6.2.1-6.2.2排列與排列數(shù)-2023-2024學年高二數(shù)學新教材（人教A版2019選擇性）（原卷版）

6.2.16.2.2排列與排列數(shù)[核心素養(yǎng)·學習目標]課程目標學科素養(yǎng)A.理解并掌握排列、排列數(shù)的概念,能用列舉法、樹狀圖法列出簡單的排列.B.掌握排列數(shù)公式及其變式,并能運用排列數(shù)公式熟練地進行相關計算.C.掌握有限制條件的排列應用題的一些常用方法,并能運用排列的相關知識解一些簡單的排列應用題.1.數(shù)學抽象：排列的概念2.邏輯推理：排列數(shù)的性質(zhì)3.數(shù)學運算：運用排列數(shù)解決計數(shù)問題4.數(shù)學建模：將計數(shù)問題轉(zhuǎn)化為排列問題重點：理解排列的定義及排列數(shù)的計算難點：運用排列解決計算問題課前預習課前預習預習01排列、排列數(shù)與排列數(shù)公式排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列排列數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Aeq\o\al(m,n)表示排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)…(n－m＋1)，這里n，m∈N＋，并且預習02全排列、階乘的概念及相關性質(zhì)1.(1)全排列：n個不同元素全部取出的一個排列．(2)n的階乘：正整數(shù)由1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n！表示．(3)階乘的相關應用：①規(guī)定：0?。剑虎谂帕袛?shù)公式的另一種形式：Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)．2．排列數(shù)的性質(zhì)①Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1)；②Aeq\o\al(m,n)＝．知識講解知識講解知識點01排列1、定義：一般地，從個不同元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做個不同元素中取出個元素的一個排列。排列定義的兩個要素：一是“取出元素”，二是“將元素按一定順序排列”2、相同排列：兩個排列相同，當且僅當排列的元素相同，且元素的排列順序也相同。3、對排列概念的兩個關注點：（1）順序性：每一個排列不僅與選取的元素有關，而且還與元素的排列順序有關，選取的元素不同或雖元素相同但元素的排列順序不同時叫做不同的排列，只有當兩個排列的元素完全相同且元素的順序完全一樣時才是相同的排列。（2）選排列與全排列：在定義中規(guī)定，如果，一般稱為選排列；如果，則稱為全排列。知識點02排列數(shù)1、定義：從個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示。2、全排列：個不同的元素全部取出的一個排列，叫做個元素的一個全排列，且階乘：正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘，用表示。3、排列數(shù)公式：特別的：（且）；規(guī)定：知識點03有限制條件排列問題常見類型1、解有“相鄰元素”的排列問題的方法對于某些元素必須相鄰的排列，通常采用“捆綁法”，即把相鄰元素看作一個整體和其他元素一起參與排列，再考慮這個整體內(nèi)部各元素間的順序。2、解有“不相鄰元素”的排列問題的方法對于某些元素不相鄰的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每兩個元素之間形成“空”，然后將不相鄰的元素進行“插空”?！敬笳锌偨Y】大招1判斷一個具體問題是否為排列問題的思路大招2樹形圖的畫法（1）確定首位，以哪個元素在首位為分類標準進行確定首位．（2）確定第二位，在每一個分支上再按余下的元素，在前面元素不變的情況下定第二位并按順序分類．（3）重復以上步驟，直到寫完一個排列為止．大招3簡單的排列問題對于簡單的排列問題，其解題思路可借助分步乘法計數(shù)原理進行，即采用元素分析法或位置分析法求解．大招4排列數(shù)公式的選擇（1）排列數(shù)公式的乘積形式適用于計算排列數(shù)．（2）排列數(shù)公式的階乘形式主要用于與排列數(shù)有關的證明、解方程和不等式等問題，具體應用時注意階乘的性質(zhì)，提取公因式，可以簡化計算．大招5相鄰問題相鄰問題捆綁法大招6不相鄰問題不相鄰問題插空法大招7定序問題定序問題先選后排大招8間接法間接法正難則反典型例題典型例題題型01排列的概念【例1】下列問題是排列問題的是（

）A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2022個不同的點，且任意三點不共線，連接任意兩點可以構成多少條線段？C．集合的含有三個元素的子集有多少個？D．從高三（19）班的54名學生中選出2名學生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節(jié)目，有多少種選法？【答案】D【解析】A中握手次數(shù)的計算與次序無關，不是排列問題；B中線段的條數(shù)計算與點的次序無關，不是排列問題；C中子集的個數(shù)與該集合中元素的次序無關，不是排列問題；D中，選出的2名學生，如甲、乙，其中“甲參加獨唱、乙參加獨舞”與“乙參加獨唱、甲參加獨舞”是2種不同的選法，因此是排列問題．故選：D【變式】下面問題中，是排列問題的是（

）A．由1，2，3三個數(shù)字組成無重復數(shù)字的三位數(shù)B．從40人中選5人組成籃球隊C．從100人中選2人抽樣調(diào)查D．從1，2，3，4，5中選2個數(shù)組成集合【答案】A【解析】根據(jù)排列及排列數(shù)的定義，可得：對于A中，由1，2，3三個數(shù)字組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，符合排列的定義，是排列問題；對于B中，從40人中選5人組成籃球隊，與順序無關的問題，不是排列問題；對于C中，從100人中選2人抽樣調(diào)查，與順序無關的問題，不是排列問題；對于D中，從1，2，3，4，5中選2個數(shù)組成集合，與順序無關的問題，不是排列問題.故選：A.題型02畫樹形圖寫排列【例2】從語文、數(shù)學、英語、物理4本書中任意取出3本分給甲、乙、丙三人，每人一本，試將所有不同的分法列舉出來．【解析】從語文、數(shù)學、英語、物理4本書中任意取出3本，分給甲、乙、丙三人，每人一本，相當于從4個不同的元素中任意取出3個元素，按“甲、乙、丙”的順序進行排列，每一個排列就對應著一種分法，所以共有（種）不同的分法．不妨給“語文、數(shù)學、英語、物理”編號，依次1，2，3，4，畫出樹形圖如圖．由樹形圖可知，按甲、乙、丙的順序分的分法為：語數(shù)英

語數(shù)物

語英數(shù)

語英物

語物數(shù)

語物英數(shù)語英

數(shù)語物

數(shù)英語

數(shù)英物

數(shù)物語

數(shù)物英英語數(shù)

英語物

英數(shù)語

英數(shù)物

英物語

英物數(shù)物語數(shù)

物語英

物數(shù)語

物數(shù)英

物英語

物英數(shù)【變式】寫出下列問題的所有排列：（1）北京、廣州、南京、天津4個城市相互通航，應該有多少種機票？（2）A、B、C、D四名同學排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少種不同的排列方法？【解析】(1)列出每一個起點和終點情況，如圖所示.故符合題意的機票種類有：北京廣州，北京南京，北京天津，廣州南京，廣州天津，廣州北京，南京天津，南京北京，南京廣州，天津北京，天津廣州，天津南京，共12種.(2)因為A不排第一，排第一位的情況有3類(可從B、C、D中任選一人排)，而此時兼顧分析B的排法，列樹形圖如圖.所以符合題意的所有排列是：BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14種.題型03簡單的排列問題【例3】10名學生排成兩排照相，每排5人，共有多少種不同的排列方式？【解析】將第一排的5個位置從左至右編號，號碼分別為1到5；再將第二排的5個位置從左至右編號，號碼分別為6到10．這樣，問題就轉(zhuǎn)化為：10名學生排在編號為1到10的十個位置上，共有多少種不同的排法？這時，完成一個排列可以分為以下十個步驟：第一步：確定坐在1號位上的學生，有10種方法；第二步：確定坐在2號位上的學生，有9種方法；……第k步：確定坐在k號位上的學生，有11—k種方法；……第十步：確定坐在10號位上的學生，有1種方法．根據(jù)乘法原理，不同的排法數(shù)為．【變式】（1）有5個不同的科研小課題，從中選3個安排高二年級的3個課外興趣小組參加，每組一個課題，共有多少種不同的安排方法？（2）有5個不同的科研小課題，高二年級的3個課外興趣小組報名參加，每組限報一個，共有多少種不同的報名方法？【解析】（1）從5個不同的課題中選出3個，安排課外興趣小組來參加，對應于從5個元素中取出3個元素的一個排列．因此，共有種不同的安排方法．（2）每個小組都可從5個不同的課題中選報一個，因此第一小組有5個不同的課題可以選擇，第二小組也有5個不同的課題可以選擇，第三小組仍然有5個不同的課題可以選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一共有種不同的報名方法．題型04排列數(shù)公式的應用【例4】求證：(1)；(2)．【解析】（1）證明：.（2）證明：.【變式】規(guī)定，其中，m為正整數(shù)，且，這是排列數(shù)（n，m是正整數(shù)，且）的一種推廣.（1）求的值.（2）排列數(shù)的兩個性質(zhì)①，②（n，m是正整數(shù)，且）是否都能推廣到（，m是正整數(shù)）的情形？若能推廣，寫出推廣的形式并給予證明；若不能，請說明理由.【解析】（1）.（2）性質(zhì)①，②均可推廣，推廣的形式分別是：①，②（，m是正整數(shù)）事實上，在①中，當時，左邊，右邊，等式成立；當時，左邊右邊，因此（，m是正整數(shù)）成立.在②中，當時，左邊右邊，等式成立；當時，左邊右邊，因此（，m是正整數(shù)）成立.題型05相鄰問題【例5】某學校高二（1）班上午安排語文、數(shù)學、英語、體育、物理門課，要求第一節(jié)不安排體育，語文和數(shù)學必須相鄰，則不同的排課方法共有（）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【解析】先考慮第一節(jié)安排體育課，語文和數(shù)學必須相鄰，則將數(shù)學與語文捆綁，形成一個大元素，將這個大元素與英語、物理課進行排序，共有種排法；接下來只考慮語文和數(shù)學必須相鄰的情形，只需將數(shù)學與語文捆綁，形成一個大元素，將這個大元素與其余門課進行排序，共有種排法.由間接法可知，不同的排法種數(shù)為種.故選：B.【變式】甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【解析】若甲站在排頭，則丙和丁相鄰，則共有種方法，若甲站在排尾，則丙和丁相鄰，則共有種方法，則共有：種方法.故選：B.題型06不相鄰問題【例6】某小組兩名男生和兩名女生邀請一名老師排成一排合影留念，要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相鄰，老師不站在兩端，則不同的排法共有（

）A．48種 B．32種 C．24種 D．16種【答案】B【解析】當老師從左到右排在第二或第四位時，共有種排法，當老師從左到右排在第三位時，共有種排法，于是共有種排法.故選：B.【變式】亞運會火炬?zhèn)鬟f，假設某段線路由甲、乙等6人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙不從甲手中接棒，則不同的傳遞方案共有（

）A．288種 B．360種 C．480種 D．504種【答案】C【解析】先安排甲乙以外的個人，然后插空安排甲乙兩人，所以不同的傳遞方案共有種.故選：C題型07定序問題【例7】在8所高水平的高校代表隊中，選擇5所高校進行航模表演.如果、為必選的高校，并且在航模表演過程中必須按先后的次序（、兩高校的次序可以不相鄰），則可選擇的不同航模表演順序有_______.【答案】1200.【解析】從8所高校中選出5所，除去、還需要選3所，選法是種，當、兩高校不相鄰時，不同的表演順序有，當、兩高校相鄰時，不同的表演順序有，因此可選擇的不同航模表演順序有種.故答案為：1200.【變式】期中安排考試科目9門，語文，數(shù)學，英語三門課的前后順序已經(jīng)確定，則期中考試不同的安排順序有______種．【答案】60480【解析】解法一：空位法．語文，數(shù)學，英語的前后順序已經(jīng)確定，先排除了語文，數(shù)學，英語之外的6科，總共有種排法，剩下三個位置給語文，數(shù)學，英語，因為它們的順序確定，只有一種方法，故共有60480種排法．解法二：插空法．語文，數(shù)學，英語的前后順序已經(jīng)確定，先排語文，數(shù)學，英語，只有一種排法，然后再讓剩下6科逐個插空，總共有種排法．解法三：除法．9門課程任意排，總共有種排法．語文，數(shù)學，英語有種排法．因為語文，數(shù)學，英語的前后順序已經(jīng)確定，所以總共有種排法．故答案為：60480題型08間接法【例8】某人根據(jù)自己愛好，希望從中選2個不同字母，從中選3個不同數(shù)字編擬車牌號，要求前3位是數(shù)字，后兩位是字母，且數(shù)字2不能排在首位，字母和數(shù)字2不能相鄰，那么滿足要求的車牌號有（

）A．198個 B．180個 C．216個 D．234個【答案】A【解析】當2在首位時，在任選兩個數(shù)在余下兩個數(shù)字位上全排有，從任選兩個字母在字母位上全排有；當2與Z相鄰時，即2在數(shù)字位的最后，Z在字母位的最前面，再從任選兩個數(shù)在余下兩個數(shù)字位上全排有，從任選一個字母放在字母位的最后有；所以當2在首位和2與Z相鄰的情況共有種，而任選3個數(shù)字在數(shù)字位全排，任選2個字母在字母位全排共有種，所以滿足要求的車牌號有種.故選：A【變式】小李和父母、爺爺奶奶一起排隊去做核酸，5人排成一列（他們之間沒有其他人）.若小李的父母至少有一人與他相鄰，則不同排法的總數(shù)為（

）A．84 B．78 C．108 D．96【答案】A【解析】爺爺奶奶和父母中的一人，三人成列有種，隊列有4個空，小李與父母中另一人相鄰有種，再作為整體插入隊列中有種，所以共有種；爺爺奶奶兩人成列有種，隊列有3個空，小李與父母都相鄰有種，再作為整體插入隊列中有種，所以共有種；綜上，共有種.故選：A強化訓練強化訓練1．張老師與甲?乙等5名學生畢業(yè)合照，要求照相時師生站成一排，則張老師必須站排頭或排尾，且甲與乙站在一起的概率為（

）A． B． C． D．2．甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法有（

）A．128種 B．96種 C．72種 D．48種3．甲，乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰，共有排法（

）A．72種 B．36種 C．144種 D．108種4．如圖所示，將四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)為（

）

A．120 B．96 C．72 D．485．“繽紛藝術節(jié)”是西大附中的一個特色，學生們可以盡情地發(fā)揮自己的才能，某班的五個節(jié)目（甲?乙?丙?丁?戊）進入了初試環(huán)節(jié)，現(xiàn)對這五個節(jié)目的出場順序進行排序，其中甲不能第一個出場，乙不能第三個出場，則一共有（

）種不同的出場順序.A．72 B．78 C．96 D．1206．將5個1，5個2，5個3，5個4，5個5共25個數(shù)填入一個5行5列的表格內(nèi)（每格填入1個數(shù)），使得同一行中任何兩數(shù)之差的絕對值不超過2，設第行的所有數(shù)的和為（，2，3，4，5），為，，，，中的最小值，則m的最大值為（

）A．8 B．9 C．10 D．117．某學校廣播站有6個節(jié)目準備分2天播出，每天播出3個，其中學習經(jīng)驗介紹和新聞報道兩個節(jié)目必須在第一天播出，談話節(jié)目必須在第二天播出，則不同的播出方案共有（

）A．108種 B．90種 C．72種 D．36種8．某校王老師帶著2名女生和3名男生去參加數(shù)學建模比賽，比賽結束要進行拍照留念，若王老師不站在兩端，2名女生相鄰，則不同的站法共有（

）A．120種 B．144種 C．158種 D．186種9．某中學的3名男生和2名女生參加數(shù)學競賽，比賽結束后，這5名同學排成一排合影留念，則下列說法正確的是（

）A．若要求2名女生相鄰，則這5名同學共有48種不同的排法B．若要求女生與男生相間排列，則這5名同學共有24種排法C．若要求2名女生互不相鄰，則這5名同學共有72種排法D．若要求男生甲不在排頭也不在排尾，則這5名同學共有72種排法10．已知某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過5道工序，則下列說法正確的是（

）A．若其中某道工序不能放在最后，有96種加工順序B．若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有72種加工順序C．若其中某2道工序必須相鄰，有48種加工順序D．若其中某2道工序不能相鄰，有36種加工順序11．在高二元旦晚會上，有個演唱節(jié)目，個舞蹈節(jié)目．以下有關排列組合問題中正確的是（

）A．有種不同的節(jié)目演出順序B．當個舞蹈節(jié)目接在一起時，有種不同的節(jié)目演出順序C．當要求每個舞蹈節(jié)目之間至少安排個演唱節(jié)目時，有種不同的演出順序D．若已定好節(jié)目單，后來情況有變，需加上詩歌朗誦和快板個節(jié)目，但不能改變原來節(jié)目的相對順序，有種不同的節(jié)目演出順序12．甲、乙、丙、丁、戊五名同學站一排，下列結論正確的是（

）A．不同的站隊方式共有種B．若甲和乙相鄰，則不同的站隊方式共有種C．若甲、乙、丙站一起，則不同的站隊方式共有種D．甲不在兩端，則不同的站隊方式共有種13．用1，2，3，4，5，6寫出沒有重復數(shù)字的六位數(shù)中，滿足相鄰的數(shù)字奇偶性不同的數(shù)有個.14．身高各不相同的六位同學A、B、C、D、E、F站成一排照相，A、C、D三位同學必須站在一起，且A只能在C與D的中間，共