遼寧省聯(lián)盟2024年高考模擬卷（信息卷）數(shù)學(xué)（二）

遼寧省名校聯(lián)盟2024年高考模擬卷（信息卷）

數(shù)學(xué)（二）

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題紙上。

2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題紙對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題紙上。寫在本試卷上

無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.已知集合4={乂％+6>工2},8={X€N一1<%44},則AB=（）

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z（2+2i）=3』+3,則z的虛部為（）

A.-6B.-3C.6D.15

3.在平行四邊形ABCD中，AE=2EC,EI^=FB,則（）

1——525

A.AF=-AB+-ADB.AF=-AB+-AD

3636

C.AF=^AB+-AD52

D.AF=-AB+-AD

6363

4.2024年春節(jié)前夕，某商城針對顧客舉辦了一次“購物送春聯(lián)”的促銷活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：將一天內(nèi)購

物不少于800元的顧客按購物順序從1開始依次編號，編號能被3除余1,也能被4除余1的顧客可以獲得

春聯(lián)1對，否則不能獲得春聯(lián).若某天符合條件的顧客共有2000人，則恰好獲得1對春聯(lián)的人數(shù)為（）

A.167B.168C.169D.170

5.設(shè)〃=0.53力=10823,。=1。8611,貝!?。ǎ?/p>

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

6.現(xiàn)有含甲在內(nèi)的5名游客來到江西旅游，分別準(zhǔn)備從井岡山、廬山、龍虎山這3個(gè)5A級景區(qū)中隨機(jī)選

擇1個(gè)景區(qū)游玩.在這5名游客中，甲不去井岡山，但每個(gè)景區(qū)均有人選擇，則這5名游客不同的選擇方案

種數(shù)為（）

A.52B.72C.76D.100

7.已知拋物線。：丁2=2°%（°〉0）的焦點(diǎn)為歹，過點(diǎn)歹的C的弦中最短的弦長為8,點(diǎn)8在C上，D是

線段8/上靠近點(diǎn)尸的五等分點(diǎn)，貝iJsinNOOE（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值為（）

A2B或C拽D也

5552

8.若至少存在一條直線與曲線/(x)=212+3和g(x)=3—出式(/N0)均相切，則t的取值范圍是()

A.[-4e,0)B.[2e,+oo)C.(-4e,0)(0,+℃)D.[Te,0)(0,+co)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知名尸是兩個(gè)不同的平面，/，旭是兩條不同的直線，則()

A.若lua,muB，a〃B,貝”〃znB.若加〃/,機(jī)〃a,/<za,貝

C.若a1/3,mua,則m_1_尸D.若11a,m〃l,mu。,則a_L〃

10.設(shè)函數(shù)y(x)的定義域?yàn)镈,若VxeO,記/⑵=九))為/(x)在。上的2次迭代，

/⑶(x)=/(/(/(x)))為/(X)在。上的3次迭代，依次類推，/W(x)=/(/(/(為/(x)

在D上的〃次迭代，即/⑺(x)=/(/('f(x))，則()

A.若/(%)=ar+Z?,aw1,則/⑻(x)=a"[xH—彳]+J

B.若/(%)=砒+〃，1°)(尤)=1024無+1023,則a=2力=1

C.若〃x)=2x+l,則?！恪?(32)能被17整除

D.若/'(x)=@,a70,則/0°°)(x)=/(x)

X

11.雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)

22

過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖，雙曲線E：亍-子=1的左、右焦點(diǎn)分別為片,K，從尸2發(fā)出的兩條光線經(jīng)

過E的右支上的A8兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和。，其中共線，則()

A.若直線AB的斜率左存在，則上的取值范圍為一哈一二—,+?

V27<27

B.當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2加,加)時(shí)，光線由歹2經(jīng)過點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)C所經(jīng)過的路程為6

.2A

C.當(dāng)AB?AD=43時(shí)，6月的面積為12

D.當(dāng)ABADuAB?時(shí)，cosZFlF2A=-^-

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若隨機(jī)變量X?N?/),且p(X24)=尸(X4l)=0.4,則p[g<X<4)=

13.已知圓C:d+/一2℃一2y+1=0關(guān)于直線x—y—1=0對稱，圓C與x軸交于A,B兩點(diǎn)，則|AB|=

71

14.己知函數(shù)=sin（2x+°）|附<5滿足了,若/(X)在區(qū)間彳,加上恰有2個(gè)零

點(diǎn)，則加的取值范圍為.(用區(qū)間表示)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S",且4S〃=5an-2.

(1)證明：｛4｝是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)以=(-1)".log5等,求數(shù)列｛優(yōu)｝的前100項(xiàng)和7]00.

16.(15分)

如圖，在三棱柱ABC-AgC]中，側(cè)面A&GC，底面A3。，底面三角形A3C是以AC為斜邊的等腰直

角三角形，側(cè)面A&GC是邊長為2的菱形，且NAAC=60°.

(1)求點(diǎn)4到平面ABC的距離;

(2)求直線A3與平面AB】。所成角的余弦值.

17.(15分)

已知函數(shù)=(tzx-l)e*+i+3(a#0).

(1)求/(x)的極值；

(2)設(shè)a=l,若關(guān)于x的不等式/■(x)<(b-l)ex+i—x在區(qū)間［—l,+oo)內(nèi)有解，求》的取值范圍.

18.(17分)

第十四屆全國冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)(簡稱冬運(yùn)會(huì))于2024年2月17日至2月27日在內(nèi)蒙古自治區(qū)呼倫爾市舉辦,

這是歷屆全國冬運(yùn)會(huì)中規(guī)模最大、項(xiàng)目最全的一屆體育盛會(huì)，也是內(nèi)蒙古自治區(qū)首次承辦全國綜合性運(yùn)動(dòng)

會(huì).為迎接這一體育盛會(huì)，內(nèi)蒙古某大學(xué)舉辦了一次主題為“喜迎冬運(yùn)會(huì)，當(dāng)好東道主”的冬運(yùn)會(huì)知識競

賽，該大學(xué)的M學(xué)院為此舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通

過后將代表M學(xué)院參加該大學(xué)的冬運(yùn)會(huì)知識競賽，且參賽選手是否答對各題相互獨(dú)立.

(1)初賽采用選一題答一題的方式，每位參賽大學(xué)生最多有7次答題機(jī)會(huì)，累計(jì)答對4道題或答錯(cuò)4道題

即終止比賽，答對4道題則進(jìn)入決賽，答錯(cuò)4道題則被淘汰.已知大學(xué)生甲答對每道題的概率均為

2

(i)求甲至多回答了5道題就進(jìn)入決賽的概率；

(ii)設(shè)甲在初賽中答題的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(2)決賽共3道題(均需作答)，規(guī)定：答對題目數(shù)量不少于2道則勝出，代表學(xué)校參加市級比賽；否則被

淘汰.已知大學(xué)生乙進(jìn)入了決賽，他在決賽中答對前2道題的概率相等，均為x(0<x<l),且他3道題全

答對的概率為工，設(shè)他能代表學(xué)校參加市級比賽的概率為/(x),求/(x)的最小值.

8

19.(17分)

設(shè)動(dòng)點(diǎn)G(x,y)到點(diǎn)F(1,0)的距離與它到直線/：x=4的距離之比為1,記點(diǎn)G的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

(2)A為C與x軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)，8為直線工=1與C在第一象限的交點(diǎn)，直線/'過點(diǎn)(—2,3),且與C

相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)N作垂直于x軸的直線分別與直線AB,AM相交于點(diǎn)P,Q,分別記△AN。與

△AP。的面積為跖與邑，求證：STS?.

參考答案

數(shù)學(xué)(二)

一、選擇題

1.A【解析】由題意得A—{小2一%—6<}o—何―2cx<3},B={0,l,2,3,4},則4B={0,l,2}.故

選A項(xiàng).

2.C【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a,6eR）,由z（2+2i）=3z+3,得（a+Z?i）（2+2i）=3a+3—3歷,

2〃-26=3〃+3,右，,??

化簡得2a2b+（2a+2b）i=3a+3—3打，所以<解得。二-15,6=6,所以z=-15+6i,

2a+2b=—3"

所以z的虛部為6.故選C項(xiàng).

2/.-—.1-.1_1―.

3.C【解析】如圖，由題意可知AE=—A3+A。,尸是5E的中點(diǎn)，所以A/=—AB+—A'=—AB+

3V7222

-（AB+AD\=-AB-AD.故選c項(xiàng).

3、763

4.A【解析】將能被3除余1且被4除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為｛a,｝,則4-1既

是3的倍數(shù)，也是4的倍數(shù)，故4-1為12的倍數(shù)，所以｛4-1｝是首項(xiàng)為0,公差為12的等差數(shù)列，所

*乙UJL1*

以4=12〃—11,令lWa〃<2000,即—11W2000,且〃eN,解得且“eN,

又167<2011<168,所以恰好獲得1對春聯(lián)的人數(shù)為167.故選A項(xiàng).

131136c3

5.B【解析】a=0.5<0.5°=l,b=-log29>-log28=-J=log6<=^611<log6676=-.綜

上，a<c<b.故選B項(xiàng).

6.D【解析】若甲1個(gè)人一組，則其他兩組人數(shù)分別為1,3或2,2,則不同的選擇方案有C；（C：A；+C；）=28

種；若羋和另外1個(gè)人兩人一組，則其他兩組人數(shù)為1,2,則不同的選擇方案有另=48種；若甲

和另外2個(gè)人三人一組，則其他兩組人數(shù)為1,1,則不同的選擇方案有C；C：A；=24種.共有

28+48+24=100種選擇方案.故選D項(xiàng).

7.B【解析】因?yàn)檫^點(diǎn)尸的C的弦中最短的弦長為8,所以2夕=8,即C的方程為V=8x,尸（2,0）.設(shè)

B九,九,D（x,y），由。是線段8歹上靠近點(diǎn)方的五等分點(diǎn)，得BD=4DF,所以

、8,

X—K,y—y0]=4(2—x,—y),故—一弋=4(2—%)，即,540’不妨設(shè)點(diǎn)臺在第一象限，易知

I8)[y-yQ=-4y,y=y,

/DOF為銳角，當(dāng)sinZDOF取最大值時(shí)，直線O。的斜率上也最大，又

=y=-^y^=—^—<=1,當(dāng)且僅當(dāng)如=%,即為=8時(shí)取等號，此時(shí)

kX64+y；:為產(chǎn)J——2%

%V為

1]A12/5A

tanZDOF=—,cos2ZDOF=------------=—,sinZDOF=tanZDOF-cosZDOF=—x----=—

2l+tan2ZDOF5255

,即sinNDO下的最大值為故選B項(xiàng).

8.D【解析】/'(x)=4x,g'(x)=設(shè)公切線與曲線y=/(x)切于點(diǎn)(再,2年+3),與曲線y=g(x)

切于點(diǎn)(%2,3-/11次2)(%2>0)，則切線方程分別為丁=4X］X—2x；+3,y=---x+t+3-Anx2,所以

X2

4%———(T)產(chǎn)

<1%'由①得xf=-^,代入②得:8只h叫—8篇.令

-2%；+3=%+3-丹噸②，16"

/z(x)=8x2lnx-8x2(x>0),則/z'(x)=8%(21nx-l),所以當(dāng)0<%<血時(shí)，”(％)v0,當(dāng)6時(shí)，

hf(x)>0,所以g)在區(qū)間(0,血)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(忘+對內(nèi)單調(diào)遞增，所以

=人(五)二一4。，又當(dāng)xf中用時(shí)，+0。，所以/z(x)的值域?yàn)椋踄e,+8),所以1的取值

范圍是［Te,0)(0,+8).故選D項(xiàng).

二、選擇題

9.BD【解析】對于A項(xiàng)，若lua,muB，a〃。,則/〃力或/與相異面，A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，因?yàn)?/p>

m//a,所以機(jī)〃〃，因?yàn)橄唷?,所以a〃/,因?yàn)閍u?/uucr,所以/〃c,B項(xiàng)正確；對于

C項(xiàng)，當(dāng)。_L/?,加u。時(shí)，M_L尸或加〃/?或加u夕或相與夕相交，C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，若/_La,切〃/,

則nz_La,又mu。,所以二_L，，D項(xiàng)正確.故選BD項(xiàng).

10.AC【解析】若〃%)=ax+Z?(awl),則(%)=anx+an~1b+an~2b++ab+b=

anx+b-——=an[xH———，故A項(xiàng)正確；由f(x]=ax+b,得

I1-a)I1-aJ1-av)

/i_ioA

/(10)(x)=a10x+a9b+a8b++ab+b=awx+b—....=1024%+1023,所以

或°=10243=1023,解得a=2力=1或a=—2,6=—3,故B項(xiàng)錯(cuò)誤；若〃x)=2x+l,則

、1-j

/(100)(%)=2100(%+1)-1,所以/(100)(32)=33x2100-1=33x1625-1=33x(17-1)25-1

2524

=33(Cff17-Cfjl7+《*23—C即722++C*517-1)-1

25

=33(C^17—砥:戶+C寮723—C窗722+…+C%17))—34

24232221

=17x[33(C^17-C^17+C1517-C|tl7++C'5)-2],

故C項(xiàng)正確；若/(%)=—=(a0)，則f(2)(x)=f(f(x))=—=x，

x￡

x

/⑶(x)=yU(〃x)))=?=〃x),所以/(x)=q是以2為一個(gè)周期的迭代函數(shù)，所以

XX

/'a°°)(x)=xH/(x),故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選AC項(xiàng).

11.ABD【解析】如圖，過點(diǎn)工分別作E的兩條漸近線的平行線4,6，貝也,4的斜率分別為嚴(yán),一￥

對于A項(xiàng)，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)A,8均在E的右支時(shí)，或k>W，A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，光線由尸2

經(jīng)過點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)C所經(jīng)過的路程為優(yōu)匈+|AC|=|4匈—2。+|4。|=閨。|—2a=

7(2>/10+V10)2+(Vio-0)2-4=6,B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，由得AB)=O,

即所以設(shè)忸制="，貝U忸閶=〃一2a=〃一4,因?yàn)橐毅@力二,，所以

—4)2=(2c)2=40,整理得“2—4"—12=0,解得〃=6或〃=—2(舍去)，所以忸耳|=6,

忸閭=2,所以公耳的面積S=g忸制?忸閭=6,C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，在Rt△43工中,

cosNFF，B=冏斗=~^==巫，所以cosZF.F^A=-cosZF^B=-巫，D項(xiàng)正確.故選ABD項(xiàng).

12閨瑪|27101010

三、填空題

12.0.1【解析】因?yàn)閄?N(〃,/)，且尸(X24)=尸(X4l)=0.4,則〃=?=：,所以

<X<4^|=-P(X>4)=0.5-0.4=0.1.

13.273【解析】圓2奴—2y+l=0,即(x—4+(y—=〃，圓心因?yàn)閳A

C關(guān)于直線x—y—1=0對稱，所以a—1—1=0,解得a=2,所以圓C:（x—2y+（y—=4,圓心

C（2,l）,半徑廠=2,則圓心。（2,1）到x軸的距離d=l,所以|A卻=2,產(chǎn)_〉2=2技

437r67TT127r冗冗TCT

14.而，您-J【解析】由題意可知的最小正周期T=5-=〃，因?yàn)??—可=五＜］，所以直

線尤=修一區(qū)=衛(wèi)為“X）圖像的一條對稱軸，則/（X）在直線x=Z工右側(cè)的零點(diǎn)依次為

248V7'）48

萬T3T5T

-7--1—=1-9-?--7-?--1---=-4-37-r-7-7-r-1-----67-7-r若“X）在區(qū)間，加上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則

48448'48448'48448

43萬67萬

m

e石，而

四、解答題

15.解：（1）由已知得4s“=5?！薄?,①

當(dāng)2時(shí)，4S“T=5a,i—2,②

①-②得an=5a(w>2),

所以N=5(〃22).

%.1

當(dāng)〃=1時(shí)，4s1=5〃1一2,所以q=2,

所以｛4｝是首項(xiàng)為2,公比為5的等比數(shù)歹！J,

故%=2>5一

2n+1

n7x5

(2)bn=(-ir-iog5卷=(-ir-iog5=(-1/-(2〃+1),

所以100=(4+8)+(4+&)+,+099+4oo)=(—3+5)+(—7+9)+~+

(-199+201)=2+2+2++2=2x50=100.

16.解:(1)取AC的中點(diǎn)。，連接AC，A。，

因?yàn)閭?cè)面A&GC為菱形，且NAAC=60°，

所以△A41C為等邊三角形，所以4。，AC.

又平面ABC,平面A41cle，ADu平面AAQC，平面A41G。平面ABC=AC，

所以平面ABC,

所以4。的長即為點(diǎn)&到平面ABC的距離，

又A。=AA^mZA^AC=A\sin600=6,

故點(diǎn)A到平面ABC的距離為V3.

(2)連接D5,因?yàn)?R=5C,所以則￡>5,￡>C,￡>A兩兩垂直.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由題可知D（0,0,0）,B（l,0,0）,C（0,1,0）,A（0,-l,0），A（0,0,/），則=（L°，-括），=（1,1,0）.

由44=AB，得用（1,1,8）.

設(shè)平面AB｝C的法向量為n=（x,y,z）,=（1,0,A/3）,DC=（0,1,0）,

n-CB,=x+V3z=0,

則1

n-DC=y=0,

取z=6,得“=(—3,0,6).

設(shè)直線AyB與平面AB,C所成角為9,

則sin*cos(4B,n\==-tlzl=立,

\/43M2xV122

所以cos。=Vl-sin2^=—,

2

即直線AB與平面ABC所成角的余弦值為

X{2

17.解：(1)/'(%)=(ov-l+a)e*+i,

1—a

令/'(x)=。,得冗二----.

1—Z71—Z7

當(dāng)〃>0時(shí)，由/'(x)>0,得工〉----，由/'(尤)<0,得不<-----,

故“X)在區(qū)間［哈寧］內(nèi)單調(diào)遞減，

在區(qū)間［丁,內(nèi)單調(diào)遞增，

所以/(x)在x=Y處取得極小值，且極小值為/(與q］=3—。/，無極大值;

1—a1—a

當(dāng)avO時(shí)，由/'(x)>0,得----,由/'(x)v0,得天〉-----，

故y(x)在區(qū)間哈寧］內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間［寧,+8］內(nèi)單調(diào)遞減，

所以/(x)在x=V處取得極大值，且極大值為/(與q］=3—。/，無極小值.

綜上，當(dāng)。>0時(shí)，/(%)的極小值為3〃e",無極大值；

當(dāng)。<0時(shí)，〃%)的極大值為3-，無極小值.

T+3T+3

(2)/(x)<(b—De*—x等價(jià)于V+x,則b之土3+x在區(qū)間[—1,”)內(nèi)有解.

ee

令g(x)=g+%(%>-1)

、eA+1—(x+2)

則g(zx卜e'M

令=ev+1—(x+2),x>—1,

則〃(力=6'+1_]2〃'(_1)=0,

所以/z（x）在區(qū)間［―1,+8）內(nèi)單調(diào)遞增,

即2〃（—1）=0,所以g'（x）?o在區(qū)間［―i,+8）內(nèi)恒成立,

所以g（x）在區(qū)間［一1,+?0內(nèi)單調(diào)遞增，即g（x）Ng（—1）=1，即321,

故》的取值范圍是

18.解：（1）因?yàn)榧状饘γ康李}的概率均為工,

2

所以甲答錯(cuò)每道題的概率均為』.

2

1

（i）甲答了4道題就進(jìn)入決賽的概率為C；x

16

甲答了5道題就進(jìn)入決賽的概率為x-x-=-.

⑵228

113

所以甲至多回答了5道題就進(jìn)入決賽的概率為一+—=—.

16816

（ii）易知X的可能取值為4,5,6,7,對應(yīng)甲被淘汰或進(jìn)入決賽的答題個(gè)數(shù),

則P（X=4）=2C：電=",

P（X=9=2cq儲

P（X=6）=2c

33

P(X=7)=或

所以X的分布列為

X4567

155

P

841616

115593

則E(X)=4X±+5X±+6X3+7*'=3

、)84161616