青龍滿族自治縣2022-2023學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試卷(含答案)

青龍滿族自治縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試

卷

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、選擇題

1.復(fù)數(shù)Z=sin--icos則復(fù)數(shù)Z的虛部是（）

66

A.-lB一叵C.--iD._烏

2222

2.已知集合4={—1,0,1},B={x|3">lg710},則AB=（）

A.{0}B.{0,l}C.{0,-l}D.{-1,0,1}

3.若aeR,則“43>1”是"/>1，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.如圖，點(diǎn)A為單位圓上一點(diǎn)，=工，點(diǎn)A沿單位圓逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角。到

3

5.函數(shù)y=cosx+萼的部分圖象大致為（）

6.某校研究性學(xué)習(xí)小組想要測(cè)量某塔的高度，現(xiàn)選取與塔底。在同一個(gè)水平面內(nèi)的

兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)A與3,現(xiàn)測(cè)得NZMB=75。，ZABD=6Q°,AB=48米，在點(diǎn)A處測(cè)得

塔頂C的仰角為30。，則塔高。。為()米.

A.24&B.24V3C.24760.3272

7.已知向量a,b滿足(2a-力，人且人=(-1,2),則向量。在b方向上的投影為()

A.V5B.—C.-75D.--

22

8.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若c=2,ZC=-,且

3

sinC+sin(5—A)—2sin2A=0,則下列選項(xiàng)不一定成立的是()

A.b=2a8.7^15。的周長(zhǎng)為2+26

的面積為上叵D.△ABC的外接圓半徑為空

33

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2=(a+i)(l-i)(aeR),則下列命題正確的有()

A.若a=l,貝Uz為實(shí)數(shù)B.若a=-1,則z為純虛數(shù)

C.若忖=2,則實(shí)數(shù)a的值為1D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在第三象

限

10.關(guān)于函數(shù)/(x)=2sin|x|的下述四個(gè)結(jié)論正確的是()

A.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)在區(qū)間e,兀)單調(diào)遞增

C"(x)在［-兀，可有4個(gè)零點(diǎn)D"(x)的最大值為2

11.下列結(jié)論正確的是()

A.在ZXABC中，若A>5,貝UsinAAsinB

B.在銳角三角形ABC中，不等式廿+°2—。2>。恒成立

C.若sin2A=sin25,則ZiABC為等腰三角形

D.在△ABC中，若6=3,4=60。，三角形面積5=3^，則三角形外接圓半徑為且

3

12.關(guān)于函數(shù)=正確的說法是()

A./(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱8./(力的定義域?yàn)?|1。1}

(2.”力在(1,+?))單調(diào)遞增D.7(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

三、填空題

13.已知函數(shù)/(tanx)=sinxcosx,%e,則/(；)=

14.已知單位向量6，e?滿足e/e2=0,^.a=ex-e2,b=3eY+e2,則

a-b=.

15.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=9，則z的虛部為.

16.在△ABC中，點(diǎn)。是的三等分點(diǎn)，口q=2"q,過點(diǎn)。的直線分別交直線

AB,AC于點(diǎn)E,F,5,AB=mAE,AC=nAF,(m>0,n>0),若工+工的最小值

mn

為日，則正數(shù)/的值為

3

四、解答題

17.已知復(fù)數(shù)z=3+歷(Z?GR),且(l+3i>z為純虛數(shù).

(1)求復(fù)數(shù)z；

(2)若0=1^,求復(fù)數(shù)CD以及模網(wǎng).

18.如圖，在△ABC中，5.AE=2EC,AB=3AD,BE交CD于點(diǎn)F.

c

F

E

ADB

(1)若BF=4BE,求2的值；

Ojr

(2)若A5=3,AC=2,ZBAC=—,求AEED.

3

19.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿足

acosB+bcosA=2ccosB,b=#i.

(1)求&

(2)若a—c=2,求AC邊上的高.

x?+2xH—

20.已知函數(shù)/'(%)=------見,(a〉0).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，試判斷xe[l,+oo)它的單調(diào)性；并證明

(2)若xe(O,l]時(shí)，/(%)是減函數(shù)，XG[1,+8)時(shí)，/(%)是增函數(shù)，試求a的值及

兀?0,+00)上/(%)的最小值.

21.E^[h〃=(cosx,5sinx),〃二卜也》一66cosx,cosx),/(%)=m-n+3^.

(1)將函數(shù)/(%)的圖象向左平移T個(gè)單位長(zhǎng)度，得到g(x)的圖象，求g(x)的解析式

及最小正周期；

(2)當(dāng)xe-方金時(shí)，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間、最值及g(x)取得最值時(shí)大的值.

22.定義在(0,+8)上的函數(shù)/(X),滿足=/(?!)+/(")(私n>0),且當(dāng)X>1時(shí),

/w>o.

(1)求/⑴的值.

(2)求證：/1]=/(加)-/(“).

(3)求證：/(x)在(0,+co)上是增函數(shù).

(4)若"2)=1,解不等式/(x+2)—/(2x)>2.

(5)比較/等與八㈤;/⑺的大小.

參考答案

1.答案：B

解析：z=sin四-icos^=工-3i，則復(fù)數(shù)z的虛部為—蟲.

66222

2.答案：B

解析：由3={x|x2log?耳},而—Ivlogs^vO,

所以AB={O,1}.

故選：B.

3.答案：A

解析：解不等式。3>1可得。>1,解不等式/>］可得。<_1或。>1,

因?yàn)閧。|4>1}。{。,<-1或。>1},

因此，“/〉1”是“標(biāo)>1”的充分不必要條件.

故選：A.

4.答案：A

解析：由題意得：cos(<z+y)=-^,sin(tz+g)=弓,

r,兀、兀［1,7t.V37i13V344A/3-3

coscr=cos［(?+—)——1=—cos(a+—)+——sin(tz+—)=—x(——)+——x—=----------，

332323252510

故選A.

5.答案：D

解析：易知函數(shù),=85%+馴為偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除A,B項(xiàng);

同

又當(dāng)x=7t時(shí)，y=cos兀+燦1=一1+'工<0,排除C選項(xiàng).

\71\71

故選：D.

6.答案：A

解析：在三角形中：ZAr>B=180o-75°-60o=45°,

48x——

由正弦定理得=AD=—"_=24面,

sin60°sin450點(diǎn)

了

在Rtz\ACD中，CD=AD-tan30°=24^x走=240.

3

故選：A.

7.答案：B

_.2

解析：因?yàn)?2〃-Z?)_LZ?,故可得2a/=b=5,

i^a-b=—,

2

5

a-b_2_A/5

則向量〃在b方向上的投影為

W2

故選：B.

8.答案：A

解析：△ABC中滿足sinC+sin(5-A)-2sin2A=0,由誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡(jiǎn)可

得sin(A+5)+sin(B一A)—4sinAcosA=0,

由正弦和角公式與差角公式展開化簡(jiǎn)可得

sinAcosB+sinBcosA+sinBcosA-sinAcos5-4sinAcosA=0,

BP2cosA(sinB-2sinA)=0,

則cosA=0,或sin5-2sinA=0,

所以A=巴或sin5=2sinA，

2

由題意c=2,AC——9

3

對(duì)于A,當(dāng)sin5=2sinA時(shí)，由正弦定理可得人=2”;當(dāng)人=4時(shí)，ZC=~,則

23

ZB=—,止匕時(shí)/?='〃，所以A不一定正確；

62

對(duì)于B,當(dāng)sin5=2sinA時(shí)，即Z?=2Q.由余弦定理，二片十〃一？次7cosC,代入可解得

a二正,6=迪，所以周長(zhǎng)為a+6+c=9+迪+2=26+2;當(dāng)4=工時(shí)，

33332

ZC=-,則/3=巴，止匕時(shí)6=3,=域，a=2b=史,所以周長(zhǎng)為

36333

〃+6+。=述+久1+2=26+2.由以上可知，所以B正確；

33

對(duì)于C,由B可知，當(dāng)sin5=2sinA時(shí)，S=Lq/?sinC='x其3*勺6*^^=其3;當(dāng)

223323

A='時(shí)，s'bc工正義2=巫,所以C正確；

22233

對(duì)于D,當(dāng)sin_B=2sinA時(shí)，由正弦定理可得2R=——,則

sinC

尺=^^=^^=迪；當(dāng)4=三時(shí)，外接圓半徑為斜邊的一半，即

2sinCJ332

2x——

2

4G

R=@=」一=漢i,由以上可知，D為正確選項(xiàng).

223

綜上可知，A為選項(xiàng).

故選:A.

9.答案：ABD

解析：復(fù)數(shù)z=(a+i)(l_i)=(a+l)+(l_a)i,

若。=1,貝Uz=2為實(shí)數(shù)，即A正確；

若a=-1,則z=2i為純虛數(shù)，即B正確；

若忖=2,則|z|=J(q+丁+(jJ=12a2+2=2,解得a=±l,即C錯(cuò)誤；

若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則即/<—I所以無解，即復(fù)

l-a<0[a>l

數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在第三象限，D正確.

故選：ABD.

10.答案：AD

解析：由題意函數(shù)〃x)=2si*=a；d，

作出其圖象如圖:

由圖象可知/(x)是偶函數(shù)，A正確;

/(x)在區(qū)間('兀)單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；

/(x)在［-兀,可有3個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤;

/(%)的最大值為2,D正確；

故選：AD.

11.答案：AB

解析：ZVlBC中，A〉Boa>b,由“”得sinA>sin瓦A正確；

sinAsinB

銳角三角形ABC中，cosA=-~~—>0,:.b~+c2-a->0,B正確；

2bc

△ABC中，若sin2A=sin2B,則2A=25或24+25=180°,即A=5或4+6=90。,

△ABC為等腰三角形或直角三角形，C錯(cuò);

△ABC中，若6=3,4=60。，三角形面積5=36，

11l.—

S=—bcsinA=—x3csin60°=3丁3,c=4,a2=b2+c2-2bccosA=13,a=<13,

22

A/132屈D_如

2R=-^—，R=，D錯(cuò).

sinAsin60°33

故選：AB.

12.答案：BD

解析：函數(shù)〃X)=2=2(XT)+3=2+±,其圖象如圖:

X—1X—1X—1

4~5~6^x

由圖象知：/(%)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱，/(x)的定義域?yàn)閧RXH1},

/(同在(l,+oo)單調(diào)遞減，/(同有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

故選：BD.

13.答案：5

七刀工匚”、sinxcosxtan%

解析：/(tanx)=----------=—~~-)

sinx+cosxtarsrx+l

1

4

14.答案：2

解析：a.。=(q-e,).(3,+e?)=3卜］|1=3—1=2.

故答案為：2.

15.答案：-1

解析：因?yàn)閨i|=l,所以z=\U=l-i,

N

故Z的虛部為-1.

故答案為：-1.

16.答案：2

解析：因?yàn)辄c(diǎn)0是的三等分點(diǎn)，口。|=2口目則

—,—*—?—?1—.—11—.2--1-2m-n—"

AO=AB+BO=AB+-BC=AB+-AC——AB=-AB+-AC=—AE+-AF,

3333333

又由點(diǎn)E,0,歹三點(diǎn)共線，所以

AO=AE+EO=AE+AEF=AE+A^AF-AE^=(1-A)AE+AAF,

--二1一丸

所以3,可得網(wǎng)+4=1,

n.33

—=A

[3

當(dāng)且僅當(dāng)力療二川時(shí)，等號(hào)成立，

即工的最小值為12+D+2戶，貝I」有]2+2]+2廬=§,

mn^33JV9(33)丫93

即f+2萬—6=0,所以(〃+30)(〃-0)=0,因?yàn)?〉0,

所以f=2,

故答案為：2.

17.答案：(1)z=3+i

(2)0=g-gi，國(guó)=

解析：(1)由已知得(l+3i).z=(l+3i)(3+歷)=(3—33+(9+期,

(l+3i)z是純虛數(shù)，

二3—3/?=0且9+/?w0,則A=l,從而z=3+i.

（2）由（1）知。=出(3+。(2-i)7i

2+i(2+i)(2-i)55

一、2

1=3,

18.答案：(1)A=-

7

29

(2)AF?ED=——

21

.2

解析：(1)BE=AE-AB=-AC-AB,又BF-BE,

3

BF=-AAC-AAB,

3

由C,F,。三點(diǎn)共線，設(shè)=〃DC,

21

BF=BD+DF=——AB+uDC,XDC=AC-AD=AC——AB,

33

BF=(-|-1//)AB+//AC,

221

??2—Ll,%—+—LI,

333

46

(2)由(1)BF=-AC--AB,

77

14

AF=AB+BF=-AB+-AC,

77

--..12

XDE=AD-AE=-AB——AC,

33

14121.2282

AFED=(-AB+-AC\-AB——AC)=—AB+—ACAB——AC,

7733212121

又AB=3,AC=2,ZBAC=—,

3

12829

AFED=——x9——x3-—x4=—-

21212121

19.答案：（1）-

3

⑵①

14

解析：(1)由正弦定理知sinAcos_B+sin5cosA=2sinCcos5,

即sin(A+6)=2sinCcosB,因?yàn)锳+5=兀一C,Ce(0,TI),sinCwO,

所以sinC=2sinCeosB，故cosB=—.

2

因?yàn)?e(0,兀)，所以3=

(2)由余弦定理及〃一。=2知/="+/-2QCCOSB.

以4+/—etc—7,即(a—c)2+etc-7,

所以QC+4=7,即〃C=3,

設(shè)AC邊上的高為力，則ABC=工acsin3=工X,

ZA/iQL

V7,3s/3

：.——h=----,

24

所以AC邊上的高丸=詼.

14

20.答案：(1)/(%)在區(qū)間［1,+oo)上單調(diào)遞增；證明見解析

(2)a=l,/(x)的最小值為4

解析：(1)函數(shù)f(x)=x+L+2,/(x)在區(qū)間［1,+8)上單調(diào)遞增，

2x

設(shè)1?X］<%時(shí)，/(X1)-/(X2)=(玉_尤2)+(---------)=(h_x2)(1------)<0，/(玉)</(%2)，

2%2X22XR

所以/(X)在區(qū)間［1,+00)上單調(diào)遞增.

(2)由行(0』時(shí)，是減函數(shù)可知:

0<Xj<X,<1,/(xj-/(%,)=(Xj-X2)(-^^~-)>0恒成立

OX］/

ax/2-1<°恒成立，二ax［馬<4々？<a<1，，aWl，

同理可得：xe［Ly)時(shí)，/(尤)是增函數(shù)，a>l,故a=l,

當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/(x)有最小值4.

21.答案：(1)g(x)=6sin[2x+1),最小正周期為n

(2)函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為書哈；g(x)的最大值為6,此時(shí)x=\；g(x)的

最小值為-6,此時(shí)x=-工兀

12

解析：(1)由已知得，〃x)=cosx.卜inx-6Gcos尤)+5sinxcosx+3y/3

=cosx-sinx-6A/3COS2%+5sinx?cosx+3近

=6cosx-sinx-6A/3COS2x+3百

=3sin2x-6百」+c；2x+34

=3sin2x-3A/3COS2X

=6sinf2x-yj.

將函數(shù)的圖象向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，得到g(x)的圖象,

、

7171

所以g(%)=6sin2XH---=6sin12x+]

33J

所以g