新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義之方法技巧專題27數(shù)列求和(原卷版+解析)

專題27數(shù)列求和【考點預(yù)測】一．公式法（1）等差數(shù)列的前n項和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減法．（3）一些常見的數(shù)列的前n項和：①；②；③；=4\*GB3④二．幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．（3）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前項和即可用錯位相減法求解．（4）倒序相加法：如果一個數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法求解．【方法技巧與總結(jié)】常見的裂項技巧積累裂項模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）積累裂項模型4：對數(shù)型積累裂項模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則積累裂項模型6：階乘（1）（2）常見放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．【題型歸納目錄】題型一：通項分析法題型二：公式法題型三：錯位相減法題型四：分組求和法題型五：裂項相消法題型六：倒序相加法題型七：并項求和題型八：先放縮后裂項求和題型九：分段數(shù)列求和【典例例題】題型一：通項分析法例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求和．例2．?dāng)?shù)列9，99，999，的前項和為A． B． C． D．例3．求數(shù)列1，，，，，的前項之和．【方法技巧與總結(jié)】先分析數(shù)列通項的特點，再選擇合適的方法求和是求數(shù)列的前項和問題應(yīng)該強化的意識．題型二：公式法例4．已知等差數(shù)列中，，．（1）求的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．例5．如圖，從點做軸的垂線交曲線于點，曲線在點處的切線與軸交于點，再從做軸的垂線交曲線于點，依次重復(fù)上述過程得到一系列點：，；，；，，記點的坐標(biāo)為，，2，，．（Ⅰ）試求與的關(guān)系；（Ⅱ）求．【方法技巧與總結(jié)】針對數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定數(shù)列的類型，符合等差或等比數(shù)列時，直接利用等差、等比數(shù)列相應(yīng)公式求解．題型三：錯位相減法例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”出自我國古代典籍《莊子·天下》，其中蘊含著等比數(shù)列的相關(guān)知識.已知長度為4的線段，取的中點，以為邊作等邊三角形（如圖①），該等邊三角形的面積為，在圖①中取的中點，以為邊作等邊三角形（如圖②），圖②中所有的等邊三角形的面積之和為，以此類推，則___________；___________.例7．（2023·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列的前n項和，記，則數(shù)列的前n項和_______.例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面四邊形中，的面積是面積的倍，又數(shù)列滿足，當(dāng)時，恒有，設(shè)的前項和為，則所有正確結(jié)論的序號是___________.①為等比數(shù)列；②為遞減數(shù)列；③為等差數(shù)列；④例9．（2023·云南師大附中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．例10．（2023·全國·模擬預(yù)測（文））若數(shù)列滿足，，．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．例11．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{}為等差數(shù)列，，，數(shù)列{}的前n項和為，且滿足．(1)求{}和{}的通項公式；(2)若，數(shù)列{}的前n項和為，且對恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【方法技巧與總結(jié)】錯位相減法求數(shù)列的前n項和（1）適用條件若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和．（2）基本步驟（3）注意事項①在寫出與的表達式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出；②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項的符號要變號．等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯位相減法．①②得：．整理得：．題型四：分組求和法例13．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列{}滿足，．(1)證明{}是等比數(shù)列，并求{}的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．例14．（2023·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知正項數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．例15．（2023·上海松江·二模）在等差數(shù)列中，已知，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和．【方法技巧與總結(jié)】（1）分組轉(zhuǎn)化求和數(shù)列求和應(yīng)從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項和的數(shù)列求和．（2）分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型題型五：裂項相消法例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項和，已知，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知數(shù)列滿足________，記為數(shù)列的前項和，證明：．從①

②兩個條件中任選一個，補充在第（2）問中的橫線上并作答.例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））已知正項數(shù)列{}中，，是其前n項和，且滿足(1)求數(shù)列{}的通項公式：(2)已知數(shù)列{}滿足，設(shè)數(shù)列{}的前n項和為，求的最小值.例19．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項為正數(shù)，其前項和滿足．(1)求實數(shù)的值，使得是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．例20．（2023·湖南·一模）已知等差數(shù)列中，前項和為，，為等比數(shù)列且各項均為正數(shù)，，且滿足，.(1)求與；(2)設(shè)，，求的前項和.例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列前n項和為，且，記.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求.例22．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)一模（文））已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．例23．（2023·山西大同·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：.例24．（2023·江西九江·三模（理））已知數(shù)列的前項和為，且滿足，.(1)求；(2)求數(shù)列的前項和.例25．（2023·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知各項均不相等的等差數(shù)列的前4項和為10，且是等比數(shù)列的前3項.(1)求；(2)設(shè)，求的前n項和.例26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列中，首項，前項和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．例27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，；數(shù)列的前n項和，且，數(shù)列的，．(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)若數(shù)列滿足：，當(dāng)時，求證：．例28．（2023·廣東惠州·高三階段練習(xí)）記是公差不為零的等差數(shù)列的前項和，若，是和的等比中項.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前20項和.例29．（2023·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前n項和為，若，恒成立，求常數(shù)k的最小值.例30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列公比為正數(shù)，其前項和為，且.數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項公式：(2)求證：.例31．（2023·廣東佛山·二模）已知數(shù)列{}的前n項和為，且滿足(1)求、的值及數(shù)列{}的通項公式：(2)設(shè)，求數(shù)列{}的前n項和例32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項數(shù)列的前n項和為，且滿足，，，數(shù)列滿足．(1)求出，的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：．例33．（2023·天津南開·三模）已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項和為13，且，，恰好分別是等差數(shù)列的第一項，第三項，第五項．(1)求和的通項公式；(2)已知，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項和；(3)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【方法技巧與總結(jié)】裂裂項相消法求和（1）基本步驟（2）裂項原則一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．（3）消項規(guī)律消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．題型六：倒序相加法例34．（2023·河北·高三階段練習(xí)）德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若，則的前n項和_________．例35．（2023·黑龍江齊齊哈爾·三模（文））已知數(shù)列的前n項和為，且，設(shè)函數(shù)，則______．例36．（2023·全國·高三專題練習(xí)（文））已知數(shù)列，滿足，，.（1）證明為等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）求.例37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的值；(3)令，求數(shù)列的前2020項和.例38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，正項等比數(shù)列滿足，則值是多少？.例39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)對任意的，都有，數(shù)列滿足….求數(shù)列的通項公式.例40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若函數(shù)，令，求數(shù)列的前2020項和．【方法技巧與總結(jié)】將一個數(shù)列倒過來排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時可用倒序相加法（等差數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)即用此方法）．題型七：并項求和例41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的通項公式為，求的前n項和．例42．（2023·福建·廈門一中模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和，，，．(1)計算的值，求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．例43．（2023·河北·滄縣中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項和，若．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前18項和．例44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且滿足.(1)求的通項公式；(2)在和中插入個相同的數(shù)，構(gòu)成一個新數(shù)列，，，，，，，，，，，求的前項和．例45．（2023·河南·汝州市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））在數(shù)列中，，且.(1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和.例46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前n項和.【方法技巧與總結(jié)】兩兩并項或者四四并項題型八：先放縮后裂項求和例47．（2023·天津市寶坻區(qū)第一中學(xué)二模）已知為等差數(shù)列，前n項和為是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，．(1)和的通項公式；(2)求數(shù)列的前8項和；(3)證明：．例48．（2023·浙江·效實中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求的值：(2)求數(shù)列的通項公式：(3)證明：對一切正整數(shù)，有.例49．（2023·廣東汕頭·一模）已知數(shù)列的前n項和為，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項和為；(2)設(shè)，證明：.例50．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的首項為，且，數(shù)列滿足．(1)求和；(2)設(shè)，記，證明：當(dāng)時，．例51．（2023·天津·一模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，，；數(shù)列的前n項和為，.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和；(3)求證：.例52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求證:.【方法技巧與總結(jié)】先放縮后裂項，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標(biāo)．題型九：分段數(shù)列求和例53．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前15項的和.例54．（2023·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）已知是數(shù)列的前n項和，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.例55．（2023·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，.(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.例56．（2023·遼寧·撫順市第二中學(xué)三模）已知數(shù)列中，滿足對任意都成立，數(shù)列的前n項和為．(1)若是等差數(shù)列，求k的值；(2)若，且是等比數(shù)列，求k的值，并求．例57．（2023·湖南·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，令.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前14項和.例58．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，(1)令，求，及的通項公式；(2)求數(shù)列的前2n項和.例59．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前20項和．例60．（2023·重慶·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和，且，正項等比數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【方法技巧與總結(jié)】（1）分奇偶各自新數(shù)列求和（2）要注意處理好奇偶數(shù)列對應(yīng)的項：①可構(gòu)建新數(shù)列；②可“跳項”求和【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前2022項和等于（

）A． B．2022 C． D．20192．（2023·江西·臨川一中模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列的通項公式為為數(shù)列的前n項和，（

）A．1008 B．1009 C．1010 D．10113．（2023·四川·射洪中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知首項為1的等差數(shù)列的前項和為，滿足，則（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）己知數(shù)列滿足，在之間插入n個1，構(gòu)成數(shù)列：，則數(shù)列的前100項的和為（

）A．178 B．191 C．206 D．2165．（2023·河南·南陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2021項的和為（

）A． B．C． D．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知公比為2的等比數(shù)列滿足，記為在區(qū)間（為正整數(shù)）中的項的個數(shù)，則數(shù)列的前100項的和為（

）A．360 B．480 C．600 D．1007．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，用表示不超過的最大整數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·全國·哈師大附中模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前5項和為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知下圖的一個數(shù)陣，該陣第行所有數(shù)的和記作，，，，，數(shù)列的前項和記作，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項數(shù)列的首項為2，前項和為，且，，數(shù)列的前項和為，若，則的值可以為（

）A．543 B．542C．546 D．54411．（2023·全國·高三專題練習(xí)）我們把()叫作“費馬數(shù)”(費馬是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家).設(shè)，，表示數(shù)列的前項和，則使不等式成立的正整數(shù)的值可以是（

）A．7 B．8 C．9 D．1012．（2023·河北·模擬預(yù)測）將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則下列說法正確的有（

）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列的前n項和為三、填空題13．（2023·四川成都·模擬預(yù)測（理））楊輝三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個表叫做帕斯卡三角形.帕斯卡（1623-1662）是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年.這是我國數(shù)學(xué)史上的又一個偉大成就.其實，中國古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)的許多重要領(lǐng)域中處于遙遙領(lǐng)先的地位.中國古代數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁.下圖的表在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就出現(xiàn)了.該表中，從上到下，第次出現(xiàn)某行所有數(shù)都是奇數(shù)的行號記為，比如，則數(shù)列的前10項和為___________.第1行

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114．（2023·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前20項和為___________.15．（2023·上?！つM預(yù)測）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數(shù)n，圓都與圓相互外切，以表示圓的半徑，已知為遞增數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項和為_________．16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，則_________.四、解答題17．（2023·湖北·模擬預(yù)測）已知數(shù)列，滿足，，且，．(1)若為等比數(shù)列，求值；(2)在（1）的條件下，求數(shù)列的前n項和．18．（2023·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列滿足，.(1)若，求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.19．（2023·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前項和為，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，其中表示不超過的最大整數(shù)，求的值．20．（2023·江西萍鄉(xiāng)·三模（理））已知正項數(shù)列的前項和滿足：，且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求證：數(shù)列的前項和.21．（2023·寧夏·銀川一中模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，．(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求．22．（2023·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測）數(shù)列的前n項和為，數(shù)列滿足，且數(shù)列的前n項和為．(1)求，并求數(shù)列的通項公式；(2)抽去數(shù)列中點第1項，第4項，第7項，…，第項，余下的項順序不變，組成一個新數(shù)列，數(shù)列的前n項和為，求證：．專題27數(shù)列求和【考點預(yù)測】一．公式法（1）等差數(shù)列的前n項和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減法．（3）一些常見的數(shù)列的前n項和：①；②；③；=4\*GB3④二．幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．（3）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前項和即可用錯位相減法求解．（4）倒序相加法：如果一個數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法求解．【方法技巧與總結(jié)】常見的裂項技巧積累裂項模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）積累裂項模型4：對數(shù)型積累裂項模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則積累裂項模型6：階乘（1）（2）常見放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．【題型歸納目錄】題型一：通項分析法題型二：公式法題型三：錯位相減法題型四：分組求和法題型五：裂項相消法題型六：倒序相加法題型七：并項求和題型八：先放縮后裂項求和題型九：分段數(shù)列求和【典例例題】題型一：通項分析法例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求和．【解析】∵，∴．例2．?dāng)?shù)列9，99，999，的前項和為A． B． C． D．【解析】解數(shù)列通項，．故選：．例3．求數(shù)列1，，，，，的前項之和．【解析】解：由于，所以前項之和．【方法技巧與總結(jié)】先分析數(shù)列通項的特點，再選擇合適的方法求和是求數(shù)列的前項和問題應(yīng)該強化的意識．題型二：公式法例4．已知等差數(shù)列中，，．（1）求的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．【解析】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意得解得，，的通項公式為．（2）由得，是首項為，公比的等比數(shù)列．．例5．如圖，從點做軸的垂線交曲線于點，曲線在點處的切線與軸交于點，再從做軸的垂線交曲線于點，依次重復(fù)上述過程得到一系列點：，；，；，，記點的坐標(biāo)為，，2，，．（Ⅰ）試求與的關(guān)系；（Ⅱ）求．【解析】解：（Ⅰ）設(shè)，，由得點處切線方程為由得．（Ⅱ），，得，【方法技巧與總結(jié)】針對數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定數(shù)列的類型，符合等差或等比數(shù)列時，直接利用等差、等比數(shù)列相應(yīng)公式求解．題型三：錯位相減法例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”出自我國古代典籍《莊子·天下》，其中蘊含著等比數(shù)列的相關(guān)知識.已知長度為4的線段，取的中點，以為邊作等邊三角形（如圖①），該等邊三角形的面積為，在圖①中取的中點，以為邊作等邊三角形（如圖②），圖②中所有的等邊三角形的面積之和為，以此類推，則___________；___________.答案：

；

．【解析】依題可知，各等邊三角形的面積形成等比數(shù)列，公比為，首項為，所以，即；，而，設(shè)，，作差得：，所以，所以．故答案為：；．例7．（2023·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列的前n項和，記，則數(shù)列的前n項和_______.答案：【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上：，，所以，所以①，①×得：②，兩式相減得：，所以故答案為：例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面四邊形中，的面積是面積的倍，又數(shù)列滿足，當(dāng)時，恒有，設(shè)的前項和為，則所有正確結(jié)論的序號是___________.①為等比數(shù)列；②為遞減數(shù)列；③為等差數(shù)列；④答案：②③④【解析】設(shè)與交于點，，，，，共線，所以存在實數(shù)，使得，所以，所以，所以，，所以，，，不是等比數(shù)列，①錯；因為，所以，即，所以是等差數(shù)列，③正確；又因為，則，即，，所以當(dāng)時，，即，所以是遞減數(shù)列，②正確；因為，，所以兩式相減得，所以，④正確.故答案為：②③④.例9．（2023·云南師大附中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．【解析】(1)因為，所以，所以，所以，當(dāng)時，，，所以數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列，所以；(2)由得，所以，，兩式相減，得，，所以.例10．（2023·全國·模擬預(yù)測（文））若數(shù)列滿足，，．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【解析】(1)因為數(shù)列滿足，，，所以.所以數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q（）.所以，解得：.所以.即的通項公式為.(2)由（1）可知：，所以，所以

①得：

②①-②得：所以例11．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題意得：，解得：，所以，由得：，所以，所以(2)，則①，②，兩式相減得：，所以例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{}為等差數(shù)列，，，數(shù)列{}的前n項和為，且滿足．(1)求{}和{}的通項公式；(2)若，數(shù)列{}的前n項和為，且對恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)解：等差數(shù)列{}中，設(shè)公差為d，則數(shù)列{}中的前n項和為，且①當(dāng)時，當(dāng)時，②②－①得：故數(shù)列{}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以.(2)解：數(shù)列{}中，.則所以故所以∵對恒成立．當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，綜上：實數(shù)m的取值范圍為．【方法技巧與總結(jié)】錯位相減法求數(shù)列的前n項和（1）適用條件若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和．（2）基本步驟（3）注意事項①在寫出與的表達式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出；②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項的符號要變號．等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯位相減法．①②得：．整理得：．題型四：分組求和法例13．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列{}滿足，．(1)證明{}是等比數(shù)列，并求{}的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【解析】(1)由題意可得：∵所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列則，即因此{}的通項公式為(2)由（1）知，令則所以．．綜上．例14．（2023·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知正項數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【解析】(1)解：因為，①當(dāng)時，．②①②得，所以．當(dāng)時，，也滿足上式，所以．(2)解：因為，則，則．例15．（2023·上海松江·二模）在等差數(shù)列中，已知，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和．【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，解得，∴；(2)∵數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，∴，又，可得，所以．【方法技巧與總結(jié)】（1）分組轉(zhuǎn)化求和數(shù)列求和應(yīng)從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項和的數(shù)列求和．（2）分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型題型五：裂項相消法例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．【解析】(1)∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；(2)∴例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項和，已知，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知數(shù)列滿足________，記為數(shù)列的前項和，證明：．從①

②兩個條件中任選一個，補充在第（2）問中的橫線上并作答.【解析】(1)①，當(dāng)時，，；當(dāng)時，②①-②得，即又，∴數(shù)列是從第2項起的等比數(shù)列，即當(dāng)時，．．(2)若選擇①：，．若選擇②，則③，④，③-④得，．例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））已知正項數(shù)列{}中，，是其前n項和，且滿足(1)求數(shù)列{}的通項公式：(2)已知數(shù)列{}滿足，設(shè)數(shù)列{}的前n項和為，求的最小值.【解析】(1)正項數(shù)列{}，，滿足，所以，所以數(shù)列{}是以1為首項1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時也成立，所以.(2)因為所以，所以當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，，由{}遞增，得，所以的最小值為.例19．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項為正數(shù)，其前項和滿足．(1)求實數(shù)的值，使得是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【解析】(1)當(dāng)時，，，解得；當(dāng)時，把代入題設(shè)條件得:，即，很顯然是首項為8+1=9，公比為9的等比數(shù)列，∴；(2)由（1）知是首項為，公比的等比數(shù)列，所以，．故數(shù)列的前項和為：.例20．（2023·湖南·一模）已知等差數(shù)列中，前項和為，，為等比數(shù)列且各項均為正數(shù)，，且滿足，.(1)求與；(2)設(shè)，，求的前項和.【解析】(1)由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，，，，，，，即，解得（舍去），或，，，，.(2)由（1），可得，則，.例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列前n項和為，且，記.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求.【解析】(1)，當(dāng)時，；當(dāng)，時，，.當(dāng)時也符合,.(2).例22．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)一模（文））已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【解析】(1)等差數(shù)列中，，解得，因，，成等比數(shù)列，即，設(shè)的公差為d，于是得，整理得，而，解得，所以.(2)由（1）知，，所以.例23．（2023·山西大同·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：.【解析】(1)證明：當(dāng)時，∴當(dāng)時，，∴∴數(shù)列是以2為公比，首項的等比數(shù)列(2)由（1）知，，代入得∴由，，，所以∴綜上所述例24．（2023·江西九江·三模（理））已知數(shù)列的前項和為，且滿足，.(1)求；(2)求數(shù)列的前項和.【解析】(1)當(dāng)時，，∵，∴.當(dāng)時，由，得，兩式相減得即∴數(shù)列，均為公比為4的等比數(shù)列∴，∴(2)∵∴數(shù)列的前項和例25．（2023·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知各項均不相等的等差數(shù)列的前4項和為10，且是等比數(shù)列的前3項.(1)求；(2)設(shè)，求的前n項和.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，，則，得，得，因為，所以，解得，所以，所以，，所以等比數(shù)列的公比，所以.(2)，所以.例26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列中，首項，前項和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【解析】(1)設(shè)數(shù)列公比為，由，，可得，化簡得，即，所以．(2)由（1）得，所以所以..例27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，；數(shù)列的前n項和，且，數(shù)列的，．(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)若數(shù)列滿足：，當(dāng)時，求證：．【解析】(1)解：因為，由，得，所以，即，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，所以，所以．由，，得，，兩式相減得，即，又，所以數(shù)列是以1為首項、2為公比的等比數(shù)列，則；(2)由（1）知：，，∴．例28．（2023·廣東惠州·高三階段練習(xí)）記是公差不為零的等差數(shù)列的前項和，若，是和的等比中項.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前20項和.【解析】(1)由題意知，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因為，解得又，可得，所以數(shù)列是以1為首項和公差為1的等差數(shù)列，所以，(2)由（1）可知，設(shè)數(shù)列的前和為，則，所以所以數(shù)列的前20和為例29．（2023·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前n項和為，若，恒成立，求常數(shù)k的最小值.【解析】(1)由，得當(dāng)時，，當(dāng)時，，兩式相減得，，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，.由，，，，得，，…，，累加得，，.(2)由（1）得，，，即常數(shù)k的最小值為.例30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列公比為正數(shù)，其前項和為，且.數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項公式：(2)求證：.【解析】(1)當(dāng)時，，，又，經(jīng)檢驗符合上式，(2)..另解：.得證例31．（2023·廣東佛山·二模）已知數(shù)列{}的前n項和為，且滿足(1)求、的值及數(shù)列{}的通項公式：(2)設(shè)，求數(shù)列{}的前n項和【解析】(1)因，取和得：，即，解得，由得：，數(shù)列是首項為，公差的等差數(shù)列，則，即，當(dāng)時，，而滿足上式，因此，，所以，數(shù)列{}的通項公式.(2)由（1）知，當(dāng)時，，因此，，，則，滿足上式，所以.例32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項數(shù)列的前n項和為，且滿足，，，數(shù)列滿足．(1)求出，的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：．【解析】(1)由，得．又，則數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴，∴，，…，，累加得，∴．?dāng)?shù)列滿足，①當(dāng)時，；當(dāng)時，，②由①－②可得，當(dāng)時，也符合上式，故數(shù)列的通項公式為．(2)由（1）可得，則，故成立．例33．（2023·天津南開·三模）已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項和為13，且，，恰好分別是等差數(shù)列的第一項，第三項，第五項．(1)求和的通項公式；(2)已知，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項和；(3)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【解析】(1)（1）解：或，又，則，∴（）．設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，，，即，所以（）．(2)（2）解：時，，∴．時，∴，①，②由①②可得，∴∴（）．(3)（3）由（1）知，則∴故（）.【方法技巧與總結(jié)】裂裂項相消法求和（1）基本步驟（2）裂項原則一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．（3）消項規(guī)律消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．題型六：倒序相加法例34．（2023·河北·高三階段練習(xí)）德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若，則的前n項和_________．答案：【解析】由得，，由，得，故，故，所以，則，兩式相減得：故，故答案為：例35．（2023·黑龍江齊齊哈爾·三模（文））已知數(shù)列的前n項和為，且，設(shè)函數(shù)，則______．答案：【解析】∵①，∴當(dāng)時，②，①－②得，∴；當(dāng)時，，∴，此時仍然成立，∴．∴當(dāng)n=1時，；當(dāng)時，，當(dāng)n=1時，上式也成立，故．由于，設(shè)則，∴．故答案為：．例36．（2023·全國·高三專題練習(xí)（文））已知數(shù)列，滿足，，.（1）證明為等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）求.【解析】（1）由可得，于是，即，而，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.所以.（2）由（1）知，所以.因為，所以，因此.例37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的值；(3)令，求數(shù)列的前2020項和.【解析】(1)因為點均在函數(shù)的圖象上，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，適合上式，所以.(2)因為，所以，所以.(3)由（1）知，可得，所以，①又因為，②因為，所以①②，得，所以.例38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，正項等比數(shù)列滿足，則值是多少？.【解析】因為，所以.因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，即.設(shè)①，又＋…＋②，①+②，得，所以.例39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)對任意的，都有，數(shù)列滿足….求數(shù)列的通項公式.【解析】因為，.故….①….②①+②，得，.所以數(shù)列的通項公式為.例40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若函數(shù)，令，求數(shù)列的前2020項和．【解析】（1）∵點均在函數(shù)的圖象上，∴．當(dāng)時，；當(dāng)時，，適合上式，∴．（2）∵，∴．又由（1）知，∴．∴，①又，②①+②，，∴．【方法技巧與總結(jié)】將一個數(shù)列倒過來排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時可用倒序相加法（等差數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)即用此方法）．題型七：并項求和例41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的通項公式為，求的前n項和．【解析】解：當(dāng)n為偶數(shù)時，，；當(dāng)n為奇數(shù)時，，．綜上：.例42．（2023·福建·廈門一中模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和，，，．(1)計算的值，求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【解析】(1)解：當(dāng)時，，解得，由題知①，②，由②①得，因為，所以，于是：數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，以4為公差的等差數(shù)列，即，偶數(shù)項是以為首項，以4為公差的等差數(shù)列，即所以的通項公式；(2)解：由（1）可得，.例43．（2023·河北·滄縣中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項和，若．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前18項和．【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為．則，解得.故數(shù)列的通項公式為．(2)由（1）知，，所以.因為當(dāng)時，，．所以數(shù)列的前18項和為.例44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且滿足.(1)求的通項公式；(2)在和中插入個相同的數(shù)，構(gòu)成一個新數(shù)列，，，，，，，，，，，求的前項和．【解析】(1)解：因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，也滿足，所以，對任意的，.(2)解；在和中插入個相同的數(shù)，構(gòu)成一個新數(shù)列，，，，，，，，，，，，其項數(shù)為，因為，即當(dāng)時，，因此，.例45．（2023·河南·汝州市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））在數(shù)列中，，且.(1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和.【解析】(1)解：因為，所以，又，所以，所以是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.故，即.(2)解：由（1）得，則，①當(dāng)時，②當(dāng)時，，綜上所述，例46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前n項和.【解析】(1)證明：因為，，所以，所以數(shù)列是首項為4，公比為4的等比數(shù)列；(2)解：由（1）可得，即，則.當(dāng)n為偶數(shù)時，，則，當(dāng)n為奇數(shù)時，則，綜上所述，.【方法技巧與總結(jié)】兩兩并項或者四四并項題型八：先放縮后裂項求和例47．（2023·天津市寶坻區(qū)第一中學(xué)二模）已知為等差數(shù)列，前n項和為是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，．(1)和的通項公式；(2)求數(shù)列的前8項和；(3)證明：．【解析】(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．由已知，得，而，所以．又因為，解得．所以．由，可得①．由，得②，聯(lián)立①②，解得，由此可得．所以，的通項公式為的通項公式為．(2)解：設(shè)數(shù)列的前n項和為，由，得，所以，，上述兩式相減，得．得．所以，數(shù)列的前n項和為當(dāng)時，．(3)解：由（1）得，所以：當(dāng)時，，不等式成立；當(dāng)時，，所以，不等式成立；當(dāng)時，，所以，，所以，得證．例48．（2023·浙江·效實中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求的值：(2)求數(shù)列的通項公式：(3)證明：對一切正整數(shù)，有.【解析】(1)令，，則舍去，所以.(2)，因為數(shù)列各項均為正數(shù)，舍去，，當(dāng)時，，(3)令，所以例49．（2023·廣東汕頭·一模）已知數(shù)列的前n項和為，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項和為；(2)設(shè)，證明：.【解析】(1)當(dāng)時，，即由，則兩式相減可得，即所以，即數(shù)列為等比數(shù)列則，所以則(2)所以例50．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的首項為，且，數(shù)列滿足．(1)求和；(2)設(shè)，記，證明：當(dāng)時，．【解析】(1)因為是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d.因為，所以．因為，所以等差數(shù)列的公差，所以．因為，所以，所以．當(dāng)時，，結(jié)合可知．經(jīng)檢驗：也適合上式.所以．(2)由（1）可知：．所以要證明原不等式成立，只需證明：成立．易得：，所以當(dāng)時，左邊，右邊，左邊=右邊．當(dāng)時，，此時．所以所以于是，當(dāng)時，成立．綜上所述：當(dāng)時，．例51．（2023·天津·一模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，，；數(shù)列的前n項和為，.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和；(3)求證：.【解析】(1)數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，，化簡得，解得，，∴，.由已知，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，∴，，即，∴數(shù)列構(gòu)成首項為3，公比為3的等比數(shù)列，∴，.(2)由（1）可得，，∴，∴(3)由（1）可得，，則，方法一：∵，∴，令，，兩式相減可得，∴，∴方法二：∵時，，根據(jù)“若，，則”，可得，∴，令，，兩式相減可得，∴∴，∴方法三：令，下一步用分析法證明“”要證，即證，即證，即證，當(dāng)，顯然成立，∴，∴例52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求證:.【解析】，【方法技巧與總結(jié)】先放縮后裂項，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標(biāo)．題型九：分段數(shù)列求和例53．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前15項的和.【解析】(1)由得，當(dāng)n=1時，，解得.當(dāng)n≥2時，，從而，即，因此數(shù)列是等比數(shù)列，其首項和公比都等于2，所以.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，，所以數(shù)列的前15項和為.例54．（2023·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）已知是數(shù)列的前n項和，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.【解析】(1)變形為，因為，所以，故；(2)當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，則例55．（2023·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，.(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【解析】(1)因為，當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，

，且，所以，所以，∴，所以為以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以；(2)因為，所以，所以數(shù)列的前項和；綜上，所以，數(shù)列的前項和.例56．（2023·遼寧·撫順市第二中學(xué)三模）已知數(shù)列中，滿足對任意都成立，數(shù)列的前n項和為．(1)若是等差數(shù)列，求k的值；(2)若，且是等比數(shù)列，求k的值，并求．【解析】(1)若是等差數(shù)列，則對任意，，即，所以，故.(2)因為且得，又是等比數(shù)列，則即，得.當(dāng)時，，，故是以2為首項，公比為1的等比數(shù)列，此時的前n項和；當(dāng)時，，即，所以，且所以以為首項，公比為-1的等比數(shù)列，又，所以，當(dāng)n是偶數(shù)時，，當(dāng)n是奇數(shù)時，，，綜上，當(dāng)時，，當(dāng)時，.例57．（2023·湖南·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，令.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前14項和.【解析】(1)當(dāng)時，，又，得，由①得②，①②兩式相除可得，則，且，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時，；當(dāng)n為偶數(shù)時，，.所以數(shù)列的前14項和為.例58．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，(1)令，求，及的通項公式；(2)求數(shù)列的前2n項和.【解析】(1)由題意得，，，，，，，，當(dāng)時，，又，所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.(2)由（1）知，所以，所以.例59．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前20項和．【解析】解：（1）當(dāng)時，當(dāng)n為奇數(shù)，且時，，顯然滿足；當(dāng)n為偶數(shù)時，所以（2）．例60．（2023·重慶·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和，且，正項等比數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【解析】(1)當(dāng)時，，由，得，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以；設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，則，所以，解得或(舍)，所以.(2)，所以當(dāng)時,，當(dāng)時，，即【方法技巧與總結(jié)】（1）分奇偶各自新數(shù)列求和（2）要注意處理好奇偶數(shù)列對應(yīng)的項：①可構(gòu)建新數(shù)列；②可“跳項”求和【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前2022項和等于（

）A． B．2022 C． D．2019答案：B【解析】解：設(shè)數(shù)列的前項和為，當(dāng)為奇數(shù)時，當(dāng)為偶數(shù)時，所以.故選：B2．（2023·江西·臨川一中模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列的通項公式為為數(shù)列的前n項和，（

）A．1008 B．1009 C．1010 D．1011答案：D【解析】解：因為當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)時，所以，所以，所以；故選：D3．（2023·四川·射洪中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知首項為1的等差數(shù)列的前項和為，滿足，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由可得：為等差數(shù)列，公差為，首項為，所以，則，，所以故選：B4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）己知數(shù)列滿足，在之間插入n個1，構(gòu)成數(shù)列：，則數(shù)列的前100項的和為（

）A．178 B．191 C．206 D．216答案：A【解析】解：數(shù)列滿足，在，之間插入個1，構(gòu)成數(shù)列，1，，1，1，，1，1，1，，，所以共有個數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由于，所以．故選：A．5．（2023·河南·南陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2021項的和為（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因為，故數(shù)列為等比數(shù)列，又，所以；則；所以.故選：D.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知公比為2的等比數(shù)列滿足，記為在區(qū)間（為正整數(shù)）中的項的個數(shù)，則數(shù)列的前100項的和為（

）A．360 B．480 C．600 D．100答案：B【解析】解：因為，，所以，由于，所以對應(yīng)的區(qū)間為，則；對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有2個1；對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個2；對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個3；對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個4；對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個5；對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有37個6．所以．故選：B7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，用表示不超過的最大整數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【解析】因為，所以，即，所以，由，可得，，，，則數(shù)列是遞增數(shù)列，，則，則.故選：B.8．（2023·全國·哈師大附中模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前5項和為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因為，所以.所以前5項和為故選：D二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知下圖的一個數(shù)陣，該陣第行所有數(shù)的和記作，，，，，數(shù)列的前項和記作，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．答案：ABC【解析】解：由題意得：A選項：，故A正確；B選項：，故B正確；D選項：，故D錯誤；C選項：，故C正確．故選：ABC10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項數(shù)列的首項為2，前項和為，且，，數(shù)列的前項和為，若，則的值可以為（

）A．543 B．542C．546 D．544答案：AB【解析】因為，所以，即，故數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列，則，則，所以，則，令，解得，即，故選:AB11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）我們把()叫作“費馬數(shù)”(費馬是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家).設(shè)，，表示數(shù)列的前項和，則使不等式成立的正整數(shù)的值可以是（

）A．7 B．8 C．9 D．10答案：CD【解析】()，，，，，.當(dāng)時，左邊，不滿足題意；當(dāng)時，左邊，滿足題意，故最小正整數(shù)的值為9.故選：CD.12．（2023·河北·模擬預(yù)測）將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則下列說法正確的有（

）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列的前n項和為答案：BD【解析】數(shù)列中的項為1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，55，58，61，64，67，…，數(shù)列中的項為2，4，8，16，32，64，128，…，∴數(shù)列是首項為4，公比為4的等比數(shù)