2024年北京市東城區(qū)中考二模數(shù)學試題

東城區(qū)2023-2024學年度第二學期初三年級統(tǒng)一測試（二）數(shù)學試卷考生須知1．本試卷共8頁，共三道大題，28道小題，滿分100分，考試時間120分鐘．2．在試卷和答題卡上準確填寫學校、班級、姓名和教育ID號．3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．4．在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．5．考試結(jié)束后，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回．一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1—8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.下列圖形中，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形：一個平面圖形，沿某條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，以及中心對稱圖形：一個平面圖形，繞一點，旋轉(zhuǎn)，與自身完全重合，進行判斷即可．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，符合題意；B、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；C、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，不符合題意；D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，不符合題意；故選A．【點睛】本題考查軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別．熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，是解題的關(guān)鍵．2.4月18日是國際古跡遺址日．在國家考古遺址公園聯(lián)盟聯(lián)席會上發(fā)布的《2023年度國家考古遺址公園運營報告》顯示，圓明園等全國55家國家考古遺址公園2023年接待游客總量超6700萬人次，同比增長．將67000000用科學記數(shù)法表示應為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值，確定，即可．【詳解】解：，故選擇：B．3.在下列各式中，從左到右計算結(jié)果正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次根式的加減運算，算術(shù)平方根，完全平方公式的應用，分式的加減運算，正確的計算是解題的關(guān)鍵．分別根據(jù)以上知識逐一計算即可．【詳解】解：A．，不是同類二次根式，不能合并，故該選項不正確，不符合題意；B．，故該選項不正確，不符合題意；C．，故該選項不正確，不符合題意；D．，故該選項正確，符合題意；故選D4.若實數(shù)的取值范圍在數(shù)軸上的表示如圖所示，在下列結(jié)論中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是在數(shù)軸上表示不等式的解集，不等式的性質(zhì)，化簡絕對值，根據(jù)絕對值的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)逐一分析判斷即可．【詳解】解：∵，∴當時，，故A不符合題意；∵，∴，故B符合題意；∵，∴，故C不符合題意；∵，∴，故D不符合題意；故選：B5.若一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A.5 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和和外角和問題，設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式和外角和并結(jié)合題意得出等式，計算即可得出答案．【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為，由題意得：，解得：，故這個多邊形的邊數(shù)是，故選：C．6.一個圓錐的底面半徑的長為3，母線的長為15，則側(cè)面展開圖的面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了圓錐的計算，根據(jù)圓錐側(cè)面積展開圖公式計算即可得出答案．【詳解】解：由題意得：側(cè)面展開圖的面積是，故選：C．7.在一個不透明的盒子中裝有3個小球，其中2個紅球、1個綠球，除顏色不同外，其它沒有任何差異．小紅將小球搖勻，從中隨機摸出2個小球，恰好是1個紅球和1個綠球的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識點為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，然后再用概率公式求解即可．【詳解】解：畫出樹狀圖如圖：共有種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中恰好是1個紅球和1個綠球的情況有種，∴恰好是1個紅球和1個綠球的概率是，故選：D．8.如圖，在中，于點，點是的中點．設(shè)，，，，，，且，有以下三個結(jié)論：①；②點，，在以點為圓心，為半徑的圓上；③．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】B【解析】【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形的特征，完全平方公式的應用，利用勾股定理可判斷①結(jié)論；利用線段中點以及直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可判斷②結(jié)論；利用勾股定理以及完全平方公式可判斷③結(jié)論．【詳解】解：，，，，，，且，，①結(jié)論正確；，，，點是的中點，，若，則，此時點，，在以點為圓心，為半徑的圓上，而題干中沒有給出此條件，②結(jié)論錯誤；在中，，即，，，，，即，③結(jié)論正確，故選：B二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】本題考查分式有意義的條件，根據(jù)分式的分母不為0時，分式有意義，進行求解即可．【詳解】解：若代數(shù)式有意義，則，解得：；故答案為：．10.因式分解：________．【答案】【解析】【分析】本題考查了綜合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可得出答案，熟練掌握完全平方公式是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：．11.當________，________時，可以說明“若，則”是假命題（寫出一組，的值即可）．【答案】①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查了舉例說明命題的真假，由當，時，得出，但，，即，即可得解．【詳解】解：當，時，，但，，即，故當，時，可以說明“若，則”是假命題，故答案為：，（答案不唯一）．12.在平面直角坐標系中，若點是函數(shù)和的圖象的一個交點，則這兩個函數(shù)圖象的另一個交點的坐標是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象的兩個交點關(guān)于原點對稱，即可得出答案．【詳解】解：∵正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象的兩個交點關(guān)于原點對稱，∴由一個交點的坐標是，可得另一個交點的坐標是，故答案為：．13.若，則代數(shù)式的值為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了分式的化簡求值，由得出，再將括號內(nèi)先通分，將除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分即可化簡，最后整體代入進行計算即可，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，故答案為：．14.若關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根的差等于2，則實數(shù)的值是________．【答案】或【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，和系數(shù)，，，有如下關(guān)系：，，設(shè)方程的兩個根為，，由題意得：，，，再利用完全平方公式的變形得出，求出的值，再利用判別式檢驗即可得出答案．【詳解】解：設(shè)方程的兩個根為，，由題意得：，，，，，解得：或，當時，，符合題意；當時，，符合題意，綜上所述，實數(shù)值是或，故答案為：或．15.下圖是年我國主要可再生能源發(fā)電裝機容量（億千瓦）統(tǒng)計圖．根據(jù)上述信息，下列推斷合理的是________（填寫序號）．①年，我國主要可再生能源發(fā)電中，太陽能發(fā)電裝機容量增幅最大；②年，相對于風電和太陽能發(fā)電，我國水電發(fā)電裝機容量比較穩(wěn)定；③，我國水電發(fā)電裝機容量一直高于風電發(fā)電裝機容量．【答案】①②##②①【解析】【分析】本題考查了由條形統(tǒng)計圖推斷結(jié)論，根據(jù)條形統(tǒng)計圖提供的數(shù)據(jù)，逐一分析即可得出答案．【詳解】解：由圖可得：①年，我國主要可再生能源發(fā)電中，太陽能發(fā)電裝機容量增幅最大，故①正確，符合題意；②年，相對于風電和太陽能發(fā)電，我國水電發(fā)電裝機容量比較穩(wěn)定，故②正確，符合題意；③2023，我國水電發(fā)電裝機容量低于風電發(fā)電裝機容量，故③錯誤，不符合題意；綜上所述，推斷合理的是①②，故答案為：①②．16.現(xiàn)有一半徑10米的圓形場地，建立如圖所示的平面直角坐標系，場地圓心的坐標為．機器人在該場地中（含邊界），根據(jù)指令完成下列動作：先朝其面對的方向沿直線行走距離s，再在原地逆時針旋轉(zhuǎn)角度，執(zhí)行任務(wù)．機器人位于坐標原點處，且面對軸正方向．（1）若給機器人下達指令，則機器人至少重復執(zhí)行________次該指令能回到坐標原點O處；（2）若給機器人下達指令，使機器人重復執(zhí)行該指令回到坐標原點O處，且s最大，則應給機器人下達的指令是________．【答案】①.4②.【解析】【分析】本題主要是考查了坐標與圖形：（1）根據(jù)機器人應移動到點到原點的距離為4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)方向進行移動即可；（2）先確定運動距離和方向角，則可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）如圖：給機器人下達指令，則機器人至少重復執(zhí)行4次該指令能回到坐標原點O處；（2）如圖，應給機器人下達的指令是，故答案為：4；三、解答題（本題共68分，第17—22題，每題5分，第23—26題，每題6分，第27—28題，每題7分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17.計算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，利用二次根式的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪、乘方的意義進行化簡，再計算加減即可，掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：．18.解不等式組：【答案】【解析】【分析】本題主要考查解一元一次不等式組，根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出不等式組的解集即可．【詳解】解：解不等式①，得，；解不等式②，得，，所以，不等式組的解集為：19.如圖，已知及外一點．求作：的切線，．作法：①連接；②分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點，，作直線交于點；③以點為圓心，的長為半徑畫圓，交于點，（點位于的上方）；④作直線，；則直線，就是所求作的直線．（1）利用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）設(shè)線段交于點，連接，，．若，則°，°．【答案】（1）畫圖見解析（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，畫出圖形即可；根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得出，再根據(jù)垂線的定義，得出，，再根據(jù)切線的判定定理，即可得出結(jié)論．（2）如圖，連接，，，再結(jié)合圓周角定理，切線的性質(zhì)與切線長定理可得答案．【小問1詳解】解：補全圖形如圖：理由如下：∵是的直徑，∴（直徑所對的圓周角為直角）．∴，．∵，是的半徑，∴，是的切線．【小問2詳解】解：如圖，連接，，，∵，∴，∵，為的切線，∴，，∴．【點睛】本題考查的是畫圓的切線，四邊形的內(nèi)角和定理的應用，圓周角定理的應用，切線的性質(zhì)，切線長定理的應用，熟練的作線段垂直平分線是解本題的關(guān)鍵．20.如圖，在四邊形中，點在上，，，于點，于點，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）證明，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得，進而證明，再證明是等腰直角三角形，然后證明由含的直角三角形的性質(zhì)得，進而由勾股定理求出的長，即可解決問題．【小問1詳解】證明：∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形；【小問2詳解】解：由（1）可知，四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，和中，，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21.列方程或方程組解應用題．如圖1，正方形是一塊邊長為的灰色地磚，在A，B，C，D四個頂點處截去四個全等的等腰直角三角形后，得到一塊八邊形地磚．用四塊相同的該八邊形地磚和一塊黑色正方形地磚拼成如圖2所示的圖案，該圖案的面積為（不考慮接縫），求一塊八邊形地磚和黑色正方形地磚的面積．【答案】一塊八邊形地磚的面積為，黑色正方形地磚的面積為【解析】【分析】本題主要考查一元一次方程的應用，可設(shè)等腰直角三角形直角邊長為，則斜邊度為，根據(jù)正方形的邊長和正八邊形邊長相等列出方程，求出和，即可得出結(jié)論【詳解】解：設(shè)等腰直角三角形直角邊長為，則斜邊度為，根據(jù)題意得，，解得，，∴∴黑色正方形地磚的面積；則一塊八邊形地磚的面積，答：一塊八邊形地磚的面積為，黑色正方形地磚的面積為22.在平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過點和．（1）求該函數(shù)的解析式；（2）當時，對于的每一個值，函數(shù)的值小于函數(shù)的值，當時，對于的每一個值，函數(shù)的值小于0，直接寫出的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)與一元一次不等式，根據(jù)題意列出不等式組是解此題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意列出不等式組，解不等式即可得出答案．【小問1詳解】解：函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，，解得：，該函數(shù)的解析式為；【小問2詳解】解：當時，，當時，對于的每一個值，函數(shù)的值小于函數(shù)的值，，，解得：，當時，對于的每一個值，函數(shù)的值小于0，，解得：，．23.某校舉辦“學生講堂”，1班為了選出一位同學代表班級參賽，先后進行了筆試和面試．在筆試中，甲、乙、丙三位同學脫穎而出，他們筆試成績（滿分100）分別是95，94，88．在面試中，十位評委對甲、乙、丙三位同學的表現(xiàn)進行打分，每位評委最高打10分，面試成績等于各位評委打分之和．對甲、乙、丙三位同學的面試的數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析，下面給出了部分信息．a(chǎn)．評委給甲同學打分如下：10，10，9，8，8，8，7，7，6，5b．評委給乙、丙兩位同學打分的折線圖：c．甲、乙、丙三位同學面試情況統(tǒng)計表：同學評委打分中位數(shù)面試成績甲8乙985丙87根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）直接寫出表中的值；（2）在面試中，如果評委給某個同學的打分的方差越小，則認為評委對該同學面試的評價越一致．據(jù)此推斷：甲、乙、丙三位同學中，評委對的評價更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；（3）在筆試和面試兩項成績中，按筆試成績占，面試成績占，計算甲、乙、丙的綜合成績，綜合成績最高的是（填“甲”、“乙”或“丙”）．【答案】（1），（2）丙（3）乙【解析】【分析】本題考查了求中位數(shù)、求方差、求加權(quán)平均數(shù)，熟練掌握求法是解此題的關(guān)鍵．（1）將甲的成績?nèi)肯嗉蛹纯傻贸龅闹?，根?jù)中位數(shù)的定義即可得出的值；（2）分別求出甲、乙、丙面試成績的方差，比較即可得出答案；（3）分別求出甲、乙、丙的最終成績，進行比較即可得出答案．【小問1詳解】解：由題意可得：，將丙得面試成績按從小到大排列如下：，，，，，，，，，，故；【小問2詳解】解：，，，，，，，故評委對丙的評價更一致；【小問3詳解】解：甲的成績?yōu)椋海ǚ郑业某煽優(yōu)椋海ǚ郑?，丙的成績?yōu)椋海ǚ郑?，綜合成績最高的是乙．24.如圖，在中，，于點，交外接圓于點．連接，于點，交的延長線于點．（1）求證：；（2）當，時，求線段的長及的外接圓的半徑長．【答案】（1）證明見解析（2），的外接圓的半徑長為【解析】【分析】（1）證明，結(jié)合，可得，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）如圖，過作于，證明，設(shè)，而，求解，可得，可得，設(shè)，由，可得，可得，再證明，再進一步可得答案．【小問1詳解】證明：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】解：如圖，過作于，∵，∴，設(shè)，而∴，∵，∴，而，∴，解得：，∴，∴，∵，，∴，設(shè)，∴，∵，∴，∵，∴，解得：，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴為的直徑，∴的外接圓的半徑長為．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理的應用，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．25.如圖，在等邊中，，點是的中點，點是邊上一個動點，連接，．設(shè)，兩點間的距離為，．小明根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)隨自變量的變化而變化的規(guī)律進行了探究．下面是小明的探究過程，請補充完整：（1）按照下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量，得到了與的幾組對應值：00.511.522.533.544.5554.64.34.14.24.65.15.66.26.8的值為（保留一位小數(shù)）；（2）在平面直角坐標系中，描出補全后的表中各組數(shù)值所對應的點，并畫出函數(shù)的圖象；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題（保留一位小數(shù)）：①當時，兩點間的距離約為；②當時，兩點間的距離約為．【答案】（1）（2）見解析（3）①或；②【解析】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、畫函數(shù)圖象、三角形中位線定理、勾股定理等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）當時，則，由等邊三角形性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出，由三角形中位線定理即可得出，從而即可得出答案；（2）根據(jù)表格描點連線即可得出函數(shù)圖象；（3）①由函數(shù)圖象即可得出答案；②畫出函數(shù)，與原函數(shù)的交點即為所求．【小問1詳解】解：當時，如圖：，則，為的中點，是等邊三角形，，，點是的中點，是的中位線，，，；【小問2詳解】解：畫出圖象如圖所示：；【小問3詳解】解：①由圖象可得：當時，兩點間的距離約為或；②如圖：當時，兩點間的距離約為．26.在平面直角坐標系中，已知拋物線．（1）求該拋物線的頂點坐標（用含的式子表示）；（2）若對于該拋物線上的三個點，，，總有，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、把二次函數(shù)化為頂點式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（1）利用配方法把拋物線解析式配成頂點式即可求得頂點坐標；（2）由（1）可得：拋物線的對稱軸為直線，拋物線開口向上，由題意得出點距離對稱軸的距離大于點距離對稱軸的距離大于點距離對稱軸的距離，即，求解即可得出答案．【小問1詳解】解：，該拋物線的頂點坐標為【小問2詳解】解：由（1）可得：拋物線的對稱軸為直線，拋物線開口向上，對于該拋物線上的三個點，，，總有，點距離對稱軸的距離大于點距離對稱軸的距離大于點距離對稱軸的距離，，解得：，實數(shù)的取值范圍為．27.如圖，在中，，．點是邊上的動點，，點關(guān)于直線的對稱點為，連接．直線與直線交于點．（1）補全圖形；（2）求的大?。唬?）用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）見解析（2）（3），證明見解析【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、三角形外角的定義及性質(zhì)、等邊對等角等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，補全圖形即可；（2）連接，則，由軸對稱的性質(zhì)結(jié)合題意得出，從而得出，求出，由等邊對等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出，最后由三角形外角的定義及性質(zhì)即可得出答案；（3）延長至，使，連接，證明，得出，即可得解．【小問1詳解】解：補全圖形如圖所示：；【小問2詳解】解：如圖，連接，，，，點關(guān)于直線的對稱點為，，，，，，，，；【小問3詳解】解：，證明如下：如圖，延長至，使，連接，，，，即，，，，，，