江西省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期5月統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷

2024年5月江西省高二年級(jí)統(tǒng)一調(diào)研測試高二數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁，19小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1．考查范圍：選擇性必修第一冊占，選擇性必修第二冊占，集合與常用邏輯用語占。2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡指定位置上。3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．“對(duì)任意，是偶函數(shù)”的否定是（）A．存在，使不是偶函數(shù)B．對(duì)任意，不是偶函數(shù)C．存在，使是偶函數(shù)D．不存在，使是偶函數(shù)2．已知為等差數(shù)列，若，則的公差為（）A． B． C． D．3．已知，則（）A． B． C． D．4．已知變量x，y線性相關(guān)，利用樣本數(shù)據(jù)求得的回歸直線方程為，且點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)（）A．1 B． C． D．5．已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若的圖象在處的切線方程為，則（）A．4 B． C．2 D．6．已知雙曲線的漸近線與圓沒有公共點(diǎn)，數(shù)列中，且是遞增數(shù)列，則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件7．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A． B． C． D．8．已知，，若存在，，使得，則有（）A．最小值為 B．最大值為C．最小值為 D．最大值為二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．某公司為入職員工實(shí)行每月加薪，小王入職第1個(gè)月工資為a元，從第2個(gè)月到第13個(gè)月，每月比上個(gè)月增加100元，從第14個(gè)月到第25個(gè)月，每月比上個(gè)月增加50元，已知小王前3個(gè)月的工資之和為9300元，則（）A．B．小王第3個(gè)月與第7個(gè)月工資之和等于第2個(gè)月與第8個(gè)月工資之和C．小王入職后前15個(gè)月的工資之和是第8個(gè)月工資的15倍D．小王入職后第20個(gè)月的工資為4550元10．若數(shù)列滿足，對(duì)任意正整數(shù)n，恒有，則的通項(xiàng)可以是（）A． B． C． D．11．根據(jù)的單調(diào)性判斷，下列結(jié)論正確的有（）A． B． C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．若，，則____________．13．已知是公差不為零的等差數(shù)列，是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若，，，則____________．14．若函數(shù)的圖象與直線有4個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）據(jù)統(tǒng)計(jì)，目前中國各省市博物館藏品數(shù)量最多的前5個(gè)省市及藏品數(shù)量（單位：萬件）依次為：北京（632.2）、四川（470.9）、上海（342.1）、陜西（329.2）、廣東（262.7），從這5個(gè)省市中任意選取2個(gè)省市，記選取到的博物館藏品數(shù)量超過400萬件的省市個(gè)數(shù)為X．（1）求X的分布列與期望；（2）在的條件下，求廣東省沒有被選取到的概率．16．（15分）已知四棱錐中，底面，，四邊形是邊長為4的菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．17．（15分）已知數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若，，求的前n項(xiàng)和．18．（17分）已知橢圓的離心率為，且a，b的等比中項(xiàng)為2．（1）求C的方程；（2）若直線與C交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，直線過點(diǎn)A且與C交于另外一點(diǎn)，直線過點(diǎn)B，且與C交于另外一點(diǎn)．（ⅰ）設(shè)，，證明：；（ⅱ）若直線的斜率為，判斷是否存在常數(shù)m，使得k是m，的等比中項(xiàng)，若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．（17分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)于區(qū)間A，若與在區(qū)間A上都單調(diào)遞增或都單調(diào)遞減，則稱為區(qū)間A上的自律函數(shù)．（1）若是R上的自律函數(shù)．（?。┣骯的取值范圍；（ⅱ）若a取得最小值時(shí)，只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（2）已知函數(shù)，判斷是否存在b，c及，使得在上不單調(diào)，且是及上的自律函數(shù)，若存在，求出b與c的關(guān)系及b的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．2024年5月江西省高二年級(jí)統(tǒng)一調(diào)研測試高二數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分細(xì)則1．【答案】A【解析】因?yàn)槊}“，x具有性質(zhì)”的否定是“，x不具有性質(zhì)”．故選A．2．【答案】D【解析】設(shè)的公差為d，因?yàn)?，所以，．故選D．3．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，則．故選D．4．【答案】B【解析】由點(diǎn)都在直線上，可得，又x，y負(fù)相關(guān)，所以．故選B．5．【答案】D【解析】的圖象在處的切線方程為，則，，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，的圖象在處及處的切線也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，，即所以，，．故選D．6．【答案】A【解析】若雙曲線的漸近線與圓沒有公共點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離大于1，即，解得；若數(shù)列是遞增數(shù)列，則，所以p是q的充分不必要條件．故選A．7．【答案】C【解析】由，，得，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1、公比為的等比數(shù)列，所以，，所以，，兩式相減得，所以，所以．故選C．8．【答案】B【解析】由得，，設(shè)，則，設(shè)，由，得，所以t的取值范圍是，，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，沒有最小值，所以當(dāng)，時(shí)，取得最大值，沒有最小值．故選B．9．【答案】ABD（每選對(duì)1個(gè)得2分）【解析】小王前3個(gè)月的工資之和為，所以，A正確；記小王入職第n個(gè)月工資為，則時(shí)，是等差數(shù)列，因?yàn)椋?，B正確；由時(shí)是公差為100的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，是公差為50的等差數(shù)列，，C錯(cuò)誤；小王入職后第13個(gè)月的工資為，第20個(gè)月的工資為，D正確．故選ABD．10．【答案】ACD（每選對(duì)1個(gè)得2分）【解析】對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)最小，滿足題意，A正確；對(duì)于B，，當(dāng)，，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且隨n的增大而減小，C正確；對(duì)于D，，數(shù)列的前7項(xiàng)依次為，，1，，，1，，該數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，易知D正確．故選ACD．11．【答案】BC（每選對(duì)1個(gè)得3分）【解析】由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單遞減，由得，即，A錯(cuò)誤；由得，即，B正確；由得，即，C正確；由得，即，所以，D錯(cuò)誤．故選BC．12．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，所以．13．【答案】【解析】設(shè)的公差為，的公比為，由題意得解得，所以．14．【答案】【解析】函數(shù)的圖象與直線有4個(gè)交點(diǎn)，即方程有4個(gè)不同實(shí)根，即有4個(gè)不同實(shí)根，設(shè)，，則，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以有2個(gè)不同實(shí)根0與1，令，得，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，且時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，令，得，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，且時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，綜上得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有4個(gè)交點(diǎn)．【評(píng)分細(xì)則】14題答案寫成或或也正確．15．解：（1）X的所有可能取值為0，1，2，（1分），，， （4分）所以X的分布列如下表所示，X012P（6分）． （8分）（2）設(shè)事件A表示“”，事件B表示“廣東省沒有被選取到”，則，， （11分）所以在的條件下，廣東省沒有被選取到的概率為． （13分）【評(píng)分細(xì)則】第（2）小題，不設(shè)事件，直接列式計(jì)算，若計(jì)算正確，不扣分．16．（1）證明：因?yàn)樗倪呅问橇庑?，且，所以? （1分）因?yàn)槠矫?，平面，所以? （3分）因?yàn)?，所以平面? （4分）因?yàn)槠矫?，所以平面平面? （6分）（2）解：由（1）可得，，兩兩垂直，因?yàn)?，，，所以? （7分）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，， （9分）設(shè)平面的法向量，則即取，得，，故平面的一個(gè)法向量， （11分）設(shè)平面的法向量，則即取，得，，故平面的一個(gè)法向量， （13分）設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為． （15分）【評(píng)分細(xì)則】如用其他解法，若正確，也給滿分．17．（1）證明：因?yàn)椋裕? （2分）兩邊同時(shí)除以得，即， （5分）所以數(shù)列是公差為4的等差數(shù)列． （7分）（2）解：由（1）得是公差為4的等差數(shù)列，首項(xiàng)，所以， （9分）所以， （10分）， （12分）所以． （15分）【評(píng)分細(xì)則】第（2）小題最終結(jié)果寫成也正確．18．（1）解：因?yàn)镃的離心率為，所以， （2分）整理得，所以， （3分）因?yàn)閍，b的等比中項(xiàng)為2，所以，即，，，所以C的方程為． （5分）（2）（?。┳C明：與聯(lián)立得，所以， （6分）因?yàn)?，且? （7分）所以， （9分）所以，即得證． （10分）（ⅱ）解：由（?。┲?，．因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，，直線經(jīng)過點(diǎn)，，設(shè)，則，． （12分）又，， （15分）所以，所以，9的一個(gè)等比中項(xiàng)為k，即存在，使得k是m，的等比中項(xiàng)． （17分）【評(píng)分細(xì)則】如用其他解法，若正確，也給滿分．19．解：（1）（?。┮?yàn)椋?，? （2分）因?yàn)槭荝上的自律函數(shù)，所以恒成立，恒成立，所以 （4分）解得，所以a的取值范圍是． （5分）（ⅱ）