湘豫聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)1月階段性考試數(shù)學(xué)試題

湘豫名校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月階段性考試

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.己知復(fù)數(shù)z=4H,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

1-i

3333

A.-iB.--iC.-D.--

2222

2.從小到大排列的一組數(shù)據(jù)：29,31,a,39,42,58.若第60百分位數(shù)與平均數(shù)相等,

則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）

A.35B.36C.37D.39

3.已知拋物線c：/=2.（p>0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)河是。上一點(diǎn)，9的延長(zhǎng)線交。

的準(zhǔn)線，：x=T于點(diǎn)N,若兩二工麗，則因囪=（）

4

357

A.-B.2C.-D.-

233

4.1640年法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出了猜想：￡=22”+l（〃￡N）是質(zhì)數(shù)，我們稱凡為“費(fèi)馬

數(shù)”.設(shè)=log2（￡T），〃eN*，若%+%+2+…+*=218—2%則人（）

A.7B.8C.9D.10

19

5.某次數(shù)學(xué)測(cè)試只有兩道題目，若甲答對(duì)第一道題和第二道題的概率分別為上三，乙

23

答對(duì)第一道題和第二道題的概率分別為4,，甲、乙兩人獨(dú)立解題，每人各題答對(duì)與

34

否互不影響，則這兩道題都被答對(duì)的概率為（）

試卷第11頁，共33頁

53

72

6.閱讀下面材料：在空間直角坐標(biāo)系。中z中，過點(diǎn)尸Go/o/o)且一個(gè)法向量為

沅=(〃,仇c)的平面。^^^^^(x-x0)+Zj(y-<y0)+c(z-z0)=0,過點(diǎn)"/,為/。)且

方向向量為宕=("，匕M("川豐0)的直線’的方程為七包=匕江==L.根據(jù)上述材料,

解決下面問題：已知平面a的方程為2x-y+z-7=0，直線/是兩個(gè)平面

x_y+2=0與2x-z+l=0的交線，則直線/與平面a所成角的余弦值為()

顯

C.D.B

32

7.己知雙曲線6：1_《=1(°>0,6>0),尸〃分別為0的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，點(diǎn)尸。3)

是。上的點(diǎn)，若A/R7的面積為？，則0的離心率為(

2

D.a

8.如圖，在正三棱柱由［耳G中,48=441=2,。為NG的中點(diǎn),E為線段上

的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)出)時(shí)'/E=

試卷第21頁，共33頁

A.2B-6C-nD-2V2

二、多選題

9-己知圓C］：x2+y2=l和圓C2：（x-2）2+（"2）2=l，點(diǎn)尸，。分別是圓￡，圓C2上

的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.與圓G和圓C?都相切的直線有三條

B.直線x_y=后與圓￡和圓。2都相切

C.盧@的取值范圍是［2應(yīng)一2,2收+2］

D.過點(diǎn)。作圓0的兩條切線，切點(diǎn)分別為M,N,則存在點(diǎn)。，使得NMQV='

10.已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為$“，％=1，且對(duì)任意正整數(shù)〃，s“+4a,M=a,+3恒

成立，b?=f-^-2-y?,數(shù)列｛a｝的前”項(xiàng)和為則下列說法正確的是（）

A.數(shù)列｛26+「%｝是等比數(shù)列B-%=5+1>2”

C.S=3-^^D.T=1---W（w+2）

"2""2"2

IL在正方體力BCD一中，旦尸,G分別為棱42,CD的中點(diǎn)，則下列說法

正確的是（）

A.BCBFB.直線與G與BE所成的角為四

3

C直線皿交平面于點(diǎn)'，則D.直線產(chǎn)與平面座所成

角的正弦值為正

3

試卷第31頁，共33頁

12.已知橢圓0：￡+《=1（.>6>0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為士耳,每分別為橢圓0的

｛b22

左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)工的直線/與橢圓。相交于45兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

C22

A,橢圓°的標(biāo)準(zhǔn)方程為上+2L=i

43

B.橢圓C上存在點(diǎn)赫，使得礪.礪［=0

C.尸是橢圓C上一點(diǎn)，若=］則/^

D.若耳心,人241的內(nèi)切圓半徑分別為外,々，當(dāng)q=2々時(shí)，直線/的斜率

,,V5

k=±——

2

三、填空題

13.已知向量。=（一1，"），否=（〃，2）,若“二，且**9，則—.

14.已知直線/：x—加7+1=0與圓c：x?+,2+4尤_2出;）/一2=0相交，則當(dāng)圓C截直線/

所得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線/的方程為—.

15.已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛/｝中，q=1，其中出+1，6,%構(gòu)成等比數(shù)列，“=2"”，

數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為5“，若V〃eN*，不等式;Leos”<S“+%恒成立，則實(shí)數(shù)2的取

值范圍為_.

16.在直三棱柱48c由百q中，AB1BC>且48=8C=2,CG=4，已知￡為線段

CG的中點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)4，用,E的平面為a，則平面。截此三棱柱的外接球所得截面的面

積為—.

試卷第41頁，共33頁

四、解答題

17.已知數(shù)列｛與｝的前"項(xiàng)和為s"(〃eN*),%=l，當(dāng)”22時(shí)，

1

〃S,+]+(〃+1)S“T=(2"+1)S“+1數(shù)列｛4｝中，b

(1)求｛與｝的通項(xiàng)公式；

(2)記他，｝的前“項(xiàng)和為北，求滿足7；<冬的”的最大取值.

17

18.已知拋物線c：/=4x，尸為C的焦點(diǎn)，直線/與C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且點(diǎn)

A位于第一象限.

⑴若直線/經(jīng)過C的焦點(diǎn)廠，且|/a=6,求直線/的方程；

(2)若直線/經(jīng)過點(diǎn)￡(2,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)“03的面積為S1，A3O廠的面積為邑,

求W+E的最小值-

19.已知等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為s"，且滿足％=4，55=3%-4；數(shù)列也,｝的前”

項(xiàng)和為北，4=3，且&i=31+2”+3-

(1)求｛.“｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)0=(%+2)(或+1),求數(shù)列｛，｝的前〃項(xiàng)和

"3

20.已知雙曲線￡：￡_1.=19>0,6>0)的右焦點(diǎn)為尸(后°)，且“過點(diǎn)

a2b2

p1一瓜叵.

2

試卷第51頁，共33頁

(1)求戶的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點(diǎn)/為￡的右頂點(diǎn)，M,N是￡上異于點(diǎn)”的兩個(gè)不同點(diǎn)，且證明：

直線"N過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

21.如圖，在四棱錐P-/5C。中，底面N5CD為梯形，AB//DC,AB=2BC=2.CD=2,

ZABD=60°,PBVAD,PB=PD=\.

(1)求點(diǎn)P到平面N3CD的距離；

(2)在棱尸0上是否存在點(diǎn)“，使得平面D8尸與平面心C夾角的余弦值為1?若存在，

5

求出點(diǎn)廠的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

r

22.已知橢圓c：W+，=l(a>6>0)的離心率為5，且左頂點(diǎn)/與上頂點(diǎn)3的距離

|叫=3.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)0的直線/交橢圓°于尸，。兩點(diǎn)(P,Q兩點(diǎn)不與橢圓上、下頂點(diǎn)重

合)，當(dāng)△。尸0的面積最大時(shí)，求％的值.

試卷第61頁，共33頁

參考答案:

1.D

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)Z，利用共物復(fù)數(shù)的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的概念判斷可得出合

適的選項(xiàng).

［詳解］..z=2=(2+i)(l+i)=l±ji」+」i，則』

'1-i(l-i)(l+i)22222

一3

故z的虛部為-三.

2

故選：D.

2.C

【分析】由第60百分位數(shù)與平均數(shù)相等，求出。的值，再由中位數(shù)的定義求解.

【詳解】因?yàn)橛?個(gè)數(shù)據(jù)，60%x6=36,所以第60百分位數(shù)為39.

所以平均數(shù)為39,29+31+0+39+42+58=39,求得“=

6

所以該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為生土生=吆=37.

22

故選：C.

3.A

【分析】根據(jù)拋物線定義以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則直接計(jì)算求解即可.

【詳解】如圖所示，

答案第11頁，共22頁

因?yàn)閽佄锞€c：/=2PMp>0)的準(zhǔn)線/為X=-1，

所以K=l,P=2,

2

所以拋物線C的方程是r=4x，則/(1,0)?

____1___?

因?yàn)镕M=—bN,

4

所以(%-1,加)=；(-1-1，%)，即x“T=；x(-2),解得

所以仍叫=%+y=|.

故選：A

4.B

【分析】由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求解即可.

【詳解】因?yàn)閎=22"+1J所以?！?log2((—1)=2〃,

所以/9八_i899,

為+1+4+2+…+&+9=----；~~彳--------=ak+i,-1)=2-2

1—Z

所以％+1=29，即2%+I=29，解得左巡,

故選：B.

5.D

【分析】由相互獨(dú)立事件概率的乘法公式直接求解即可.

【詳解】設(shè)4=”甲答對(duì)了第i道題"，用="乙答對(duì)了第i道題"，i=l,2,C="兩道題

答案第21頁，共22頁

都被答對(duì)"，貝|尸(4)=5,尸(4)=§,尸(珀=§,尸(與)=屋

方法一：易知

C=ByB+4+4^2B[B2+B2+4B[B2++4y424a2+4,22

所以

P(C)=T5A^A^B^B2+448182+44.8避2+AyA^B^B2+44坊B?+^^2+4/2B1B?+

卜（工瓦層）+（瓦）+（

二P(445]52)+P([44員)+尸(4遜山)+0(44瓦52)+網(wǎng)4,2瓦瓦卜p4P444P44A

1223八1、2231八2、2312入2、3

233412J3342t3)3423(3)4

122J3、1J21J2、3乙1、22r3)

23314)2(3八3)412J334J

(A1"21231221f13]

12八3；342313八4；

55

-72,

方法二：

P(C^l-P^AABB)-P^AABB)-P^AABB)-P(AABB)-P(/與鳥）一小十）一尸（用斗）二

l2l2l2t2l2l2l2t2ixA2P（AXA244

*啜?

方法三：P(C)=P(44)+P(BIB2)^2)+/,(44

故選：D.

6.D

【分析】由所給信息可得平面x-y+2=0與2xi+l=0的法向量,后利用向量知識(shí)

可得直線/的方向向量，即可得答案.

答案第31頁，共22頁

【詳解】因?yàn)槠矫?。的方程?x_了+Z-7=0，所以平面a的一個(gè)法向量為

%=（2,T,1）-

同理可知，顯=（1，T°）與冠=（2,0，T）分別為平面X7+2=°與2xi+l=0的一個(gè)法

向量.

1〃o=（xj，z）-H=x-y=o

設(shè)直線的方向向量為，則|----0-。八，

不妨取x=l,則〃。=（1，1，2）.設(shè)直線’與平面。所成的角為“，

|2-1+2|=1_

則sin6rr^cos（二,

一，46x^62

所以c°"=E而=等

故選：D.

7.C

【分析】根據(jù)題意得到“十°=3和3-斗=i,進(jìn)而化簡(jiǎn)求得"=1,°=2即可得到答案.

ab

【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為2c（c>0），

由題設(shè)知‘恒尸上"+c,則=g力可/尸|=（

所以a+c=3,且c>\易知0<°<2,

2

答案第41頁，共22頁

又因?yàn)辄c(diǎn)尸3）在。上，所以,_9=i,所以4/-9/=/小

ab

fJ]o\I4-x

因?yàn)?+/=02，

所以4（/—/）—9〃2="2—/），

則Q4-13tz2=c2（a1-4）=（3-Q『x^a2-4）,

化間倚一3。2一4。+6=（。-1乂〃2一2。一6）=0，

解得a=l或a=l±W（舍去）.

所以"1,C=2,故c的離心率為￡=2.

a

故選：C

8.A

【分析】根據(jù)空間向量的基本定理，利用一組基底表示所求向量，結(jié)合垂直向量建立方程,

可得答案.

【詳解】因?yàn)镋為線段C4上的動(dòng)點(diǎn)，所以可設(shè)赤=%西,；Le[0,1]，

所以次=就+區(qū)=就+；1函=就+；1空+溝=就+；1（刀_/+間

=AAB+（1-A）AC+AA^■

答案第51頁，共22頁

RDIAF___?________1____?____1____.1________?

因?yàn)?^BD=AD_AB=_ACAB=_AC+_AA_AB!

222

所以赤.萬=[衣+；石_回.[2京+(1_；1)%+；11可=0.

因?yàn)槲濉Ｈf=0?五。正=0，

，”“1，““1”》21.2.2/“.

^\^BD-AE=-^AC-AB+-(\-^)AC+-XAAx-^AB"-(l-^AB-AC.

_______?---------2---------2____??

因?yàn)?C-/5=2?^4=AB=AC=4,

所以而.京=；1+2（1_；1）+2；1_4；1_2（1_2）=_；1=0，

所以2=0，即點(diǎn)￡與點(diǎn)c重合，所以NEuNCuZ，

故選：A.

9.BC

【分析】A項(xiàng)，判斷兩圓位置關(guān)系為相離可得公切線有四條；B項(xiàng)，由圓心到直線距離都

等于半徑可得；C項(xiàng)，數(shù)形結(jié)合可得與圓心距及半徑的不等關(guān)系；D項(xiàng)，由相切性質(zhì)

得垂直關(guān)系，求出=結(jié)合范圍可排除該選項(xiàng).

【詳解】選項(xiàng)A,由題意可得，圓￡的圓心為q（o,o）,半徑外=1，

圓C,的圓心為G（2,2），半徑廠,=1，

則兩圓圓心距CG|=2V2＞耳+/；=1+1，所以兩圓外禺，

故與圓G和圓C2都相切的直線有四條，A錯(cuò)誤;

答案第61頁，共22頁

Q（0,0）x-y=41的距離心舁

選項(xiàng)B,點(diǎn)到直線

Vi2+i2

（）（）

C（0,0C22,2x-y=s/22-2-

點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距禺4=—/一二］=弓，

V12+12

故直線X_y=&與圓G和圓。2都相切，B正確;

選項(xiàng)C,結(jié)合圖形，由圓的對(duì)稱性可知，

|P2|<|PC2|+^<|C2CI|+Z1+7；=2A/2+2'

如圖，當(dāng)P,0,C“C2四點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立?

且I尸0閆尸勾一々NBalfr=20-2,

如圖，當(dāng)p,0，G，G四點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立?

答案第71頁，共22頁

|POLTGGHr=20-2,C正確:

選項(xiàng)D,如圖，若=W時(shí)，由GM=GN=1,NNQM=NGN0=NGMO=9O。,

則ZNQM=90°，故NCJ/QM,CXMHNQ，

所以四邊形gMQN是平行四邊形，且為正方形，

所以10Gl=血，而10climin=2后-1>/，產(chǎn)生矛盾，D錯(cuò)誤?

故選：BC.

10.AC

【分析】A選項(xiàng)，由〃22時(shí)%=S“_S,i，定義法證明數(shù)列｛2a“+「a,J是等比數(shù)列；B選

項(xiàng)，由A選項(xiàng)的結(jié)論，構(gòu)造｛2%,｝為等差數(shù)列，求出通項(xiàng)得％；C選項(xiàng)，利用B選項(xiàng)中的

結(jié)論驗(yàn)證；D選項(xiàng)，利用分組求和法求數(shù)列加“｝的前”項(xiàng)和.

答案第81頁，共22頁

【詳解】對(duì)于A,由S“+4%=%+3,當(dāng)”=1時(shí)，E+4%=%+4%=%+3,解得/=3

當(dāng)“22時(shí)，%+乜=%+3,所以%+4%-4%=%-%,即2%_%=；（2%一%）.

a=

又2%~i~J所以｛2。向-%｝是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，A正確.

對(duì)于B,由A易得，2%+「4=工，則2"4+「2%”=1.

n+in2”

又2%=2,所以｛2"%,｝是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列.

則有2%“="+1,所以.葉1,B錯(cuò)誤.

〃2〃

對(duì)于C,因?yàn)橐?4-=%+3,*=*,所以S.=一他m+a“+3=3-空，C正確.

對(duì)于D,因?yàn)?=[———2"L?=f——一2"L^1=--

"(〃+1)"L?+l)2"2"

所以…一［2+3+…+（〃+1）］=1一（一^，口錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.AC

【分析】以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合瓦不.麗=0,可判定A正確；結(jié)合

而.屜=0，可判定B錯(cuò)誤；延長(zhǎng)ERZM相交于點(diǎn)M,結(jié)合△￡/!尸三AM4尸，和

△MAFs^MDC,得至口尸=工業(yè)可判定C正確；求得平面的的法向量五=（2/，2）,

3

結(jié)合向量的夾角公式，可判定D錯(cuò)誤.

答案第91頁，共22頁

【詳解】如圖I所示，以。為原點(diǎn)，所在直戰(zhàn)分別為X軸、V軸、z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

則。(0,0,0),/(2,0,0),5(2,2,0),C(0,2,0),A,(2,0,2),Bx(2,2,2),Dx(0,0,2)>

因?yàn)镋,F,G分別為棱的中點(diǎn)，所以E(l,0,2),尸(2,0,l),G(0,l,0)?

對(duì)于A中，因?yàn)榻?(_2,_1,12),麗=(0,-2,1”所以布.麗=0，

所以而_L而，即81GJ_8尸，所以A正確；

對(duì)于B中，因?yàn)槎?(_1,_2,2)，可得麗傣=0,所以而_L而，

即用G_L8E，所以B錯(cuò)誤；

如圖2所示，分別延長(zhǎng)￡￡/)/相交于點(diǎn)V,連接MC交于點(diǎn)尸，

因?yàn)槭瑸槔鈀4的中點(diǎn).所以//=/尸=1，

因?yàn)?￡4尸=乙憶4尸=90。,/4尸￡=乙4尸"，所以△"尸泌四尸，所以E4=M4=1，

△MAFS^MDCf-MAAP

又因?yàn)樗鵆以hl——=—

MDDC

因?yàn)樗裕巯取傻?尸所以C正確.

BEFYYI—(xyz)m?BE=-x-2y+2z=0

對(duì)于D中，設(shè)平面的法向量為‘‘，貝丫

m-BF=-2y+z=0

不妨令歹=1,可得蔡=(2,1,2)，

又由庭=(0,_2,_i),設(shè)直線87與平面8E尸所成的角為0,

答案第101頁，共22頁

而石|-4|475

則sin。=卜05(耳尸,〃2)=所以D錯(cuò)誤.

817rMV5x315

故選：AC.

12.ACD

【分析】對(duì)于A,根據(jù)題意直接得到a=2和c=l進(jìn)而得到/=/_02=3即可得到橢圓方

程；對(duì)于B,判斷/+/=］與橢圓是否有公共點(diǎn)即可判斷是否存在滿足題意的點(diǎn)屈；對(duì)

于C,設(shè)/耳尸6=夕，根據(jù)余弦定理得到cos￡，進(jìn)而得到sin。，結(jié)合三角形面積公式即

可求解面積；對(duì)于D,設(shè)直線//=川+1,8(%,%)，將直線與橢圓方程聯(lián)立，得

至U%+為=--必%=—?—，根據(jù)a=2々得至。%=一2%,進(jìn)而得到r=3,從而求

123/2+4123r+45

解直線斜率即可.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)闄E圓0的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=4,所以q=2，

又因?yàn)闄E圓。的離心率e=￡=,，所以°\1，

a2

7222O22

所以6=a-c=3,所以橢圓c.±+2L=i，故A正確；

43

答案第111頁，共22頁

對(duì)于B,若橢圓C上存在點(diǎn)使得函.叱=0，則點(diǎn)〃■在圓/+必=］上,

X2+y2=1

又因?yàn)榉匠探M2：2無解，故B錯(cuò)誤;

土+匕=1

143

對(duì)于c,設(shè)4尸巴=閨叫=川*=九貝朋=g,

△Pg|p與用2-閨到2

p2+q2-4c2

在中，由余弦定理可得cos6=J_12Mp-L

2Pq

7

5+療-22”4C2_4-2、2-4、5

2Pq一2x7一7’

2

所以5加=；面|叫sin"冏=；pqsin”；x：x半故C正確;

乙乙乙乙/乙

對(duì)于D，巴（1,0），顯然直線/斜率不為0,設(shè)直線/：》=。+1,/（再,必）,5仁,為），

答案第121頁，共22頁

由卜=什+1,整理得：（3/+4獷+6）_9=0,

[3x2+4y2=12

A36t23€3（f24）0>恒成立，

所以必+了2=----T~~％=——F'

123/2+4123t2+4

依題意有;（|/司+|/用|+2c）/=；x2c|yj,得g（2a+2c=gx2c|yj,

所以gx（4+2）igx2|R,即4=；|必|，

同理可得刃，

因?yàn)?=2馬，所以聞=2岡，又因?yàn)镸％<0，所以必=-2%，

因?yàn)?+%=-一?—，所以一2%+%=--?—，解得力=^-,必=一一^，代入到

123產(chǎn)+4223產(chǎn)+4-3r+413〃+4

答案第131頁，共22頁

r972產(chǎn)92=4

幾2-3產(chǎn)+4,得一記了=一下著，解得一二，

所以直線’的斜率為才=，=±立，故D正確.

t~2

故選：ACD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查解析幾何的綜合問題，此類問題常見的處理方法為：

(1)幾何法：通過圖形特征轉(zhuǎn)化，結(jié)合適當(dāng)?shù)妮o助線與圖形關(guān)系進(jìn)而求解；

(2)坐標(biāo)法：在平面直角坐標(biāo)系中，通過坐標(biāo)的運(yùn)算與轉(zhuǎn)化，運(yùn)用方程聯(lián)立與韋達(dá)定理等

知識(shí)，用坐標(biāo)運(yùn)算求解答案.

13.±3

【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解參數(shù)即可.

【詳解】因?yàn)樾?(-1,/),1=(〃,2)國_1_仁，所以ZU=O,則-"+2加=0,得n=2m，

^a-b=(-l-n,m-2)；所以歸_1+(加_2)2=加++僅一加丫=廂,

解倚"7=±1，所以加+〃=3加=±3?

故答案為：+3

I*x-島+1=0

【分析】首先由題意得/:x-吁+1=0恒過點(diǎn)尸(-1,0)，尸點(diǎn)在圓內(nèi)，則可知當(dāng)尸C_L/時(shí)，

所截得弦長(zhǎng)最短，計(jì)算可得答案；或者由圓0截直線/所得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線/的方向向

量為滿足.,所，計(jì)算也可得答案.

【詳解】由題意得/:尤-叼+1=0恒過點(diǎn)尸(_1,0)-

答案第141頁，共22頁

圓。:無2+/+以-26廣2=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為卜+2)2+卜_6/=32,

所以圓心。卜2,3)/=3,

^\PC\=2<r，可知點(diǎn)尸在圓。內(nèi).

方法一：由直線與圓的幾何性質(zhì)知，當(dāng)尸c,/時(shí)，所截得弦長(zhǎng)最短，

此時(shí)原c4=T.即=_0。=),

P，-2-(-1)7

所以直線/的方程為x_Gv+l=O-

方法二：易得直線’的方向向量為力=("/)，定=c，g),

當(dāng)圓C截直線/所得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，nVPC-

所以蔡定=0,解得m=5

所以直線/的方程為工_百)+1=0.

故答案為：》-6了+1=0-

15-(-3,13)

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列前”項(xiàng)和公式分類討

論進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛2｝的公差為“，則〃>0.

因?yàn)椋?1，且％+1，6,%構(gòu)成等比數(shù)列，

答案第151頁，共22頁

所以〃5（%+1）=（q+4d）（q+d+l）=（l+43）（2+a）=36，

整理得41+9d一34=0,解得"=2或"=_衛(wèi)_（舍去）

4

所以。"=1+2（〃-1）=2〃—1，則6〃=22〃一1，

所以S=2+23+---+22"-1=2X（「4）=<（邛_］）,

"1-43I）

由4cos加<S“+%,將加0$加<|x（4"-l）+2n-l.

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，-4<§x（4"-1）+2〃-1,

「72

即;l>-x（l-4n）-2n+l1=-x（l-41）-2xl+l=-3;

_3_max3

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，％<：?x（/4〃—1\）+2〃—1.

「？12

即；L<-x（4,,-l）+2n-l=-X（42-1）+2X2-1=13-

-3Jmin3

（或當(dāng)時(shí)由2<gx（42-l）+2x2-l,等。<“<13；當(dāng)時(shí)，由

_A<|x（4-l）+2xl-l,得-3<人0）

綜上所述，實(shí)數(shù)2的取值范圍為（-3,13）?

故答案為：（_3,13）

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解.

答案第161頁，共22頁

16.—K

2

【分析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，可得三棱柱外接球?yàn)闉橐?4分別為長(zhǎng)、寬、

高的長(zhǎng)方體的外接球，后由向量知識(shí)可得平面&到球心的距離，即可得截面面積.

【詳解】如圖，以點(diǎn)8為坐標(biāo)原點(diǎn)，3仁8484所在直線分別為》軸，了軸，z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系8-孫Z,則E（2,0,2）,5,（0,0,4）-

連接4CMG相交于點(diǎn)。,直三棱柱ABC由181cl中，AB-LBC<

故此三棱柱的外接球即為以848C,84分別為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的外接球，

且點(diǎn)。為外接球球心.因?yàn)?（0,2,4）,C（2,0,0）>所以

所以外接圓半徑為=71+1+4=V6-

CQ

AiBiEn=（x,y,z）n-B、AT=2y=0

設(shè)平面的法向量為

n?BXE=2x-2z=0

解得取"I則z=l所以"=（1，°」）.又OE=（LT，0）,

（9（1,1,2）AXBXE\OE'n\

所以點(diǎn)到平面的距離為d=咻」

H

a________

所以平面截此三棱柱的外接球所得的截面圓的半徑為R=^co2-d2故

截面面積為薪空

答案第171頁，共22頁

故答案為：9

'7.⑴a"=2"-l(〃eN*)

⑵7

【分析】（1）由％與S“的關(guān)系，結(jié)合累加法即可得答案；

（2）利用裂項(xiàng)相消法即可求和，再解不等式即可.

【詳解】（1）因?yàn)楫?dāng)"N2時(shí)，"S"+i+（〃+l）S"_i=（2"+l）S,+l?

所以〃（S"+1-S"）=（〃+l）（S“-S“_J+l，即"%-+=1，

所以4也一&=J一_L.

72+1nn\n+\）n〃+1

所以￡1二冊(cè)%+%%-2幺+幺

rin-1)n-2)(32)2

所以%=2〃一1?

又6Z]=2義1-1=1滿足上式，故Q[=2〃-1(〃￡N*

答案第181頁，共22頁

111

（2）由（1）知，bn==—_—

an^an+2)(2〃-1)(2〃+1)2(2〃-12n+\

所以北=。+&+…+。

111

=-x1-

2〃+122?+1

又4哈解得‘?dāng)?shù)的最大值為7?

電By=①x-叵或y=-歷x+垃

(2)46

【分析】（1）分析可知，直線/不與x軸重合，設(shè)直線/的方程為》=沖+1,設(shè)點(diǎn)

4（國,必）、8（x2，%），將直線/的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用拋物線的

焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式求出加的值，即可得出直線/的方程；

（2）分析可知，直線/不與x軸重合，設(shè)直線/的方程為x=）+l，設(shè)點(diǎn)/（士,其）、

2（%，%）,將直線’的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，可得出力=-9,利用三

必

角形的面積公式結(jié)合基本不等式可求得耳+S2的最小值.

【詳解】（D解:依題意知,77（1,0）-

若直線/與X軸重合，此時(shí)，直線/與拋物線c只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，

答案第191頁，共22頁

設(shè)直線/的方程為x=my+l，設(shè)點(diǎn)/（國,%）、8（%,%），

聯(lián)立］》=叼+1,可得「一4切一4=0,貝|jA=16機(jī)2+16>0,

\y2=4x

由韋達(dá)定理可得%+%=4加，

2

所以，同=%+工2+2=myx+1+叩2+1+2=m（乂+%）+4=4m+4=6，

解得加=土也，所以，直線’的方程為》=立夕+1或x=_也了+1，

222

即y=V2x-V2或y=-V2x+V2,

（2）解：若直線/與％軸重合，此時(shí)，直線/與拋物線°只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意,

設(shè)直線/的方程為*=zy+2,設(shè)點(diǎn)4（工］,必）、/馬,%），

聯(lián)立卜=沙+2,可得「一4卬一8=°,則A=16『+32>°,

1）2-4x

由韋達(dá)定理可得,+%=4/,則弘％=一8,即%=_/.

不妨設(shè)必>0，貝lJ%<0，

所以，"°B的面積為E=^\OE\-\yi-y2\=yi-y2,

"B°F的面積為邑=J明也|=一卜，

所以，SI+S2=yt-y2-^-y2=M-口=%+空22日.空=46，

22%丫必

答案第201頁，共22頁

當(dāng)且僅當(dāng)必=U（%>o）時(shí)，即必=2班時(shí)取等號(hào).

必

所以5+S2的最小值為4行?

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：

一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；

二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用

基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.

19?⑴°,,=3附-2[?eN*）

⑵（2”-1）3+1

【分析】（1）由已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，列方程組求出數(shù)列首項(xiàng)和公差，可求通

項(xiàng)；

（2）由1與”的關(guān)系，求出數(shù)列也,｝的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.

【詳解】（1）方法一：設(shè)｛為｝的公差為"，

=3a,-4/,=4f5x4,/

因?yàn)榍乙?，?%+《-d=3（%+4d）-4.

%+d=4.

解得.

[d=3.

所以=ax]+—=3〃—2（幾wN*）.

答案第211頁，共22頁

方法二：設(shè)｛4,｝的公差為，.

因?yàn)镾5=3%-4且④=4，

由等差數(shù)列的性質(zhì)得S5-5a3=5（%+d）=5（4+d），3%-4=3（4+34）-4=3（4+3"）-4，

所以3（4+3d）-4=5（4+d），解得d=3-

所以a“=a2+（〃-2）d=4+3（"-2）=3〃-2（〃eN*），

（2）數(shù)列｛4｝中，Tn+l=3Tn+2n+3-

當(dāng)"22時(shí)，Tn=37；_1+2w+l-

兩式相減,得&「北=3（（-射）+2,即％=3“+2.

所以加+1=3（〃+1〉

又當(dāng)〃=1時(shí)，[=37]+5，所以4+62=34+5，又4=3，所以4=11?

從而仇+1=3伍+1），故總有bll+l+1=3（6“+eN*?

又因?yàn)?=3,所以，+1*°,從而組±1=3.

2+1

所以也,+1｝是以4+1=4為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

所以6“+1=4X3"-L所以"=4X3"T-1-

由⑴知，=3.2,所以'=d+2）/+l）="x4x3"T=4"x3"T-

"3

設(shè)d“=〃x3f｛"“｝的前”項(xiàng)和為4，

則3〃T①.

4n=1+2x3+3x32H-----X

答案第221頁，共22頁

所以34=1x3+2x32+3x33+…+("-l)x3"T+"x3"②^

①一②得-24=(1+3+3?+…+3"i)-〃x3"3-7x3"

2

、

3〃—1

所以匕=4/“=-2'----nx3"=(21>3"+卜

2/

2

20.⑴土_/=]

4-

（2）證明見解析，[^,0

【分析】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)，可知6+^=5,又由￡過點(diǎn)可得/，〃即可得答

[2>

案；

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)兒W：y=Ax+加,片土;｝將其與雙曲線方程聯(lián)

立，由加?病=°結(jié)合韋達(dá)定理，可得（3加+10初加+2%）=°,即直線過定點(diǎn)go）；當(dāng)

直線"N的斜率不存在時(shí)，可得直線過定點(diǎn)15,o1

【詳解】（1）設(shè)雙曲線￡的半焦距為。，則,=右，所以/+/=5①-

又“過點(diǎn)/一八立],所以二一工=1,

7'2a22b2

\7

可解得|'=4,所以E的標(biāo)準(zhǔn)方程為2=].

"14'

答案第231頁，共22頁

（2）①當(dāng)直線"N的斜率存在時(shí)，設(shè)MN：了=履+機(jī)卜工±；1

M（xx,yx）,N[x2,y2y

y=kx+m了（4左2-l）x?+8Amx+4（加?+1）=0

由/，消去可得‘

—-/=1

[4-

由題意知A8=（km^-A（加4