2024年高考數(shù)學(xué) 費(fèi)馬點(diǎn)與加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)詳細(xì)總結(jié)（含答案）

高考復(fù)習(xí)材料

費(fèi)馬點(diǎn)與加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)詳細(xì)總結(jié)

任也題型?解讀/

知識(shí)點(diǎn)梳理

【常規(guī)費(fèi)馬點(diǎn)】

【加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)】

型。普通費(fèi)馬點(diǎn)最值問題

雷昌加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)?單系數(shù)型

ms加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)?多系數(shù)型

滿分?技巧/

知識(shí)點(diǎn)梳理

【常規(guī)費(fèi)馬點(diǎn)】

【問題提出】如圖A4BC所有的內(nèi)角都小于120度，在A4BC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接P4、PB、PC,

當(dāng)PA+PB+PC的值最小時(shí)，求此時(shí)/4PB與N4PC的度數(shù).

【問題處理】如圖1,將A4CP繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到AVCP，，則△ACP^ZvTCP，，CP=CP,,AP=

4P',又,：/PCP'=60°,.?.△PCP'是等邊三角形，：.PP'=PC,：.PA+PB+PC=P,A,+PB+PP,,

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如圖2,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B、P、P\4共線時(shí)，P4+PB+PC最小，最小值為4B,此時(shí)/BPC=N4PC=NAPB=

120°

【問題歸納】如費(fèi)馬點(diǎn)就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn).費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論：

①對于一個(gè)各角不超過120。的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對各邊的張角都是120。的點(diǎn)，所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也叫三

角形的等角中心；

②對于有一個(gè)角超過120。的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn).

【如何作費(fèi)馬點(diǎn)】如圖3,連接4T,我們發(fā)現(xiàn)乙4。4為等邊三角形，點(diǎn)P在4B上，同理，我們可以得到等

邊△MB"點(diǎn)P也在上，因此，我們可以以△力BC三角形任意兩邊為邊向外構(gòu)造等邊三角形，相應(yīng)連線的

交點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)。（最大角小于120。時(shí)）

B'

\、、

\、、、、、_______「

6（

圖3

【例1】如圖，在△/BC中，ZACB=90°,AB=AC=1,P是△/8C內(nèi)一點(diǎn)，求尸/+P8+PC的最小值.

A

［答案］顯6

2

【分析】如圖，以NC為邊構(gòu)造等邊△/CD,連接AD,2。的長即為尸/+P8+PC的最小值.至于點(diǎn)尸的位

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置？這不重要!

如何求BD?考慮到aABC和4ACD都是特殊的三角形，過點(diǎn)D作DH_LBA交BA的延長線于H點(diǎn)，根

據(jù)勾股定理，80?即可得出結(jié)果.

H

【練習(xí)1】如圖，已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)、，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn),則MA+MD+ME

的最小值為.

【分析】依然構(gòu)造60°旋轉(zhuǎn)，將三條折線段轉(zhuǎn)化為一條直線段.

分別以40、4W為邊構(gòu)造等邊△/￡＞「、等邊△/西,連接FG,

易證絲△/GB,：.MD=GF

：.ME+MA+MD=ME+EG+GF

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過尸作FH-LBC燹BC于H點(diǎn)，線段FH的長即為所求的最小值.

【加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)】

如果所求最值中三條線段的系數(shù)有不為1的情況，我們把這類問題歸為加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)問題，解決方法類似，也

是通過旋轉(zhuǎn)進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化，只不過要根據(jù)系數(shù)的情況選擇不同的旋轉(zhuǎn)或放縮方法。

【類型一單系數(shù)類】

當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時(shí)，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，

一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度：血對應(yīng)旋轉(zhuǎn)90°,百對應(yīng)旋轉(zhuǎn)120°

另一種是旋轉(zhuǎn)放縮，對應(yīng)三角形三邊之比

【例3】在等邊三角形4BC中，邊長為4,P為三角形4BC內(nèi)部一點(diǎn)，求4P+8P+J%C的最小值

【簡析】本題有2種解題策略，旋轉(zhuǎn)特殊角和旋轉(zhuǎn)放縮

【策略一：旋轉(zhuǎn)特殊角】如圖1,A4PC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，易知PP=6，PC,4'B即為所求

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方法一：如圖2,B,P,P,4共線時(shí)取最小，此時(shí)NBPC=N4PC=135。，易知BP=AP=2也，

PC=CH—PH=2拒-2,：.PP,=2y/6-2>/2,PB+PP,+A,P,=276+272

圖2

方法二：作力于H,易知N4cH=30。，：.AH=2,CH=2月=>8〃=4+26，由勾股可得48=

2V6+2V2

【策略二：旋轉(zhuǎn)放縮】可按如下方法去旋轉(zhuǎn)放縮（方法不唯一）

如圖4,將三角形BPC繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)45°,再擴(kuò)大為原來的血倍，得到△5PO

則AP+BP+41PC=AP+PP'+P'C>AC'

補(bǔ)充：也可以按圖5方式旋轉(zhuǎn)

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【練習(xí)2】在RSZBC中，2C=3,BC=2A/3,P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求NP+8P+ePC的最小值

【策略一：旋轉(zhuǎn)特殊角】如圖1,A4PC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，貝寸有PP'=JiPC,

AP+BP+PC=AP'+BP+PP'<A'B=2y/l

【策略二：旋轉(zhuǎn)放縮】如圖2,AAPC繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。，再擴(kuò)大為原來的倍,

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則AP+BP+43PC=PP'+BP+P'C'>BC',計(jì)算略

圖2

【類型二多系數(shù)類】

其實(shí)當(dāng)三條線段的三個(gè)系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時(shí)，都是符合加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的條件的。

以不同的點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對于給定的系數(shù)，我們該如何選取旋轉(zhuǎn)

中心呢？我們總結(jié)了以下方法：

1.將最小系數(shù)提到括號(hào)外；

2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；

3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所

在的三角形。

【例3】如圖，在AABC中，ZACB=60°,BC=3,ZC=4,在AABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接尸4PB,PC,

則（1）+的最小值為；（2）走~/+_1尸3+。。的最小值為

2222

【簡答】（1）將最小系數(shù)3提到括號(hào)外，得到：（尸2+6尸5+2尸C）

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中間大小系數(shù)為石，故放大倍數(shù)為G倍，最大系數(shù)在PC前面，故以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)△PBC.

如圖1,將aPBC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,并放大為百倍，B'P'=6BP,PP'=2PC.

+2PC)=+尸尸'+尸'5')2gA8'=

(2)將最小系數(shù)萬提到括號(hào)外，得到5(+尸8+2尸C),

圖2

如圖2,將4APB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,并放大為百倍，A'P'=y/3AP,PP'=2PC.

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；?PA+PB+2PC)=；(A'P%BP+PP')N；A'B=回

【練習(xí)3】如圖，在△ABC中，ACB=60°>BC=36，AC=6,在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接

PA,PB,PC,則2p幺+尸8+逐尸C的最小值為

【簡答】將aPAC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°并放大2倍，得到△P'/C,P'A'=2PA,PP=45PC

：.2PA+PB+#PC=A'P'+PP+PB>AB,/C=2NC=12,ZA'CB=900+60°=l50°,

AH=-AC=6,CH=—AC=643,BH=9也,由勾股定理可得/5=3百I,

22

2PA+PB+#PC的最小值為3同.

核心.題型/

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題國O普通費(fèi)馬點(diǎn)最值問題

1.（2024濱州）如圖，在△4BC中，ZACB=90°,NA4c=30。，AB=2,點(diǎn)尸是△/5C內(nèi)一點(diǎn)，則

尸/+PB+PC的最小值為?

【答案】V7

【解析】將4ABP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到△ABP,連接PP,BC.

則AB'=AB=2,PB=P'B',NBAB'=60°,PA=P'A,NPAP'=60°,

...△P，PA是等邊三角形，.,.PA=P,P.

ZBAC=30°,NB，AC=90。，

?：ZACB=90°,:.AC=^AB=6，

B，C=y/AC2+B'A2=S'

VPA+PB+PC=P,P+P,B,+PC^B,C,

APA+PB+PC的最小值為J7.

2.問題背景：如圖1,將△人孔繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE,DE與BC交于點(diǎn)、P,可推出結(jié)論：PA

+PC=PE.

問題解決：如圖2,在△MNG中，MN=6,ZM=75°,MG=4及，點(diǎn)。是△MNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)。到△

MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是.

圖2

【解析】過點(diǎn)H作HQ_LNM交NM延長線于Q點(diǎn)，根據(jù)NNMG=75。，ZGMH=60°,可得NHMQ=45。,

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是等腰直角三角形，??.MQ=HQ=4,==

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4.如圖，在△ABC中，ZCAB=90°,AB=AC=2,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求R4+PB+PC的最小值.

【解析】如圖1,以4。為邊構(gòu)造等邊A4CD,連接BD,B。的長即為P4+PB+PC的最小值.

考慮到AABC和A4CD都是特殊的三角形，所以構(gòu)造特殊直角三角形

如圖2,過點(diǎn)。作交H4的延長線于H點(diǎn)，根據(jù)勾股定理，BD?=BH^+DH'C+垃

5.已知，在A4BC中，/4CB=30。,AC=4,AB=#f(CB>CA)點(diǎn)P是A4BC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB+PC

的最小值為

原圖圖1

【解析】如圖1,將&1PC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。,得BC5即PA+PB+PC最小值，考慮到

NBG4=30。，.,./BCC'=90。，作4H_LBC,可得BC=36，:田。=而

6.如圖，已知矩形4BCD,4B=4,BC=6,點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，貝UK4+MD+

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ME的最小值為

【解析】如圖1,依然構(gòu)造60。旋轉(zhuǎn)，將三條折線段轉(zhuǎn)化為一條直線段.分別以2D、4M為邊構(gòu)造等邊

^ADF.等邊A4MG,連接FG,易證AIMD2△力GF,MD=GF：.ME+MA+MD^ME+EG+GF

如圖2,過尸作FH_LBC交BC于H點(diǎn)，線段FH的長即為所求的最小值.FG=4+

7.4B、C、。四個(gè)城市恰好為一個(gè)邊長為2a正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，要建立一個(gè)公路系統(tǒng)使得每兩個(gè)城市之

間都有公路相通，并使整個(gè)公路系統(tǒng)的總長度（力P+BP+PQ+DQ+CQ）最小，則應(yīng)當(dāng)如何修建？最小

長度是多少？

【解析】如圖1,△4BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到同樣，將△DCQ繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得

到△7TCQ，，連結(jié)44D，D,則A4B4、△OC。均為等邊三角形，連結(jié)PP，、QQ,,則

△QCQ'均為等邊三角形,AP+BP+PQ+DQ+CQ^A,P,+PP,+PQ+QQ,+DQ,

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如圖2,當(dāng)點(diǎn)4,P',P,Q,Q',。共線時(shí)，整個(gè)公路系統(tǒng)的總長取到最小值，為線段4。的長，此時(shí)點(diǎn)

P,Q在4'。'上,最小值為

2024?隨州中考真題

8.1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)4B,C,求平

面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，

該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補(bǔ)充以下推理過程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,

②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角

形的某個(gè)頂點(diǎn))

當(dāng)MABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，

如圖1,將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到VHPC,連接尸P,

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由尸C=PC,/PCP=60°,可知△PCP為①三角形,故尸P=PC,又PA'=PA,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當(dāng)B,P,P',力在同一條直線上時(shí)，P/+P8+尸。取最小值，如圖2,最小值為H8,止匕時(shí)

的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有ZAPC=ZBPC=ZAPB=③；

已知當(dāng)V4BC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn).如圖3,若/A4c2120。,

則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為W點(diǎn).

⑵如圖4,在V4BC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120。，且/C=3,8c=4,//C5=30。，已知點(diǎn)P為V4BC的“費(fèi)

馬點(diǎn)“，求尸4+P3+PC的值；

圖4圖5

（3）如圖5,設(shè)村莊4B,C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知4C=4km,8c=2百km,ZACB=60°.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向4B,C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊4B,C的鋪設(shè)成本分別為a

元/km,a元/km,0a元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.（結(jié)果

用含。的式子表示）

【答案】（1）①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120。；④A.

（2）5

（3）2V13a

【解題思路】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行推理分析即可得出結(jié)論；

（幼根據(jù)（1）的方法將△4PC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到V/'PC,即可得出可知當(dāng)B,P,P',力在同

一條直線上時(shí)，尸/+尸8+尸。取最小值，最小值為A'B,在根據(jù)乙4c8=30?？勺C明

NACA'=NA'CP'+NBCP+NPCP'=90°,由勾股定理求H8即可，

（3）由總的鋪設(shè)成本="（/>/+尸8+血尸。），通過將△4PC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到V/'P'C,得到等

腰直角VPPC,得到血尸。=尸口，即可得出當(dāng)B,P,P,4在同一條直線上時(shí)，PH+P5+PP取最小值,

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即尸N++取最小值為A'B,然后根據(jù)已知和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出A'B即可.

【詳解】（1）M：-：PC=P'C,NPCP=6Q。,

：.△PCP為等邊三角形；

PP'=PC,ZP'PC=ZPP'C=60°,

又P'A=PA,ikPA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)B,P,尸'，4在同一條直線上時(shí)，取+尸8+尸C取最小值，

最小值為/'8,此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，

NBPC+ZP'PC=180°,ZA'P'C+ZPP'C=180°,

NBPC=120°,//'PC=120°,

又,?MAPCWA'P'C,

：.ZAPC=ZAP'C=no°,

：.NAPB=360°-ZAPC-NBPC=120°,

ZAPC=ZBPC=ZAPS=120°；

ZBAC>120°,

ABC>AC,BC>AB,

：.BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC,

三個(gè)頂點(diǎn)中，頂點(diǎn)4到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小.

又已知當(dāng)MABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn).

該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)''為點(diǎn)A,

故答案為：①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120。；④A.

（2）將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到Y(jié)A'PC,連接PP',

由（1）可知當(dāng)B,P,P',4在同一條直線上時(shí)，尸/+尸8+尸C取最小值，最小值為H2,

A'

/力

ZACP=NA'CP,

：.ZACP+NBCP=ZA'CP'+ZBCP=ZACB=30°,

又：/PCP=6。。

：.ZBCA'=ZA'CP'+ZBCP+NPCP'=90°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AC=A'C=3,

A'B=^BC2+A'C2=V42+32=5,

P/+PB+PC最小值為5,

(3)?.?總的鋪設(shè)成本=PAffi+PB印+PCgj2a=a{PA+PB+亞PC)

.?.當(dāng)尸Z+P2+行尸C最小時(shí)，總的鋪設(shè)成本最低，

將△/尸。繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到V/'PC,連接尸P,A'B

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：P'C=PC,NPCP'=/ACA'=90°,P'A'=PA,/'C=/C=4km,

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PP'=4IPC,

?*-PA+PB+6PC=P'A'+PB+PP',

當(dāng)B,P,P',4在同一條直線上時(shí)，PW+PB+P尸取最小值，即尸4+尸2+曲C取最小值為H3,

過點(diǎn)H作4"_L8C,垂足為H,

AACB=60°,AACA=90°,

ZA'CH=30°,

：.A'H=-A'C=2km,

2

；?HC=sjAC2-AH2=V42-22=273(km),

：.BH=BC+CH=2>5+2石=4G(km),

A'B=>]AH2+BH2=7(473)2+22=2而(km)

尸/+P8+也尸。的最小值為2而km

總的鋪設(shè)成本=P/印+PBffi+PCgj2a=a(PA+PB+5PC)=2用a(元)

廣東省江門市一模

9.如圖，在V48c中，/員4。=90。,23=5,/。=26，點(diǎn)尸為V/BC內(nèi)部一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到V48C三個(gè)頂點(diǎn)

之和的最小值是.

【答案】V67

【分析】將V4B尸繞著點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△4EH,連接EPCH,過點(diǎn)C作CN14H,交HA的

延長線于N,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得=,AE=AP,AH=AB=5,ABAH=60°,BP=HE,易得

△/E尸是等邊三角形，可得4E=4P=EP,進(jìn)而得到/尸+8尸+PC=￡尸+￡77+尸C,當(dāng)點(diǎn)H、E、P、C共

線時(shí)，4P+5P+尸C有最小值〃C,再求出CN和的長度，由勾股定理可求解.

【詳解】解：將VN8P繞著點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到連接ERCH,過點(diǎn)C作交HA

的延長線于N,

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AZBAP=ZHAE,AE=AP,AH=AB=5,ABAH=60°,BP=HE,

：?/HAB=/EAP=60。,

：.△%￡尸是等邊三角形，

AE=AP=EP,

：.AP+BP+PC=EP+EH+PC,

???當(dāng)點(diǎn)”、E,P、C共線時(shí)，4P+BP+PC有最小值"C.

：ZNAC=180°-ZBAH-ABAC=180°—60°-90°=30°,4c=26,

/.CN=>AC=C,

2

AN=y/AC2-CN2=J(2V3)2-(V3)2=3,

HN=AH+AN=5+3=8.

在RtACAW中，CH=^HN2+CN2=收+(V3)2=屈,

即點(diǎn)P到V/BC三個(gè)頂點(diǎn)之和的最小值是而

武漢中考

10.問題背景：如圖1,將A/BC繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到DE與BC交于點(diǎn)、P,可推出結(jié)論:

PA+PC=PE.

問題解決：如圖2,在中，MN=6,ZM=75°,MG=4插,點(diǎn)。是△〃、心內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)。到△MNG

三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是.

圖2

【答案】2回

【分析】本題的問題背景實(shí)際上是提示了解題思路，構(gòu)造60°的旋轉(zhuǎn)，當(dāng)然如果已經(jīng)了解了費(fèi)馬點(diǎn)問題,

直接來解決就好了！

高考復(fù)習(xí)材料

如圖，以MG為邊作等邊△MGH,連接NH,則NH的值即為所求的點(diǎn)O到△MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最

小值.（此處不再證明）

過點(diǎn)H作HQ±NM交NM延長線于Q點(diǎn)，

根據(jù)NNMG=75°,ZGMH=60°,可得NHMQ=45°,

AAMHQ是等腰直角三角形，

；.MQ=HQ=4,

NH=y]NQ2+HQ2=7100+16=2729.

2024?四川宜賓?中考真題

11.如圖，拋物線丁="2+區(qū)+0經(jīng)過點(diǎn)/（-3,0）,頂點(diǎn)為且拋物線與V軸的交點(diǎn)B在（0,-2）和

（。，一3）之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論:

①當(dāng)一3VxVl時(shí)，y<0；

②當(dāng)V/8M的面積為逆時(shí)，a=—；

22

③當(dāng)V/8M為直角三角形時(shí)，在以O(shè)S內(nèi)存在唯一點(diǎn)P,使得尸/+P0+P8的值最小，最小值的平方為

高考復(fù)習(xí)材料

18+9月.

其中正確的結(jié)論是.(填寫所有正確結(jié)論的序號(hào))

【答案】①②

【解題思路】根據(jù)條件可求拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象即可判斷①；設(shè)拋物線為

y=tz(x-l)(x+3),即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)割補(bǔ)法求面積，判斷②；分三種情況討論，然后以點(diǎn)。為

旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至\JAOA,連接AA,PP',AB,得到

PA+PO+PB=PA+PP+PB>AB,判斷③.

【詳解】解：二?拋物線>=a/+bx+c經(jīng)過點(diǎn)”(-3,0),頂點(diǎn)為“(一1,加)，

丁?對稱軸I=-1,

???拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

由圖象可得：當(dāng)時(shí)，y<0；

???①正確，符合題意；

?.?拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

設(shè)拋物線為y=tz(x-l)(x+3),

當(dāng)％=-1時(shí)，歹=—4。，當(dāng)x=0時(shí)，'二一3〃，

...Af(—1,—4。)，8(0,—3。)，

如圖所示，過點(diǎn)M作平行于y軸的直線/,過點(diǎn)/作4E_L/,過點(diǎn)、B作BN,

3G

F

設(shè)直線45的解析式為歹=/x+b',

-3kf+bf=0

把3(0,-3〃)，4(-3,0)代人得:

b'=-3Q'

k'=-a

解得:

b'=-3a'

I.直線的解析式為歹=一分一3。,

當(dāng)％=—1是，y=~2a,

???尸(―L—2Q),

MF=2a,

高考復(fù)習(xí)材料

；=正

.2"32

解得:,故②正確;

1,點(diǎn)B是拋物線與y軸的交點(diǎn)，

.?.當(dāng)x=0時(shí)，y=-3a,

.?.8(O,-3a),

,/MABM為直角三角形，

當(dāng)NNAffi=90。時(shí)，

/.AM2+BM2=AB2,

?/AM=^(-2)2+(-4a)2="+,BM=^(-l)2+(-a)2=Jl+Y,AB=^(-3)2+(-3tz)2=79+9<z2,

4+16/+1+。2=9+9力,整理得：8a2=4,

解得：a=Yl或一變(舍)

22

.W，-啕,

當(dāng)/48M=90°時(shí)，

；?AB2+BM2=AM2,

4+16a2=9+9a2+1+a2,整理得:6a2=6

解得：0=1或-1(舍)

/.5(0-3),

當(dāng)/K43=90°時(shí)，

AB2+AM2=BM2,

4+16a2+l+a2=9+9a2,無解；

以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，將乳405順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至VNO/,連接44',PP,AB,如圖所示，

則MAOA,MPOP為等邊三角形，

AOP-PP,,AP=AP',

：.PA+PO+PB=P'A'+PP'+PB>A'B,

：VN。/為等邊三角形，/(-3,0)

高考復(fù)習(xí)材料

5支976

------T-----------

42

當(dāng)3(0,-3)時(shí),

A'B?此時(shí)不符合題意故③錯(cuò)誤;

故答案為：①②.

一題四問，從特殊到一般

12.背景資料：在已知V/BC所在平面上求一點(diǎn)尸，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問題是

法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.如圖

1,當(dāng)V48c三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)尸在V/8C內(nèi)部，當(dāng)乙4尸2=//尸。=/。尸2=120。時(shí)，則

P/+P8+PC取得最小值.

高考復(fù)習(xí)材料

(1)如圖2,等邊V48C內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)/、B、C的距離分別為3,4,5,求/4P3的度數(shù)，為

了解決本題，我們可以將V/AP繞頂點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)到△NCP處，此時(shí)V/CP三V/8P這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換,

將三條線段尸/、PB、尸C轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出//%=；

知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120。的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與V/3C的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn).請同學(xué)們探索以下問

題.

(2)如圖3,V/8C三個(gè)內(nèi)角均小于120。，在V48c外側(cè)作等邊三角形V4B9，連接CB',求證：C8'過V48c

的費(fèi)馬點(diǎn).

(3)如圖4,在RTYABC中,ZC=90°,/C=l,ZABC=30°,點(diǎn)P為V48c的費(fèi)馬點(diǎn)，連接/尸、BP、

CP,求尸/+P2+PC的值.

(4)如圖5,在正方形N3C。中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接/E、BE、CE,且邊長A8=2；求NE+2E+CE

的最小值.

【答案】(1)150。；(2)見詳解；(3)J7;(4)V6+V2.

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出V/5P四△/CP,得出NB4P=NC4P,NAPB=N4P'C,AP=AP'=3,

BP=CP'=4,根據(jù)zMBC為等邊三角形，得出NA4c=60°,可證ZU尸尸'為等邊三■角形，PP'=AP=3,N

AP'P=6Q0,根據(jù)勾股定理逆定理尸產(chǎn)+?底=32+42=25=尸02,得出△PPC是直角三角形，NPPC=90。,

可求ZAP'C=ZAPP+ZPPC=60o+90o=150°即可；

(2)將△AP2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△AB'P,連結(jié)尸P,根據(jù)A4P5g△AB'P,AP=AP',PB=PB',AB=AB',

根據(jù)NPAP'=ZBAB'=60°,AAPP'和ZU88'均為等邊三角形，得出PP'=AP,根據(jù)

PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出點(diǎn)C,點(diǎn)尸，點(diǎn)P,點(diǎn)皮四點(diǎn)共線時(shí)，

PA+PB+PCA,=CB',點(diǎn)尸在C9上即可；

(3)將A4尸8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到連結(jié)8夕，PP',得出&4尸8段△NP8',可證A4PP嫌口A4BB'

均為等邊三角形，得出尸P'=/P,BB'=AB,ABB'=60°,WPA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,可得點(diǎn)C,

點(diǎn)尸，點(diǎn)尸'，點(diǎn)8'四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC利用30°直角三角形性質(zhì)得出/8=2/C=2,根據(jù)勾股

定理BC7AB2-AC?=e孑=G可求BB，=AB=2,根據(jù)NCA5'=N4BC+NABB'=30°+60°=90°,在

RtAC55，中，B'C=ylBC2+BB'2=｛陰2+2?=近即可；

(4)將△8CE?逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到笈，連結(jié)E?,BB',過點(diǎn)〃作BFLAB,交48延長線于尸，得出

△BCE94CEE,BE=B'E',CE=CE',CB=CB',可證△EC?與△5C5'均為等邊三角形，得出EE=EC,

BB'=BC,NB，BC=60。,AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',得出點(diǎn)C,點(diǎn)、E,點(diǎn)E',點(diǎn)皮四點(diǎn)共線時(shí)，

AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'^,=AB',根據(jù)四邊形/BCD為正方形，得出N8=8C=2,N4BC=90。,可求

ZFBB'=\S0°-ZABC-ZCBB'=180o-90°-60o=30°,根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)得出BF=；BB'=；x2=l,勾股定

理BF=4BB'--B'F2=V22-l2=V3,可求AF=AB+BF=2+^,再根據(jù)勾股定理AB'=

ylAF2+B'F2=^(2+V3)2+12=V6+V2即可.

高考復(fù)習(xí)材料

【詳解】(1)解：連結(jié)PP,

\JABPg△ZCP,

f

:?NBAP=NCAP\NAPB=NAP，C,AP=AP=3fBP=CP'=4,

???△45C為等邊三角形，

???ZBAC=60°

：.NPAP=NPAC+NCAP=NPAC+NBAP=60。,

：.△4PP為等邊三角形，

f

,：.PP=AP=3fN4尸'尸=60。，

在△尸PC中，PC=5,

pp'-+P'C2=32+42=25=PC2,

/\PP'C是直角三角形，NPP，C=90。,

：.NAP'C=N/PP+NPPC=600+90°=150°,

N4PB=N4P'C=150°,

故答案為150°;

(2)證明：將ZkAPB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到ZU5P,連結(jié)PP,

AAPB冬AABP,

：.AP=AP',PB=PB',AB=AB',

,：NPAP'=NBAB'=60°,

：.LAPP，和AABB'均為等邊三角形，

：.PP'=AP,

?：PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,

...點(diǎn)C,點(diǎn)P,點(diǎn)P',點(diǎn)8'四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC^,=CB',

.?.點(diǎn)P在CB'上,

C8'過V48c的費(fèi)馬點(diǎn).

(3)解：將ZUPB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到W4P的,連結(jié)2夕，PP',

:.AAPB2AAP的,

：.AP'=AP,AB'=AB,

高考復(fù)習(xí)材料

???NPAP，=NBAB，=60。,

：.LAPP'和AABB'均為等邊三角形，

ffo

：.PP=AP9BB，=AB,ZABB=60,

PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC

???點(diǎn)C,點(diǎn)尸，點(diǎn)P,點(diǎn)皮四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC最小=CB',

VZC=90°,AC=1,ZABC=30°,

AB=2AC=2,根據(jù)勾股定理BC=yjAB2-AC2=A/22-12=后

：.BB'=AB=2,

ZCBB'=NA8C+NABB'=30°+60°=90°,

/.在RtACSB'中，B'C=^BC2+BB'2=^^+22=V7

PA+PB+PC-\[y;

B'

(4)解：將△BCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△(?￡■/，連結(jié)EE，,BB',過點(diǎn)皮作皮尸_L/2,交延長線于尸,

：.BE=B'E',CE=CE',CB=CB',

:NECE，=NBCB'=60°,

：./\ECE'與4BCB'均為等邊三角形，

：.EE'=EC,BB'=BC,ZB'BC=60°,

,：AE+BE+CE=AE+EE'+E,B',

...點(diǎn)C,點(diǎn)￡,點(diǎn)E',點(diǎn)8,四點(diǎn)共線時(shí)，AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'^AB',

?.?四邊形ABCD為正方形，

：.AB=BC=2,NABC=90°,

：.NF88'=180°-NN8C-NC5B'=180°-90°-60°=30°,

\'B'F-LAF,

：.BF=^BB'=^x2=l,BF=yjBB'2-B'F2=[2=73,

：.AF=AB+BF=2+y/3,

高考復(fù)習(xí)材料

：.AB'=yjAF2+B'F2=J(2+@2+/=痛+應(yīng),

?**AE+BE+CE最小=4B'=5/6+V2.

題園之加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)?單系數(shù)型

2024?武漢?慧泉中學(xué)校月考

3

13.如圖，中，NCAB=30°,2C=不，點(diǎn)尸為V/5C內(nèi)一點(diǎn)，連接尸4P民PC,則尸C+P5+JI?”

的最小值為.

【答案】-V13

2

【分析】作輔助線如詳解圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求得。于是所求

PC+PB+6PA的最小值轉(zhuǎn)化為呆DE+PD+PB的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得DE+PD+PB的最

小值即為線段￡5的長，然后求出￡5的長即可解決問題.

【詳解】解：將尸繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，得到連接DP,EB,過點(diǎn)E作斯，氏4交A4的延

長線于點(diǎn)尸，過點(diǎn)/作/"_LZ）產(chǎn)于點(diǎn)如圖，

高考復(fù)習(xí)材料

則AD=AP,DE=CP,ZDAP=120°,NEAC=120°,

AM±DP,

：.DM=PM,ZADM=ZAPM=30°,

AM=-AP,

2

/.PM=y/AP2-AM2=—AP,

2

/.DP=2PM=43AP,

：.PC+PB+43PA=DE+PD+PB>EB,即尸C++的最小值為匹的長（當(dāng)點(diǎn)E、D、P、8四點(diǎn)

共線時(shí)取最小值），

3

???RtZ\/3C中，ZC4S=30°,BC=-

2

???AB=2BC=3,AC=

?An-36

??AEJ—AC----,

2

?.?ZCAB=30°,ZEAC=120°,

???/EAF=30°,

則在直角三角形/斯中，EF=-AE=—,AF=^EF=-,

244

921I-----------------------------

?.?=3+M彳,..?8￡=,十尸+跖2=

西安市鐵一中二模

14.已知，如圖在V/3C中，/ACB=30°,BC=5,AC=6,在V4BC內(nèi)部有一點(diǎn)D,連接ON、DB、

DC.則DA+DB+y/2DC的最小值是

【答案】屈.

【分析】把△CDS順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到△CO6，，過作BS4C,交NC延長于E,則CD=C。，BD=B'D',

NCDD，=NCD'D=45。,可求亞CD,在&△€*￡9中，可求C￡=g,AE=:,BE=孚，當(dāng)點(diǎn)4

高考復(fù)習(xí)材料

D、。、夕四點(diǎn)在一直線時(shí)，/夕最短，可求AB'=BD+Jkz)+/Z)=JM.

【詳解】解：把△CDB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到△CD的,過夕作QE_L/C,交4C延長于E,

則CD=CD',BD=B'D',NCDD'=NCD'D=45°,

:.DD'=CD+cos450=CCD,

；N4CB=3。°,ZB'CB=90°,

/.AB'CE=180°-ZACB-=180°-30°-90°=60°,

在放△<?￡夕中，

CE=B'Ccos600=5x-=-,

22

517

AE=AC~^~CE=6~\—=—,

22

BE=B'C-sin60°=5x—=—,

22

當(dāng)點(diǎn)/、D、D\夕四點(diǎn)在一直線時(shí)，/夕最短，

血短=ylAE2+B'E2=k+［乎:==回，

AB'=B'D'+D'D+AD=BD+42CD+AD=歷.

故答案為：回.

2024?成都市郭都區(qū)中考二模

15.如圖，矩形4SCD中，AB=2,8c=3,點(diǎn)E是48的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是3c邊上一動(dòng)點(diǎn).將/8E尸沿著E尸

翻折，使得點(diǎn)B落在點(diǎn)二處，若點(diǎn)尸是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接尸g、PC、PD,則尸54應(yīng)尸C+尸。的最

小值為?

高考復(fù)習(xí)材料

【分析】將△CD尸繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到VCDP,連接尸P,連接由等腰三角形CPP得出

PP'=4iPC,再由折疊得出點(diǎn)夕的軌跡在點(diǎn)￡為圓心，￡2為半徑的圓周上，所以EB'+PB*PP'+P'D'的

最小值為ED，，即尸*+JipC+PD的最小值為ED-EB',經(jīng)計(jì)算答出答案即可.

【詳解】解：將△CD尸繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到VCDP,

連接PP',連接ED，，

則B,C,。'共線，PD=P'D',

：.CD'=CD=AB=2,

:.PP'=4iPC,

,?:EE是4B的中點(diǎn)，

EB=—AB=—x2=1,

22

BD,=BC+CD'=3+2=5,

:.ED'=^BE2+D'B2

=Vl2+52

=V26,

由八BEF折疊成尸,

EB=EB'=EA,

...點(diǎn)B在以點(diǎn)E為圓心，匹為半徑的圓上，

兩點(diǎn)間線段最短，

ED'<EB'+PB'+PP'+P'D',

即成）'WEB'+PB'+亞PC+PD

:.426<\+PB'+41PC+PD,

:.PB'+s/2PC+PD>y/26-1,

則PB'+41PC+的最小值為A/26-1.

高考復(fù)習(xí)材料

題旦只加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)?多系數(shù)型

16.在邊長為4的正△ABC中有一點(diǎn)P,連接P4PB、PC,求（工4P+BP+^^PC）?的最小值

22

【解析】如圖1,AXPC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，取PC,AC的中點(diǎn)M,N

易知PM=45PC,11

MN=—P'A'=—PA,

222

圖1

則;AP+BP+^PCnMN+BP+PMWBN,BM=20+86即為所求

17.在等邊三角形ABC中，邊長為4,P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求3AP+4BP+5PC的最小值

高考復(fù)習(xí)材料

33

【解析】如圖1,A4PC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，在PC,4c上取M,N,使CM=—CP，，CN=-CA,,

44

533

易知PM=—PC,MN=-P\4'=—P4,3Ap+4BP+5PC=4(MN+BP+PM)WBN

444

圖1

18.在V/BC中，4B=3,/C=4,/8/C的角平分線交8c于E,過C作射線ZE的垂線，垂足為。，連

3PC+4PD+5PA

接BD,當(dāng)S&ACE-S&BED取大值時(shí)，在V/CD內(nèi)部取點(diǎn)尸，則的最小值

4

是.

【答案】V29

高考復(fù)習(xí)材料

【分析】延長交45于點(diǎn)/，過點(diǎn)A作5C邊上的高得出V4D方也V4DC,則3b=1,根據(jù)4。是

BE3

/R4c的角平分線，得出千=:，設(shè)此曲=3S,則Svmc=4S,過點(diǎn)。分別作的垂線，垂足為MN,

EC4

得出S=2S*ABC,S.CE-S△闞=21S,則當(dāng)S,ABC最大時(shí)，SAACE-SABE