2024年新高考新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模擬卷（三）（原卷版+解析版）

2024年新高考新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模擬卷（三）

（模擬測試）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.已知集合4=?：＜2，＜21,3=｛巾=坨"+1）｝,則Au低句=（）

A.0B.（—8,1）C.（―1,+8）D.（―8,—1）D（—1,1）

2.已知直線/、加、〃與平面。、0,下列命題正確的是（）

A.若a///?,Iua,nu/3,則///〃B.若2_1_夕，lua,則/

C.若/_L〃，mA-n,則/〃機D.若/_La,/〃尸，則。

3.已知非零向量a，b，c滿足同=W，c=；a,若c為。在a上的投影向量，則向量a，b夾角的余弦值

為（）

A.-B.—C.—D.—

2345

4.已知圓￡:（尤+l）2+（y+l）2=l,圓C2：Y+y2-4x-4y-l=。，則兩圓的公切線條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

5.甲箱中有5個紅球，2個白球和3個黑球；乙箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲箱中隨機取出

一球放入乙箱中，分別以A1、4、A3表示由甲箱中取出的是紅球、白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取

出一球，以5表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.尸（8）=|

B.W)=n

c.事件B與事件A不相互獨立D.4、4、A兩兩互斥

6.蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān).如圖為某校數(shù)學(xué)社團用數(shù)學(xué)軟件制作的

“蚊香畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段A3,作一個等邊三角形ABC,然后以點8為圓心，AB

為半徑逆時針畫圓弧交線段CB的延長線于點D（第一段圓弧），再以點C為圓心，CO為半徑逆時針畫圓弧

交線段AC的延長線于點E,再以點A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓弧……以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻?/p>

好有15段圓弧時，“蚊香”的長度為（）

A.44nB.64兀C.70兀D.80%

333一

7.若a=ln4,b=—,c=sin—Ftan—,則a,b,c的大小關(guān)系為()

244

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

8.“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點

A（x,,y）,3（%,%）的曼哈頓距離為：〃（43）=%一％2|+“1一%|.已知點〃在圓。：/+）?=1上一1^^在直線

/:3x+y-9=0上,則d(MN)的最小值為()

9710971018-2亞?3-f

10105

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）

9.一組數(shù)據(jù)芯,々，鳥，占。滿足4-私=2（24注10）,若去掉％,稅后組成一組新數(shù)據(jù).則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比

()

A.極差變小B.平均數(shù)變大C.方差變小D.第25百分位數(shù)變小

10.如圖所示，棱長為3的正方體A8CD-44G。中，尸為線段AB上的動點（不含端點），則下列結(jié)論正

確的是（）

B.RP與AC所成的角可能是g

o

C.AP-OC1是定值D.當(dāng)AP=2P8時，點G到平面"AP的距離為1

11.已知函數(shù)〃x)為定義在R上的偶函數(shù)，"0)=1,>/(%-l)+/(x+l)=/(x),則()

A./(1)=1B.“X)的圖象關(guān)于點g,o1對稱

20231

c.“X)以6為周期的函數(shù)D.

k=i2

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.12+jJ(x-2y『的展開式中/丫2的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

13.在四面體P—ABC中，BPA.PC,ZBAC=60,若BC=2,則四面體P—ABC體積的最大值是,

它的外接球表面積的最小值為.

14.已知產(chǎn)為拋物線=的焦點，過點尸的直線/與拋物線C交于不同的兩點A,8,拋物線在點A,2

4

處的切線分別為4和4,若4和4交于點尸，則口尸產(chǎn)+品的最小值為.

四、解答題(本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分,

19題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.已知橢圓C：，+，=l(a>6>0)的左右頂點距離為2指，離心率為孝.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)過點(0,1)且斜率不為0的直線/與橢圓C交于A,8兩點，求弦A8垂直平分線的縱截距的取值范圍.

16.在中，角A,B,C所對的邊分別為。也c.若2a+Zxx)sA-c="an6sinA.

⑴求5；

⑵若一ABC為銳角三角形，求一的取值范圍.

sine

17.最新研發(fā)的某產(chǎn)品每次試驗結(jié)果為成功或不成功，且每次試驗的成功概率為現(xiàn)對該產(chǎn)品

進行獨立重復(fù)試驗，若試驗成功，則試驗結(jié)束；若試驗不成功，則繼續(xù)試驗，且最多試驗8次.記X為試

驗結(jié)束時所進行的試驗次數(shù)，X的數(shù)學(xué)期望為E(X).

⑴證明：

P

(2)某公司意向投資該產(chǎn)品，若p=0.2,每次試驗的成本為元，若試驗成功則獲利8a元，則該公司

應(yīng)如何決策投資？請說明理由.

18.已知函數(shù)=2M>。且

⑴設(shè)g(x)=40+ex,討論g(x)的單調(diào)性；

⑵若a>1且〃尤)存在三個零點%%,電.

1)求實數(shù)。的取值范圍；

,、2e+l

2)設(shè)玉<%2〈尤3，求證：X]+3%+工3>?.

19.已知數(shù)列A:%LM”為有窮正整數(shù)數(shù)列.若數(shù)列A滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列A為小的左減數(shù)列：

①q+a2++an=m-

②對于l<i<j<n,使得at>%的正整數(shù)對(i,j)有上個.

⑴寫出所有4的1減數(shù)列；

⑵若存在根的6減數(shù)列，證明：機>6；

(3)若存在2024的k減數(shù)列,求k的最大值.

2024年新高考新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模擬卷（三）

（模擬測試）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3,非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.已知集合4=》；＜2工＜2,3={巾=lg(尤+1)},則Au(43)=()

A.0B.(-e,l)C.(-l,+oo)D.

【答案】B

【分析】分別求解兩個集合，再根據(jù)補集和并集的定義，即可求解.

【詳解】g<2'<2,得所以A={x[-l<x<l},

函數(shù)y=ig（x+i）中，龍+1>0,即所以B={X|X>T},

^B={x|x<-1）,所以AD（45）=（T,1）.

故選：B

2.已知直線/、加、”與平面a、B,下列命題正確的是（）

A.若。//月，Iua,〃u4，貝！J///〃B.若Iua,則.廣

C.若/_L〃，mLn,則/〃加D.若/_La,/〃尸，則C/

【答案】D

【分析】利用線線，線面，面面的位置關(guān)系，以及垂直，平行的判斷和性質(zhì)判斷選項即可.

【詳解】對于A,若a〃尸，lua,〃u￡,則/與w可能平行，也可能異面，故A錯誤；

對于B,若a。，lua,貝也與夕可能平行，也可能相交，故B錯誤；

對于C,若/_Ln,mL",貝心與加可能平行，也可能相交或異面，故C錯誤；

對于D,若/〃,，則由線面平行的性質(zhì)定理可知，必有Lu/7,使得〃兒,

又則因為《U夕，所以故D正確.

故選：D.

3.已知非零向量a，b>c滿足忖=忖，c=g。，若c為。在a上的投影向量，則向量a，b夾角的余弦值

為()

A.~B.—C.—D.—

2345

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由平面向量的數(shù)量積運算，向量的投影向量的計算公式，結(jié)合其夾角公式代入計算，

即可得到結(jié)果.

一1

【詳解】由c=；a,c為b在a上的投影向量,c=-a=|Z?|cosa=cos(a,b)a

所以1a=cos(a,6"，故cos(a,，)=§

故選：B

4.已知圓￡：(x+l)2+(y+l)2=l,圓Cz：f+y-4x-4y-i=o,則兩圓的公切線條數(shù)為()

【答案】D

【分析】由兩圓的位置關(guān)系即可確定公切線的條數(shù).

【詳解】由題意圓6：(工+1)2+。+1)2=1是以(-1,-1)為圓心1為半徑的圓；

C2：x2+y2-4x-4y-l=0即(x一2y+(y-2)2=9是以(2,2)為圓心3為半徑的圓：

圓心距滿足d=J=30>1+3=4,所以兩圓相離，

所以兩圓的公切線條數(shù)為4.

故選：D.

5.甲箱中有5個紅球，2個白球和3個黑球；乙箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲箱中隨機取出

一球放入乙箱中，分別以4、4、A表示由甲箱中取出的是紅球、白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取

出一球，以B表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.P（B）=-B.P（B|4）=n

c.事件3與事件A不相互獨立D.4、&、A兩兩互斥

【答案】A

【分析】利用全概率公式可判斷A選項；直接寫出尸（網(wǎng)A）的值，可判斷B選項；利用獨立事件的定義可

判斷C選項；利用互斥事件的定義可判斷D選項.

【詳解】依題意,尸（A）*5U1，尸（洋）=9襦=11,尸（4）=32，

J.V/乙IUJAKJ

*叫4）=（，尸（叫4）=尸（叫A）=t，B對，

尸㈤4尸⑷3AHMA錯；

尸（網(wǎng)”尸⑷尸（租）=。1=卷,尸⑷尸⑻=3（吟，

所以，尸（3戶尸（8>p（A）,所以，事件B與事件4不相互獨立，c對，

由題意可知，事件4、4、A中的任意兩個事件都不可能同時發(fā)生，

因此，事件4、4、4兩兩互斥，D對.

故選：A.

6.蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān).如圖為某校數(shù)學(xué)社團用數(shù)學(xué)軟件制作的

“蚊香畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段A3,作一個等邊三角形ABC,然后以點B為圓心，AB

為半徑逆時針畫圓弧交線段6的延長線于點力（第一段圓?。?，再以點c為圓心，C。為半徑逆時針畫圓弧

交線段AC的延長線于點E,再以點A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓弧……以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻?/p>

好有15段圓弧時，“蚊香”的長度為（）

【答案】D

【分析】利用扇形弧長公式及等差數(shù)列求和公式計算即可.

【詳解】由題意每段圓弧的中心角都是曾，每段圓弧的半徑依次增加1,

97?

則第”段圓弧的半徑為"，弧長記為知,則

2冗

所以=石0+2+3++15）=8071.

故選：D.

333

7.若。=Ln4,b=—,c=sin—+tan—,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

244

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】A

【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得心"，構(gòu)造函數(shù)〃（x）=sinx+tanx-2x,（xe（0,：j）,利用導(dǎo)數(shù)可得則

答案可求.

【詳解】因為（4）2<卜］,所以4<1，所以a=ln4<6=|=lnl,

令sinx+tanx—2x,XG,所以，則

322

cos3x-2cos2x+1(cosx-cosx)-(cosX-1)

/zr(x)=cosxH-------2=

cosXcos2Xcos2X

cos2x(cosx-l)-(cosx+l)(cosx-l)(cosx-f)(cos2x-cos;t-l)

COS2X―COS2X

cos^-cosx-l=fcosx-4-^f-l±^,J

I2)4[2J

(cos%-l)(cos2x-cosx-l)

所以"(%)=>0,

cos2X

gp/z(x)=sinx+tanx—2x,xe。，仁恒為遞增函數(shù),

則啟)>/7(0)=0,BPsin-+tan--->0,所以c>b,

4442

綜上：a<b<c,

故選：A.

8.“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點

4(占,%),3(々,%)的曼哈頓距離為：d(A3)=W-NI+I%-%|?已知點”在圓Od+V=1上，點N在直線

/:3尤+y-9=0上，則d(MN)的最小值為()

A9710?9M,「18-2亞n,M

JX.------D.---------1C.-------------D.j--------

101053

【答案】D

【分析】如圖，作過點M作平行于無軸的直線MB交直線/于點8，過點"作人放_1_3/于點A,結(jié)合直線的

斜率得出MV平行于x軸，d(M,N)最小，再設(shè)M(cose,sin6),求出利用三角函數(shù)知識得最小值.

【詳解】如圖，過點M作平行于x軸的直線MB交直線/于點B,過點N作于點Ad(",N)表示

....NA

|他4|+|24|的長度，因為直線/的方程為3尤+y-9=0,所以tanNNBA=3，N萬=3,即

\NA\=3\AB\,d(M,N)=\MA\+3\AB\=\MB\+2\AB\,

當(dāng)固定點M時，1MBi為定值，此時|AB|為零時，d(MN)最小，即N與8重合(MN平行于x軸)時，d(M,N)

最小，如圖所示，

設(shè)M(cosasinO),0e(O,27t],貝ij4=^^=3-；sin。，

\MB\=XB-COS6=3—§sin。一cos9=3—§(sin9+3cos6),

由三角函數(shù)知識可知sin6+3cos9=Ji5sin(e+°),其中tan=3,

則其最大值是M，

所以d(M,N)m,n=3-乎，故D正確.

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是理解曼哈頓距離的定義，得到根同=4-cos0=3-；sin0-cos0,再利用

輔助角公式即可求出其最值.

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）

9.一組數(shù)據(jù)%超,思，,稅滿足%-=2（2口410）,若去掉孫玉。后組成一組新數(shù)據(jù),則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比

（）

A.極差變小B.平均數(shù)變大C.方差變小D.第25百分位數(shù)變小

【答案】AC

【分析】根據(jù)極差，平均數(shù)，方差與百分位數(shù)的定義計算出去掉再,/前后的相關(guān)數(shù)據(jù)，比較后得到答案.

【詳解】由于X,-%T=2（2WZW10）,

故冗2=玉+2,%3=石+4,.......,%=%+16,%10=玉+18,

A選項，原來的極差為稅-%=18,去掉無I，/后，極差為者-％=14,極差變小，A正確；

B選項，原來的平均數(shù)為芯+%1+者。=1°：；90=%+9,

去掉占,稅后的平均數(shù)為+/=與衛(wèi)=3+9,平均數(shù)不變，B錯誤；

88

C選項，原來的方差為（引二^二9）乂。_&_9）++（/—芯_9）_33,

10

去掉后的方差為伍f-9『+（X3f-9『++（演一%-9）：21，方差變小，C正確；

8

D選項，10x25%=2.5,從小到大排列，選第3個數(shù)作為第25百分位數(shù)，即退，

8x25%=2,故從小到大排列，選擇第3個數(shù)作為第25百分位數(shù)，即與，

由于吃＜4,第25百分位數(shù)變大，D錯誤.故選：AC

10.如圖所示，棱長為3的正方體ABC。-中，P為線段AB上的動點（不含端點），則下列結(jié)論正

確的是（）

UG

A.2尸_14片B.2尸與AC所成的角可能是I!T

C.APDG是定值D.當(dāng)AP=2P8時，點G到平面RAP的距離為1

【答案】ACD

【分析】以。為原點，加為x軸正方向，。。為y軸正方向，。。為z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)P（3,a,3—a）,（0＜。＜3）,計算口尸，做可判斷A；假設(shè)9尸與AC所成的角是芻，貝U

cos（RP,AC）=cos,求解可判斷B；計算AP，DC；可判斷C；當(dāng)卡=2/＞8時，尸（3,2,1）,求出平面RAP

的法向量，利用點到平面的距離公式可判斷D.

【詳解】以。為原點，D4為x軸正方向，DC為＞軸正方向，為z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則0（0,0,3）,4（3,3,3）,G（0,3,3）,4（3,0,0）,C（0,3,0）,￡＞（0,0,0）,

設(shè)P（3,a,3—a）,（0<a<3）,則〃P=（3,a,-a）,ABt=（0,3,3）,

所以9pA=3x0+ax3+（-a）x3=0,則。/，4耳，故A正確;

因為AC=（—3,3,0）,A尸=（3,a,—a）,

/八D.廠、QP?AC3a—9

所以cos（￡）1P,AC）=|—^|=一廠T———,

切"、/IM"，9+2〃2乂30

7T

若2尸與AC所成的角是B，

0

則IH/*，町\I…TV二即'9+92-3a/F兀，

整理得（2a+3『=0,得。=-底與。＜”3矛盾，故B錯誤;

,\,.UUWUULU

AP=（O,a,3-a）,￡>G=（0,3,3）,所以APQg=0x0+ax3+（3-a）x3=9為定值，故C正確;

當(dāng)AP=2PB時，尸（3,2,1）,

D1A=(3,0,-3),AP=(0,2,1),qo,=(O,-3,O),

設(shè)平面RAP的法向量為根=(x,y,z),

D.A-m=3x-3z=0

由《令z=2,則x=2y=-l,m=(2,—1,2),

APm=2y+z=0

,C.D,-m3,

點C1到平面RAP的距離d=+「=§=l,故D正確.

故選：ACD.

H.已知函數(shù)f(無)為定義在R上的偶函數(shù)，/(0)=1,>/(x-l)+/(x+l)=/(x),則()

A./(1)=1B.〃x)的圖象關(guān)于點(1,0)寸稱

20231

c.“X)以6為周期的函數(shù)D.￡/(/：)=--

k=\人

【答案】ABC

【分析】令x=0,求出/⑴可判斷A；利用〃x-L)+/(x+l)=〃x)和x)=/(x)得出

=可判斷B正確；利用周期函數(shù)的定義和/(xT)+/(x+l)=〃x)求出周期可判斷C；

賦值法求出7(0)，/⑴，“2),"3),"4),f(5),結(jié)合周期可判斷D.

【詳解】因為函數(shù)/'(力為定義在R上的偶函數(shù),

所以f(—x)=/(x),/(-x+1)=/(x-l),

對于A,令x=0,可得/(0-1)+〃0+1)=/(0)=1,

因為〃-1)=〃1)，可得/(l)=g，故A正確；

對于B,因為〃x—l)+〃x+l)=〃x),

所以〃—xT)+/(f+l)=/(-x)=〃x),

可得〃-x+l)+〃3-x)=〃x-2),

?/(3-%)=/(%-2)-/(-%+1)=/(%-2)-/(%-1),

又因為〃x-l)+〃x+l)=〃x),可得/(x—2)+〃x)=〃x—1),

所以"3—x)=〃x—2)—〃龍-1)=一〃x),可得/弓7)―/卜+目，

所以〃x)的圖象關(guān)于點［，?！按绶Q，故B正確；

對于C,因為/(x—1)+/(尤+1)=/(力，

所以〃x)+〃x+2)=/(x+l),所以—/(x+2)=〃x—l),

可得-〃x+3)=/(x),所以有〃x+6)=—〃x+3)=〃x),

所以“X)以6為周期的函數(shù)，故C正確；

對于D,"0)=1,/(1)=|,令尤=1可得〃0)+〃2)"(1),可得〃2)=〃1)-〃0)=-”

令x=2可得〃1)+〃3)=/(2),可得〃3)=〃2)-/⑴=一1,

令x=3可得〃2)+/(4)=/(3),可得"4)=/⑶一八2)=-；，

令x=4可得〃3)+〃5)=〃4),可得〃5)=〃4)-〃3)=),所以

/(0)+/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)=0,

20231

所以㈤=337X0+〃1)=5,故D錯誤.

k=l2

故選：ABC.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：適當(dāng)?shù)馁x值和變量代換，是探求抽象函數(shù)周期的關(guān)鍵，求解抽象函數(shù)問題，要有扎

實的基礎(chǔ)知識和較強的抽象思維和邏輯推理能力.

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.3+￡|(x-2y)6的展開式中公犬的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

【答案】-40

【分析】由二項式定理得到(尤-2y)6的通項公式，結(jié)合2+j,得到與工，得到丁丁的系數(shù).

【詳解】(尤-2y『的通項公式為乙=《尸(一2以=&(-2)'尸產(chǎn)，

242424242

令r=2得,T3=C^(-2)xy=60xy,itkHj-60xy-2=120xy,

令r=3得，7；=(-2)3x3y3=-160x3/,此時-160/;/1=-160/y2,

故一丁的系數(shù)為120-160=TO

故答案為：-40

13.在四面體P—ABC中，BP±PC,ZBAC=60,若3c=2,則四面體P—ABC體積的最大值是,

它的外接球表面積的最小值為.

▼小士、也16兀

【答案】4—

33

【分析】根據(jù)余弦定理以及不等式可得AB-ACW4,進而可求解面積的最大值，進而根據(jù)BPLPC,即可

求解高的最大值，進而可求解體積，根據(jù)正弦定理求解外接圓半徑，即可根據(jù)球的性質(zhì)求解球半徑的最小

值，即可由表面積公式求解.

【詳解】由余弦定理可得Be?=A82+AC2_2ARACCOSNA4C,

^4=AB2+AC2-ABAC>2ABAC-ABAC,所以gAC44,

當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時取等號，故SMe=」AB.ACsin60=-AB-AC<—x4=y/3,

ABC244

故_48。面積的最大值為6，

yj3

VP-ABC=個]1,甌心工寸垂>h=yh,

由于3P_LPC,所以點尸在以8C為直徑的球上（不包括平面ABC）,故當(dāng)平面尸3cl平面ABC時，此時〃

最大為半徑（BC=1,

故/ABC<—h<—,

Pm33

24

由正弦定理可得：~^=F=2r，廠為_ABC外接圓的半徑，

sin6013

設(shè)四面體P-ABC外接球半徑為R,則尺2=/+0。2=1+。02淇中。,。1分別為球心和“鉆。外接圓的圓心,

故當(dāng)0。=0時，此時尺2=g+O02最小，

故外接球的表面積為4兀心=殍，

故答案為：丑，粵

33

P人

B

14.已知產(chǎn)為拋物線C：y=Jf的焦點，過點尸的直線/與拋物線c交于不同的兩點A,8,拋物線在點A3

4

25

處的切線分別為乙和4,若4和4交于點尸，則口尸廣+向的最小值為.

【答案】10

【分析】設(shè)直線方程為丁=區(qū)+1,4（%,%）,*%,%），聯(lián)立拋物線方程得出韋達定理，再利用導(dǎo)數(shù)的幾

25

何意義求解AP，BP方程，聯(lián)立ARBP可得P（2K-1）,再代入I尸/I2+兩根據(jù)基本不等式求解最小值即可.

【詳解】C：/=4y的焦點為（0,1）,設(shè)直線A8方程為、=履+1,A（xl,yl）,B（x2,y2）.

聯(lián)立直線與拋物線方程有Y一4日一4=0,貝1］卜目=%+%+2=左（芯+々）+4=4左2+4.

又y=求導(dǎo)可得,=故直線AP方程為、一切=；玉（x-xj.

又％=1芭~,故AP:y=萬占尤一1X；,同理:y=萬無2彳_1尤;.

［_112

y=一XyX—Xyzx

聯(lián)立；:可得*「尤2戶=：（+考），解得尤=2產(chǎn)，代入可得尸”三，苧，代入韋達

笛_'丫丫1丫224''24〃

y--x2x--x2

定理可得尸（2匕-1）,故［P同="^+4.

故鼻=4^+4+7T^22（4公+4卜77m=10,當(dāng)且僅當(dāng)4s+4=^^，即&=±〈時取等號.

\AB\4左2+474左2十44左2+42

【點睛】方法點睛：如圖，假設(shè)拋物線方程為丁=2處（p>0）,過拋物線準(zhǔn)線y=-5上一點尸（％,%）向拋

物線引兩條切線，切點分別記為48,其坐標(biāo)為&,%）,（%，%）.則以點尸和兩切點AB圍成的三角形中,

有如下的常見結(jié)論：

結(jié)論1.直線A3過拋物線的焦點

yy

結(jié)論2.直線AB的方程為xox=2p°^=P（%+，）.

結(jié)論3.過尸的直線與拋物線交于AB兩點，以A2分別為切點做兩條切線，則這兩條切線的交點尸(七,%)的

軌跡即為拋物線的準(zhǔn)線.

結(jié)論4.PF_LAB.

結(jié)論5.APLPB.

結(jié)論6.直線的中點為M,則平行于拋物線的對稱軸.

四、解答題(本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分,

19題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.已知橢圓C:[+W=l(a>6>0)的左右頂點距離為2而，離心率為1

ab2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)過點(0,1)且斜率不為。的直線/與橢圓C交于A,B兩點，求弦垂直平分線的縱截距的取值范圍.

22

【答案】⑴？+9=1

63

⑵(TO)

【分析】(D根據(jù)長軸長與橢圓的離心率求得。，仇c,進而得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)/：>-1=履與橢圓方程聯(lián)立后，得到韋達定理的形式，利用中點坐標(biāo)公式表示出。點坐標(biāo)，從而得

到r方程；令x=o可求得/'在y軸的截距，利用函數(shù)值域的求解方法可求得結(jié)果.

【詳解】(1)由題意，2a=2娓,即“=幾，

又e=￡=Y^,所以c=

a2

故〃=/-2=6_3=3,

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為旦+?=1.

63

(2)如圖,

由題意知：直線/的斜率上存在且不為零,

設(shè)/:y-l=履，丘0,4(%,,%),Ww，%)，A3中點

y—l=kx

聯(lián)立但+上,2,消去y并整理得：（1+2公）/+4區(qū)-4=0,

=1

I63

A>0恒成立,

x+x2k2/1

E4kXi2

則XY+X2=-2.2+］，?>,o=正幣‘%=5+1=1-

21+2/-1+2女2

2k1

-1+242'1+24

則/'方程為：y-y=-1(x-x),即y-112k

00龍

2

K,l+2k~k

11

化簡得：y=-—X-----------

k2k1+\

1

設(shè)直線/'在y軸上截距為m,令x=0得加=-

2二+1'

1

由0<vl可知一Iv根<0,

2r+1

所以直線/'在y軸上的截距的取值范圍為

16.在_ABC中，角A8,C所對的邊分別為〃也c.若2a+/?cosA-c=Z?tan5sinA.

⑴求6；

sinA+sinB

（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.

sinC

【答案】（1）8=5；

⑵,2+忖.

【分析】（1）利用邊化角及三角恒等變換公式整理計算即可;

sinA+sinB_A/311

（2）通過角的轉(zhuǎn)化，借助三角恒等變換公式，得到sinCC+i，利用

tan—

2

。的范圍，即可求出結(jié)果.

【詳解】（1）因為2a+灰x）sA-c="an5sinA,整理得

2a-c?...sinBsinA-cosAcosBcos(A+B)_cosC

=tan3smA-cosA=

b-------------------------------------cosBcosBcosB

所以2acosB—c.cosb=bcosC,

由正弦定理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA,

171

因為0<A<兀,0<<兀，所以sinAwO,cosB=—,所以B=—.

23

（2）因為“ABC為銳角三角形，B=W，所以0<C<:且0<W-C<g,

所以Ce

ATI、_LsinC4—+sin—/—

解法sinA+sinB(3J3v3cosC+11

sinCsinC2sinC2

仄2cos2—4

-_-W----.-------------2-----,-1--

2c.eC2

2sin——cos——

22

_幣11

+—

=2，

T\tan——c

2

因為］，所以梟tan*（2-后1）,

7311

所以萬.口+^^

tan—

2

sinA+sinB

即的取值范圍是

sinC

.「兀.兀

.-sinC4—+sin—/—

解法o.sinA+sinB_13)3_cosC+11

sinCsinC2sinC2

_G|(cosC+l)21_y/3I_21

~~T'Vl-cos2C+2~~2'Vl-cosC-+2)

即電竺粵電的取值范圍是［與1.2+石.

sinCI2)

17.最新研發(fā)的某產(chǎn)品每次試驗結(jié)果為成功或不成功，且每次試驗的成功概率為P(O<P<D.現(xiàn)對該產(chǎn)品

進行獨立重復(fù)試驗，若試驗成功，則試驗結(jié)束；若試驗不成功，則繼續(xù)試驗，且最多試驗8次.記X為試

驗結(jié)束時所進行的試驗次數(shù)，X的數(shù)學(xué)期望為E(X).

⑴證明:E(X)<L

(2)某公司意向投資該產(chǎn)品，若。=0.2,每次試驗的成本為以。>0)元，若試驗成功則獲利8a元，則該公司

應(yīng)如何決策投資？請說明理由.

【答案】(1)證明見解析；

(2)應(yīng)該投資，理由見解析

【分析】(1)由題意，X=l,2,3,...,8,p(x=k)=pQ-p)i,k=l,2,,7,P(X=8)=(l-p)7,列出分布列,

列出E(X),乘公比錯位相減法求和S=(l-p)°+2(l-py+3(l-p)2++7(1-p)6,分析可證明E(X)</；

(2)由(1)可得E(X)<，=5,分析即得解

P

【詳解】(1)由題意，X=1,2,3,...,8

故P(X=幻=0(1-p)k-',左=1,2,?,7,P(X=8)=(1-p)7

分布列如下：

X12345678

ppp(l-p)p(i-p)2P(1-OPP(l-P)4P(l-P)5PUR(1-P)7

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=p(l_p)°+2p(l-p)'+3p(l-p)2++7p(l-p)6+8(1-p)7,

記S=(1—p)°+2(1-py+3(1—p)2++7(1-pl,

(1一p)S=(1-+2(1-pF+3(1-獷++7(1-p)7,

作差可得，pS=(1—p)°+(1—p)'+(1—/?)2++(1-/7)6—7(1-/7)7=-——————7(l-p)7>

7

貝ijE(X)=ps+8(1-Py=+(i-P)=D<-；

ppp

(2)由(1)可知E(X)<，=5,則試驗成本的期望小于5a元，

P

試驗成功則獲利8a元，且8a>5°,則該公司應(yīng)該投資該產(chǎn)品

18.已知函數(shù)〃力=。*一￡^2,。>。且。工1.

⑴設(shè)g(x)=/?+ex,討論g(x)的單調(diào)性；

⑵若a>1且〃尤)存在三個零點網(wǎng),尤2,三.

1)求實數(shù)。的取值范圍；

、、、2e+l

2)設(shè)玉<冗2<%3，求證：X1+3%2+%3>?.

【答案】(1)答案見解析

2

(2)1)i<a<e第；2)證明見解析

【分析】⑴先求g(x)的導(dǎo)函數(shù)，再分類討論即可.

(2)1)根據(jù)/'(力存在三個零點%,々，三，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有三個交點，再根據(jù)最值可求.

2)根據(jù)三個零點所在區(qū)間，把要證明的式子分解為三個部分，分別求解后可得.

【詳解】(1)g⑶=兇+ex=+ex=更，g，⑺="Ina?=優(yōu)=f'(紇x-1),

XXXXX

因為a*>0,—>o,g(x)定義域為(-8,0)U(0,+oo)

當(dāng)a>1時,lna>0,解g'(x)>0,得天>^-，解g'(x)<0,得。<-，尤<。

當(dāng)。<“<1時,lna<0,解g'(x)>0,得解g'(x)<0,得0>%>工,尤>0

InaIna

綜上，當(dāng)a>l時，g(x)增區(qū)間為1—,+8j,g(x)減區(qū)間為(-℃,O)[o,：],

當(dāng)0<a<l吐8(%)增區(qū)間為，0,2)七(力減區(qū)間為(0,+(?),\\,0]

(2)1)因為/(》)=優(yōu)-小,。>1且/(x)存在三個零點，玉.

所以a*-e%2=0有3個根

當(dāng)xv0時，/(-1)=cTx-e<0/(0)=<7°>0,/'(%)="lna-2ex>0,

/(%)在(y,o)上是單調(diào)遞增的，由零點存在定理,方程必有一個負(fù)根.

1+21nx

當(dāng)x>0,xlna=l+21m:,即Ina=------有兩個根，

x

令《X)=1+21tH，可轉(zhuǎn)化為y=Ina與《X)=1+21tU有兩個交點

XX

,/、2-(l+21nx)l-21nx

—?一=1