新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義之方法技巧專題27數(shù)列求和(原卷版+解析)

專題27數(shù)列求和【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】一．公式法（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．（3）一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：①；②；③；=4\*GB3④二．幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．（3）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．（4）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．【方法技巧與總結(jié)】常見的裂項(xiàng)技巧積累裂項(xiàng)模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項(xiàng)模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項(xiàng)模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）積累裂項(xiàng)模型4：對(duì)數(shù)型積累裂項(xiàng)模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則積累裂項(xiàng)模型6：階乘（1）（2）常見放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．【題型歸納目錄】題型一：通項(xiàng)分析法題型二：公式法題型三：錯(cuò)位相減法題型四：分組求和法題型五：裂項(xiàng)相消法題型六：倒序相加法題型七：并項(xiàng)求和題型八：先放縮后裂項(xiàng)求和題型九：分段數(shù)列求和【典例例題】題型一：通項(xiàng)分析法例1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求和．例2．?dāng)?shù)列9，99，999，的前項(xiàng)和為A． B． C． D．例3．求數(shù)列1，，，，，的前項(xiàng)之和．【方法技巧與總結(jié)】先分析數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，再選擇合適的方法求和是求數(shù)列的前項(xiàng)和問題應(yīng)該強(qiáng)化的意識(shí)．題型二：公式法例4．已知等差數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．例5．如圖，從點(diǎn)做軸的垂線交曲線于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，再?gòu)淖鲚S的垂線交曲線于點(diǎn)，依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn)：，；，；，，記點(diǎn)的坐標(biāo)為，，2，，．（Ⅰ）試求與的關(guān)系；（Ⅱ）求．【方法技巧與總結(jié)】針對(duì)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定數(shù)列的類型，符合等差或等比數(shù)列時(shí)，直接利用等差、等比數(shù)列相應(yīng)公式求解．題型三：錯(cuò)位相減法例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”出自我國(guó)古代典籍《莊子·天下》，其中蘊(yùn)含著等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí).已知長(zhǎng)度為4的線段，取的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖①），該等邊三角形的面積為，在圖①中取的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖②），圖②中所有的等邊三角形的面積之和為，以此類推，則___________；___________.例7．（2023·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，記，則數(shù)列的前n項(xiàng)和_______.例8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面四邊形中，的面積是面積的倍，又?jǐn)?shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，恒有，設(shè)的前項(xiàng)和為，則所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.①為等比數(shù)列；②為遞減數(shù)列；③為等差數(shù)列；④例9．（2023·云南師大附中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．例10．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））若數(shù)列滿足，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．例11．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．例12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{}為等差數(shù)列，，，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿足．(1)求{}和{}的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【方法技巧與總結(jié)】錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）適用條件若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和．（2）基本步驟（3）注意事項(xiàng)①在寫出與的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出；②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項(xiàng)的符號(hào)要變號(hào)．等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯(cuò)位相減法．①②得：．整理得：．題型四：分組求和法例13．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列{}滿足，．(1)證明{}是等比數(shù)列，并求{}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．例14．（2023·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．例15．（2023·上海松江·二模）在等差數(shù)列中，已知，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【方法技巧與總結(jié)】（1）分組轉(zhuǎn)化求和數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項(xiàng)和的數(shù)列求和．（2）分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型題型五：裂項(xiàng)相消法例16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．例17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列滿足________，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．從①

②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在第（2）問中的橫線上并作答.例18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知正項(xiàng)數(shù)列{}中，，是其前n項(xiàng)和，且滿足(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式：(2)已知數(shù)列{}滿足，設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，求的最小值.例19．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足．(1)求實(shí)數(shù)的值，使得是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．例20．（2023·湖南·一模）已知等差數(shù)列中，前項(xiàng)和為，，為等比數(shù)列且各項(xiàng)均為正數(shù)，，且滿足，.(1)求與；(2)設(shè)，，求的前項(xiàng)和.例21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，且，記.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.例22．（2023·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)一模（文））已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．例23．（2023·山西大同·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.例24．（2023·江西九江·三模（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.例25．（2023·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前4項(xiàng)和為10，且是等比數(shù)列的前3項(xiàng).(1)求；(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和.例26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．例27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，；數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，數(shù)列的，．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足：，當(dāng)時(shí)，求證：．例28．（2023·廣東惠州·高三階段練習(xí)）記是公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，是和的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.例29．（2023·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，恒成立，求常數(shù)k的最小值.例30．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列公比為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且.數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(2)求證：.例31．（2023·廣東佛山·二模）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿足(1)求、的值及數(shù)列{}的通項(xiàng)公式：(2)設(shè)，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和例32．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，，數(shù)列滿足．(1)求出，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．例33．（2023·天津南開·三模）已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項(xiàng)和為13，且，，恰好分別是等差數(shù)列的第一項(xiàng)，第三項(xiàng)，第五項(xiàng)．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)已知，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和；(3)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【方法技巧與總結(jié)】裂裂項(xiàng)相消法求和（1）基本步驟（2）裂項(xiàng)原則一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．（3）消項(xiàng)規(guī)律消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．題型六：倒序相加法例34．（2023·河北·高三階段練習(xí)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若，則的前n項(xiàng)和_________．例35．（2023·黑龍江齊齊哈爾·三模（文））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，設(shè)函數(shù)，則______．例36．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知數(shù)列，滿足，，.（1）證明為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）求.例37．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的值；(3)令，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.例38．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則值是多少？.例39．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意的，都有，數(shù)列滿足….求數(shù)列的通項(xiàng)公式.例40．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若函數(shù)，令，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和．【方法技巧與總結(jié)】將一個(gè)數(shù)列倒過來排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時(shí)可用倒序相加法（等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)即用此方法）．題型七：并項(xiàng)求和例41．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的通項(xiàng)公式為，求的前n項(xiàng)和．例42．（2023·福建·廈門一中模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，，．(1)計(jì)算的值，求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．例43．（2023·河北·滄縣中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前18項(xiàng)和．例44．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)在和中插入個(gè)相同的數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，，，，，，，，，，，求的前項(xiàng)和．例45．（2023·河南·汝州市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在數(shù)列中，，且.(1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.例46．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【方法技巧與總結(jié)】?jī)蓛刹㈨?xiàng)或者四四并項(xiàng)題型八：先放縮后裂項(xiàng)求和例47．（2023·天津市寶坻區(qū)第一中學(xué)二模）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，．(1)和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前8項(xiàng)和；(3)證明：．例48．（2023·浙江·效實(shí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求的值：(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.例49．（2023·廣東汕頭·一模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項(xiàng)和為；(2)設(shè)，證明：.例50．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，且，數(shù)列滿足．(1)求和；(2)設(shè)，記，證明：當(dāng)時(shí)，．例51．（2023·天津·一模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，；數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)求證：.例52．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求證:.【方法技巧與總結(jié)】先放縮后裂項(xiàng)，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標(biāo)．題型九：分段數(shù)列求和例53．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前15項(xiàng)的和.例54．（2023·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測(cè)）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.例55．（2023·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，.(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.例56．（2023·遼寧·撫順市第二中學(xué)三模）已知數(shù)列中，滿足對(duì)任意都成立，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)若是等差數(shù)列，求k的值；(2)若，且是等比數(shù)列，求k的值，并求．例57．（2023·湖南·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，令.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前14項(xiàng)和.例58．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，(1)令，求，及的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.例59．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．例60．（2023·重慶·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【方法技巧與總結(jié)】（1）分奇偶各自新數(shù)列求和（2）要注意處理好奇偶數(shù)列對(duì)應(yīng)的項(xiàng)：①可構(gòu)建新數(shù)列；②可“跳項(xiàng)”求和【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前2022項(xiàng)和等于（

）A． B．2022 C． D．20192．（2023·江西·臨川一中模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為為數(shù)列的前n項(xiàng)和，（

）A．1008 B．1009 C．1010 D．10113．（2023·四川·射洪中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則（

）A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）己知數(shù)列滿足，在之間插入n個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列：，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為（

）A．178 B．191 C．206 D．2165．（2023·河南·南陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2021項(xiàng)的和為（

）A． B．C． D．6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知公比為2的等比數(shù)列滿足，記為在區(qū)間（為正整數(shù)）中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為（

）A．360 B．480 C．600 D．1007．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，用表示不超過的最大整數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·全國(guó)·哈師大附中模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知下圖的一個(gè)數(shù)陣，該陣第行所有數(shù)的和記作，，，，，數(shù)列的前項(xiàng)和記作，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)為2，前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值可以為（

）A．543 B．542C．546 D．54411．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我們把()叫作“費(fèi)馬數(shù)”(費(fèi)馬是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家).設(shè)，，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，則使不等式成立的正整數(shù)的值可以是（

）A．7 B．8 C．9 D．1012．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則下列說法正確的有（

）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為三、填空題13．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（理））楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個(gè)表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡（1623-1662）是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年.這是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的又一個(gè)偉大成就.其實(shí)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)的許多重要領(lǐng)域中處于遙遙領(lǐng)先的地位.中國(guó)古代數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁(yè).下圖的表在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就出現(xiàn)了.該表中，從上到下，第次出現(xiàn)某行所有數(shù)都是奇數(shù)的行號(hào)記為，比如，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為___________.第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1第6行

1

6

15

20

15

6

114．（2023·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為___________.15．（2023·上?！つM預(yù)測(cè)）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n，圓都與圓相互外切，以表示圓的半徑，已知為遞增數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為_________．16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則_________.四、解答題17．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列，滿足，，且，．(1)若為等比數(shù)列，求值；(2)在（1）的條件下，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．（2023·廣東·深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足，.(1)若，求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（2023·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，其中表示不超過的最大整數(shù)，求的值．20．（2023·江西萍鄉(xiāng)·三模（理））已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（2023·寧夏·銀川一中模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．22．（2023·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)抽去數(shù)列中點(diǎn)第1項(xiàng)，第4項(xiàng)，第7項(xiàng)，…，第項(xiàng)，余下的項(xiàng)順序不變，組成一個(gè)新數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．專題27數(shù)列求和【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】一．公式法（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．（3）一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：①；②；③；=4\*GB3④二．幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．（3）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．（4）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．【方法技巧與總結(jié)】常見的裂項(xiàng)技巧積累裂項(xiàng)模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項(xiàng)模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項(xiàng)模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）積累裂項(xiàng)模型4：對(duì)數(shù)型積累裂項(xiàng)模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則積累裂項(xiàng)模型6：階乘（1）（2）常見放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．【題型歸納目錄】題型一：通項(xiàng)分析法題型二：公式法題型三：錯(cuò)位相減法題型四：分組求和法題型五：裂項(xiàng)相消法題型六：倒序相加法題型七：并項(xiàng)求和題型八：先放縮后裂項(xiàng)求和題型九：分段數(shù)列求和【典例例題】題型一：通項(xiàng)分析法例1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求和．【解析】∵，∴．例2．?dāng)?shù)列9，99，999，的前項(xiàng)和為A． B． C． D．【解析】解數(shù)列通項(xiàng)，．故選：．例3．求數(shù)列1，，，，，的前項(xiàng)之和．【解析】解：由于，所以前項(xiàng)之和．【方法技巧與總結(jié)】先分析數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，再選擇合適的方法求和是求數(shù)列的前項(xiàng)和問題應(yīng)該強(qiáng)化的意識(shí)．題型二：公式法例4．已知等差數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意得解得，，的通項(xiàng)公式為．（2）由得，是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列．．例5．如圖，從點(diǎn)做軸的垂線交曲線于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，再?gòu)淖鲚S的垂線交曲線于點(diǎn)，依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn)：，；，；，，記點(diǎn)的坐標(biāo)為，，2，，．（Ⅰ）試求與的關(guān)系；（Ⅱ）求．【解析】解：（Ⅰ）設(shè)，，由得點(diǎn)處切線方程為由得．（Ⅱ），，得，【方法技巧與總結(jié)】針對(duì)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定數(shù)列的類型，符合等差或等比數(shù)列時(shí)，直接利用等差、等比數(shù)列相應(yīng)公式求解．題型三：錯(cuò)位相減法例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”出自我國(guó)古代典籍《莊子·天下》，其中蘊(yùn)含著等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí).已知長(zhǎng)度為4的線段，取的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖①），該等邊三角形的面積為，在圖①中取的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖②），圖②中所有的等邊三角形的面積之和為，以此類推，則___________；___________.答案：

；

．【解析】依題可知，各等邊三角形的面積形成等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，所以，即；，而，設(shè)，，作差得：，所以，所以．故答案為：；．例7．（2023·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，記，則數(shù)列的前n項(xiàng)和_______.答案：【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上：，，所以，所以①，①×得：②，兩式相減得：，所以故答案為：例8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面四邊形中，的面積是面積的倍，又?jǐn)?shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，恒有，設(shè)的前項(xiàng)和為，則所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.①為等比數(shù)列；②為遞減數(shù)列；③為等差數(shù)列；④答案：②③④【解析】設(shè)與交于點(diǎn)，，，，，共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，所以，所以，所以，，所以，，，不是等比數(shù)列，①錯(cuò)；因?yàn)椋?，即，所以是等差?shù)列，③正確；又因?yàn)?，則，即，，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以是遞減數(shù)列，②正確；因?yàn)?，，所以兩式相減得，所以，④正確.故答案為：②③④.例9．（2023·云南師大附中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】(1)因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，，所以數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以；(2)由得，所以，，兩式相減，得，，所以.例10．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））若數(shù)列滿足，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】(1)因?yàn)閿?shù)列滿足，，，所以.所以數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q（）.所以，解得：.所以.即的通項(xiàng)公式為.(2)由（1）可知：，所以，所以

①得：

②①-②得：所以例11．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題意得：，解得：，所以，由得：，所以，所以(2)，則①，②，兩式相減得：，所以例12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{}為等差數(shù)列，，，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿足．(1)求{}和{}的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)解：等差數(shù)列{}中，設(shè)公差為d，則數(shù)列{}中的前n項(xiàng)和為，且①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，②②－①得：故數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以.(2)解：數(shù)列{}中，.則所以故所以∵對(duì)恒成立．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【方法技巧與總結(jié)】錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）適用條件若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和．（2）基本步驟（3）注意事項(xiàng)①在寫出與的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出；②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項(xiàng)的符號(hào)要變號(hào)．等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯(cuò)位相減法．①②得：．整理得：．題型四：分組求和法例13．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列{}滿足，．(1)證明{}是等比數(shù)列，并求{}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】(1)由題意可得：∵所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列則，即因此{(lán)}的通項(xiàng)公式為(2)由（1）知，令則所以．．綜上．例14．（2023·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】(1)解：因?yàn)?，①?dāng)時(shí)，．②①②得，所以．當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，所以．(2)解：因?yàn)?，則，則．例15．（2023·上海松江·二模）在等差數(shù)列中，已知，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，解得，∴；(2)∵數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，∴，又，可得，所以．【方法技巧與總結(jié)】（1）分組轉(zhuǎn)化求和數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項(xiàng)和的數(shù)列求和．（2）分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型題型五：裂項(xiàng)相消法例16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【解析】(1)∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；(2)∴例17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列滿足________，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．從①

②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在第（2）問中的橫線上并作答.【解析】(1)①，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，②①-②得，即又，∴數(shù)列是從第2項(xiàng)起的等比數(shù)列，即當(dāng)時(shí)，．．(2)若選擇①：，．若選擇②，則③，④，③-④得，．例18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知正項(xiàng)數(shù)列{}中，，是其前n項(xiàng)和，且滿足(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式：(2)已知數(shù)列{}滿足，設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，求的最小值.【解析】(1)正項(xiàng)數(shù)列{}，，滿足，所以，所以數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)也成立，所以.(2)因?yàn)樗裕援?dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，由{}遞增，得，所以的最小值為.例19．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足．(1)求實(shí)數(shù)的值，使得是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，，解得；當(dāng)時(shí)，把代入題設(shè)條件得:，即，很顯然是首項(xiàng)為8+1=9，公比為9的等比數(shù)列，∴；(2)由（1）知是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，所以，．故數(shù)列的前項(xiàng)和為：.例20．（2023·湖南·一模）已知等差數(shù)列中，前項(xiàng)和為，，為等比數(shù)列且各項(xiàng)均為正數(shù)，，且滿足，.(1)求與；(2)設(shè)，，求的前項(xiàng)和.【解析】(1)由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，，，，，，，即，解得（舍去），或，，，，.(2)由（1），可得，則，.例21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，且，記.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.【解析】(1)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，.當(dāng)時(shí)也符合,.(2).例22．（2023·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)一模（文））已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】(1)等差數(shù)列中，，解得，因，，成等比數(shù)列，即，設(shè)的公差為d，于是得，整理得，而，解得，所以.(2)由（1）知，，所以.例23．（2023·山西大同·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.【解析】(1)證明：當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，，∴∴數(shù)列是以2為公比，首項(xiàng)的等比數(shù)列(2)由（1）知，，代入得∴由，，，所以∴綜上所述例24．（2023·江西九江·三模（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，∵，∴.當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得即∴數(shù)列，均為公比為4的等比數(shù)列∴，∴(2)∵∴數(shù)列的前項(xiàng)和例25．（2023·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前4項(xiàng)和為10，且是等比數(shù)列的前3項(xiàng).(1)求；(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，，則，得，得，因?yàn)?，所以，解得，所以，所以，，所以等比?shù)列的公比，所以.(2)，所以.例26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】(1)設(shè)數(shù)列公比為，由，，可得，化簡(jiǎn)得，即，所以．(2)由（1）得，所以所以..例27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，；數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，數(shù)列的，．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足：，當(dāng)時(shí)，求證：．【解析】(1)解：因?yàn)?，由，得，所以，即，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，所以，所以．由，，得，，兩式相減得，即，又，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，則；(2)由（1）知：，，∴．例28．（2023·廣東惠州·高三階段練習(xí)）記是公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，是和的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【解析】(1)由題意知，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因?yàn)?，解得又，可得，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)和公差為1的等差數(shù)列，所以，(2)由（1）可知，設(shè)數(shù)列的前和為，則，所以所以數(shù)列的前20和為例29．（2023·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，恒成立，求常數(shù)k的最小值.【解析】(1)由，得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，.由，，，，得，，…，，累加得，，.(2)由（1）得，，，即常數(shù)k的最小值為.例30．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列公比為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且.數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(2)求證：.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，，又，經(jīng)檢驗(yàn)符合上式，(2)..另解：.得證例31．（2023·廣東佛山·二模）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿足(1)求、的值及數(shù)列{}的通項(xiàng)公式：(2)設(shè)，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和【解析】(1)因，取和得：，即，解得，由得：，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，則，即，當(dāng)時(shí)，，而滿足上式，因此，，所以，數(shù)列{}的通項(xiàng)公式.(2)由（1）知，當(dāng)時(shí)，，因此，，，則，滿足上式，所以.例32．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，，數(shù)列滿足．(1)求出，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【解析】(1)由，得．又，則數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴，∴，，…，，累加得，∴．?dāng)?shù)列滿足，①當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，②由①－②可得，當(dāng)時(shí)，也符合上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)由（1）可得，則，故成立．例33．（2023·天津南開·三模）已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項(xiàng)和為13，且，，恰好分別是等差數(shù)列的第一項(xiàng)，第三項(xiàng)，第五項(xiàng)．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)已知，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和；(3)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】(1)（1）解：或，又，則，∴（）．設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，，，即，所以（）．(2)（2）解：時(shí)，，∴．時(shí)，∴，①，②由①②可得，∴∴（）．(3)（3）由（1）知，則∴故（）.【方法技巧與總結(jié)】裂裂項(xiàng)相消法求和（1）基本步驟（2）裂項(xiàng)原則一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．（3）消項(xiàng)規(guī)律消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．題型六：倒序相加法例34．（2023·河北·高三階段練習(xí)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若，則的前n項(xiàng)和_________．答案：【解析】由得，，由，得，故，故，所以，則，兩式相減得：故，故答案為：例35．（2023·黑龍江齊齊哈爾·三模（文））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，設(shè)函數(shù)，則______．答案：【解析】∵①，∴當(dāng)時(shí)，②，①－②得，∴；當(dāng)時(shí)，，∴，此時(shí)仍然成立，∴．∴當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，故．由于，設(shè)則，∴．故答案為：．例36．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知數(shù)列，滿足，，.（1）證明為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）求.【解析】（1）由可得，于是，即，而，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.所以.（2）由（1）知，所以.因?yàn)?，所以，因?例37．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的值；(3)令，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，適合上式，所以.(2)因?yàn)?，所以，所?(3)由（1）知，可得，所以，①又因?yàn)?，②因?yàn)椋寓佗?，得，所?例38．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則值是多少？.【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，即.設(shè)①，又＋…＋②，①+②，得，所以.例39．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意的，都有，數(shù)列滿足….求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】因?yàn)椋?故….①….②①+②，得，.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.例40．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若函數(shù)，令，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和．【解析】（1）∵點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，∴．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，適合上式，∴．（2）∵，∴．又由（1）知，∴．∴，①又，②①+②，，∴．【方法技巧與總結(jié)】將一個(gè)數(shù)列倒過來排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時(shí)可用倒序相加法（等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)即用此方法）．題型七：并項(xiàng)求和例41．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的通項(xiàng)公式為，求的前n項(xiàng)和．【解析】解：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，．綜上：.例42．（2023·福建·廈門一中模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，，．(1)計(jì)算的值，求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】(1)解：當(dāng)時(shí)，，解得，由題知①，②，由②①得，因?yàn)?，所以，于是：?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，即，偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，即所以的通項(xiàng)公式；(2)解：由（1）可得，.例43．（2023·河北·滄縣中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前18項(xiàng)和．【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為．則，解得.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)由（1）知，，所以.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，．所以數(shù)列的前18項(xiàng)和為.例44．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)在和中插入個(gè)相同的數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，，，，，，，，，，，求的前項(xiàng)和．【解析】(1)解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足，所以，對(duì)任意的，.(2)解；在和中插入個(gè)相同的數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，，，，，，，，，，，，其項(xiàng)數(shù)為，因?yàn)?，即?dāng)時(shí)，，因此，.例45．（2023·河南·汝州市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在數(shù)列中，，且.(1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)解：因?yàn)?，所以，又，所以，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.故，即.(2)解：由（1）得，則，①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，，綜上所述，例46．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】(1)證明：因?yàn)?，，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列；(2)解：由（1）可得，即，則.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，則，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則，綜上所述，.【方法技巧與總結(jié)】?jī)蓛刹㈨?xiàng)或者四四并項(xiàng)題型八：先放縮后裂項(xiàng)求和例47．（2023·天津市寶坻區(qū)第一中學(xué)二模）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，．(1)和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前8項(xiàng)和；(3)證明：．【解析】(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．由已知，得，而，所以．又因?yàn)?，解得．所以．由，可得①．由，得②，?lián)立①②，解得，由此可得．所以，的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為．(2)解：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，由，得，所以，，上述兩式相減，得．得．所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和為當(dāng)時(shí)，．(3)解：由（1）得，所以：當(dāng)時(shí)，，不等式成立；當(dāng)時(shí)，，所以，不等式成立；當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，得證．例48．（2023·浙江·效實(shí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求的值：(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.【解析】(1)令，，則舍去，所以.(2)，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，舍去，，當(dāng)時(shí)，，(3)令，所以例49．（2023·廣東汕頭·一模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項(xiàng)和為；(2)設(shè)，證明：.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，即由，則兩式相減可得，即所以，即數(shù)列為等比數(shù)列則，所以則(2)所以例50．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，且，數(shù)列滿足．(1)求和；(2)設(shè)，記，證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】(1)因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)其公差為d.因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以等差?shù)列的公差，所以．因?yàn)?，所以，所以．?dāng)時(shí)，，結(jié)合可知．經(jīng)檢驗(yàn)：也適合上式.所以．(2)由（1）可知：．所以要證明原不等式成立，只需證明：成立．易得：，所以當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊=右邊．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．所以所以于是，當(dāng)時(shí)，成立．綜上所述：當(dāng)時(shí)，．例51．（2023·天津·一模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，；數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)求證：.【解析】(1)數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，，化簡(jiǎn)得，解得，，∴，.由已知，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，∴，，即，∴數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，∴，.(2)由（1）可得，，∴，∴(3)由（1）可得，，則，方法一：∵，∴，令，，兩式相減可得，∴，∴方法二：∵時(shí)，，根據(jù)“若，，則”，可得，∴，令，，兩式相減可得，∴∴，∴方法三：令，下一步用分析法證明“”要證，即證，即證，即證，當(dāng)，顯然成立，∴，∴例52．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求證:.【解析】，【方法技巧與總結(jié)】先放縮后裂項(xiàng)，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標(biāo)．題型九：分段數(shù)列求和例53．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前15項(xiàng)的和.【解析】(1)由得，當(dāng)n=1時(shí)，，解得.當(dāng)n≥2時(shí)，，從而，即，因此數(shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)和公比都等于2，所以.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列的前15項(xiàng)和為.例54．（2023·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測(cè)）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)變形為，因?yàn)?，所以，故?2)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則例55．（2023·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，.(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)因?yàn)?，?dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

，且，所以，所以，∴，所以為以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；(2)因?yàn)?，所以，所以?shù)列的前項(xiàng)和；綜上，所以，數(shù)列的前項(xiàng)和.例56．（2023·遼寧·撫順市第二中學(xué)三模）已知數(shù)列中，滿足對(duì)任意都成立，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)若是等差數(shù)列，求k的值；(2)若，且是等比數(shù)列，求k的值，并求．【解析】(1)若是等差數(shù)列，則對(duì)任意，，即，所以，故.(2)因?yàn)榍业?，又是等比?shù)列，則即，得.當(dāng)時(shí)，，，故是以2為首項(xiàng)，公比為1的等比數(shù)列，此時(shí)的前n項(xiàng)和；當(dāng)時(shí)，，即，所以，且所以以為首項(xiàng)，公比為-1的等比數(shù)列，又，所以，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，，，綜上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.例57．（2023·湖南·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，令.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前14項(xiàng)和.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，又，得，由①得②，①②兩式相除可得，則，且，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，.所以數(shù)列的前14項(xiàng)和為.例58．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，(1)令，求，及的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【解析】(1)由題意得，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，，又，所以是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.(2)由（1）知，所以，所以.例59．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)，且時(shí)，，顯然滿足；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，所以（2）．例60．（2023·重慶·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，由，得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則，所以，解得或(舍)，所以.(2)，所以當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，，即【方法技巧與總結(jié)】（1）分奇偶各自新數(shù)列求和（2）要注意處理好奇偶數(shù)列對(duì)應(yīng)的項(xiàng)：①可構(gòu)建新數(shù)列；②可“跳項(xiàng)”求和【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前2022項(xiàng)和等于（

）A． B．2022 C． D．2019答案：B【解析】解：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所以.故選：B2．（2023·江西·臨川一中模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為為數(shù)列的前n項(xiàng)和，（

）A．1008 B．1009 C．1010 D．1011答案：D【解析】解：因?yàn)楫?dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，所以，所以，所以；故選：D3．（2023·四川·射洪中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由可得：為等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為，所以，則，，所以故選：B4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）己知數(shù)列滿足，在之間插入n個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列：，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為（

）A．178 B．191 C．206 D．216答案：A【解析】解：數(shù)列滿足，在，之間插入個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列，1，，1，1，，1，1，1，，，所以共有個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由于，所以．故選：A．5．（2023·河南·南陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2021項(xiàng)的和為（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因?yàn)?，故?shù)列為等比數(shù)列，又，所以；則；所以.故選：D.6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知公比為2的等比數(shù)列滿足，記為在區(qū)間（為正整數(shù)）中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為（

）A．360 B．480 C．600 D．100答案：B【解析】解：因?yàn)?，，所以，由于，所以?duì)應(yīng)的區(qū)間為，則；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有2個(gè)1；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個(gè)2；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個(gè)3；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個(gè)4；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個(gè)5；對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有37個(gè)6．所以．故選：B7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，用表示不超過的最大整數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【解析】因?yàn)?，所以，即，所以，由，可得，，，，則數(shù)列是遞增數(shù)列，，則，則.故選：B.8．（2023·全國(guó)·哈師大附中模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)?，所?所以前5項(xiàng)和為故選：D二、多選題9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知下圖的一個(gè)數(shù)陣，該陣第行所有數(shù)的和記作，，，，，數(shù)列的前項(xiàng)和記作，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．答案：ABC【解析】解：由題意得：A選項(xiàng)：，故A正確；B選項(xiàng)：，故B正確；D選項(xiàng)：，故D錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，故C正確．故選：ABC10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)為2，前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值可以為（

）A．543 B．542C．546 D．544答案：AB【解析】因?yàn)椋?，即，故?shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，則，則，所以，則，令，解得，即，故選:AB11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我們把()叫作“費(fèi)馬數(shù)”(費(fèi)馬是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家).設(shè)，，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，則使不等式成立的正整數(shù)的值可以是（

）A．7 B．8 C．9 D．10答案：CD【解析】()，，，，，.當(dāng)時(shí)，左邊，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，左邊，滿足題意，故最小正整數(shù)的值為9.故選：CD.12．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則下列說法正確的有（

）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為答案：BD【解析】數(shù)列中的項(xiàng)為1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，55，58，61，64，67，…，數(shù)列中的項(xiàng)為2，4，8，16，32，64，128，…，∴數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)