2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義-相似三角形的性質(zhì)和判定 培優(yōu)練習(xí)

相似三角形的性質(zhì)和判定培優(yōu)練習(xí)

一、課標(biāo)導(dǎo)航

課標(biāo)內(nèi)容課標(biāo)要求目標(biāo)層次

了解兩個三角形相似的概念

相似三角形的性

會利用相似三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行簡單的推理和計(jì)算；會利用三角形

質(zhì)和判定★

的相似解決一些實(shí)際問題

二、核心綱要

L比例的性質(zhì)

⑴基本ttS：=^ad=be.

⑵反比牌”3

(3)更比性質(zhì):戶。屋/

(4)合比性質(zhì):戶？=等=等?

(5)分比性質(zhì):合？=-=寸?

(6)等比性質(zhì):戶＞…=：(b+d+…+”。)=黑黑屋.

2.比例線段的相關(guān)概念

⑴兩條線段的比：兩條線段長度的比叫做這兩條線段的比.

(2)成比例線段：在四條線段a,b,c,d中，如果線段a與b的比等于c與d的比，那么這四條線段a,b,c,d叫做成比例線段,

簡稱比例線段.記作：*="或a:b=c:d.

注：線段的單位要統(tǒng)一.

⑶比例中項(xiàng)在線段a,b,c中，若I=*則稱b是a、c的比例中項(xiàng).

⑷黃金分割點(diǎn)：在線段AB上，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BCG4GBC),若落=繁，即AC2=AB-BC,,則稱線段AB

被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比.其中AC=^ABx0.618AB.

注：線段的黃金分割點(diǎn)有兩個.

3.相似圖形：形狀相同的圖形叫相似圖形.

4.相似三角形

(1)相似三角形定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.

(2)相似三角形的表示方法：用符號“s”表示，讀作，，相似于”.

注：經(jīng)常把表示對應(yīng)角頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)位置上.

(3)相似三角形的相似比：相似三角形的對應(yīng)邊的比叫做相似比.

(4)相似三角形的性質(zhì)

①相似三角形的對應(yīng)角相等.

②相似三角形的對應(yīng)邊成比例.

③相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比.

④相似三角形的周長比等于相似比.

⑤相似三角形的面積比等于相似比的平方.

（5）平行線分線段成比例定理

①定理：三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例，如下圖所示：3|切出.

②推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）,所得的對應(yīng)線段成比例.

（6）相似三角形的判定定理

①預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

②相似三角形的判定定理

判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.簡述為：兩個角對應(yīng)相等，

兩個三角形相似.

判定定理2:如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似.簡述為：

兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似.

判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似.簡述為：三邊對應(yīng)成比例,

兩個三角形相似.

（7）直角三角形相似

①判定定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角

三角形相似.

②直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三角形也相似.如下圖所示，在

RtAABC中,NBCA=9（T,CD是斜邊AB上的高.則有如下結(jié)論：

A4CD“ACBDn券=嘉即亦=AD.BD./k

2

AACD-AABC=>—=—,BPAC=AD-AB./

ABAC/_

AABCSxCBDo巴=-,BPBC2=BD-AB.A$?

ABBC

5.位似

⑴定義：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行（或共線）,那么這樣的兩個圖形叫做位似

圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比.

注：①兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形.

②兩個位似圖形的位似中心只有一個.

③兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè).

④位似比等于相似比.

⑵性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比等于位似比（相似比）.

6.常見的基本相似圖形（如下圖所示）

（1）“A”字型、反“A”字型（斜“A”字型）;（2）“8”字型、反“8”字型（蝴蝶型）.

“A"字型反字型

"A"“8"字型反"8"字型

本節(jié)重點(diǎn)講解：兩個性質(zhì)（相似三角形和位似的性質(zhì)）,兩個定義，兩類圖形，五個定理.

三、全能突破

基礎(chǔ)演練

1.已知a:b=2:3,那么下列等式中成立的是（）.

A.3a=2bB.2a=3bC.—=-D.—=-

b2b3

2.如圖27-1-1所示，在AABC中,DE\\BC,DF\\AC,,則下列比例式一定成立的是（）.

.AEDEcAECFAD_BFcDEDF

A.—=—D.——=—rD.—=——

ECBCACBC'AB~BCBCAC

3.⑴如圖27-1-2所示,P是RtAABC的斜邊AB上異于A、B的一點(diǎn)過P點(diǎn)作直線截AABC,使截得的三角形與AABC相似，滿足這樣

條件的直線共有（）條.

A.lB.2C.3D.4

⑵如圖27-1-3所示在正方形網(wǎng)格上有6個三角形①△ABC,②^BCD,③aBDE,④△BFG,⑤△FGH,⑥△EFK,其中②?⑥中與三角形

①相似的是().

A.②③④B.③④⑤

圖27-1-3

4.如圖27-1-4所示,將4ABC的三邊分別擴(kuò)大一倍得到AAiBK式頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上），若它們是以P點(diǎn)為位似

中心的位似圖形，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是（）.

A.（-4,-3）B.（-3,-3）

C.(-4,-4)D.(-3,-4)

5.⑴已知戶與

⑵若急=9=白=死則卜的值為一.

b+ca+ca+b圖27-1-4

6.如果線段AB=4cm,點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，那么較長的線段BP=—cm.

7.為了測量校園水平地面上一棵樹的高度，數(shù)學(xué)興趣小組利用一根標(biāo)桿、皮尺，設(shè)計(jì)圖27-1-5所示的測量方

案.已知測量同學(xué)眼睛A、標(biāo)桿頂端F、樹的頂端E在同一直線上.此同學(xué)眼睛距地面1.6m,標(biāo)桿為3.1m,且B

C=1m,CD=5m,請你根據(jù)所給出的數(shù)據(jù)求樹高ED.

圖27-1-5

8.如圖27-1-6所示,要在高AD=8.底邊BC=12的三角形中截出一個矩形PQMN.PN=y,NM=x,

⑴寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

⑵當(dāng)x為何值時,四邊形PQMN的面積S最大

圖27-1-6

能力提升

9.⑴已知菱形ABCD的邊長是8,點(diǎn)E在直線AD上，若DE=3,連接BE與對角線AC相交于點(diǎn)M,則黑的值是

(2)在AABC中,AB=6,AC=9,點(diǎn)D在邊AB所在的直線上，且AD=2,過點(diǎn)D作DE〃:BC交邊AC所在直線于點(diǎn)E,則CE的長為____.

10.如圖27-1-7所示，直角三角形紙片ABC中,NACB=9(T,AC=8,BC=6折疊該紙片使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合折痕與AB、BC的交點(diǎn)分別為D、

E.⑴DE的長為⑵將折疊后的圖形沿直線AE剪開，原紙片被剪成三塊，其中最小一塊的面積等于

11.如圖27-1-8所示.在AABC中,D為AB的中點(diǎn),E為AC上一點(diǎn),且黑=2,BE、CD相交于點(diǎn)F,則的值為__.

ECEF

12.將三角形紙片ABC按圖27-1-9所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上,記為點(diǎn)9折痕為EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以點(diǎn)B\F、C

為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，那么BF的長度是—.

圖27-1-8

圖27-1-7

13.⑴如圖27-1-10所不,點(diǎn)A"A?、A3、A4在射線OA上，點(diǎn)Bi、B?、B3、在射線OB上，且41B1IM2B2IM3B3,42B1IM3B2IM1B3.右

A&&B2、A43B2B3的面積分別為1和4,則圖中陰影三角形面積之和為.

(2)如圖27-1-11所示，n+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)△&。1的的面積為SJABSDKZ的面積為S2,...,A

Bn+iDITC□的面積為S□，則S?=；SE=(用含n的式子表示).

14如圖27-1-12所示在正方形ABCD中,AB=1,E、F分別是BC、CD邊上點(diǎn)，

⑴若CE=^CB,CF=3CD,則圖中陰影部分的面積是

⑵若CE=：CB,CF=：CO,則圖中陰影部分的面積是一(用含n的式子表示,n是正整數(shù)).

圖27-1-10圖27-1-12

15.如圖27-1-13所示,AD是RtAABC中NA的平分線,/C=90°,AD的垂直平分線交AD于點(diǎn)E,交AC于

點(diǎn)M,延長EM與BC的延長線交于一點(diǎn)N.

求證:⑴△AMEsaNDE.B’f%N

⑵ND?=NC-NB.

圖27-1-13

AGHD

16.如圖27-1-14所示,四邊形ABEG、GEFH、HFCD都是邊長為a的正方形，

求證:(1)△AEFsacEA.

(2)ZAFB+ZACB=45°.

BEFC

圖27-1-14

17如圖27-1-15所示,正方形ABCD的邊長為a,BM、DN分別平分正方形的兩個外角，且滿足./MAN=45。,，連接MC、NC、MN.

⑴填空與△相似的三角形是_____,BMDN=_（用含a的代數(shù)式表示）.

⑵求NMCN的度數(shù).

圖27-1-15

18如圖27-1-16所示,正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A,i（0、必分別為兩個正方形的對稱中心，

連接DE、（010,它們交于點(diǎn)H,求的度數(shù)和陪的值.

圖27-1-16

19.已知,在菱形ABCD中.BD為對角線,P、Q兩點(diǎn)分別在AB、BD上,且滿足“PCQ=NABD.

⑴如圖27-l-17（a）所示,當(dāng)NBAD=90。時,求證:V2DQ+PB=CD.

⑵如圖27117（b）所示,當(dāng)NBAD=120。時，求整”的值.

圖27-1-17

中考鏈接

20.（浙江寧波）如圖27-1-18所示.等腰）RtAABC頂點(diǎn)A、C在x軸上,NBCA=9（F,AC=BC=2VX反比例函數(shù)y=久久＞0）的圖像分別與A

B,BC交于點(diǎn)D、E,連接DE,當(dāng)ABDEs^BCA時，點(diǎn)E的坐標(biāo)為.

21.（山東荷澤改編）如圖27-1-19所示,在AABC中,BC=6,E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線EF±.BP交CE于點(diǎn)D.點(diǎn)Q在CE上

且BQ平分NCBP,設(shè)BP=x,PE=y.當(dāng)CQ=ICE時，y與x之間的函數(shù)式是—；當(dāng)CQ=：CE（n為不小于2的常數(shù)）時，y與x之間

的函數(shù)關(guān)系式是—.

22.（湖北武漢）已知.在△ABC中,AB=2^5,AC=4后BC=6.

（1）如圖27-l-20（a）所示點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，在線段AC上取點(diǎn)N,使AAMN與AABC相似,求線段MN的長.

⑵如圖27-l-20（b）所示,是由100個邊長為1的小正方形組成的10x10的正方形網(wǎng)格，設(shè)頂點(diǎn)在這些小正方形頂點(diǎn)的三角形為格

點(diǎn)三角形.

①請你在所給的網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)AAiBiCl與AABC全等（畫出一個即可，不需證明）；

②試直接寫出所給的網(wǎng)格中與△ABC相似且面積最大的格點(diǎn)三角形的個數(shù)，并畫出其中一個（不需證明）.

圖27-1-20

巔峰突破

23.如圖27-1-21所示,已知在nABCD中,M、N為AB的三等分點(diǎn),DM、DN分別交AC于P、Q兩點(diǎn)，則AP:PQ:QC=

24.在AABC中,NACB=90。.經(jīng)過點(diǎn)B的直線1（1不與直線AB重合）與直線BC的夾角等于NABC,分別過點(diǎn)C、點(diǎn)A作直線1的垂線.

垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)E.

⑴若NABC=45o,CD=l（如圖27-1-22所示）.則AE的長為.

⑵寫出線段AE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

圖27-1-21圖27-1-22

基礎(chǔ)演練

I.A2.B3.(1)C(2)B4.A5.(1)，2)：或-1.6.2V5-2

7.過點(diǎn)A作AG±DE于點(diǎn)G,交CF于點(diǎn)H.由題意可得1,四邊形ABCH、ABDG、CDGH都是矩形.

AB〃CF〃DE.，AAHF^AAGE.AU=HE.

由題意可得:AH=BC=1.AG=BD=6.

FH=FC-HC=FC-AB=3.l-l.6=1.5.

11，

—GE=9.

6GE

：.ED=GE+DG=GE+AB=9+1.6=10.6.

答樹高ED為10.6m.

8.(Dy=^.

(2)S=%y=^.第-|(x-4)2+24..,.當(dāng)x=4時，S的最大值為24.

能力提升

9.(1)3或盤(2)6或1210.4.411.312.苫或2

13.(1)10.5⑵手，魯

y14“.―2,--n--.

3n+1

15.(1)連接NA,如下圖所示

TNE是AD的垂直平分線,/.ZNED=ZNEA=90°,

???N3+NADO90。.

,/ZACB=90°,.\N2+NADO90。,，N2=N3.

AAAME^ANDE.

(2)???AD是NBAC的平分線,???Z1=Z2.

NE是AD的垂直平分線,NA=ND,NE±AD,

???N3=N4.，2N3=2N2.

即NANONCAB.

ZCAN=ZB,ZANC=ZANC.

△NACsANBA.

22

MDMANA=NC?N/即'ND=NC-NB..

16.(1)???四邊形ABEG、GEFH、HFCD是正方形，

AB=BE=EF=FC=a,ZABE=90°

:.AE—y/2a,EC—2a,

AEV2tz/7TEC2anzAEEC

EFaAEy[2aEFAE

又ZCEA=ZAEF,.\ACEA^AAEF.

(2)VACEA^AAEF,.\ZEAF=ZBCA.

四邊形ABEG是正方形,，ZAEB=45°.

.,.ZAFB+ZACB=ZAFB+ZEAF=ZAEB=45°.

.,.ZAFB+ZACB=45°.

17.(1)ANDA.a2

(2)由(l)AABMs/\NDA可得翳=喘.

??,四邊形ABCD是正方形，

.?.AB=DC,DA=BC,ZABC=ZBCD=ZADC=ZBAD=90°.

BM_DC

,,BC-ND"

VBM.DN分別平分正方形ABCD的兩個外角.

:.ZCBM=ZNDC=45°.

.,.△BCM^ADNC..,.ZBCM=ZDNC.

...ZMCN=360°—ZBCD—ZBCM-ZDCN=270°—QDNC+乙DCN)=270°-(180°-乙CDN)=135°.

18.連接OiAQQQzAQzE,如下圖所示.

,:點(diǎn)Oi,分別是正方形的中心。

...△AOQ和AAOzE都是等腰直角三角形.

=—,Z-DAO^=Z.EAO=45°

ADAE21z2

:.乙。1』。2=45°+Z-EAOx.

,:Z-DAE=45°+Z-EAOlf:./-0^02=Z-DAE.

/.△AOIO2-AADE.

，.叱=吆=之EjAOg

DEAD21z

v4。遇。=45°,:.乙01HD=Z-O^D=45°.

zDHOi=45。，2=竺

1DE2

19.(1)如下圖所示，連接AC,則NACD=NPCQ=45。.

:.ZACP=ZDCQ.VZQDC=ZPAC=45°.

.,.△APC^ADQC.

=V2.AV2DQ=AP.

DQCD乜

：AP+PB=AB=CD,/2DQ+PB=CD.

(2)連接AC.作CH±AD于點(diǎn)H交BA的延長線于點(diǎn)K.

/.ZK=ZCDQ=3O°,ZPCK=ZQCD=3O°+ZQCK.

.,.△PKC^AQDC.

.=竺?CK=V3BC=CD.：.PK=V3DQ

DQCD”

APB+V3DQ=PB+PK=BK=2BC=2CD.

MDQ+PB

=2.

CD

中考鏈接

2O.(|/2-V2)

21.y=-x+6;y=-x+6(n-1)

22.(1)如下圖所示,①過點(diǎn)M作MN〃BC交AC于點(diǎn)NJI|AAMN^AABC.

VM為