(diǎn)〃在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面

上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上，從〃到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為()

A

A.2#7B.2A/5C.3D.2

11.雙曲線:的漸近線與圓。-3）2+,2=/&>0）相切，則r等于（）

B.2

C.3D.6

一/、/------14

12.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中，存在兩項(xiàng)%,4,使得=3q,a6=2a5+3a4,則一+一的最小值是（）

mn

379

A.—B.2C.-D.一

234

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數(shù)/（x）=|/-l|+f+H+9在區(qū)間（。,3）內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

"x-y+220

14.若變量x,V滿足約束條件3x+y<0,則z=3x+2y的最大值為.

%+v>0

15.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，q=l,且滿足S“=。用，則數(shù)列｛Sj的前10項(xiàng)的和為.

2x-y+2>0

16.實(shí)數(shù)為，y滿足<x-y+lW0,則z=2x+y的最大值為.

x+y-2<0

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）如圖，設(shè)A是由〃x〃個(gè)實(shí)數(shù)組成的〃行"列的數(shù)表，其中砌出尸1,2,3,…，力表示位于第，行第j

列的實(shí)數(shù)，且劭€｛1,-1｝.記S（","）為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對(duì)于n）,記n（A）為A的第i行各數(shù)之積,

nn

Cj⑷為A的第j列各數(shù)之積.令/（A）=ZMA）+?，j（A）

Z=1j=l

Q12???ttln

?21。22ain

????????????

ttnlttn2???dnn

(I)請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)AeS(4,4),使得44)=0；

(II)是否存在AeS(9,9),使得/(A)=0?說(shuō)明理由；

(III)給定正整數(shù)%對(duì)于所有的?),求/(A)的取值集合.

18.(12分)=有最大值，且最大值大于0.

(1)求。的取值范圍；

(2)當(dāng)a=g時(shí)，/(九)有兩個(gè)零點(diǎn)%,%(%<%)，證明：xix2<30-

(參考數(shù)據(jù)：In0.9“-0.1)

19.(12分)如圖，四棱錐尸-ABCD中，四邊形ABC。是矩形，AB^-AD,APAD為正三角形，且平面上

2

平面ABC。，E、歹分別為PC、P5的中點(diǎn).

(1)證明：平面AE)即，平面尸5C；

(2)求二面角5—￡>E—C的余弦值.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx—ax」+(a—B—l)x+N+l(a,leR).

(1)若。=0,試討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若0<a<2,b=l,實(shí)數(shù)占,左為方程了(")=山一招2的兩不等實(shí)根，求證：—+—>4-2?.

占*2

21.(12分)如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為菱形，PAL平面ABCD,BD交AC于點(diǎn)E,F是線段PC

中點(diǎn)，G為線段EC中點(diǎn).

(I)求證：FG//平面PBD；

(II)求證：BD±FG.

22.(10分)已知/(%)=%2+法,41￡R

(1)若b=l,且函數(shù)，(x)在區(qū)間［-l,g］上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的范圍;

(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)為,&，%<2且存在/滿足藥+2%=3々，令函數(shù)g(x)=/(的一/(%),試

判斷g?)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并證明.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

a,￡是相交平面，直線/u平面貝!1“/，，”n“。，尸”，反之直線/滿足/ua,貝!|/上，或/〃/

或/u平面￡,即可判斷出結(jié)論.

【詳解】

解：已知直線/u平面a,貝1“/，，”二>“。1_尸”，

反之。，/?,直線/滿足/ua,貝!或/〃￡或/u平面￡,

二“/，尸”是的充分不必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面和面面垂直的判定與性質(zhì)定理、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力.

2、A

【解析】

求出所求圓的半徑，可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】

圓心為（2,1）且和x軸相切的圓的半徑為1,因此，所求圓的方程為（x-2）2+（y-l>=l.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的方程的求解，一般求出圓的圓心和半徑，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3、D

【解析】

分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在4,兀）上的符號(hào)，即可判斷選擇.

詳解：令/（%）=2Msin2x,

因?yàn)榫舧R,f（-x）=2卜1sin2（—%）=一2兇sin2x=-f（x）9所以f（x）=2兇sin2%為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A,B;

jr

因?yàn)閊^（,，兀）時(shí)，/（x）<0,所以排除選項(xiàng)C,選D.

點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識(shí)別問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值

域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性;

（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).

4、C

【解析】

因?yàn)橐灰灰?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（2,0）對(duì)稱，排除A,B.當(dāng)-時(shí)，

4^力,***,

m（二-￡）；>0,（二所以：排除D.選C.

5、A

【解析】

根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，找到截距的最小值.

【詳解】

x-y+3>0

由約束條件x+2y>0,畫(huà)出可行域ABC如圖

x<2

2=3%+丁變?yōu)槎?-3%+2為斜率為-3的一簇平行線，z為在y軸的截距,

???工最小的時(shí)候?yàn)檫^(guò)C點(diǎn)的時(shí)候，

x—y+3—0x=12/、

解二八得?所以。(一2,1),

[x+2y=0[y=lv7

此時(shí)z=3x+y=3x(-2)+l=—5

故選A項(xiàng)

【點(diǎn)睛】

本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標(biāo)函數(shù)，屬于常規(guī)題型，是簡(jiǎn)單題.

6^B

【解析】

由平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系化簡(jiǎn)，即可由平面向量數(shù)量積定義求得。與b的夾角.

【詳解】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關(guān)系可得(?-42b)-a=a-^a-b=O,

(b—\pla^-b=b—^l2a-b=0,

所以/=7即“=1|,

由平面向量數(shù)量積定義可得M=閩弗辰卜,可，

所以cos@&=*，而卜力卜［0,可，

7T

即。與b的夾角為：.

4

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，平面向量夾角的求法，屬于基礎(chǔ)題.

7、D

【解析】

根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，可判定A；由線面平行的判定定理，可判斷B；C中可判斷￡所成的二面角為

90°;D中有可能“ua,即得解.

【詳解】

選項(xiàng)A：若加〃a,a〃夕，根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，有心〃/或mu〃，故A正確;

選項(xiàng)B：若機(jī)〃“，加〃a,nsa,由線面平行的判定定理，有“〃c,故B正確；

選項(xiàng)C：若nL/3,故a,夕所成的二面角為90°，則。，，，故C正確；

選項(xiàng)D,若〃z_L〃，mLa,有可能"ua,故D不正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象能力，屬于中檔題.

8、D

【解析】

首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值，根據(jù)題意，列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系，求得結(jié)

果.

【詳解】

r2

/(x)=ax+2%,令［(x)=0,得玉=0,x2=——.

a

其單調(diào)性及極值情況如下：

_2

X0(。,+8)

a

/’(%)++

0-0

極小

/(X)極大值

值

若存在工0￡一51(一2，。］,使得/(%)=/

312

(如圖2).

a2a

(圖2)

于是可得?。?。

aeI,4（4,6）,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,

畫(huà)出圖象數(shù)形結(jié)合，屬于較難題目.

9、B

【解析】

設(shè);=（x,y）,根據(jù)題意得出關(guān)于x、V的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出向量。的坐標(biāo).

【詳解】

設(shè)a=(x,y),且〃z=(4,6),人=(—5,1),

由?！ā?，得6x=4y，即3x=2y，①，由<??〃=—5x+y=14，②,

3x=2yx=-4.、

所以，因此，a=(—4,—6).

y二—6

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量坐標(biāo)的求解，涉及共線向量的坐標(biāo)表示和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

10、B

【解析】

首先根據(jù)題中所給的三視圖，得到點(diǎn)M和點(diǎn)N在圓柱上所處的位置，將圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖平鋪，點(diǎn)M、N在其四分

之一的矩形的對(duì)角線的端點(diǎn)處，根據(jù)平面上兩點(diǎn)間直線段最短，利用勾股定理，求得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，

將圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖平鋪，

可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長(zhǎng)方形的寬，圓柱底面圓周長(zhǎng)的四分之一為長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的對(duì)角線的端點(diǎn)處,

所以所求的最短路徑的長(zhǎng)度為742+22=2非,故選B.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點(diǎn)之間的最短距離的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要明確兩個(gè)點(diǎn)在幾何

體上所處的位置，再利用平面上兩點(diǎn)間直線段最短，所以處理方法就是將面切開(kāi)平鋪，利用平面圖形的相關(guān)特征求得

結(jié)果.

11、A

【解析】

由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.

【詳解】

雙曲線的漸近線方程為y=±圓心坐標(biāo)為(3,0).由題意知，圓心到漸近線的距離等于圓的半徑/,即『=..

答案：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

由已知求出等比數(shù)列｛為｝的公比，進(jìn)而求出根+"=4,嘗試用基本不等式，但加,“eN*取不到等號(hào)，所以考慮直

接取私〃的值代入比較即可.

【詳解】

?。6=2%+3。4，二/一24-3=0,,4=3或q=—1(舍).

w+n-2

，c1n=3q,，%?〃〃=〃；?3=9a；,.*.m+〃=4.

147

當(dāng)加=1,〃=3時(shí)—F一二一；

mn3

145

當(dāng)m=2,〃=2時(shí)—F—=—；

mn2

i4137

當(dāng)m=3,〃=1時(shí)，-+-=^,所以最小值為一.

mn33

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算及最小值，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

對(duì)函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)討論交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合求解.

【詳解】

由題：函數(shù)f(x)=|爐_11+/十近+9在區(qū)間(0,3)內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),

22一,xe(0,1]

x+|X-1|+9X

-k=——

x8

2x+—,xe(1,3)

x

一,xe(0,1]

等價(jià)于函數(shù)3=—左送(尤)=<x8恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，

2x+—,xe(1,3)

x

作出大致圖象:

要有兩個(gè)交點(diǎn)，即一左

所以左e1―8),

田田田口,f26

故答案為：keI---,-8c

【點(diǎn)睛】

此題考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵在于對(duì)函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題恰當(dāng)變形，等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形

結(jié)合求解.

14、3

2

【解析】

3z

根據(jù)約束條件可以畫(huà)出可行域，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線y=-'X+萬(wàn)在y軸截距最大的問(wèn)題的求解，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的

方式可確定過(guò)時(shí)，z取最大值，代入可求得結(jié)果.

【詳解】

由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示:

3z

直線y=-^x+—在y軸截距最大;

22

33z

由直線y=--x平移可知，當(dāng)丁=—-x+—過(guò)3時(shí)，在V軸截距最大,

222

%-y+2=033

由＜得：B?\Zmax=3'+2x_=—

[3x+y=0ill22

3

故答案為：-

2

【點(diǎn)睛】

本題考查線性規(guī)劃中最值問(wèn)題的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為直線在y軸截距的最值的求解問(wèn)題,通過(guò)數(shù)形結(jié)合的

方式可求得結(jié)果.

15、1

【解析】

由S“=4+1得〃22時(shí)，兩式作差，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出數(shù)列的和.

【詳解】

解：數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為S",4=1,且滿足5〃=4+1，①

當(dāng)“22時(shí)，S._]=a“，②

aaa

①-②得：n~n+l~n>

a1

整理得：」包=2（常數(shù)），

an

故數(shù)列｛q｝是以外=1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以q=1-2片2（首項(xiàng)不符合通項(xiàng)），

所以：%=1+"21）=512,

102-1

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，數(shù)列的前幾項(xiàng)和的公式，屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

畫(huà)出可行域，解出可行域的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，比較大小得到目標(biāo)函數(shù)最值.

【詳解】

解：作出可行域，如圖所示，

則當(dāng)直線z=2x+y過(guò)點(diǎn)C時(shí)直線的截距最大，z取最大值.

x+y-2=0x—713

由［；.?(七,：),同理8(0,2),A(—1,O),

x-y+l=0322

本題考查線性規(guī)劃的線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問(wèn)題.線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得，所以

對(duì)于一般的線性規(guī)劃問(wèn)題，若可行域是一個(gè)封閉的圖形，我們可以直接解出可行域的頂點(diǎn)，然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)

求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值；若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來(lái)求最值.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(I)答案見(jiàn)解析；(II)不存在，理由見(jiàn)解析;(HD[2(n-2k)\k=0,l,2,...,n}

【解析】

(I)可取第一行都為-1,其余的都取1,即滿足題意；

(II)用反證法證明：假設(shè)存在，得出矛盾，從而證明結(jié)論；

(in)通過(guò)分析正確得出(4)的表達(dá)式，以及從4如何得到Al,A2……，以此類推可得到心.

【詳解】

(I)答案不唯一，如圖所示數(shù)表符合要求.

-1-1-1-1

1111

1111

1111

(II)不存在ACs(9,9),使得/⑷=0,證明如下:

假如存在AG5(9,9),使得/⑷=0.

因?yàn)槭驛)e{1,7},cy(A)e{l,-l}(z；j=1,2,3,...,9),

所以4(A),所A),與⑷,q(A),C2(A),C9(A)這18個(gè)數(shù)中有9個(gè)1,9個(gè)-1.

令A(yù)f=^(A)-^(A)...^(A)-C1(A)-C2(A)...C9(A).

一方面，由于這18個(gè)數(shù)中有9個(gè)1,9個(gè)-1,從而"=(—1)9=_1①，

另一方面，4(A)"(A)…"A)表示數(shù)表中所有元素之積(記這81個(gè)實(shí)數(shù)之積為")；

2

q(A)?C2(A)...C9(A)也表示m,從而M=m=1@.

①，②相矛盾，從而不存在AeS(9,9),使得/(A)=0.

(Ill)記這“2個(gè)實(shí)數(shù)之積為

一方面，從“行”的角度看，有刀=/A)"(A)…q(A)；

另一方面，從“列”的角度看，有p=q(A)-C2(A)...q,(A)；

從而有彳(A)?&(A)…rn(A)=q(A)-c2(A)...cn(A)③，

注意到小A)e{1,-1},c/A)e{1,-1}(1<i<n,l<j<n),

下面考慮虱A),々(A),下A),q(A),C2(A),...?下A)中-1的個(gè)數(shù)，

由③知，上述2n個(gè)實(shí)數(shù)中，-1的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)，該偶數(shù)記為2k(0<k<n),則1的個(gè)數(shù)為2n-2k,

所以/(4)=(一1)*2左+1*(2"—2左)=2(〃一2左)，

對(duì)數(shù)表4：%=1",/=1,2,3,...,“),顯然/(4)=2”.

將數(shù)表4中的%由1變?yōu)?1,得到數(shù)表A，顯然/(A)=2〃-4,

將數(shù)表A中的由1變?yōu)?1，得到數(shù)表4,顯然(4)=2〃—8,

依此類推，將數(shù)表Ai中的。次由1變?yōu)?1,得到數(shù)表4,

即數(shù)表4滿足：0n=/2=???=%"=T(1〈左〈“)，其余%,=1，

所以彳(A)=4(A)=…=a(A)=-1,q(A)=02(4)=...=c式A)=-1,

所以/(4)=2[(—l)x左+(〃一左)]=2八一4左，

由左的任意性知，/(A)的取值集合為{2(“一2人)|左=0,1,2"..,“}.

【點(diǎn)睛】

本題為數(shù)列的創(chuàng)新應(yīng)用題，考查數(shù)學(xué)分析與思考能力及推理求解能力，解題關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)引入的概念與性質(zhì)

進(jìn)行推理求解，屬于較難題.

(1A

18、(1)0,一；(2)證明見(jiàn)解析.

Iej

【解析】

⑴求出函數(shù)y=/(力的定義域?yàn)?0,+。)，/'(力=匕竺，分awo和0>0兩種情況討論，分析函數(shù)y=/(x)

的單調(diào)性，求出函數(shù)y=/(x)的最大值，即可得出關(guān)于實(shí)數(shù)”的不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)”的取值范圍；

⑵利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)y=/(x)在(0,3)上遞增，在(3,+8)上遞減，可得出0<%<3<々，由

fix2)~f~2=/(石)—/~~2—31n—^+——In30,構(gòu)造函數(shù)g(x)=31n;v_.H---In30,證明出

(30、

g(%)>0,進(jìn)而得出〃々)>/—，再由函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(3,+8)上的單調(diào)性可證得結(jié)論.

)

【詳解】

(1)函數(shù)〃x)=lnx—依的定義域?yàn)?0,+8),且/'(力=匕竺.

當(dāng)aVO時(shí)，對(duì)任意的x>0,/'(x)>0,

此時(shí)函數(shù)y="力在(0,+。)上為增函數(shù)，函數(shù)y=/(%)為最大值；

當(dāng)a>0時(shí)，令/''(x)=0,Mx=—.

當(dāng)0<x<:時(shí)，r(%)>0,此時(shí)函數(shù)y=/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，/'(元)<0,此時(shí)函數(shù)y=/(x)單調(diào)遞減.

所以，函數(shù)丁=/(￡)在％=一處取得極大值，亦即最大值，

即/(x)max=/［：］=—lna—l〉0,解得°<a<:.

綜上所述，實(shí)數(shù)4的取值范圍是0<?！?；

e

(2)當(dāng)a=；時(shí)，/(%)=ln%-,定義域?yàn)?0,+8),

11Q_r

f\x)=--=^-±,當(dāng)0<%<3時(shí)，/'(x)>0；當(dāng)x>3時(shí)，r(%)<0.

JCJJ%

所以，函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,3),單調(diào)遞減區(qū)間為(3,+8).

由于函數(shù)y=/(可有兩個(gè)零點(diǎn)用、4且玉</，,。<七<3<%2,

當(dāng)=/(^i)-/當(dāng)=[比%—今>In當(dāng)一當(dāng)=31nx1-1-+^-ln30,

xx

\iJ\iJvJyxxxxj。小

構(gòu)造函數(shù)g(x)=31nx—5+U—ln30,其中0<x<3,

JX

丁一9/+60

8[)X3X33/

令/z(x)=d-9/+60,h'(^x)=3x2-18x=3x(x-6),當(dāng)0<x<3時(shí)，"(x)<0,

所以，函數(shù)y=〃(x)在區(qū)間(0,3)上單調(diào)遞減，則人(力>/?3)=6>0,貝！Jg，(x)<0.

所以，函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(0,3)上單調(diào)遞減,

'.0<x1<3,.-.1?(x1)>,?(3)=31n3-l+y-ln30=ln0.9+1>0,

即八了2)-//=〃/)-//=g(xJ>0,即/(%)>//

777

303010,,,

0<%<3,.,.二>3=可>3o且々〉3,而函數(shù)y=/(l)在(3,+oo)上為減函數(shù),

X]yJ

x

所以，2<—,因此，xfx2<30.

xi

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的最值求參數(shù)，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，利用所證不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解答

的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.

19、(1)見(jiàn)解析；(2)Y2

4

【解析】

(1)取AD中點(diǎn)。，BC中點(diǎn)、H,連接PO,OH,PH.設(shè)EF交PH于G,則G為ZW的中點(diǎn)，連接OG.

通過(guò)證明OG，PH,OG±EF,證得OG，平面PBC,由此證得平面ADEF±平面PBC.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面。EC和平面比)￡的法向量，計(jì)算出二面角8—OE—C的余弦值.

【詳解】

（1）取AO中點(diǎn)。，中點(diǎn)連接PO,OH,PH.

設(shè)EF交PH于G,則G為P7/的中點(diǎn)，連接。G.

設(shè)A￡>=2,則A5=若，PO=V3，：.OG±PH.

由已知AD_LPO,ADLOH,，AD,平面PQH,：.AD±OG.

'：EF/l-BCIl-AD,：.EFA.OG,

=2=2

■:EFcPH=G9**?OG_L平面PBC,

TOGu平面AD所，，平面平面尸3C.

（2）由（1）及已知可得尸0,平面ABC。，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系。-孫z,設(shè)AZ）=2,則。（0,0,6,

C（V3,1,O）,D（O,1,O）,B（A-1,O）,E￥，；岑，DE=，-;，圖,DC=",O,O），加=卜62,0）,

氐=0

設(shè)平面DEC的法向量為m=（尤,y,z）,」+與=。令>=看得力=（0,逝,1）.

萬(wàn)2-2

1

百,6_n

：.<^2X°~2y°~TZ°~,令/得〃=僅

設(shè)平面8DE的法向量為〃=（%,%,z0）,=26,—1),

-V3x0+2y0=0

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

20、（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)題意得了'（X）,分與b>-1討論即可得到函數(shù)“X）的單調(diào)性;

(2)根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)g(x),得g(xJ=g(X2)=〃2,參變分離得a-2=呻

再一x2

分析不等式工+二->4-2a,即轉(zhuǎn)化為五一三<一21n三，設(shè)三=々〉1),再構(gòu)造函數(shù)g⑺=21nfT+工，利用

X]x2x2X]/X]'/t

導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性，進(jìn)而得證.

【詳解】

(1)依題意x>0,當(dāng)。=0時(shí)，r(x)=L—3+1),

X

①當(dāng)1時(shí)，/(盼>。恒成立，此時(shí)“X)在定義域上單調(diào)遞增；

②當(dāng)Z?〉_l時(shí)，若f'(x)>0；若f\x)<0；

Ib+lj1人+1)

故此時(shí)/'(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為\0,Jr]，單調(diào)遞減區(qū)間為(J7,+s].

Ib+1)1匕+1)

(2)方法1：由/(x)=m―ax?得inx+(a—2)x+2—根=0

令g(%)=lnx+(a—2)x+2,則g(Xi)=g(x2)=m9

小lnx9-Inx.

依題意有Inxl+(a-2)%=In%2+(a—2)x2,即。-2=----=--------,

一一元]一%2

11,-x、-2(lnx-InxJ

要證一+—>4-2。，只需證」~^>2(2—。)=」~~?-----以(不妨設(shè)玉<馬)，

占X2玉%%-%

即證土一*<-21n2,

x2石不

x1211

令二=/?〉1),設(shè)g?)=2hUT+;則g'(/)=——1--=-(—1)2<0,

x\tttt

???g⑺在(L+8)單調(diào)遞減，即g?)<g⑴=0,從而有二-+'->4-2〃.

x1x2

方法2：由/(%)=根—ax2得In尤+(a—2)x+2一根=0

令g(x)=lnx+(a—2)%+2,則g&)=gQ)=根，g\x)=--(2-a)

x

當(dāng)xe(0,」一)時(shí)g'(x)>0,xe(」一,+(?)時(shí)g'(x)<0,

2-a2-a

故g(x)在(0,')上單調(diào)遞增，在(',+8)上單調(diào)遞減，

2-a2-a

不妨設(shè)入1Vx2，則。<玉<」一<%2，

2—a

—11,一修小1、

要證---1---->4—2a,只需證再<,易知￡(0,),

VV(4—2a)x—1(4——12—a

故只需證ga)<g((4-2：)x「l)'即證g?)<g((4_2：j%_i)

%]

令力(x)=g(x)—g(-~-),(X〉-----)，

(4-2tz)x-l2-a

1x

貝!]〃(x)=g'CO+己------；----筐"'(二c、一7)

川[(4-2a)x-l](4-2a)x-l

1-(2-Q)%+1(2-ci)x-1

(2

X[4-2a)x-l]LX[(4_2a)x-1丁

(也可代入后再求導(dǎo))

J,+s］上單調(diào)遞減，二飄x)</z(.

71a)在---)=0,

2-a)2-a

1JQ11

故對(duì)于x>------時(shí)，總有g(shù)(x)<g(~-).由此得一+—>4-2a

2-a(4-2a)x-lxxx2

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

21、(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析.

【解析】

分析：(1)先證明FG//PE,再