高考數(shù)學(xué) 特色題型匯編：計數(shù)原理原理與概率統(tǒng)計解答題-概率的最值問題（原卷及答案）（新高考地區(qū)專用）

計數(shù)原理原理與概率統(tǒng)計解答題

—概率的最值問題

1.某種植戶對一塊地上的"（”wN*）個坑進行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發(fā)

芽的概率均為g,且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立.如果每個坑內(nèi)至少有兩粒種子發(fā)芽，

則不需要進行補種，否則需要補種.

（1）當(dāng)〃取何值時，有3個坑要補種的概率最大？最大概率為多少？

（2）當(dāng)〃=4時，用X表示要補種的坑的個數(shù)，求X的分布列.

2.甲、乙兩隊進行一輪籃球比賽，比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊先勝3局即獲

勝，比賽結(jié)束）.在每一局比賽中，都不會出現(xiàn)平局，甲每局獲勝的概率都為

（1）若，比賽結(jié)束時.，設(shè)甲獲勝局?jǐn)?shù)為X,求其分布列和期望E（X）；

（2）若整輪比賽下來，甲隊只勝一場的概率為了（同，求/（P）的最大值.

3.國家對待疫情的態(tài)度和采取的舉措令人敬佩，展示了負(fù)責(zé)任大國的擔(dān)當(dāng)，其中疫情

防控的措施之一為：要求與新冠肺炎確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學(xué)觀察14天，在醫(yī)

學(xué)觀察期結(jié)束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中60歲以上的老年人感染病毒的比例較大.對某市200

個不同年齡段的結(jié)束醫(yī)學(xué)觀察的密切接觸者樣本進行感染病毒情況統(tǒng)計，得到下面的列

聯(lián)表：

年齡/人數(shù)感染病毒未感染病毒

60歲以上3060

60歲及60歲以下2090

(1)是否有95%的把握認(rèn)為密切接觸者感染病毒與年齡有關(guān);

(2)以樣本中結(jié)束醫(yī)學(xué)現(xiàn)察的密切接觸者感染病毒的頻率估計概率，現(xiàn)從某市所有結(jié)束醫(yī)

學(xué)觀察的密切接觸者中隨機抽取4人進行感染病毒人數(shù)統(tǒng)計，求其中至少有3人感染病

毒的概率;

(3)某市現(xiàn)有一個中風(fēng)險小區(qū)，政府決定對小區(qū)內(nèi)所有住戶進行排查，在排查期間，發(fā)現(xiàn)

一戶4口之家與確診患者有過密切接觸，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員逐一進行

“核酸”檢測，每名成員進行檢測后即告知結(jié)果，若檢測結(jié)果呈陽性，則該家庭被確定為

“感染高危家庭”.設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為。(0<〃<1)且相互獨立，該

家庭至少檢測了3名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為了(〃)，當(dāng)。=勿時,

f(p)最大,求機的值.

n^ad-bcY

附：Z2

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

p(9次)0.10.050.010

2.7063.8416.635

4.一個口袋中有除顏色外其他均相同的2個白球和八個紅球(〃22,且nwN'),每次

從袋中摸出2個球(每次摸球后把這2個球放回袋中)，若摸出的2個球顏色相同，則

為中獎，否則為不中獎.設(shè)一次摸球中獎的概率為P.

(1)試用含〃的代數(shù)式表示一次摸球中獎的概率P;

(2)若〃=3,求三次摸球恰有一次中獎的概率；

(3)記三次摸球恰有一次中獎的概率為/(p),當(dāng)〃為何值時，“P)取得最大值?

5.2021年7月18日第30屆全國中學(xué)生生物學(xué)競賽在浙江省蕭山中學(xué)隆重舉行.為做

好本次考試的評價工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機抽取了50名學(xué)生的成

績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照[40,50),[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方

(1)求頻率分布直方圖中加的值，并估計這50名學(xué)生成績的中位數(shù)；

(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績在170,80),180,90),[90,100]的三組

中抽取了11人，再從這11人中隨機抽取3人，記《為3人中成績在180,90)的人數(shù)，

求〈的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)轉(zhuǎn)化為百分制后，規(guī)定成績在[90,100]的為A等級，成績在[70,90)的為8等級，

其它為C等級.以樣本估計總體，用頻率代替概率，從所有參加生物學(xué)競賽的同學(xué)中隨

機抽取100人，其中獲得8等級的人數(shù)設(shè)為"，記8等級的人數(shù)為人的概率為尸(1=&),

寫出夕("=心的表達(dá)式，并求出當(dāng)％為何值時，PS=k)最大?

6.某校開展“學(xué)習(xí)新中國史”的主題學(xué)習(xí)活動.為了調(diào)查學(xué)生對新中國史的了解情況，需

要對學(xué)生進行答題測試，答題測試的規(guī)則如下：每位參與測試的學(xué)生最多有兩次答題機

會，每次答一題，第一次答對，答題測試過關(guān)，得5分，停止答題測試；第一次答錯，

繼續(xù)第二次答題，若答對，答題測試過關(guān)，得3分；若兩次均答錯，答題測試不過關(guān)，

得0分.某班有12位學(xué)生參與答題測試，假設(shè)每位學(xué)生第一次和第二次答題答對的概率

分別為〃?，0.5,兩次答題是否答對互不影響，每位學(xué)生答題測試過關(guān)的概率為P.

(1)若〃?=。5,求每一位參與答題測試的學(xué)生所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望；

(2)設(shè)該班恰有9人答題測試過關(guān)的概率為f(p),當(dāng)/(〃)取最大值時，求P,a

7.某班科技活動小組在學(xué)?？萍紕?chuàng)新活動中，設(shè)計了一種班級電子顯示屏的屏幕保護

畫面，采用班級活動照片組成的抽象符號“產(chǎn)和"C’隨機地反復(fù)出現(xiàn)，每秒鐘變化一次，

每次變化只出現(xiàn)“『'和之一，并通過程序后臺設(shè)置，使出現(xiàn)“片的概率為p，出現(xiàn)"C'

的概率為4.這種屏保引起了某數(shù)學(xué)小組的關(guān)注，他們用數(shù)學(xué)的方法對這種屏保的變化特

點展開研究，通過在一定時長里出現(xiàn)的頻數(shù)估計出p與q的值；并在開始觀察

后，將第k次出現(xiàn)“產(chǎn)，記為%=1；若出現(xiàn)“C,則記為4=-1,同時令5,=%+/+

+L+a?,并提出以下問題：

(1)當(dāng)夕=3=,4=1:時，求其的分布列及數(shù)學(xué)期望；

44

⑵當(dāng)$8=2且5,20(i=l,2,3,4)的概率最大時，求p,q.

8.在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機體或者對機體發(fā)生作用起，到機體出現(xiàn)

反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時止的這一階段稱為潛伏期.一研究團隊統(tǒng)計了

某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格:

潛伏期（單位：天）[0,2](2,4](4,6](6,8](8,10|(10,12](12,14]

人數(shù)85205310250130155

（1）求這1000名患者的潛伏期的樣本平均值無（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值

作代表）；

（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏

期是否超過6天為標(biāo)準(zhǔn)進行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列

聯(lián)表請將列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把捏認(rèn)為潛伏期與息者年齡

有關(guān)；

潛伏期46天潛伏期＞6天總計

50歲以上（含50）100

50歲以下55

總計200

（3）以這1000名患者的潛伏期超過6天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天

發(fā)生的概率，每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨立.為了深入研究，該研究團隊隨

機調(diào)查了20名患者，其中潛伏期超過6天的人數(shù)最有可能（即概率最大）是多少？

n{ad-bcy

其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.050.0250.010

k<>3.8415.0246.635

9.第13屆女排世界杯于2019年9月14日在日本舉行，共有12支參賽隊伍，本次比

賽啟用了新的排球用球，MIKSA-V200W,已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)。（單位：g）服從正

態(tài)分布N（270,52）.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊進行11場比賽（采取5局

3勝制），最后靠積分取得最后冠軍，積分規(guī)則如下：比賽中以3：0或3：1取勝的球

隊積3分，負(fù)隊積0分；而在比賽中以3：2取勝的球隊積2分，負(fù)隊積1分.已知第10

輪中國隊對抗塞爾維亞隊，設(shè)每局比賽中國隊取勝的概率為P（0<P<D

（1）若比賽準(zhǔn)備了1000個排球，請估計質(zhì)量指標(biāo)在（260,265］內(nèi)的排球個數(shù)（計算

結(jié)果取整數(shù)）.

（2）第10輪比賽中，記中國隊3：1取勝的概率為了（P）.

（i）求出f（P）的最大值點區(qū);

（ii）若以P。作為P的值，記第10輪比賽中，中國隊所得積分為X,求X的分布列及

數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：若則p（〃一b<X<，+cr）”0.6826,

p（〃一2cr<X<4+2cr）?0.9544

10.新型冠狀病毒的傳染主要是人與人之間進行傳播，感染人群年齡大多數(shù)是50歲以

上人群.該病毒進入人體后有潛伏期.潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的

這段時間.潛伏期越長，感染到他人的可能性越高.現(xiàn)對400個病例的潛伏期（單位：天）

進行調(diào)查，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)潛伏期平均數(shù)為7.2,方差為2.25?.如果認(rèn)為超過8天的潛伏期屬于

“長潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計樣本，得到下面的列聯(lián)表：

年齡/人數(shù)長期潛伏非長期潛伏

50歲以上60220

50歲及50歲以下4080

（1）是否有95%的把握認(rèn)為“長期潛伏”與年齡有關(guān)；

（2）假設(shè)潛伏期X服從正態(tài)分布N（M，〃），其中〃近似為樣本平均數(shù)4近似為樣

本方差52.

（i）現(xiàn)在很多省市對入境旅客一律要求隔離14天，請用概率的知識解釋其合理性；

（ii）以題目中的樣本頻率估計概率，設(shè)1000個病例中恰有左,eV）個屬于“長期潛伏”

的概率是〃（左），當(dāng)&為何值時，〃（%）取得最大值.

n^ad-bc)~

2

P(K>k(>)0.10.050.010

2.7063.8416.635

若"NJ"),則P(〃—cr<J<〃+b)=0.6862,P(//-2cr<^<//+2<T)=0.9544,

「(M-3b<J<〃+3cr)=0.9974.

11.某鄉(xiāng)村中學(xué)教師資源薄弱，多數(shù)教師都在超負(fù)荷工作，為了體現(xiàn)按勞分配的原則，

鼓勵教師在力所能及的范圍內(nèi)多帶課，學(xué)校計劃把績效工資根據(jù)教師每周代課的節(jié)數(shù)進

行重新分配.每周課時量（僅是上課節(jié)數(shù)，不包括班主任工作）在區(qū)間［7,12］內(nèi)為滿工

作量；在（12,16］內(nèi)為超工作量；（16,30］為嚴(yán)重超工作量.為了了解本校教師的代課情

況，通過簡單隨機抽樣，獲得了10名教師的代課情況統(tǒng)計表如下：

教師編號12345678910

代課量(節(jié))7899101213141520

(1)在計算教師一周總的課時津貼時(備注：本校全體教師的課時都不小于7節(jié)課),

課時量介于［7,12］內(nèi)部分，按4元/節(jié)計算課時津貼；課時量介于(12,16］內(nèi)部分，按6元

/節(jié)計算課時津貼；課時量介于06,30］內(nèi)部分，按9元/節(jié)計算課時津貼，試求教師一周

總的課時津貼了與總的課時量x之間的函數(shù)關(guān)系；

(2)現(xiàn)要在這10名教師中任意選取3名，求取到超工作量(課時節(jié)數(shù)在(12,16］內(nèi))的

教師人數(shù)的分布列與期望；

(3)用抽到的10名教師樣本估計全校教師的代課情況，用頻率代替概率.現(xiàn)在從全校

教師中隨機抽取10名教師，若抽到&名教師周代課量為滿工作量(課時節(jié)數(shù)在［7,12］內(nèi))

的可能性最大，求我的值.

12.為實現(xiàn)有效利用扶貧資金，增加貧困村民的收入，扶貧工作組結(jié)合某貧困村水質(zhì)優(yōu)

良的特點，決定利用扶貧資金從外地購買甲、乙、丙三種魚苗在魚塘中進行養(yǎng)殖試驗,

試驗后選擇其中一種進行大面積養(yǎng)殖，已知魚苗甲的自然成活率為22-1,魚苗乙、丙

的自然成活率均為P，且甲、乙、丙三種魚苗是否成活相互獨立.

(1)試驗時從甲、乙、丙三種魚苗中各取一尾，記自然成活的尾數(shù)為x,求x的分布列.

(2)試驗后發(fā)現(xiàn)乙種魚苗較好，扶貧工作組決定購買“尾乙種魚苗進行大面積養(yǎng)殖，

若將(1)中滿足數(shù)學(xué)期望E(x)不超過2.6的。的最大值作為乙種魚苗成活的概率，養(yǎng)

殖后發(fā)現(xiàn)乙種魚苗有個別因不能適應(yīng)環(huán)境而不能自然成活，對這些因不適應(yīng)環(huán)境而不能

自然成活的80%魚苗采取增氧、換魚塘等措施，采取措施后成活的概率為62.5%.若每

尾乙種魚苗最終成活后可獲利100元，不成活則虧損20元，若扶貧工作組的扶貧目標(biāo)

是獲利不小于376萬元，問需至少購買多少尾乙種魚苗?

13.隨著智能手機的普及，手機計步軟件迅速流行開來，這類軟件能自動記載用戶每日

健步的步數(shù).某市大型企業(yè)為了了解其員工每日健步走的情況，從正常上班的員工中隨

機抽取了2000人，統(tǒng)計了他們手機計步軟件上同一天健步的步數(shù)(單位：千步，假設(shè)

每天健步的步數(shù)均在3千步至21千步之間).將樣本數(shù)據(jù)分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),

[11,13),[13,15),[15,17),[17,19),[19,21]九組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，

Q5

O.4

O.3

O..O

O..O2

O..O1

.O

(1)求圖中“的值；

(2)設(shè)該企業(yè)正常上班的員工健步步數(shù)(單位：千步)近似服從正態(tài)分布NJ。?)，

其中近似為樣本的平均數(shù)(各區(qū)間數(shù)據(jù)用中點值近似計算)，取b=3.64,若該企業(yè)恰

有10萬人正常上班的員工，試估計這些員工中日健步步數(shù)Z位于區(qū)間[4.88,15.8]范圍內(nèi)

的人數(shù)；

(3)現(xiàn)從該企業(yè)員工中隨機抽取20人，其中有％名員工的日健步步數(shù)在13千步至15

千步內(nèi)的概率為P(X=Q,其中左=0,1,2,…,20,當(dāng)P(X=k)最大時，求上的值.

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量J服從正態(tài)分布則尸(〃一。<4<〃+。)=0.6827,

—2(y<^<JLI+2b)?0.9545,P(R—3cr<^</z+3b)?0.9973.

14.美國白蛾，又叫秋幕毛蟲，網(wǎng)幕毛蟲，原產(chǎn)北美洲，廣泛分布于美國和加拿大南部,

1979年由朝鮮傳入我國遼寧省丹東市.2016年，美國白蛾跨過淮河，向長江以南擴散趨

勢明顯，現(xiàn)已傳播至我國華北地區(qū)部分省市，并仍然呈擴散蔓延的趨勢，嚴(yán)重危害果樹、

林木、農(nóng)作物及野生植物等300多種植物……經(jīng)調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，每只白蛾的平均產(chǎn)卵數(shù)

y和平均溫度x有關(guān).為防治災(zāi)害，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及

一些統(tǒng)計量的值.

均溫度21232527293235

平均產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325

i卜產(chǎn)卵數(shù)

350

?

300

250

200

150

?

100

?

50

??

???______1______I______I______1______I______?-

202224262830323436瓶度

XZ-x)(z;-z)23-君2

i=l/=1

27.42981.2863.61240.182147.714

Zj=lny,三=?￡不

/r=l

（1）根據(jù)散點圖判斷，？=〃?+，優(yōu)與y=忙"（其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一

個更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的經(jīng)驗回歸模型？（給出判斷即可，不必說明

理由）

（2）求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程.（結(jié)果精確到小數(shù)點后第三位）

(3)根據(jù)以往統(tǒng)計，該地每年平均溫度達(dá)到27?以上時白蛾會對果樹、林木、農(nóng)作物等

造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達(dá)到

27?以上的概率為P(O<P<D.

①記該地今后〃(〃?.3,"eN')年恰好需要2次人工防治的概率為/(p),求/(p)取得最大

值時對應(yīng)的概率%;

②根據(jù)①中的結(jié)論，當(dāng)/(P)取最大值時，記該地今后8年需要人工防治的次數(shù)為X,

求X的均值和方差.

附:對于一組數(shù)據(jù)(孫馬),(孫zj,…，(Nz”),其經(jīng)驗回歸方程”4+法的斜率和截

-于)(z,「力

距的最小二乘估計分別為公旦F----------,a^z-bx.

/=1

15.某景區(qū)內(nèi)有一項“投球”游戲，游戲規(guī)則如下：

游客投球目標(biāo)為由近及遠(yuǎn)設(shè)置的A,B,C三個空桶，每次投一個球，投進桶內(nèi)即成功，

游客每投一個球交費10元，投進A桶，獎勵游客面值20元的景區(qū)消費券；投進B桶,

獎勵游客面值60元的景區(qū)消費券；投進C桶，獎勵游客面值90元的景區(qū)消費券；

投不進則沒有獎勵.游客各次投球是否投進相互獨立.

(1)向A桶投球3次，每次投進的概率為p,記投進2次的概率為〃p),求“P)的最大

值點Po；

133

⑵游客中投進A,B,。三桶的概率分別為］p0,熱Po，(jPo,若他投球一次，他應(yīng)該選

擇向哪個桶投球更有利？說明理由.

16.2022年春季，新一輪新冠疫情在全國范圍內(nèi)蔓延開來，嚴(yán)重影響了國家的經(jīng)濟發(fā)

展和人民的正常生活.某城市為打贏這場疫情防控阻擊戰(zhàn)，政府投入大量人力物力，黨

員干部沖鋒在前堅守崗位，普通群眾配合政策居家隔離.在全市人民的共同努力下，該

城市以最快的速度實現(xiàn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，人民生活回到了正常軌道.疫情的出現(xiàn)讓人們認(rèn)識到

身體健康的重要性，健身達(dá)人劉映宏帶動了一股年輕人的健身熱潮，人們紛紛爭做“劉

曉宏男孩”、“劉曉宏女孩但是對于中老年人來說，步行是最簡單有效的運動方式.某研

究團隊統(tǒng)計了該地區(qū)1000位居民的日行步數(shù)，得到如下表格；

日行步數(shù)（單位：千）[0,2](24](4,6](6閭(8,10](10,12](12,14]

人數(shù)206017020030020050

（1）為研究日行步數(shù)與居民年齡的關(guān)系，以日行步數(shù)是否超過8千為標(biāo)準(zhǔn)進行分層抽樣,

從上述1000位居民中抽取200人，得到如下2x2列聯(lián)表，請將下表補充完整，并根據(jù)

下表判斷是否有95%的把握認(rèn)為日行步數(shù)與居民年齡有關(guān)：

日行步數(shù)48千日行步數(shù)＞8千總計

40歲以上100

40歲以下（含40歲）50

總計200

（2）以這1000位居民日行步數(shù)超過8千的頻率，來代替該地區(qū)每位居民日行步數(shù)超過8

千的概率，且每位居民日行步數(shù)是否超過8千相互獨立，若該團隊隨機調(diào)查20位居民，

設(shè)其中恰有x位居民日行步數(shù)超過8千的概率是P,求當(dāng)x取多少時P最大？（不必求

此時的P值）

附:

P（K2>k.）0.050.0250.010

k。3.8415.0246.635

/=（"??；喘2）伍+4其中"=a+Kc+/

17.葫蘆島市礦產(chǎn)資源豐富，擁有煤、鋁、鋅、鉛等51種礦種，采礦業(yè)歷史悠久，是

葫蘆島市重要產(chǎn)業(yè)之一.某選礦場要對即將交付客戶的一批200袋銅礦進行品位(即純

度)檢驗，如檢驗出品位不達(dá)標(biāo)，則更換為達(dá)標(biāo)產(chǎn)品，檢驗時；先從這批產(chǎn)品中抽20

袋做檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有銅礦做檢驗，設(shè)每袋銅礦品位不達(dá)標(biāo)

的概率都為p(O<p<1),且每袋銅礦品位是否達(dá)標(biāo)相互獨立.

(1)若20袋鋁礦中恰有2袋不達(dá)標(biāo)的概率為〃?)，求“P)的最大值點％；

(2)已知每袋銅礦的檢驗成本為10元，若品位不達(dá)標(biāo)電目礦不慎出場，對于每袋不達(dá)標(biāo)銅

礦要賠付客戶110元.現(xiàn)對這批銅礦檢驗了20袋，結(jié)果恰有兩袋品位不達(dá)標(biāo).

①若剩余銅礦不再做檢驗，以(1)中確定的P。作為p的值.這批銅礦的檢驗成本與賠

償費用的和記作久求E(?;

②以①中檢驗成本與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對余下的所有銅礦進行檢

驗？

18.北京冬奧會已于2022年2月4日至2月2011順利舉行，這是中國繼北京奧運會.

南京青奧會后，第三次舉辦的奧運賽事，為助力冬奧，進一步增強群眾的法治意識.提

高群眾奧運法律知識水平和文明素質(zhì)，讓法治精神攜手冬奧走進千家萬戶.某市有關(guān)部

門在該市市民中開展了“迎接冬奧?法治同行”主題法治宣傳教育活動.該活動采取線上線

下相結(jié)合的方式，線上有“知識大闖關(guān)“冬奧法律知識普及類趣味答題，線下有“冬奧普

法''知識講座，實現(xiàn)“冬奧+普法”的全新模式.其中線上“知識大闖關(guān)”答題環(huán)節(jié)共計30個

題目，每個題目2分，滿分60分，現(xiàn)在從參與作答“知識大闖關(guān)”題目的市民中隨機抽

取1000名市民，將他們的作答成績分成6組：

[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60].并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)請估計被抽取的1000名市民作答成貨的平均數(shù)和中位數(shù)；

(2)視頻率為概率.現(xiàn)從所有參與“知識大闖關(guān)”活動的市民中隨機取20名，調(diào)查其掌握各

類冬奧法律知識的情況.記人名市民的成績在140,60］的概率為尸(X=&),左=0,1,2,…,

20.請估計這20名市民的作答成績在140,601的人數(shù)為多少時P(X=k)最大？并說明理

由.

19.某學(xué)習(xí)網(wǎng)按學(xué)生數(shù)學(xué)成績的水平由高到低分成甲、乙兩檔，進行研究分析，假設(shè)學(xué)

生做對每道題相互獨立，其中甲、乙檔學(xué)生做對每道題的概率分別為p,現(xiàn)從甲、

8

乙兩檔各抽取一名學(xué)生成為一個學(xué)習(xí)互助組合.

⑴現(xiàn)從甲檔中選取一名學(xué)生，該生5道題做對4道題的概率為/(〃)，求出/(p)的最

大值點Po；

⑵若以為作為P的值，

①求每一個互助組合做對題的概率；

②現(xiàn)選取〃個組合，記做對題的組數(shù)為隨機變量X,當(dāng)X=90時，P(X)取得最大值，

求相應(yīng)的"和E(X).

20.某電視臺舉辦“讀經(jīng)典”知識挑戰(zhàn)賽，初賽環(huán)節(jié)，每位選手先從A,B,C三類問題

中選擇一類.該類題庫隨機提出一個問題，該選手若回答錯誤則被淘汰，若回答正確則

需從余下兩類問題中選擇一類繼續(xù)回答.該類題庫隨機提出一個問題，該選手若回答正

確則取得復(fù)賽資格，本輪比賽結(jié)束：否則該選手需要回答由最后一類題庫隨機提出的兩

個問題，兩個問題均回答正確該選才可取得復(fù)賽資格，否則被淘汰.已知選手甲能正確

回答A,8兩類問題的概率均為;，能正確回答C類問題的概率為彳，每題是否回答正

確與回答順序無關(guān)，且各題回答正確與否相互獨立.

(1)已知選手甲先選擇A類問題且回答正確，接下來他等可能地選擇B,C中的一類問題

繼續(xù)回答，求他能取得復(fù)賽資格的概率；

(2)為使取得復(fù)賽資格的概率最大，選手甲應(yīng)如何選擇各類問題的回答順序?請說明理由.

21.某種水果按照果徑大小分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.一般的，果

徑越大售價越高.為幫助果農(nóng)創(chuàng)收，提高水果的果徑，某科研小組設(shè)計了一套方案，并

在兩片果園中進行對比實驗.其中實驗園采用實驗方案，對照園未采用.實驗周期結(jié)束

后，分別在兩片果園中各隨機選取100個果實，按果徑分成5組進行統(tǒng)計：［21,26),

[26,31),[31,36),[36,41),[41,46](單位:mm).統(tǒng)計后分別制成如下的頻率

分布直方圖，并規(guī)定果徑達(dá)到36mm及以上的為“大果”.

⑴估計實驗園的“大果”率;

(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從對照園選取的100個果實中抽取10個,再從這10個果實中

隨機抽取3個，記“大果”個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望的；

(3)以頻率估計概率，從對照園這批果實中隨機抽取〃(〃*2)個，設(shè)其中恰有2個“大果”

的概率為尸(〃)，當(dāng)P(〃)最大時，寫出〃的值(只需寫出結(jié)論).

22.新冠病毒奧密克戎變異株在全球快速蔓延，并引發(fā)香港新一波疫情發(fā).2022年3月

3日當(dāng)天新增55353例新冠確診病例，創(chuàng)單日新增病例新高.截止3月3日，香港累計病

例逾39萬例.專家再次提醒：新型冠狀病毒是一種傳染性極強且危及人們生命安全的嚴(yán)

重病毒，新冠防控不可掉以輕心.在新冠防控的過程中，我們把與攜帶新型冠狀病毒者

(稱之為患者)有過密切接觸的人群稱為密切關(guān)聯(lián)者.已知每位密切關(guān)聯(lián)者通過核酸檢

測被確診為陽性的概率為。(。＜夕＜1).一旦被確診為陽性后立即將其隔離.某患者在隔

離前每天有K位密切關(guān)聯(lián)者與之接觸(假設(shè)這K個人不與其他患者接觸)，其中被感染

的人數(shù)為X(04X4K)

(1)求一天內(nèi)被感染人數(shù)X=々的概率的表達(dá)式和X的數(shù)學(xué)期望；

(2)該病毒在進入人體后有14天的潛伏期，若在這14天內(nèi)患者無任何癥狀，則為病毒傳

播的最佳時間，設(shè)每位患者在不知自己患病的情況下，第二天又與K位密切關(guān)聯(lián)者接觸.

從某一名患者感染新型冠狀病毒的第1天開始算起，第"天新增患者的數(shù)學(xué)期望記為

耳(〃冽.

①當(dāng)K=20,P=g，求后6的值；

②試分析每位密切關(guān)聯(lián)者佩戴口罩后與患者接觸能否降低患病的概率，經(jīng)大量臨床數(shù)據(jù)

驗證佩戴口罩后被感染患病的概率Pi滿足關(guān)系式p,=In爐萬-gP.當(dāng)Pi取得最大值時,

計算Pi所對應(yīng)的線'，并和。所對應(yīng)的線做對比，然后根據(jù)計算結(jié)果說明佩戴口罩的必

要性.(K=20)

1?

(參考數(shù)據(jù)：In2yo.7,ln3al.l,ln5=L6,-?0.3,§之0.7計算結(jié)果保留整數(shù))

23.為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進行動物與人體試驗.研究人員將疫苗

注射到200只小白鼠體內(nèi),一段時間后測量小白鼠的某項指標(biāo)值，按[0,20),[20,40),

[40,60),[60,80),[80,100]分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.試驗發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)

產(chǎn)生抗體的共有160只，其中該項指標(biāo)值不小于60的有110只.假設(shè)小白鼠注射疫苗后

是否產(chǎn)生抗體相互獨立.

(1)填寫下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及a=0.05的獨立性檢驗，判斷能否認(rèn)為注

射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān).

單位：只

指標(biāo)值

抗體合計

小于60不小于60

有抗體

沒有抗體

合計

(2)為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的40只小

白鼠進行第二次注射疫苗，結(jié)果乂有20只小白鼠產(chǎn)生抗體.

(i)用頻率估計概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率?；

(ii)以(i)中確定的概率P作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進行人體接種

試驗，記”個人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機變量X.試驗后統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示,

當(dāng)X=90時，P(X)取最大值，求參加人體接種試驗的人數(shù)〃及磯X).

n(ad-be)2

參考公式:(其中〃=a+6+c+”為樣本容量)

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

P(//)0.500.400.250.150.1000.0500.025

0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024

24.為落實立德樹人根本任務(wù)，堅持五育并舉全面推進素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球

比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區(qū)，三個校區(qū)的隊員人數(shù)

分別是3,4,5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊員進行11場比賽（每

場比賽都采取5局3勝制）,最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以3:0

或3:1取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分；而在比賽中以3:2取勝的隊員積2分，

失敗的隊員的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為

p（O<p<l）.

（1）比賽結(jié)束后冠亞軍（沒有并列）恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？

（2）第10輪比賽中，記張三3:1取勝的概率為/（p）.

①求出/（〃）的最大值點P。；

②若以P。作為P的值，這輪比賽張三所得積分為X,求X的分布列及期望.

25.我省2021年起全面實施新高考方案.在6門選擇性考試科目中，物理、歷史兩門學(xué)科

采用原始分計分；思想政治、地理、化學(xué)、生物采用等級轉(zhuǎn)換賦分，將每科考生的原始分

從高到低劃分為A,B,C,D,E共5個等級，各等級人數(shù)所占比例分別為15%、35%

、35%、13%和2%,并按給定的公式進行轉(zhuǎn)換賦分.某市組織了高三年級期初統(tǒng)一考試,

并嘗試對生物學(xué)科的原始分進行了等級轉(zhuǎn)換賦分.

（1）某校生物學(xué)科獲得A等級的共有10名學(xué)生，其原始分及轉(zhuǎn)換分如下表：

原始分9896959290888583

轉(zhuǎn)換分10099979594918886

人數(shù)11212111

現(xiàn)從這10名學(xué)生中隨機抽取3人，設(shè)這3人中生物轉(zhuǎn)換分不低于95分的人數(shù)為X,求

X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)該市此次高三學(xué)生的生物學(xué)科原始分V服從正態(tài)分布N(75,36).現(xiàn)隨機抽取了該市

100名高三學(xué)生的生物學(xué)科的原始分，學(xué)生的原始分相互獨立，記J為被抽到的原始分

不低于81分的學(xué)生人數(shù)，求P化=%)取得最大值時k的值.

附：若Z~N(〃,cr2)則P(〃一cr<Z<〃+cr)=0.7,P(//-2cr<Z<//+2cr)=0.95.

26.一支擔(dān)負(fù)勘探任務(wù)的隊伍有若干個勘探小組和兩類勘探人員，甲類人員應(yīng)用某種新

型勘探技術(shù)的精準(zhǔn)率為0.6,乙類人員應(yīng)用這種勘探技術(shù)的精準(zhǔn)率為每個

勘探小組配備1名甲類人員與2名乙類人員，假設(shè)在執(zhí)行任務(wù)中每位人員均有一次應(yīng)用

這種技術(shù)的機會且互不影響，記在執(zhí)行任務(wù)中每個勘探小組能精準(zhǔn)應(yīng)用這種新型技術(shù)的

人員數(shù)量為久

(1)證明：在〈各個取值對應(yīng)的概率中，概率尸(。=1)的值最大；

(2)在特殊的勘探任務(wù)中，每次只能派一個勘探小組出發(fā)，工作時間不超過半小時，

如果半小時內(nèi)無法完成任務(wù)，則重新派另一組出發(fā).現(xiàn)在有三個勘探小組A(i=l,2,3)可

派出，若小組A,能完成特殊任務(wù)的概率*=P(4=，?)(/?=1,2,3),且各個小組能否完成

任務(wù)相互獨立.試分析以怎樣的先后順序派出勘探小組，可使在特殊勘探時所需派出的

小組個數(shù)的均值達(dá)到最小.

27.在“十三五”期間，我國的扶貧工作進入了“精準(zhǔn)扶貧”階段.到2020年底，全國830

個貧困縣全部脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口全部脫貧，這是我國脫貧攻堅史上的一

大壯舉.重慶市奉節(jié)縣作為國家貧困縣之一，于2019年4月順利脫貧摘帽.因地制宜

發(fā)展特色產(chǎn)業(yè)，是奉節(jié)脫貧攻堅的重要抓手.奉節(jié)縣規(guī)劃發(fā)展了以高山煙葉、藥材、反

季節(jié)蔬菜；中山油橄欖、養(yǎng)殖；低山臍橙等為主的產(chǎn)業(yè)格局，各類特色農(nóng)產(chǎn)品已經(jīng)成為

了當(dāng)?shù)卮迕竦膿u錢樹.尤其是奉節(jié)臍橙，因“果皮中厚、脆而易剝，肉質(zhì)細(xì)嫩化渣、無

核少絡(luò)，酸甜適度，汁多爽口，余味清香''而聞名.為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅成果,

各職能部門對臍橙種植、銷售、運輸、改良等各方面給予大力支持.已知臍橙分類標(biāo)準(zhǔn):

果徑80mm~85mm為一級果，果徑75mm~80mm為二級果，果徑70~75mm或85mm以

上為三級果.某農(nóng)產(chǎn)品研究所從種植園采摘的大量奉節(jié)臍橙中隨機抽取1000個，測量

果徑min

（1）試估計這1000個奉節(jié)臍橙的果徑的中位數(shù);

（2）在這1000個臍橙中，按分層抽樣的方法在果徑70~85mm中抽出9個臍橙，為進

一步測量其他指標(biāo)，在抽取的9個臍橙中再抽出3個，求抽到的一級果個數(shù)X的分布列

與數(shù)學(xué)期望;

（3）以樣本估計總體，用頻率代替概率，某顧客從種植園的這批臍橙中隨機購買100

個，其中一級果的個數(shù)為y,記一級果的個數(shù)為k的概率為p（y=&）,寫出尸（y=外的

表達(dá)式，并求出當(dāng)a為何值時，尸（丫=火）最大？

28.我國某芯片企業(yè)使用新技術(shù)對一款芯片進行試產(chǎn)，設(shè)試產(chǎn)該款芯片的次品率為p（0

VpVl）,且各個芯片的生產(chǎn)互不影響.

（1）試產(chǎn)該款芯片共有兩道工序，且互不影響，其次品率依次為，口=上,。2=工?

①求p;

②現(xiàn)對該款試產(chǎn)的芯片進行自動智能檢測，自動智能檢測為次品(注：合格品不會被誤

檢成次品)的芯片會被自動淘汰，然后再進行人工抽檢已知自動智能檢測顯示該款芯片

的合格率為96%,求人工抽檢時，抽檢的一個芯片是合格品的概率.

(2)視p為概率，記從試產(chǎn)的芯片中隨機抽取〃個恰含機(”>m)個次品的概率為了(同，

求證：/(。)在0=生時取得最大值.

n

29.某地區(qū)出現(xiàn)了一種病毒性傳染病疫情，該病毒是一種人傳人，不易被人們直接發(fā)現(xiàn)，

潛伏時間長，傳來性極強的病毒.我們把與該病毒感染者有過密切接觸的人群稱為密切

接觸者，一旦發(fā)現(xiàn)感染者，社區(qū)會立即對其進行流行病學(xué)調(diào)查，找到其密切接觸者進行

隔離觀察.通過病毒指標(biāo)檢測，每位密切接觸者為陽性的概率為I-P(O<P<D，且每位

密切接觸者病毒指標(biāo)是否為陽性相互獨立.調(diào)查發(fā)現(xiàn)某位感染者共有10位密切接觸者,

將這10位密切接觸者隔離之后立即進行病毒指標(biāo)檢測.檢測方式既可以采用逐個檢測，

又可以采用‘速合1檢測法”.“合1檢測法”是將k個樣本混合在一起檢測，混合樣本中

只要發(fā)現(xiàn)陽性，則該組中各個樣本必須再逐個檢測；若混合樣本為陰性，則可認(rèn)為該混

合樣本中每個人都是陰性.

⑴若逐個檢測，發(fā)現(xiàn)恰有2個人樣本檢測結(jié)果為陽性的概率為/(同，求)(〃)的最大

值點Po;

(2)若采用“5合1檢測法”,總檢測次數(shù)為X,求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)若采用“10合1檢測法”，總檢測次數(shù)y的數(shù)學(xué)期望為E(y),以(1)中確定的P。作

為。的值，試比較E(x)與E(y)的大小(精確到0.1).

附:215=32768.

30.學(xué)習(xí)強國中有兩項競賽答題活動，一項為“雙人對戰(zhàn)''，另一項為“四人賽活動規(guī)

則如下：一天內(nèi)參與“雙人對戰(zhàn)”活動，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失敗得1

分；一天內(nèi)參與“四人賽”活動，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝

得2分，失敗均得1分.已知李明參加“雙人對戰(zhàn)''活動時，每局比賽獲勝的概率為g；

參加“四人賽''活動（每天兩局）時，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為p,李

明周一到周五每天都參加了“雙人對戰(zhàn)”活動和“四人賽’'活動（每天兩局），各局比賽互

不影響.

（1）求李明這5天參加“雙人對戰(zhàn)”活動的總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）設(shè)李明在這5天的“四人賽”活動（每天兩局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概

率為/（0.求p為何值時，/（P）取得最大值.

參考答案:

1.(1)當(dāng)〃=5或”=6時，有3個坑要補種的概率最大概率為2；(2)分布列見解析

16

【分析】⑴由題意可知每個坑要補種的概率+c；x1xd=l,則〃個坑中

212yl2

有3個坑要補種的概率為C；(g),然后根據(jù)題意列出不等式組，從而可求得結(jié)果.

(2)由題意知X的取值范圍為{0,1,2,3,4},且X:再利用二項分布的概率公式可

求出各自對應(yīng)的概率，從而可得分布列

【詳解】(1)由題意可知每個坑要補種的概率P=+貝IJ”個坑中

有3個坑要補種的概率為C：

解得.因為,所以〃=5,6.

當(dāng)“5時，嗯［噂

所以當(dāng)n=5或〃=6時，有3個坑要補種的概率最大，最大概率2?

16

(2)易知X的取值范圍為{0,1,2,3,4},且X:

因此尸(*=0)=44f-1=—,

尸(X=D=叱)出二,

尸(X=2)=叫d，

尸g)=咱［收,

3K恥〕哈

所以X的分布列為

X01234

131

P

1648416

33

2.(1)分布列見解析；期望為當(dāng)

16

⑵裴

【分析】(1)根據(jù)題意可知隨機變量X的可能取值為0、1、2、3,再分別計算每種情況對

應(yīng)的概率，再計算期望即可

(2)先根據(jù)題意求出"P)的表達(dá)式，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性即可求得最值

(1)

由題意可知，隨機變量X的可能取值為0、1、2、3,

則唳=。)=?+P(X=,)=C；?q,P(X=2)=C羽

3=3)=?+呢)'+呢"

隨機變量X的分布列如下：

X0123

￡33

P]_

816記2

13333

則E（X）=Ox-+lx—+2x—+3x-=

81616216

(2)

甲隊只勝一場的概率為f(p)=C；p(l-

則尸(p)=C；[(l-py+3p(l-p)2(-l)]=3(l-p)2(l-4p).

故當(dāng)0</<9寸，/(p)>0,/(p)遞增；

當(dāng);時，/,(p)<0,/(p)遞增;

則〃p)3=/

3.（1）有95%的把握認(rèn)為密切接觸者感染病毒與年齡有關(guān);

⑵裊；

⑶1-也.

2

【分析】（1）根據(jù)題中所給的公式進行運算，結(jié)合題中所給的表格數(shù)據(jù)進行判斷即可；

（2）根據(jù)獨立重復(fù)事件概率公式進行求解即可；

（3）根據(jù)獨立重復(fù)事件的概率公式，結(jié)合換元法、基本不等式進行求解即可.

（1）

依題意有/=20°x（30x90-6史<20）-6⑻>3.841，故有95%的把握認(rèn)為密切接觸者感染

90x110x50x150

病毒與年齡有關(guān)；

（2）

由題意得：該地區(qū)每名密切接觸者感染病毒的概率為與祟=：,設(shè)隨機抽取的4人中至少

有3人感染病毒為事件A,則P(A)=C(；):+(；)=裝；

(3)

設(shè)事件B為：檢測了3名成員確定為“感染高危家庭”；事件C為：檢測了4名成員確定為“感

染高危家庭”：

貝iJP(8)=(l-p『P,P(C)=(l-p)'p

即/(2)=(1-0)2〃+(1-2))=?(1-0)2(2-2)

設(shè)x=l-p(Ovxvl),貝ijg(x)=(l-x)(l+x*=0-巧/,

因為(1一/)>0,d>o,

由基本不等式可知：8(力=(1一/卜24(上皇二)=；

當(dāng)且僅當(dāng)1-/=/,即x=@時等號成立，即「二山二1-正.

22

〃2-〃+2

4.(1)⑵言(3)〃=2.

〃~+3/1+2

【分析】(1)求出從(〃+2)個球中任選2個的情況，再求出任選的2個球顏色相同的情況即

可得出；

(2)根據(jù)獨立重復(fù)試驗的特點可直接求出；

(3)根據(jù)題意表示出f(p),利用導(dǎo)數(shù)可求解.

【詳解】(1)從(〃+2)個球中任選2個，有種選法，任選的2個球顏色相同，有C：+C；

種選法，

,一次摸球中獎的概率P=與/=、丁:.

*?+3/1+2

2

(2)若〃=3,則一次摸球中獎的概率為二.

三次摸球是獨立重復(fù)試驗，則三次摸球中恰有一次中獎的概率是C；x2x0—21=!+.

5I5)125

(3)由題意，得三次摸球恰有一次中獎的概率是〃p)=C；-p-(l-p)2=3p3_6p2+3p,

Ov〃vl.

/'(〃)=9〃2一12〃+3=3(2-1)(3〃-1),

"(p)在(0,j上單調(diào)遞增，在(；，1)上單調(diào)遞減，

???當(dāng)p=g時，/(，)取得最大值，

由(1)知p=M—?+2.=1(n>2,且〃eN*),

〃2+3〃+23

得〃=2,即〃=2時，/(P)取得最大值.

5.⑴機=0。12,68

9

(2)分布列見解析，-

(3)P(〃=?)=C*(0.4)'(().6)"z,卜=0,I,3,…，40,40

【分析】(1)利用頻率之和為1列方程，化簡求得用的值，根據(jù)由頻率分布直方圖計算中位

數(shù)的方法，計算出中位數(shù).

(2)結(jié)合超幾何分布的知識計算出g的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(3)根據(jù)二項分布的知識求得尸(〃=幻，由此列不等式，解不等式來求得=的最大值

時對應(yīng)的Z的值.

(1)

由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，(0.004+,"+0.022+0.03+0.028+0.004)xl0=l,

解得〃z=0.012,

設(shè)中位數(shù)為〃，

0.004x10+0.022x10+(/1-60)x0.3=0.5,解得〃=68.

(2)

[70,80),[80,90),[90,100]的三組頻率之比為0.28:0.12:0.04=7:3:1,

.?.從[70,80),[80,90),[90,100]中分別抽取7人,3人，1人,

J所有可能取值為0，1，2,3,

Cj_56

%=0)=C^-165

尸6=1)=工1=上

C.3.55

o

%=2)=巖'=*

尸（4=3）爺吃,

Cu163

故&的分布列為：

40123

562881

P

1655555165

乂…、八56128c8cl9

故E(J)=Ox---+1x—+2x—+3x---=—

165555516511

(3)

8等級的概率為(0.028+0.012)x10=0.4,

尸0=口=。*(0.4?(0.6)@",k=0,1,3,…，100,

令。*(0.4?(0.6)吟NC割(0.4嚴(yán)(0.6)"-”①，或(0.4)“0.6)人之C*(0.4尸(0.6)")—②，

由①可得，7^7士空，解得及239.4,由②可得，竽27n汽，解得小404,

100-攵k+\k(101-K)

故2=40時，P0=k)取得最大.

6.(1)3.25

3