2024屆內蒙古呼和浩特市數(shù)學八年級第二學期期末考試試題含解析

2024屆內蒙古呼和浩特市數(shù)學八年級第二學期期末考試試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.如圖，在A6c中，NACB=90°,的垂直平分線所交于點。，交A3于點E,連接CE,CF,BF,

BE=BF，添加一個條件，無法判定四邊形3ECF為正方形的是()

A.BC=ACB.CF±BFC.BD=DFD.AC=BF

a-2ab-b以心/十

2.已知-----=4,則^—…「7的值等于()

abla—2b+Jab

22

A.6B.-6C.D.

157

3.下列函數(shù)中,是一次函數(shù)的是（)

>33

A.B.y=一C.y-x2-3D.y-2x-1

3x

4.龍華地鐵4號線北延計劃如期開工,由清湖站開始，到達觀瀾的牛湖站，長約10.770公里，其中需修建的高架線

長1700m.在修建完400m后，為了更快更好服務市民，采用新技術，工效比原來提升了25%.結果比原計劃提前4

天完成高架線的修建任務.設原計劃每天修建xm,依題意列方程得（）

170017001700-4001700-400“

A.-----------------二44-----------------------------------=4

xx(l+25%)%(1+25%)x

17001700-400“1700-4001700-400)

C.--------------------------=4D-----------------------------------=4

xx(l+25%)xx(l+25%)

5.如圖，在R3A8C中，ZC=90°,BC=4,AB=6,點。是邊5c上的動點，以43為對角線的所有口AZXBE中,

DE的最小值為（）

A.2B.4C.6D.275

6.如圖，是某超市一樓與二樓之間的階梯式電梯示意圖，其中A3、CD分別表示一樓、二樓地面的水平線,

ZABC=150°,8C的長為10根，則乘電梯從點3到點C上升的高度〃是()

A.10mB.15mC.5mD.20m

7.如圖，在△ABC中，點。、E分別是4B、AC的中點，如果DE=3,那么BC的長為().

9.如圖，已知直線h〃/2〃/3〃/4,相鄰兩條平行線間的距離都是1,正方形A3CD的四個頂點分別在四條直線上，則

正方形A3C。的面積為()

A.73B.5C.3D.75

10.下列函數(shù)關系式中，y是x的反比例函數(shù)的是

c1x22

A.y=2x-lB.y=——C.y=—D.y=—

2xx

11.過原點和點(2,3)的直線的解析式為()

A3B2C3D2

c?y=-xy=3xy=-2Xy=-3X

12.如圖，在AA5c中，D是BC邊的中點，AE是44。的角平分線，入￡，怎于點￡,連接DE,若AB=7,DE=1,

則AC的長度是()

A.C.3D.2

二、填空題(每題4分，共24分)

13.在數(shù)學課上，老師提出如下問題：如何使用尺規(guī)完成“過直線1外一點A作已知直線1的平行線”.

小云的作法如下：

(1)在直線1上任取一點B,以點B為圓心，AB長為半徑作弧，交直線1于點C；

(2)分別以A,C為圓心，以AB長為半徑作弧，兩弧相交于點D；

(3)作直線AD.

所以直線AD即為所求.

老師說：“小云的作法正確”.

請回答：小云的作圖依據(jù)是.

14.以下是小明化簡分式(一―-i)+r~」的過程.

x+xx+2x+l

解：原式

22小

二(―^-x--------------x-——+x)+—;----x--------1--------①

x+xx+xx+2x+l

X—+X/+2x+1

=-5----X-----②

X+XX—1

「(X-2)(%+1)2

x(x+l)2(x-l)

2-x

④

x-1

（1）小明的解答過程在第步開始出錯；

（2）請你幫助小明寫出正確的解答過程，并計算當尤=2時分式的值.

15.不等式9-3x>0的非負整數(shù)解的和是.

16.如圖，在平面直角坐標系中，點A（O,g）,B（-1,O）,過點A作A8的垂線交工軸于點A，過點4作AA1的垂

線交y軸于點4=,過點4=作44的垂線交x軸于點A3……按此規(guī)律繼續(xù)作下去，直至得到點4o19為止，則點

17.正比例函數(shù)圖象經(jīng)過（3,-6）,則這個正比例函數(shù)的解析式是.

18.當a=-3時，y/6-a=.

三、解答題（共78分）

19.（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F在對角線BD上，且BF=DE

(1)求證：△ADEgZXCBF.

（2）若AE=3,AD=4,NDAE=90。，該判斷當BE的長度為多少時，四邊形AECF為菱形，并說明理由.

20.（8分）已知王亮家、公園、新華書店在一條直線上，下面的圖象反映的過程是：王亮從家跑步去公園，在那里鍛煉

了一陣后又走到新華書店去買書，然后散步走回家.其中x表示時間，y表示王亮離家的距離.

根據(jù)圖象回答:

(1)公園離王亮家km,王亮從家到公園用了min；

(2)公園離新華書店km；

(3)王亮在新華書店逗留了min；

(4)王亮從新華書店回家的平均速度是多少？

1

21.(8分)先化簡，再求值：--(1———),其中x=-L

x—1%—1

3x-7Kx+1⑴

22.(10分)解不等式組x+3

2x>------(2)

I2

1t

23.(10分)如圖，直線y=—x+b,分別交x軸，y軸于點A、C,點P是直線AC與雙曲線y=—在第一象限內的交點,

2x

過點P作PB，x軸于點B,若0B=2,PB=3.

(1)填空：k=；

(2)求aABC的面積；

(3)求在第一象限內，當x取何值時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值？

24.(10分)已知：點A、C分別是NB的兩條邊上的點，點D、E分別是直線BA、BC上的點，直線AE、CD相交

于點P.

(1)點D、E分別在線段BA、BC上；

①若NB=60。(如圖1),且AD=BE,BD=CE,則NAPD的度數(shù)為；

②若NB=90。(如圖2),且AD=BC,BD=CE,求NAPD的度數(shù)；

(2)如圖3,點D、E分別在線段AB、BC的延長線上，若NB=90。，AD=BC,NAPD=45。，求證：BD=CE.

25.(12分)如圖，矩形Q4BC的頂點A、C分別在x、y的正半軸上，反比例函數(shù)y=勺(左>0)與矩形。鉆C的

X

邊AB、BC交于點D、E.

⑴若k=2,則AOCE的面積為；

(2)若D為AB邊中點.

①求證：E為BC邊中點；

②若AODE的面積為4,求上的值.

26.分解因式：

(1)2X2-4X+2;(2)(x-y)3-9(x-y).

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1,D

【解題分析】

根據(jù)中垂線的性質：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有BE=EC,BF=FC進而得出四邊形BECF是菱形

由菱形的性質知，以及菱形與正方形的關系，進而分別分析得出即可.

【題目詳解】

解：；EF垂直平分BC,

.\BE=EC,BF=CF,

VBF=BE,

；.BE=EC=CF=BF,

二四邊形BECF是菱形；

當BC=AC時，

■:ZACB=90°,

則NA=45。時，菱形BECF是正方形.

；NA=45。，ZACB=90°,

二ZEBC=45°

:.ZEBF=2ZEBC=2x45°=90°

二菱形BECF是正方形.

故選項A正確，但不符合題意；

當CFLBF時，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項B正確，但不符合題意；

當BD=DF時，BC=EF,對角線相等的菱形是正方形，得菱形BECF是正方形，故選項C正確，但不符合題意；

當AC=BF時，AC=BF=CE,ZA=ZCEA=ZFBA,由菱形的對角線平分對角和直角三角形的兩銳角互余得：

ZABC=30°,即NFBE=60。，所以無法得出菱形BECF是正方形，故選項D錯誤，符合題意.

故選D.

【題目點撥】

本題考查菱形的判定和性質及中垂線的性質、直角三角形的性質、正方形的判定等知識，熟練掌握正方形的判定是解

題關鍵.

2、A

【解題分析】

由已知g=4可以得到a-b=-4ab,把這個式子代入所要求的式子，化簡就得到所求式子的值是6,故選A

ab

3、D

【解題分析】

根據(jù)一次函數(shù)的定義進行判斷即可.

【題目詳解】

A.該函數(shù)屬于正比例函數(shù)，故本選項錯誤；

B.該函數(shù)屬于反比例比例函數(shù)，故本選項錯誤；

C.該函數(shù)屬于二次函數(shù)，故本選項錯誤；

D.該函數(shù)屬于一次函數(shù)，故本選項正確；

故選：D.

【題目點撥】

此題考查一次函數(shù)，難度不大

4、C

【解題分析】

設原計劃每天修建xm,則實際每天修建（1+25%）xm,根據(jù)題意可得，增加工作效率之后比原計劃提前4天完成任

務，據(jù)此列方程.

【題目詳解】

解：設原計劃每天修建xm,則實際每天修建（1+25%）xm,由題意得：

17001700-400“

----------------------=4

xx（l+25%）

故選C.

5、D

【解題分析】

由條件可知8?！?瓦則可知當OEL8C時，OE有最小值，可證得四邊ACDE為矩形，可求得答案.

【題目詳解】

???四邊形ADBE為平行四邊形，

：.AE//BC,

.?.當DEL5c時，OE有最小值，如圖，

■:ZACB=90°,

二四邊形ACDE為矩形，

：.DE=AC,

在R3A3C中，由勾股定理可求得AC=JABT—BC?=2有,

.,.DE的最小值為2班，

故選：D.

【題目點撥】

本題主要考查平行四邊形的性質和矩形的判定和性質，確定出OE取最小值時的位置是解題的關鍵.

6、C

【解題分析】

過C作CMLAB于M,求出NCBM=30。，根據(jù)BC=10m,利用三角函數(shù)的知識解直角三角形即可.

【題目詳解】

解：過C作CM_LAB于M,

■:ZABC=150°,

ZCBM=180°-150°=30°,

在RtACBM中，

VBC=10m,ZCBM=30°,

CM1

------=sinZCBM=sin30°=—,

BC2

1

.,.CM=-BC=5m,

2

即從點B到點C上升的高度h是5m.

故選C.

【題目點撥】

本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是根據(jù)坡角建立直角三角形，利用三角函數(shù)解直角三角形.

7、C

【解題分析】

根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半解答即可.

【題目詳解】

解：?.?點D、E分別是AB、AC的中點，

；.DE是AABC的中位線，

.\BC=2DE=2x3=l.

故選C.

【題目點撥】

本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質，熟記定理是解題的關鍵.

8、B

【解題分析】

直接利用二次根式的性質分別化簡即可得出答案.

【題目詳解】

A、712=273,故不是最簡二次根式，故此選項錯誤；

B、斯是最簡二次根式，符合題意;

c、底=立,故不是最簡二次根式，故此選項錯誤；

2

D、1=半，故不是最簡二次根式，故此選項錯誤；

故選：B.

【題目點撥】

此題主要考查了最簡二次根式，正確化簡二次根式是解題關鍵.

9、B

【解題分析】

過D點作直線EF與平行線垂直，與b交于點E,與14交于點F.易證AADE之△DFC,得CF=2,DF=2.根據(jù)勾股定

理可求CD?得正方形的面積.

【題目詳解】

作EFLL,交12于E點，交14于F點.

；l2〃12〃b〃14,EF±12,

.\EF±12,EFJ_L,

即NAED=NDFC=90。.

VABCD為正方形，

.*.ZADC=90o.

；.NADE+NCDF=90°.

又；ZADE+ZDAE=90°,

,\ZCDF=ZDAE.

在AADE和ADCF中

NDEQNCFD

<ZEAD=ZCDF

AD=DC

/.△ADE^ADCF(AAS),

/.CF=DE=2.

VDF=2,

.*.CD2=22+22=3,

即正方形ABCD的面積為3.

故選B.

【題目點撥】

此題主要考查了正方形的性質和面積計算，根據(jù)平行線之間的距離構造全等的直角三角形是關鍵.

10、D

【解題分析】

根據(jù)反比例函數(shù)的定義，反比例函數(shù)的一般式是丫=1?(k20),可以判定函數(shù)的類型.

【題目詳解】

A.是一次函數(shù)，故此選項錯誤；

B.是正比例函數(shù)，故此選項錯誤；

C.不是反比例函數(shù)，故此選項錯誤；

D.是反比例函數(shù)，故此選項正確。

故選D.

【題目點撥】

本題考查反比例函數(shù)的定義，熟練掌握反比例函數(shù)的定義對選項進行判斷是解題關鍵.

11、A

【解題分析】

設直線的解析式為y=kx(k/0),把(2,3)代入函數(shù)解析式，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得.

【題目詳解】

解：?.?直線經(jīng)過原點，

...設直線的解析式為丫=1?(k20),

把(2,3)代入得3=2k,

解得k=}

該直線的函數(shù)解析式為y=3x.

2

故選：A.

【題目點撥】

此題主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵.

12、A

【解題分析】

延長CE,交AB于點F,通過ASA證明aEAF絲Z\EAC,根據(jù)全等三角形的性質得到AF=AC,EF=EC,根據(jù)三角

形中位線定理得出BF=1,即可得出結果.

【題目詳解】

解：延長CE,交AB于點F.

；AE平分NBAC,AE1CE,

/.ZEAF=ZEAC,ZAEF=ZAEC,

"NEAF=ZEAC

^△EAF與4EAC中，＜AE=AE

ZAEF=ZAEC

/.△EAF^AEAC(ASA),

.\AF=AC,EF=EC,

又是BC中點，

；.BD=CD,

；.DE是ABCF的中位線，

.?.BF=1DE=1.

.*.AC=AF=AB-BF=7-1=5；

故選A.

【題目點撥】

此題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質等知識；熟練掌握三角形中位線定理，證明三角形全等是

解題的關鍵.

二、填空題(每題4分，共24分)

13、①四邊相等的四邊形是菱形②菱形的對邊平行

【解題分析】

利用作法可判定四邊形ABCD為菱形，然后根據(jù)菱形的性質得到AD與1平行.

【題目詳解】

由作法得BA=BC=AD=CD,

所以四邊形ABCD為菱形，

所以AD〃BC,

故答案為：四條邊相等的四邊形為菱形，菱形的對邊平行.

【題目點撥】

本題考查了作圖-復雜作圖、菱形的判定與性質，復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖

形的性質和基本作圖方法.解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆

解成基本作圖，逐步操作.

14、(1)②；(2)2

【解題分析】

根據(jù)分式的混合運算法則進行計算即可.

【題目詳解】

曰X—x~—xx~+2x+1

(1)②，應該是=---------x——----------.

X"+XX"-1

(2)解：原式==(一——4^)+2f一1

x+xx+xx+2x+l

x—x2—x%2+2x+1

=----2--------X-------J---------

X+XX—1

_-x2(x+l)2

x(x+l)2(x-l)

X

x

當尤=2時，一一—=2

X—1

【題目點撥】

此題考查分式的混合運算，解題關鍵在于掌握運算法則.

15、1

【解題分析】

先根據(jù)不等式的性質求出不等式的解集，再找出不等式的非負整數(shù)解相加即可.

【題目詳解】

9-3x>0

-3x>-9

x<3

所以不等式9一3%>0的非負整數(shù)解為0,1,2

則所求的和為0+1+2=3

故答案為：1.

【題目點撥】

本題考查了求一元一次不等式的整數(shù)解，掌握不等式的解法是解題關鍵.

16.(-31010,0)

【解題分析】

分別寫出4、4、4的坐標找到變化規(guī)律后寫出答案即可.

【題目詳解】

解：4(0,6)、5(-1,0),

AB1A4],

...A的坐標為：(3,0),

同理可得：4的坐標為：(0,-3君)，4的坐標為：(-9,0),

2019+4=504…3,

二點4019橫坐標為-3x(我2?！?即：_3ioiO>

點4019坐標為(-3KH°,0),

故答案為：值3皿°,0).

【題目點撥】

本題考查了規(guī)律型問題，解題的關鍵是根據(jù)點的坐標的變化得到規(guī)律，利用得到的規(guī)律解題.

17、y=-2x

【解題分析】

設解析式為y=kx,再把(3,-6)代入函數(shù)解析式即可算出k的值，進而得到解析式.

【題目詳解】

解：設這個正比例函數(shù)的解析式為丫=1?(k^O),

?.?正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(3,-6),

，―6=3k,

解得k=-2,

，y=-2x.

故答案是：y=-2x.

【題目點撥】

此題主要考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式，關鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點，必能滿足解析式.

18、1

【解題分析】

把a=-l代入二次根式進行化簡即可求解.

【題目詳解】

解：當a=-l時，76^=76+3=79=1.

故答案為：L

【題目點撥】

本題考查二次根式的計算，理解算術平方根的意義是解題的關鍵.

三、解答題(共78分)

7

19、(1)證明見解析；(2)BE的長度為:時，四邊形AECF為菱形.

【解題分析】

(1)由平行四邊形的性質可得NADE=NCBF,AD=BC,利用SAS即可證明AADEg^CBF；(2)連接AC,設BE=x,

AC、EF相交于O,利用勾股定理可求出DE的長，即可用x表示出OE和OB的長，由菱形的性質可得AC_LEF,即

可證明平行四邊形ABCD是菱形，可得AB=AD=4,在RtAAOB和RtAAOE中，分別利用勾股定理表示出OA2,列

方程求出x的值即可得答案.

【題目詳解】

(1)I?平行四邊形ABCD,

AAD//BC,

；.NNADE=NCBF,AD=BC,

XVBF=DE,

/.△ADE^ACBF.

7

(2)BE的長度為(時，四邊形AECF為菱形.理由如下：

連接AC,設BE=x,AC,EF相交于O,

VAE=3,AD=4,ZDAE=90°,

???BF=DE=VAE2+AD2=5，

5-x5+x

OE=-------，OB=--------

22

?.?四邊形AECF為菱形，

/.AC±EF,

平行四邊形ABCD是菱形,

/.AB=AD=4,

在RtAAOB和RtAAOE中，OA2=AB2-OB2=AE2-OE2,即42-(--)2=32-(--)2,

22

7

...BE的長度為:時，四邊形AECF為菱形.

【題目點撥】

本題考查了全等三角形的判定、菱形的判定與性質，根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，得出平行四邊形ABCD

是菱形，進而求出AB的長是解題關鍵.

3

20、(2)2.5,20；(2)1；(3)20；(4)—(fow/min)

【解題分析】

(2)根據(jù)觀察函數(shù)圖象的縱坐標，可得距離，觀察函數(shù)圖象的橫坐標，可得時間；

(2)根據(jù)觀察函數(shù)圖象的縱坐標，利用縱坐標的差可求出公園與新華書店的距離；

(3)觀察函數(shù)圖象的橫坐標，利用65-45可得在新華書店停留的時間；

(4)根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)利用路程+時間即可以求得王亮從書店回家的平均速度.

【題目詳解】

(2)由函數(shù)圖象可得，公園離王亮家2.5千米，王亮從家到公園用了20min；

故答案為：2.5；20；

(2)公園與新華書店的距離=2.5-2.5=2km；

故答案為：2；

(3)由函數(shù)圖象可得，

王亮在書店停留了：65-45=20(分鐘),

故答案為：20；

人、3(

(4)v平妁=I--1---0-=—(k1m//mi■n)\

平均100-6570v7

3

所以，王亮從書店回家的平均速度是一k"/min.

70

【題目點撥】

此題主要考查了從圖象獲取信息解決問題的能力，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答.

【解題分析】

先根據(jù)分式的運算進行化簡，再代入x即可求解.

【題目詳解】

--(1--—)

x-1x-1

3xx-l1、

=------+(z---------------)

x-1x-1x-1

3xx-1

x-lx—2

3x

-7^2

-63

把x=-l代入原式=-----=—.

-2-22

22、l<x<4

【解題分析】

分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了，確定不等式組

的解集.

【題目詳解】

解：

由(1)得：%<4

由⑵得：x>l,

所以，原不等式組的解為：1<九(4

【題目點撥】

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g

找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

23、(1)6；(1)6；(3)0<x<l

【解題分析】

(1)；PB_Lx軸于點B,OB=1,PB=3,

；.P(1,3),

；點P是直線AC與雙曲線y=K在第一象限內的交點，

X

Ak=lX3=6,

故答案為6；

(1)?直線y=*x+b經(jīng)過點P(1,3),

A—Xl+b=3,

2

，b=l,

即y=yx+l,

令x=0,解得y=L即C(0,1)；

令y=0,解得x=-4,即A(-4,0)；

/.AB=6,C0=l,

SAABC=,~X6X1—6；

(3)由圖象及點P的橫坐標為1,可知：

在第一象限內，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值時，x的范圍為0<x<l.

24、(1)①60°；②45°；(2)見解析

【解題分析】

(1)連結AC,由條件可以得出aABC為等邊三角形，再由證△CBDgAACE就可以得出NBCD=NCAE,就可以

得出結論；

(2)作AFLAB于A,使AF=BD,連結DF,CF,就可以得出△FAD^^DBC,再證4DCF為等腰直角三角形，由

ZFAD=ZB=90°,就可以得出AF〃BC,就可以得出四邊形AECF是平行四邊形，就有AE〃CF,就可以得出

ZEAC=ZFCA,就可以得出結論；

(3)作AFLAB于A,使AF=BD,連結DF,CF,就可以得出△FAD^^DBC,再證4DCF為等腰直角三角形，就

有NDCF=NAPD=45°,推出CF〃AE,由NFAD=NB=90°,就可以得出AF〃BC,就可以得出四邊形AFCE是平

行四邊形，就有AF=CE.

【題目詳解】

(1)①如圖1,連結AC,

VAD=BE,BD=CE,

.?.AD+BD=BE+CE,

/.AB=BC.

VZB=60°,

.,.△ABC為等邊三角形.

.\ZB=ZACB=60°,BC=AC.

在ACBD和4ACE中

BC=AC

<ZB=ZACB,

BD=CE

：.ACBD^AACE(SAS),

/.ZBCD=ZCAE.

VZAPD=ZCAE+ZACD,

/.ZAPD=ZBCD+ZACD=60°.

故答案為60°；

②如圖2,作AFLAB于A,使AF=BD,連結DF,CF,

圖2

AZFAD=90°.

VZB=90°,

:.NFAD=NB.

在AFAD和4DBC中，

AF=BD

<ZFAD=ZB,

AD=BC

AAFAD^ADBC(SAS),

ADF=DC,ZADF=ZBCD.

VZBDC+ZBCD=90°,

AZADF+ZBDC=90°,

???NFDC=90°,

AZFCD=45°.

VZFAD=90°,NB=90,

AZFAD+ZB=180°,

???AF〃BC.

VDB=CE,

???AF=CE,

???四邊形AECF是平行四邊形,

AAE/7CF,

???ZEAC=ZFCA.

VNAPD=NACP+NEAC,

ZAPD=ZACP+ZACE=45°；

(2)如圖3,作AFLAB于A,使AF=BD,連結DF,CF,

VZABC