高中數(shù)學(xué)橢圓知識點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典習(xí)題練習(xí)

第二局部圓錐曲線（一）一一橢圓

知識點(diǎn)一：1、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)馬的距離之和等于常數(shù)［大于ICE?）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓.即:

\MFl\+\MF2\=2a,（2a>\RF?|）?

注意：假設(shè)（戶片卜陽工|）,那么動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為線段

\+\PF2KB；

這兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距.

2、橢圓的幾何性質(zhì)：

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程3+方=1(?>0)

I______

圖形X

J

焦點(diǎn)%-c,0),F2(C,0)FJO-c),工(0,c)

焦距%=2CKB=2c

范圍x<a,y<b|x<b,|y<a

對稱性關(guān)于X軸、y軸和原點(diǎn)對稱

頂點(diǎn)(土a,0),(0,±。)(0,土a),(土仇0)

性質(zhì)

軸長長軸長=2a,短軸長=2萬

c

離心率e=—(0<e<1)

a

a1a1

準(zhǔn)線方程x=±——y=±——

Cc

焦半徑\PF1\=a+exQf\PF2\=a-exQ\PI\\=a+ey0,\PF2\=a-ey0

注意：橢圓j+5=l,「+j=l（a>>>0）的相同點(diǎn)：形狀、大小都相同；參數(shù)間的關(guān)系都有

a2b-a2b2

（a>人>0）和6=￡（0<6<1）,a2=b2+c2；不同點(diǎn)：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不

a

相同。

22

知識點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1.當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：三+勺=1（穌。>0）,

ab

其中=a--b-

2.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：二+烏=1(。>〃>0),其中c2=M—/；注意：

ab

1.只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)，才能得到

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2.在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有(a>〃>0)和/=/一。2；

3.橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上.

當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(G0)，(-G。)；

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c),(0,-c)

知識點(diǎn)三：橢圓的簡單幾何性質(zhì)

22

橢圓：二+二=1(。>6>0)的簡單幾何性質(zhì)

ab

22

(1)對稱性：對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程0+鼻=1(。>人>0)：說明

ab

把工換成一工、或把y換成—y、或把％、y同時(shí)換成一元、一、

22

原方程都不變，所以橢圓二+q=1是以X軸、y軸為對稱軸

a"b-

的軸對稱圖形，并且是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，這個(gè)

對稱中心稱為橢圓的中心。

⑵范圍:

橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線x=±。和y=±6所圍成的矩形內(nèi)，

所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足卜|〈匕。

(3)頂點(diǎn)：①橢圓的對稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。

22

②橢圓二+q=1(a>匕>0)與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為

ab

A(-6Z,0),A2(6Z,0),B^O-b),32(0,b)③線段A4，5層分別叫做橢圓的長軸和短軸，

IA4|=2a,|4與|=2Z?o。和人分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。

(4)離心率：

2cc

①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作《=—二—。

2aa

②因?yàn)?a>c>0),所以e的取值范圍是(0<e<1)。e越接近1,那么c就越接近a,從而b=7a2-c2

越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0,c就越接近0,從而〃越接近于這時(shí)橢圓就越接近于圓。

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0,這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)?/p>

方程為/+/=。。注意：橢圓「+==1的圖像中線

ab

幾何特征［如下列圖)：⑴(|尸￡\+\PF2|=2a)；

附I歸

(\PM,\+PM2\=^~)；

|產(chǎn)監(jiān)I"\PM2I

22

⑵(忸耳\=\BF2|=?)；(|o片\=\OF2I=c)；\A^BI=\A2BI=7a+b；

〔3)[A"|=^AF\=a-c；I=\AF|=tz+c；a-c<|P/*J\<a+c；

22\AXF22l

規(guī)律方法：

1.如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

任何橢圓都有一個(gè)對稱中心，兩條對稱軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸,

橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。

確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：兩個(gè)定形條件a/；一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)

的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。

2.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量a,"c的幾何意義

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a,瓦c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表

示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：(a>/?>0),(?>c>0),

且(/=〃+02)。

可借助右圖理解記憶：

顯然：a,瓦c恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、

c為兩條直角邊。

3.如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置

橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上，因此標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：(、一

看V的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。一0CFl/x

4.方程42+為？=C(A,5c均不為零)是表示橢圓的條件

方程AX?+為2=?？苫癁?二+絲t=],即《+”=1,

CCcC

AB

所以只有A、B、C同號，且AWB時(shí)，方程表示橢圓。當(dāng)￡〉￡時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)C<￡

ABAB

時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上。

5.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：①待定系數(shù)法：由條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的

類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)。，瓦c的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；

②定義法：由條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。

22

6.共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點(diǎn)，那么c相同。與橢圓j+==l(a>>>0)

ab

22

共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為二一+F—=此類問題常用待定系數(shù)法求解。

a+mb+m

7.如何求解與焦點(diǎn)三角形△PFE(P為橢圓上的點(diǎn)〕有關(guān)的計(jì)算問題

思路分析:與焦點(diǎn)三角形△PFE有關(guān)的計(jì)算問題時(shí),?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理(或

勾股定理〕、三角形面積公式=；戶用x|P閭xsin/6P用相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算解

題。

將有關(guān)線段|尸周、|尸閶、陽周，有關(guān)角4愿(NFiPF2<NF%)結(jié)合起來，建立

|尸盟+|尸閭、|尸耳岡尸閭之間的關(guān)系.

9.如何計(jì)算橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系？

長軸與短軸的長短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率e=g(0<e<l),因?yàn)椤?=〃一〃,

a

a>c>0,用〃、b表示為c=(2y(0<e<1)。

Va

hh

顯然：當(dāng)2越小時(shí)，e(O<e<l)越大，橢圓形狀越扁；當(dāng)士越大，e(O<e<l)越小，橢圓

aa

形狀越趨近于圓。

(二)橢圓練習(xí)題

一、選擇題

1、與橢圓9f+4y2=36有相同焦點(diǎn)，且短軸長為4君的橢圓方程是()

222222,2「2

(D)80+ij=1

(A)i+^=1嗚

2、橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸兩個(gè)頂點(diǎn)，是一個(gè)含60。角的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)，那么橢圓的離心率為

()

1V3V31-6

(A)—(C)-^-(D),或

22

3、橢圓二+二=1中,Fi、F2為左、右焦點(diǎn),A為短軸一端點(diǎn)，弦AB過左焦點(diǎn)Fi,那么AABF?的面積為

63

()

〔A〕3〔B)———〔C〕4-\/31D)4

2

22

4、方程――+二一=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么m的取值范圍是()

25-m16+m

999

(A)-16<m<25(B)-16<m<—(C)-<m<25(D)m>—

5、橢圓---:”一二1的離心率e=不,

那么m的值為()

5m5

(A)3(B)3或(C)(D)或

6、橢圓的一焦點(diǎn)與兩頂點(diǎn)為等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，那么橢圓的長軸長是短軸長的()

3

(A)也倍(B)2倍(C)夜倍(D)一倍

2

7、橢圓蘇+6^+外力①々^。)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

(A)(0,±y/a-b)(B)(土L-Z7,o)(C)(O,±3。-〃)(D)(±Jb-a,0)

8、橢圓—+4儼=1的離心率為()

(A)岑(B)*(C)岑(D)V2

9、從橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)看兩焦點(diǎn)的視角是120°,那么這個(gè)橢圓的離心率€=()

V31V31

(A)—(B)-(O—(D)-

10、曲線二+上=1與曲線-—+q^=l(m<9)一定有()

25925-m9-m

(A)相等的長軸長(B)相等的焦距(C)相等的離心率(D)相同的準(zhǔn)線

二、填空題

11.(1)中心在原點(diǎn)，長半軸長與短半軸長的和為9及，離心率為0.6的橢圓的方程為；

73

⑵對稱軸是坐標(biāo)軸，離心率等于口，且過點(diǎn)(2,0)的橢圓的方程是.

2

12.(1)短軸長為6,且過點(diǎn)(1,4)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是