2024年山東省淄博市臨淄區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期期中質(zhì)量檢測

初四數(shù)學(xué)試題

本試卷共8頁，滿分150分，考試時間120分鐘.考試結(jié)束后.

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將學(xué)校、班級、姓名、考試號、座號填寫在答題卡

和試卷規(guī)定位置.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆涂黑答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號；如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.

3.非選擇題必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，字體工整、筆跡清晰，寫在答題卡各題目指定區(qū)

域內(nèi)；如需改動，先劃掉原來答案，然后再寫上新答案.嚴(yán)禁使用涂改液、膠帶紙、修正帶修

改.

4.保證答題卡清潔、完整，嚴(yán)禁折疊，嚴(yán)禁在答題卡上做任何標(biāo)記.

5.評分以答題卡上的答案為依據(jù).不按以上要求作答的答案無效.

一、選擇題（本題共10小題，在每小題所給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確

的選項填在下面的表中.每小題4分，滿分40分，錯選、不選、多選，均記0分.）

1.某體育場有10000個座位，10000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.IxlO4B.O.lxlO5C.10xl04D.10xl03

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法進(jìn)行解答即可.

【詳解】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式a*10",l<o<10,可確定a=l,〃值等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1,可

確定〃=4,

.?.10000用科學(xué)記數(shù)法表示為：1x104.

故選：A

正五邊形

其中是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的共有（）

第1頁/共27頁

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念判斷即可.

【詳解】解：正方形和圓既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形；等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱

圖形；正五邊形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，

故選：C.

【點睛】本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的識別，解題的關(guān)鍵是掌握中心對稱圖形和軸對稱圖形的

概念，把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫

做中心對稱圖形；如果一個平面圖形沿一條直線折疊直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對

稱圖形.

3.下列運算正確的是（）

34325

A.a-cr=aB.3a—a=3C.aa=aD.（/）=a

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了同底數(shù)幕的運算法則，合并同類項，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)塞相乘（除），底數(shù)

不變，指數(shù)相加（減）；幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方，把每個因式分別乘方；合并同類項，

字母和相同字母指數(shù)不變，只把系數(shù)相加減.據(jù)此逐個判定即可.

23

【詳解】解：A、a-a=a,故A正確，符合題意；

B、3。一。=2。，故B不正確，不符合題意；

C、故C不正確，不符合題意；

D、故D不正確，不符合題意；

故選：A.

4.一組數(shù)據(jù)3,3,4,6,8,9的中位數(shù)是（）

A.4B.5C.5.5D.6

【答案】B

【解析】

【詳解】試題分析：數(shù)據(jù)3,3,4,6,8,9的中位數(shù)是：（4+6）+2=5,故選B.

考點：中位數(shù)；統(tǒng)計與概率.

第2頁/共27頁

x+3〉0

5.不等式組〈0,八的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

2x-4<0

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)解不等式組的一般步驟解不等式組，求出不等式組的解集即可判斷.

x+3〉0

【詳解】解：

2x—4W0

解①得，x>-3,

解②得，xW2,

不等式組的解集是-3<xW2,表示在數(shù)軸上如下:

-3-2-1012

故選：c.

【點睛】此題考查的是解不等式組，掌握解不等式組的一般步驟、解集的取法和用數(shù)軸表示解集是解決此

題的關(guān)鍵.

6.如圖，直線。〃6,若Nl=24。，ZA=46°,則/2等于（）

A.46°B.70°C.40°D.30°

【答案】B

【解析】

第3頁/共27頁

【分析】如詳解中圖，先根據(jù)對頂角相等得出的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)得出/3,即可由平

行線的性質(zhì)求出N2的度數(shù).

【詳解】如圖，

A

VZ1=24°,

ZADB=Z1=24°.

???/3是△ABO的外角，

Z3=ZA+ZADB=46°+24°=70°.

?.?直線?！?,Z3=70°,

.*.Z2=Z3=70°.

故選B.

【點睛】本題考查對頂角的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，證法不唯一，屬于基礎(chǔ)題，難度較

小，需要熟練掌握基本知識.

k

7-設(shè)點A（xi,yi）和點B（X2,y2）是反比例函數(shù)y=—圖象上的兩點，當(dāng)xi<X2<0時，yi>y2,則一次函數(shù)

x

y=-2x+k的圖象不經(jīng)過的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】如圖1,根據(jù)當(dāng)xi<x2<0時，yi>y2可知：反比例函數(shù)y='圖象上，y隨x的增大而減小，得k

x

>0；如圖2,再根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)：-2<0,所以圖象在二、四象限，由k>0得，與y軸交于正半軸，得

出結(jié)論.

【詳解】解：?.,當(dāng)xi<X2<0時，yi>y2,

...反比例函數(shù)丫=&圖象上，y隨x的增大而減小，

x

第4頁/共27頁

.??圖象在一、三象限，如圖1,

；.k>0,

...一次函數(shù)y=-2x+k的圖象經(jīng)過二、四象限，且與y軸交于正半軸,

...一次函數(shù)y=-2x+k的圖象經(jīng)過一、二、四象限，如圖2,

故選C.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，知道：①當(dāng)k>0,雙曲線的兩支分別位于第

一、三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減??；②當(dāng)k<0,雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每

一象限內(nèi)y隨x的增大而增大；反之也成立；③一次函數(shù)y=kx+b中，當(dāng)k>0,圖象在一、三象限；k<

0,圖象在二、四象限：b>0時，與y軸交于正半軸，當(dāng)b<0時，與y軸交于負(fù)半軸.

8.甲、乙兩人沿著總長度為10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分鐘走

完全程.設(shè)乙的速度為xkm/h,則下列方程中正確的是（

10101010八.10101010八.

A.------------=12B.------------=0.2C.------------=12D.------------=0.2

x1.2x1.2xx1.2xxx1.2%

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：由題意得：電—里=0.2；

x1.2%

故選D.

第5頁/共27頁

【點睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，熟練掌握分式方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點A與點C重合，折痕為EF,若AB=4,BC=2,那么線段EF的長

為（）

2^/5

D.

5

【答案】B

【解析】

【詳解】解：連接AF,根據(jù)折疊的性知AF=CF,AC±EF,OA=OC,由AD=2,CD=4,根據(jù)勾股定理可

求得AC=[AD。+CD?=2行，所以0C=6,然后根據(jù)矩形的性質(zhì)可得△COFs^CDA,因此根據(jù)相

似的性質(zhì)可得史=空，代入數(shù)值可得好="，可求得OF=心，所以EF=2OF=布.

CDAD422

故選B.

【點睛】本題考查折疊變換，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)及判定的應(yīng)用，掌握性質(zhì)定理正確推理論證是

解題關(guān)鍵.

10.如圖，四邊形A6C。內(nèi)接于口。，AC為直徑，/ABC的平分線5。交AC于點E,點/在的延

長線上，AF=BC.有如下五個結(jié)論：①AD=C。；@UABE^ODBC；③AExCE=BExDE；④

L1,

AB+BC=42BD-.⑤四邊形ABC。的面積為aA。？，則上列說法中正確的個數(shù)為（)

A.2個B.3個C.4個D.5個

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【答案】C

【解析】

【分析】由直徑所對的圓周角等于90?？傻贸鯪A5C=NADC=90。，由已知條件可得出

ZABD=ZDBC=|ZABC=45°,由同弧所對的圓周角相等即可得出NAB。=NACD,進(jìn)而

ZACD=ZDAC,即可判斷①，證明口43￡8口。8。可判斷②，證明口人七^阻力后?？膳袛啖郏?/p>

DDAF^ODCB(SAS)可得出FDA=ZBDC,DF=DB,證明AFDB為等腰直角三角形，即可判斷④，

根據(jù)S四邊形ABCD=^OADC+^OABC即可判斷⑤.

【詳解】解：:AC為直徑,

NA5C=NADC=90°,

；5。為/ABC的角平分線，

NABD=NDBC=-ZABC=45°,

2

"?ZABD=ZACD,

ZACD=45°,

：.ZDAC=45°,

AD=CD,

故①正確，

ZBAE=ZBDC,

又,/ZABE=ZDBC=-NABC

2

:.UABE困DBC,

故②正確，

NBAE=ZCDE,

又,：/AEB=NDEC

：.UAEB^UDEC,

.AEBE

，,1)E~~CE，

即AECE=DEBE,

故③正確，

由①知DA=DC,

?；NFAD=NBCD,且AE=C3,

第7頁/共27頁

.-.CDAF^ODCB(SAS),

ZFDA=ZBDC,DF=DB

：.ZADB+NBDC=90°,

ZFDA+ZADB=90°,

：.AFDB為等腰直角三角形，

?*-FB=6BD，

即AF+AB=BC+AB=42BD，

故④正確，

?S四邊形形⑺=^OADC+S口ABC

=-ADDC+-ABBC

22

11

=-AD92+-ABBC

22

故⑤錯誤，綜上①②③④正確，

故選：C.

【點睛】本題主要考查了等角對等邊，相似三角形的判定以及性質(zhì)，全等三角形的判定以及性質(zhì)，圓周角

定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，掌握這些判定定理以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，

二、填空題(每小題4分，共20分)

11.點4(-3,3)關(guān)于了軸對稱的點A的坐標(biāo)是.

【答案】(3,3)

【解析】

【分析】平面直角坐標(biāo)系中任意一點A(x,y),關(guān)于y軸的對稱點是(-尤，＞),從而可得出答案.

【詳解】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得點A(-3,3)關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)4(3,3).

故答案是：(3,3).

【點睛】本題主要考查關(guān)于y軸對稱的點坐標(biāo)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握點關(guān)于y軸對稱的坐標(biāo)規(guī)律.

12.因式分解：X3-X2-12X=.

【答案】x(x-4)(x+3)

【解析】

【分析】本題主要考查了分解因式，先提取公因式X,再利用十字相乘法分解因式即可得到答案.

第8頁/共27頁

【詳解】解：X3-X2-12X

=x^x2-冗-12)

=x(x-4)(x+3),

故答案為：x(x-4)(x+3).

13.如圖，按照程序計算，若輸出y的值是1,則輸入x的值是

3

【答案】一:

4

【解析】

【分析】本題主要考查了解二元一次方程以及解分式方程，根據(jù)輸出y的值是1,代入上一步程序，得出

x3

+3%+3=1或—二1,然后分別解出入,根據(jù)程序分析得出正確的值即可.

X+1X

【詳解】解：???輸出y的值是1,

Y3

???上一步計算為：/+3%+3=1或-=1,

x+1X

當(dāng)%2+3%+3=1時，解得：l二一1,或X二一2,

V-l<0,-2<0,

?,?不符合程序判斷條件，

Y33

當(dāng)一-二1時，解得：%=(經(jīng)檢驗，是原方程的解)

x+1x4

4

???符合程序判斷條件.

,3

故答案為：一二.

4

14.若實數(shù)內(nèi)〃分別滿足+2023〃，+2024=0，川+2023〃+2024=0且m中〃，則工+工的值為

mn

第9頁/共27頁

…心、2023

【答案】一二二

2024

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握“若一元二次方程

bc

ox?+bx+c=0(aw0)的兩個根分另為X],x^,則玉+%=——，xx=—

a12a

直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.

【詳解】解：,/實數(shù)m,"分另ij滿足nr+2023/n+2024=0，n2+2023〃+2024=0.

相和〃是_?+2023x+2024=0的兩個根,

m+n=-2023,mn=2024,

11m+n2023

mnmn2024

2023

故答案為:

2024

15.如圖，小明同學(xué)在觀察圖案中的排列方式時，通過研究每個圖案中它們數(shù)量的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)

第w個圖案中的個數(shù)是“◎”的個數(shù)的2倍，則〃的值為

◎

0*0

QQ*0

0*0O***O'

品0*0*0?*0*0*0*?

第1個圖案第2個圖案第3個圖案第4個圖案

【答案】n

【解析】

【分析】本題考查的是圖形類的規(guī)律探究，一元二次方程的解法，先歸納得到第"個圖案中“◎”的個數(shù)為

n(n-\-W

3n,第〃個圖案中的個數(shù)為一―再建立方程求解即可.

2

【詳解】解：：圖案中的個數(shù)依次為：3,6,9,

???第”個圖案中“◎”的個數(shù)為3〃，

?.?圖案中“★”的個數(shù)依次為：1,3,6,10,…?一

第10頁/共27頁

“(”+1)

...第〃個圖案中的個數(shù)為

2

由題意得：—L--=2x3〃,

2

解得：71=11（不符合題意的根舍去），

故答案為：11；

三、解答題（第16,17,18,19題每題10分；第20,21題每題12分，第22,23題每題13

分；滿分90分）解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

16.（1）先化簡，再求值：（2a—1）（"1）—（6—3a）,其中。=1—JL

-4x+y=-3

（2）解方程組:

2x-5y=-3

x=1

【答案】（1）a2+l，4-2V2；（2）〈

"=1

【解析】

【分析】本題主要考查二元一次方程組的求解及二次根式的運算：

（1）先計算平方差，再進(jìn)行去括號，合并同類項即可，然后把“的值代入化簡以后的式子中求值即可.

（2）按照代入消元法解方程組即可.

【詳解】解：（1）（2a—1）（。一1）—（/—3。）

=—3a+1—<7"+3a

=4+1

ci—\—V2

...原式="+1=(1—及丁+1=4—2拒

-4x+y=-3①

(2)]/

⑵-5y=-3②

由①得：y=4x-3③，

把③代入②得：2x-5(4x-3)=-3,

解得：x=l,

把x=1代入③得y=4x1-3=1,

第11頁/共27頁

X—\

???方程組的解為11

"=1

17.網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展對學(xué)生學(xué)習(xí)方式產(chǎn)生巨大的影響，某校為了解學(xué)生每周課余利用網(wǎng)絡(luò)資源進(jìn)行自主學(xué)習(xí)

的時間，在本校隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖表，請根據(jù)圖

表中的信息解答下列問題.

組學(xué)習(xí)時間頻數(shù)（人

別x（h）數(shù)）

A0<x<l8

B1<%<224

C2<x<332

D3<x<4n

E4小時以上4

（1）表中的“=,扇形統(tǒng)計圖中2組對應(yīng)的圓心角為°；

（2）請補全頻數(shù)分布直方圖；

（3）該校準(zhǔn)備召開利用網(wǎng)絡(luò)資源進(jìn)行自主學(xué)習(xí)的交流會，計劃在￡組學(xué)生中隨機(jī)選出兩人進(jìn)行經(jīng)驗介

紹，已知E組的四名學(xué)生中，七、八年級各有1人，九年級有2人，請用畫樹狀圖法或列表法求抽取的兩

名學(xué)生都來自九年級的概率.

【答案】（1）12,108

（2）見解析（3）—

6

【解析】

【分析】本題考查利用畫樹狀圖法或列表法求概率，還考查了扇形統(tǒng)計圖以及頻數(shù)分布直方圖；熟練掌握

運算公式（①各部分扇形圓心角的度數(shù)=部分占總體的百分比x360。，②百分比=該組頻數(shù)+總數(shù)）是解本

第12頁/共27頁

題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)A組的頻數(shù)和百分比求出總?cè)藬?shù)，再利用。組的百分比求出〃的值，利用360。乘以B組所占的

百分比求解即可；

（2）由頻數(shù)分布表能作出頻數(shù)分布直方圖.

（3）畫樹狀圖，能求出抽取的兩名學(xué)生都來自九年級的概率.

【小問1詳解】

解：8-10%=80,7?=15%X8O=12,

8組對應(yīng)的圓心角=—x360°=108°,

80

故答案為：12,108；

【小問2詳解】

解：如圖所示:

共12種可能，抽取的兩名學(xué)生都來自九年級的有2種可能，

：.P（兩個學(xué)生都是九年級）=/=!，

答：抽取的兩名學(xué)生都來自九年級的概率為:.

6

18.根據(jù)調(diào)查，超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一，現(xiàn)規(guī)定在以下情境中的速度不得超過15m/s,在

一條筆直公路3。的上方A處有一探測儀，如平面幾何圖，AD=24m,N￡>=90。，現(xiàn)探測到一輛轎車從B

點勻速向。點行駛，測得NABD=31°,2秒后到達(dá)C點，測得NACD=50°.

科學(xué)計算器按鍵順序計算結(jié)果（已取近似

第13頁/共27頁

值)

sin31

0.5

=

cos31

0.9

=

tan31

0.6

=

sin50

0.8

=

cos50

0.6

=

tan50

1.2

一

A

BCD

(1)求BC的距離.(結(jié)果精確到Im)

(2)通過計算，判斷此轎車是否超速.

【答案】(1)20m

(2)沒有超速

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用：

(1)在與RtZXACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出3。與CD的長，由8。—CD求出的

長即可；

(2)根據(jù)路程除以時間求出該轎車的速度，即可作出判斷.

【小問1詳解】

第14頁/共27頁

解：在Rt^ABO中，AD=24m,ZB=31°,

tan31°=—,即5D=Z=4o(m),

BD0.6')

:在RtZkACD中，AD=24m,NACD=50°,

4n24

tan50°=—,即CD=一=20(m),

CD1.2,)

BC=BD-CD=40-20=20(m),

則BC的距離為20m；

【小問2詳解】

解：根據(jù)題意得：20-4-2=10(m/s)<15(m/s),

此轎車沒有超速.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y='的圖象與一次函數(shù)丁=左(％-2)的圖象交于48兩點,

X

其中A點坐標(biāo)為(3,2).

(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式及B點坐標(biāo)；

(2)根據(jù)圖象直接寫出不等式一〉人(x-2)的解集；

(3)若點C在y軸上，且滿足口48。的面積為10,求點C的坐標(biāo).

【答案】(1)y=-,y=2x-4,5(-1,-6)

X

(2)%<-1或0<x<3

(3)(0,1)或(0,-9)

【解析】

【分析】本題考查待定系數(shù)法求解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，三角形的面積.

(1)采用待定系數(shù)法，把點A(3,2)代入函數(shù)丁='和丁=左(％-2),即可求出機(jī)和上的值，從而得到反

x

比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.解兩個函數(shù)構(gòu)成的方程組，即可得到交點坐標(biāo)，從而解答；

第15頁/共27頁

（2）根據(jù)圖象，不等式的的解集就是反比例函數(shù)的圖象位于一次函數(shù)圖象上方時橫坐標(biāo)尤的取值范圍；

（3）先求出一次函數(shù)y=2x—4圖象與y軸的交點“（0,-4）,過點A（3,2）作AEy軸于點E,過點

8（—1,—6）作BbLy軸于點F,得至UAE=3,BF=1,設(shè)C點的坐標(biāo)為（0,%），則

0知=|%-（-4）|=七+4],根據(jù)%BC=S3MC+ZBMC即可得到方程，求解即可.

【小問1詳解】

解：：點A（3,2）在反比例函數(shù)y=-和一次函數(shù)y=左卜-2）的圖象上；

2=y,2=%（3-2）,

解得：m=6,k=2,

.??反比例函數(shù)的解析式為>=9,

X

一次函數(shù)的解析式為y=2x—4；

'6r

y――fx=3x,=—1

解方程組廣X，得廣12

y=2x-45=2[%=-6

經(jīng)檢驗，4I—.,2—/均是方程組的解，

lx=2〔為=-6

反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的另一交點B的坐標(biāo)為（-1,-6）；

【小問2詳解】

由圖象可知，不等式—2）的解集是X<—1或0<%<3；

【小問3詳解】

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...點M的坐標(biāo)為（0,-4）,

過點A（3,2）作AE，y軸于點E,過點8（-1,—6）作，y軸于點F,

AE=3,BF=1

設(shè)C點的坐標(biāo)為（0,無），

,,CM=|yc-（-4）|=|yc+4|

口

???SABC=SaAMC+SDBMC=^CM.AE+^CM.BF=10

—x3x+4+—x1x+4=10,

.?.|先+4|=5,

解得Vc=1或/=—9，

.?.點c的坐標(biāo)為（0,1）或（0,-9）.

20.如圖，口48。內(nèi)接于口。，A3是直徑，DO1BC,延長OO到點E,使得N8=NE,連接AD,AE,

OA=2,OE=4.

（1）求證：AE是口。的切線;

（2）求sin/CAD.

⑵叵

【答案】（1）見解析

7

【解析】

【分析】題目主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定定理，勾股定理解三角形及求正弦值，理解題

意，熟練掌握運用相似三角形的判定和性質(zhì)及切線的判定定理是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)相似三角形的判定得出口。。560。4石，再由其性質(zhì)及切線的判定定理即可證明；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出。。=1,再由勾股定理及三角形中位線的性質(zhì)確定AC=2。。=2,利用

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正弦函數(shù)的定義求解即可.

【小問1詳解】

;在口和口。AE中

/B=NE,NDOB=ZAOE,

：^ODB^OOAE,

：.NOAE=ZODB,

0D1BC,

：.ZODB=90°,

/OAE=90°

AE是口。的切線；

【小問2詳解】

由(1)^nODB^OAE,

ODOBOD2

----------，即an----二一，

OAOE24

OD=1,

在7?也0。8中，由勾股定理得：OD2+DB2=OB2

DB=^OB~-OD~=@一儼=73

ODLBC,0。經(jīng)過口。的圓心，

CD—DB=V3,

-O,。分別是AB,的中點,

AC=2OD=2,

...在R/0ACD中，AD=yjAC2+CD2=^22+(73)2=J7,

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21.如圖，在以。為圓心，1為半徑的四分之一圓弧組成的扇形中，點尸在弧A3上運動（不與端點A3重

合），連接尸0,作PQ垂直于半徑。4,垂足為Q,設(shè)NPQ4=Na.

（1）設(shè)尸。的長度為V,y是角1的函數(shù)嗎？請說明理由；

（2）若及△P0Q的面積為S,請回答下列問題：

①當(dāng)點P在弧上運動時，隨著角a的逐漸變大，S的變化規(guī)律為（橫線處填“逐漸變大”“逐

漸變小”“先變大再變小”“先變小再變大”）；

②求面積S關(guān)于角a的表達(dá)式，并寫出角a的取值范圍；

③當(dāng)S取最大值時，請直接寫出角a的值.

【答案】（1）是，理由：對于變量a的每一個值，P。的長度，都有唯一確定的值與之對應(yīng)

（2）①先變大再變小；②S=！cosa-sina,00<Za<90°；③45°

2

【解析】

【分析】本題考查函數(shù)的定義，三角形的面積.

（1）由函數(shù)的定義可直接判斷，對于變量a的每一個值，尸。的長度y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，故y

是a的函數(shù)；

（2）①隨著角a的逐漸變大，S的變化規(guī)律為先變大再變?。孩谙惹蟪龅?。。，再求高尸。即可；③當(dāng)S取

最大值時，即當(dāng)點尸運動到弧的中點，此時Na=45°.

【小問1詳解】

解:是.

..?對于變量a的每一個值，尸。的長度y都有唯一確定的值與之對應(yīng)

y是a的函數(shù)；

【小問2詳解】

①先變大再變小，因為尸在A時，面積為0,往8方向運動時，面積逐漸變大，到達(dá)8時，面積為0,故先

變大再變?。?/p>

故答案為：先變大再變小

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②在R出尸0Q中,

,/OQ=OPcosa=cosa,PQ=OPsin?=sin?

S=-OQ-PQ=^costz-sintz

0°<Z<z<90°

③當(dāng)S取最大值時，Na=45°.

理由：設(shè)點C為OP的中點，連結(jié)QC,過點Q作OP的垂線，垂足為連接Q".

B\、

|

oQ4

..?點。為OP的中點，PQ-LOQ

OC=CQ

S=~POHQ<-POCQ

.?.當(dāng)點尸運動到弧A3的中點，使得HQ與CQ重合時，S的值最大此時，HQ=HO,HQLOH

.??口。HQ為等腰直角三角形

；.Na=45°.

22.如圖，在邊長為6的菱形ABCQ中，ZBCD=60°,連接3D,點E,尸分別是邊AB,BC上的動

點，且AE=5尸，連接。E,DF,EF.

（1）如圖①，當(dāng)點E是邊A3的中點時，求NEL甲的度數(shù)；

（2）如圖②，當(dāng)點E是邊上任意一點時，NEDR的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不改變，請證明：若發(fā)生

改變，請說明理由；

（3）若點尸是線段3。上的一個動點，連接PR,求PP+Y3。尸的最小值.

2

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【答案】（1）60°

（2）不改變，見解析（3）3方

【解析】

【分析】（1）由菱形ABC。可得42=20=0）=40=6,/BAD=NBCD=60°,從而

△BCD是等邊三角形，根據(jù)''三線合一”可得NEZM=LNAD3=30°,AE=\AB,進(jìn)而證得點F是

22

邊的中點，從而NBDF=-NBDC=30°,根據(jù)ZEDF=ZEDB+ZBDF即可解答；

2

（2）由（1）得到△46。，△BCD是等邊三角形，從而40=3。，ZDAB=ZDBC=60°,進(jìn)而證

得□ADE義口BDF（SAS）,得到ZADE=ZBDF,從而NEDF=ZADB=60°；

（3）過點P作尸GLAD于點G,連接尸/，過點P作于點G',交BD于點P',則

GP=DPsinZADB=—DP，因此PF+、2DP=PF+GP，當(dāng)點RP，G三點共線，且

22

RGJ_A。時，PP+GP有最小值，最小值為尸G的長，過點。作。于點"尸E+火。尸的

2

最小值即為?！钡拈L，在RtACDH中通過解直角三角形即可解答.

【小問1詳解】

?.?四邊形ABC。是菱形，邊長為6,

AB=BC=CD=AD=6,ABAD=NBCD=60°,

AABD,△BCD是等邊三角形，

ZADB=60°,

???點E是邊AB的中點，

ZEDB=-ZADB=-x60°=30°,AE=-AB,

222

,/AE=BF,

：.BF=-AB=-BC

22

...點尸是邊BC的中點，

NBDF=-ZBDC=-x60°=30°,

22

ZEDF=ZEDB+NBDF=300+30°=60°；

【小問2詳解】

NEDR的度數(shù)不改變，證明如下：

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由(1)得到AABD,/\BCD是等邊三角形,

Z.AD=BD,NDAB=NDBC=60°,

,/AE=BF,

：.UADE^jBDF(SAS),

：.ZADE=ZBDF,

NEDF=ZBDE+NBDF=NBDE+NADE=ZADB=60°；

【小問3詳解】

如圖，過點尸作尸GLAD于點G,連接PF,過點尸作EG'LA。于點G',交BD于點、P,

'：ZADB=60°,

在RtADPG中，GP=DP-sinZADB=DP-sin60°=—DP

2

/?PF+—DP=PF+GP

2

，當(dāng)點F,P,G三點共線，且EGJLAD時，尸歹+G尸有最小值，最小值為PG的長，過點。作

DHLBC于點、H,

?.?四邊形ABC。是菱形，

DH=FG',

：.PF+—DP的最小值即為的長，

2

???DHIBC,△BCD是等邊三角形，

；?DH=CD-sinC=CD-sin60°=373，

PF+^-DP的最小值為373.

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，垂線段最短，解直

角三角形.正確作出輔助線，綜合運用相關(guān)知識，采用轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵.

第22頁/共27頁

23.已知拋物線丁=依2+加；一3(。。0)與無軸交于點4-1,0),點3(3,0),與y軸交于點C.

備用圖1備用圖2

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖，若直線下方的拋物線上有一動點過點M作》軸平行線交于N,過點M作

的垂線，垂足為H,求△“；的周長的最大值；

(3)若點P在拋物線的對稱軸上，點Q在無軸上，是否存在以B,C,P,。為頂點的四邊形為平行四

邊形，若存在，求出點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由;

(4)將拋物線向左平移1個單位，再向上平移4個單位，得到一個新的拋物線，問在，軸正半軸上是否存

在一點歹，使得當(dāng)經(jīng)過點歹的任意一條直線與新拋物線交于S,T兩點時，總有」y+工為定值？若

FS2FT2

存在，求出點f坐標(biāo)及定值，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)y=x2-2x-3

⑵回

4

(3)存在，。點的坐標(biāo)為(2,0),(4,0),(-2,0)

(4)存在，定點*+/的值為4

【解析】

【分析】(1)把4-L0),點5(3,0)代入丁=依2+笈—3,得出關(guān)于。、方的二元一次方程組，解方程組

求出。、。的值，即可得答案；

(2)根據(jù)拋物線解析式求出點C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，設(shè)”(加，加2—2m-3),則

N(m,m—3),根據(jù)MN〃y,MHLBC及B、C兩點坐標(biāo)得出是等腰直角三角形，利用加表示

出叢HMN的周長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可得答案；

第23頁/共27頁

(3)根據(jù)拋物線解析式求出對稱軸為直線x=l,點尸坐標(biāo)為(l,s),點。坐標(biāo)為Q?,0),根據(jù)平行四邊形

對角線中點的坐標(biāo)相同，令BC、BP、3。為對角線三種情況，列方程組求出s、/的值即可得答案；

(4)根據(jù)平移規(guī)律得出新的拋物線解析式為y=V,設(shè)ST的解析式為>=履+6,7(々，為)，

則歹(0/)，聯(lián)立拋物線與直線ST的解析式得必-履=0,利用