廣東省廣州市2022-2023學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)

廣州市第二中學(xué)2022學(xué)年第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.若集合=則集合中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

2.與角-330終邊相同的最小正角是（）

A.-30B.330c.30D.60

若/（、）則（）的值為（

3.6+i=x+i,y3)

A.4B.5C.9D.10

4.己知幕函數(shù)/（%）=（加一3卜一'"在（0,+⑹為單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)加的值為（)

A.6B.±2c.2D.-2

f（；）的值為（

5.若/（%）=口〃（妙）（0＞0）的周期為1,則,)

「73

A-73B.--D.73

33

z=sinf—+2>1

6.已知實(shí)數(shù)次,y,z滿足x=4°,y=log3,，則（）

5(2)

A.z<x<yB.y<z<xC.z<y<xD.x<z<y

TT

7.已知弧長(zhǎng)為萬(wàn)cm的弧所對(duì)的圓心角為一，則這條弧所在的扇形面積為（）cm2

4

71

A.—B.nC.InD.4〃

2

8.已知函數(shù)/（%）是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)于％,x2e[0,4w）,且%，/，都有

//（%）＜0成立,若實(shí)數(shù)機(jī)滿足時(shí)（機(jī)）+（1-2機(jī)）/0—2機(jī)）＞0,則m的取值范圍是（）

X一工2

A.（-co,-l）B.（fl）C.（1,+co）D.（-l,+oo）

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，選錯(cuò)的得0分.

9.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）

A./⑺=/,g(x)=x：=cosx,g(x)=sin

x>0)

D./(x)=log4x,g(x)=log2Vx

-x(x<0)

10.下列說(shuō)法正確的是()

A.uac2>bc2”是“a>b”的充分不必要條件

B.“孫>?！笔恰皒+y>o”的必要不充分條件

C.“對(duì)任意一個(gè)無(wú)理數(shù)X,/也是無(wú)理數(shù)”是真命題

D.命題“去eR,丁+1=0”否定是“VxeR,x2+1^0)，

11.已知函數(shù)/(x)=2sin21ox-51(0>0)的最小正周期為兀，若加，ne[-2n,2TI\,且

/(m)-/(?)=4,則下列結(jié)論正確的是()

A.。的值為1B./(zn)=/(?)=-2

<571、

C.—,1是函數(shù)/(九)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.加一〃的最大值為3兀

12.已知函數(shù)〃x)=cos|■[x],其中國(guó)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，下列說(shuō)法正確的是(

A.函數(shù)y=f為偶函數(shù)

B.〃尤)的值域?yàn)閧—1,0,1}

C.”力為周期函數(shù)，且最小正周期T=4

D./(尤)與y=log71x—[的圖像恰有一個(gè)公共點(diǎn)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知.<0,則關(guān)于x的不等式2￡+(5+2a)x+5a<0的解集是.

14.—i----3―的值為.

cos80°cos10°

15.將函數(shù)/(x)=sin2%+三的圖像向左平移機(jī)(帆>0)個(gè)單位后得到的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則機(jī)的最

小值是.

J|logx|,0<x<2

已知函數(shù)=［2一，,g(x)=2，當(dāng)0<〃2<1時(shí)，關(guān)于X的方程g［/(%)］=7〃解

16.[3-x,%>2

的個(gè)數(shù)為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知集合4={14<%<2>},B=|x|x2+x-12>Oj.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求4°(備3卜

(2)若AcaB,求。的取值范圍.

「心sin2a-4sina

18.已知------------------=3o,ae

cos2。一4coso+l

⑴求tana和sin2a的值；

⑵若sin,=2sin求a+,的大小.

2—Y

19.已知函數(shù)〃%)=In----.

2+x

(1)判斷/(X)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并給出證明；

⑵求/(%)在區(qū)間［―1,1］內(nèi)的值域.

20.已知函數(shù)/(X)=2'+2(aeR)為定義在［—1,1］上的奇函數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)。的值;

717T

⑵設(shè)g(x)=/(sin2x),當(dāng)xe—,0(e>一)時(shí)，函數(shù),求。的取值范圍.

12

21.生產(chǎn)A產(chǎn)品需要投入年固定成本5萬(wàn)元，每年生產(chǎn)x萬(wàn)件(xeN*),需要另外投入流動(dòng)成本g(x)萬(wàn)元,

1,

一x+4x,0<x<7

2

且g(x)=<,每件產(chǎn)品售價(jià)為10元，且生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.

llx+--35,x>7

x

⑴寫(xiě)出利潤(rùn)p(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量次(萬(wàn)件)的函數(shù)解析式；(年利潤(rùn)=年銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本)

（2）年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，該產(chǎn)品的年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？

22.已知函數(shù)/（X）=f—2（a+l）x—a+1,aeR.

⑴若“X）在區(qū)間［一1』上不單調(diào)，求。取值范圍；

⑵已知關(guān)于x方程/（尤）+9+2龍|=0在區(qū)間（-1,2）內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

廣州市第二中學(xué)2022學(xué)年第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若集合"=則集合中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

求得ADB，由此判斷出中元素的個(gè)數(shù).

【詳解】依題意4。6={—1,0,1,2},有4個(gè)元素.

故選：D

【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合并集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.與角-330終邊相同的最小正角是（）

A.-30B.330C.30D.60

【答案】C

【解析】

【分析】

利用終邊相同的角的關(guān)系，求得與角-330終邊相同的最小正角.

【詳解】與角-330終邊相同的最小正角為-330+360=30.

故選：C

【點(diǎn)睛】本小題主要考查終邊相同的角，屬于基礎(chǔ)題.

3.若/（、6+l）=x+l,則/（3）的值為（）

A.4B.5C.9D.10

【答案】B

【解析】

【分析】

由?+1=3計(jì)算出x的值，由此求得/（3）的值.

【詳解】由4+1=3由解得x=4,所以/（3）=4+l=5.

故選：B

【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知暴函數(shù)"％）=（蘇—3卜5在（o,+8）為單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)加的值為（）

A.B.±2C.2D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)〃尤）為塞函數(shù)，求得用的可能取值，再由〃力在（0,+e）上的單調(diào)性，求得m的值.

【詳解】由于/（九）為募函數(shù)，所以療—3=1,根=±2,當(dāng)加=2時(shí)，/（九）=/在（0,+e）

上遞減，不符合題意，當(dāng)m=-2時(shí)/（尤）=/在（0,+。）上遞增，符合題意.

故選：D

【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)為幕函數(shù)求解析式，考查事函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

5.若/（%）=勿〃（妙）（0>0）的周期為1,則/（；）的值為（）

A.—石B.-立C.3D.73

33

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)/（%）的周期求得0,由此求得了]31的值.

【詳解】依題意T=—=1,?=71,/（%）=tan（TLX）,所以/佶]=tang=6.

co13J3

故選：D

【點(diǎn)睛】本小題主要考查正切函數(shù)的周期性，考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

6.已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足％=4°，）^=log53,z=sin[]+2；貝（）

A.z<x<yB.y<z<xC.z<y<xD.

x<z<y

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)的知識(shí)確定正確答案.

【詳解】x=4°=b

y=log53<log55=1,

/7J1I\兀

z=sinI—+2I=cos2,而萬(wàn)<2<兀，所以zvO,

2

所以z<y<x.

故選：C

77

7.己知弧長(zhǎng)為萬(wàn)cm的弧所對(duì)的圓心角為一，則這條弧所在的扇形面積為()m2

4C

71-

A.—B.nC.2?D.47

2

【答案】C

【解析】

【分析】

先求得扇形的半徑，由此求得扇形面積.

71,,

-=41

【詳解】依題意，扇形的半徑為兀，所以扇形面積為一RZuZTr.

72

故選：C

【點(diǎn)睛】本小題主要考查扇形半徑、面積有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

8.已知函數(shù)“可是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)于%,%?0,+8),且石彳馬，都有

%，(石)一4/(“)<。成立,若實(shí)數(shù)小滿足時(shí)(帆)+(1——2M>0,則根的取

%一%2

值范圍是()

A.(-oo,-l)B.C.(1,+co)D.

(-l,+oo)

【答案】C

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)F(%)=VW，根據(jù)F(x)的單調(diào)性和奇偶性化簡(jiǎn)不等式

+2m)/(1-2m)>0,進(jìn)而求得加的取值范圍.

【詳解】依題意，函數(shù)/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，/(-%)=/(%),

構(gòu)造函數(shù)歹(％)=4"(九)，貝I]F(-x)=-xf(-x)=-V(^)=-F(x),

所以歹(力是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

由于x2e[0,+s),且%彳々，都有--/(一)<0成立,

即尸（石）一尸（9）<0,所以/（同在［0,+8）上遞減,

否~X2

所以方（可在R上遞減.

由+—2m）/（l-2m）>0,

即F（m）+F（l—2m）>0,F（m）>—F（l—2m）,

即>F（2m—1）,

所以m<2m

所以m的取值范圍是（1,+8）.

故選：C

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，選錯(cuò)的得0分.

9.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）

A.f（t）=t2,g（x）=x2B./(x)=cosx,g(x)=sin^x+—

c小H?）2,g（x）=］；（：?）

D.f(x)=log4x,g(%)=log2Vx

【答案】ABD

【解析】

【分析】先判斷定義域是否相同，然后對(duì)解析式化簡(jiǎn)后判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系可得.

【詳解】〃。=/送（力=/對(duì)應(yīng)關(guān)系和定義域顯然相同，故A正確;

B選項(xiàng)中,因?yàn)間（x）=sin(x+^I=cosx,所以B正確;

C選項(xiàng)中，/（司=（?『的定義域?yàn)椋?,+8）,g（x）的定義域?yàn)镽,故C不正確;

x

D選項(xiàng)中，顯然/(x),g(x)的定義域都為(0,+8),X/(x)=log4x=log22x=^°§2-

g(x)=log2Vx=log2x^=-log2x,故D正確.

故選：ABD

10.下列說(shuō)法正確的是()

A."ac2>bc2”是“。>b”的充分不必要條件

B.“孫>。”是“x+y>?！钡谋匾怀浞謼l件

C.“對(duì)任意一個(gè)無(wú)理數(shù)X,/也是無(wú)理數(shù)”是真命題

D.命題"上'eR,V+i=o”的否定是“VxeR,x2+1^0)，

【答案】AD

【解析】

【分析】利用不等式的基本性質(zhì)結(jié)合特殊值法以及充分條件、必要條件的定義可判斷A選

項(xiàng)；利用特殊值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義可判斷B選項(xiàng)；利用特殊值法可判斷C

選項(xiàng)；利用存在量詞命題的否定可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若四？>反2,則,?>0,由不等式的性質(zhì)可得“>b,即“四？>bc2”

二>"a>b"，

若a>b,取c=0,則近2=灰2,即“近2>灰2"牛"a>b”,

故aac2>bc2J，是“a>b”的充分不必要條件，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，若孫>0,不妨取x=—l,y=—l,則x+y<0,即“孫>?！甭?/p>

“x+y>0”，

若x+y>0,取x=—l,y=2,則移<0,即“孫>0”及“x+y>0”，

所以，“孫>。”是“x+，>?！钡募炔怀浞忠膊槐匾獥l件，B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，取％=&為無(wú)理數(shù)，則9=2為有理數(shù)，C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，命題“IceR,好+1=0”的否定是“VxeR,f+i/o”，口對(duì).

故選：AD.

11.已知函數(shù)/(xjuZsinz/x—f(<y>0)的最小正周期為兀，若加，ne[-2n,2TI],

且/(加>/(")=4,則下列結(jié)論正確的是()

A.。的值為1B./(m)=/(?)=-2

(5兀、

C.—,1是函數(shù)/(%)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.m一”的最大值為3兀

16；

【答案】ACD

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)/(%)的解析式，根據(jù)/(九)的最小正周期求得。，再結(jié)合/(尤)的最值、對(duì)

稱中心對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

[詳解]/(x)=2sin=1-cos——,

由于/(%)的最小正周期為兀，

所以T=--=兀,口=1,A選項(xiàng)正確.

2a)

所以/(X)=1—cos,由于—1<cos<1,—1<—cos<1,

所以041一cos[2x一巳)V2,

當(dāng)m,ne[—2兀，2可時(shí),要使/(〃)./(")=4,!UiJ/(m)=/(n)=2,B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

所以—,1是函數(shù)/(九)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，C選項(xiàng)正確.

16；

I7T17C7兀

當(dāng)/(%)=2時(shí),cos2x--=-1,2x——=2kjt+Tt,x=kjt+—,keZ,

<6J612

,_77兀cw31717

由一2兀<fan---W2兀，解得----<k<——,

121212

所以左=—2,—1,0,1,

771r7兀、..

所以加一幾的最大值為兀+；——2兀+==3兀，D選項(xiàng)正確.

12I12)

故選：ACD

12.己知函數(shù)/(x)=cos'國(guó)],其中國(guó)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，下列說(shuō)法正確的是

()

A.函數(shù)y=+為偶函數(shù)

B.〃尤)的值域?yàn)閧-1,0,1}

C.“X)為周期函數(shù)，且最小正周期T=4

D.〃力與y=log71%-1|的圖像恰有一個(gè)公共點(diǎn)

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用特殊值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，證明可能正確的選項(xiàng)正確.

【詳解】對(duì)于A,由于/[—g+g)=/(0)=cos0=l,

=品。所以：下4一］,所以丁=小+：不是偶

函數(shù)，故A錯(cuò)；

對(duì)于B,由于區(qū)為整數(shù)，3［司=—5(左€2).〃111左1］的值有口一1/三種情況，所以

/(力的值域?yàn)椋?,—1,1｝故8正確；

對(duì)于C,由于［%+4］=印+4,所以

〃x+4)==cos泗+2兀/(x),故C正確;

對(duì)于D,由8得/(%)€{0,-1,1},令log7k-1|=0,得x=2或X=O,而

/(2)=cos7i=-L,〃0)=cos0=l不是公共點(diǎn)的橫坐標(biāo),令log7k-1|=0,得％=8或

%=一6,而/⑻=cos4兀=lj(-6)=cos(-37i)=cos7i=—l,所以(8,1)是兩個(gè)函數(shù)圖

o6

像的一個(gè)公共點(diǎn).令10g7K—［=-1，得了=1或1=—，而

=cos^=0,/Rj=COSO=1,所以不是兩個(gè)函數(shù)圖像的一個(gè)公共點(diǎn).

綜上所述，兩個(gè)函數(shù)圖像有一個(gè)公共點(diǎn)(8,1),故D正確.

故選：BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知a<0,則關(guān)于x的不等式2f+(5+2a)x+5a<0的解集是.

【答案】｛x|—5<x<-a｝

【解析】

【分析】將不等式的左邊進(jìn)行因式分解，然后比較一。和-之的大小，再利用一元二次不等

2

式的解法即可求解.

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式2%2+(5+2“卜+5。<0可化為：

(2x+5)(x+a)<0,又因?yàn)閍<0,所以一?！狄涣?

2

所以不等式(2x+5)(x+a)<0的解集為｛x|<x<—a｝,

則關(guān)于x的不等式2*2+（5+2a）x+5a<0的解集是{x|—5<x<—a},

故答案為：{x|—/<x<—a}.

14.」-------Y1—的值為.

cos80°cos10°

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)三角恒等變換的知識(shí)進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而求得正確答案.

【詳解】_i--------旦

cos80°cos10°

_cos100-A/3COS80°

cos80°cos10°

_sin800-A/3COS80°

cos80°cos10°

（1J3）

2-sin80°-—cos80°

,I22J

cos80°cos10°

_2sin（80°-60°）

cos80°cos10°

2sin20。

cos80°cos10°

_2x2xsinl0°cosl0°_/1

sin10°cos10°

故答案為：4

15.將函數(shù)"x）=sin[2x+m]的圖像向左平移機(jī)（機(jī)>0）個(gè)單位后得到的圖像關(guān)于y軸

對(duì)稱，則m的最小值是.

JT1

【答案】12##1271

【解析】

【分析】求得平移后的函數(shù)解析式，然后根據(jù)對(duì)稱性求得加的取值范圍，進(jìn)而求得冽的最

小值.

【詳解】函數(shù)/（x）=sin[2x+三,勺圖像向左平移機(jī)（機(jī)>0）個(gè)單位后，

得到y(tǒng)=sin2(x+m)+^-=sinf2x+2m+-1j,其圖像關(guān)于>軸對(duì)稱,

LLIz-\兀1兀klL兀7r

所以277tH---=kitH----,TYl------1----,KGZ,

32212

ir

由于加〉0,所以加最小值為

jr

故答案為：--

12

16.己知函數(shù)/(%)=|2一'—1|,8(力=”°；2乂;;：2,當(dāng)0〈機(jī)<1時(shí)，關(guān)于x的方程

g[f(%)]=m解的個(gè)數(shù)為.

【答案】4

【解析】

|,0<x<2

【分析】令，=/(%),得到g?)=%由g(x)=的圖象得到根t的分

x.x>2

布，再由

/(力=|2-「1|的圖象，得到/=/(%)的根的個(gè)數(shù)即可.

【詳解】解：令/=/(%),則g"(x)]=7〃，化為g?)=W,

Hx)=f|log240<x<2

的圖象如圖所示:

3-%,x>2

因?yàn)?<m<1,

所以g(1)=加有三個(gè)不同的根444，其中4e(O,l),Z2e(l,2),Z3e(2,3)，

函數(shù)/(x)=上工一1]的圖象如圖所示：

w

，i廠y%廠

-X4X3x\\O~^2X

由圖象知：4=/(%)有2個(gè)不同的根，/2=/(x)有1個(gè)根，/3=/(*)有1個(gè)根，

所以當(dāng)?！礄C(jī)<1時(shí)，關(guān)于x的方程g[/(%)]=加解的個(gè)數(shù)為4,

故答案為：4

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟.

17已知集合A={x，<x<2a},B=|x|x2+x—12>oj.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求

(2)若4口備8,求。的取值范圍.

【答案】(1)40(傘3)={才-4<%<4}

⑵]-力，|

【解析】

【分析】(1)解一元二次不等式求得集合3,由補(bǔ)集和并集的定義可運(yùn)算求得結(jié)果；

(2)分別在A=0和Aw0兩種情況下，根據(jù)交集為空集可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

由題意得A={x[2<x<4},5={乂％?-4或x?3},

為3={尤|-4<尤<3},

Au低5)={乂-4<x<4}.

【小問(wèn)2詳解】

Ac3RB,

當(dāng)aWO時(shí)，A=0,符合題意，

3

當(dāng)。>0時(shí)，由2aW3,得0<a<一,

2

故a的取值范圍為［一"，5

sin2a-4sina

18.已知=3,aG

cos2。一4cos。+1

⑴求tana和sin2a的值；

(2)若sin,=2sin|,J,[3el0,-|j,求a+'的大小.

3

【答案】(1)tanor=3,sin2(z=—；

3兀

⑵彳

【解析】

【分析】(1)結(jié)合二倍角公式，商數(shù)關(guān)系即可化簡(jiǎn)求得tan1=3,以及sin2a=3以

tan。+1

求值;

(2)條件等式由誘導(dǎo)公式可得sin/7=2cos尸ntan尸=2,即可由和差公式求得

tan(o+/?),結(jié)合a+尸范圍即可.

【小問(wèn)1詳解】

sin2a-4sina2sinacos。-4sin。2sina(cos2)

=3—：-tanCL—

cos2。一4cos。+12cosa-4cosa2cos。(cos。-2)

,入2sinocos。2tanor3

sm2。=——----------二——z-------二一；

sina+cosatana+15

【小問(wèn)2詳解】

sin/?=2sin|—+/?|=2cos/?ntan/?=2,

tanQ+mJana+tanl-i,

1-tanatanp

3兀

*.*a+0e(0,Ji),??oc/3—.

2—x

19.已知函數(shù)/(x)=ln-

2+x

(1)判斷/(%)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并給出證明;

⑵求/(X)在區(qū)間［—1,1］內(nèi)的值域.

【答案】(1)單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析

，，

(2)In耳1,In3c

【解析】

【分析】(1)利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)與反比例函數(shù)的單調(diào)性，可得答案，

利用單調(diào)性的定義證明即可；

(2)根據(jù)⑴所得的函數(shù)單調(diào)性，可得其最值，可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

由函數(shù)〃x)=ln濘=ln二手上±=ln，l+｝］,則函數(shù)/(x)在其定義域上單

調(diào)遞減.

證明如下：

2—x9—X

由函數(shù)/(x)=ln-則一->0,(2-x)(2+x)>0,(x—2)(x+2)<0,解得

2+x2+x

-2<x<2,即函數(shù)的定義域?yàn)?—2,2),

取任意％,X2G(—2,2),設(shè)石<龍2,

4+2%1y2

/(Xi)_/(X2)=ln^-ln^=lnf^-^Kln^-^,

2+%|2+(2+須2—%2J4+2(王一馬)—石/

由王<%2，貝！］再一犬2<0<%2_芯，即4+2(玉—%2)_玉％2<4+2(%2_玉)一石％2，故

4+25_%1)一中2］

4+2(%-x2)-xrx2

所以/(%)>/(%)，則函數(shù)/(%)在其定義域上單調(diào)遞減.

【小問(wèn)2詳解】

由⑴可知函數(shù)/(%)在其定義域上單調(diào)遞減，則函數(shù)〃尤)在［-11］上

/何四=/(—1)=m3,/(x)min=/(l)=ln|,

所以函數(shù)/(%)在［—1』上的值域?yàn)閘n1,ln3.

20.已知函數(shù)/(力=2"+/(aeR)為定義在［—1』上的奇函數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)a的值；

⑵設(shè)g(x)=/(sin2x),當(dāng)xe-^-,0(￡>2L)時(shí)，函數(shù)g(x)的最小值為也，求。的

_12」122

取值范圍.

【答案】⑴a=—1

兀八，5兀

(2)——

1212

【解析】

【分析】(1)由/(。)=0求得。的值.

(2)求得g(x)的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合三角函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、最值等知識(shí)求得。的

取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

由于函數(shù)〃%)=2,+2是定義在［-1,1］上奇函數(shù),

所以〃。)=1+〃=。，"=—1"(%)=2允—2：經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

【小問(wèn)2詳解】

g(x)=/(sin2x)=2sin2x-2-sin2x,

-<x<0,-<2x<20,

126

令/=sin2x,/z(，)=2'—21

所以丸⑺是奇函數(shù)，且力⑺在R上單調(diào)遞增,

7T]出二2:2』一1_V2

當(dāng)/=sin—=—時(shí)，h

6272-2

要使g(x)的最小值為也，則f=sin2x?L

22

LL…兀/C/5兀LL…兀C八/5兀71八/571

所以一—,所以一一,一<0<一.

66661212

21.生產(chǎn)A產(chǎn)品需要投入年固定成本5萬(wàn)元，每年生產(chǎn)x萬(wàn)件(xeN*),需要另外投入流動(dòng)

1

—X9+4x,0<x<7

2

成本g(x)萬(wàn)元,且g(x)=<,每件產(chǎn)品售價(jià)為10元，且生產(chǎn)的產(chǎn)品

llx+--35,x>7

X

當(dāng)年能全部售完.

(1)寫(xiě)出利潤(rùn)?(X)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量X(萬(wàn)件)的函數(shù)解析式；(年利潤(rùn)=年銷售收入-固定成

本-流動(dòng)成本）

（2）年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，該產(chǎn)品的年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？

【答案】（l）p（x）=<

30—A1

,(x>7,xeN*

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為7萬(wàn)件時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為U1萬(wàn)元.

7

【解析】

【分析】（1）根據(jù)“年利潤(rùn)=年銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本”求得"（了）.

⑵結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式求得正確答案.

【小問(wèn)1詳解】

——+6%—5,(0<%<7,九￡N

依題意，p(x)=10x-5-g(x)=<

30-x+—\(x>7,xeN：

【小問(wèn)2詳解】

—-+6x-5,(0<%<7,%wN

由⑴得P(x)=<

30—卜+手

,(%>7,xeN*

當(dāng)0<%<7,所