立體幾何-沖刺2023年高考數(shù)學(xué)大題突破+限時(shí)集訓(xùn)（新高考專(zhuān)用）（解析版）

立體幾何

翳題型簡(jiǎn)介

立體幾何一般作為全國(guó)卷第20題21題.重點(diǎn)題型主要是

1體積問(wèn)題及表面積問(wèn)題

2線(xiàn)面距離及線(xiàn)面角問(wèn)題

3二面角問(wèn)題

4空間幾何綜合問(wèn)題

H典例在線(xiàn)

----------------1------------------------------

題型一：體積及表面積問(wèn)題

1.在如圖所示的多面體4BCOE中，A￡_L平面ABC,AE//CD,AE=2CD=2,C4=CB=3,

AB=25

E

(1)證明：平面ABE)平面瓦汨；

(2)求多面體ABCDE的體積.

【答案】①證明見(jiàn)解析⑵2行

【詳解】(1)證明：設(shè)AB,BE的中點(diǎn)分別為EG,連接CRFG,DG,則/G〃AE,

ScFG=-AE,

2

又CD〃AE,S.CD=-AE,所以FG〃CD,且FG=CD,

2

所以四邊形CFG。為平行四邊形，所以CF〃OG.

因?yàn)锳E_L平面ABC,CFu平面ABC,所以AE_LCF,所以

因?yàn)镃4=CB,尸為AB的中點(diǎn)，所以CF1AB,所以DGLAB,

又AB,AEu平面ABE,且ASAE=A,所以￡>G_L平面ABE,

又。Gu平面BOE,所以平面ABE上平面BDE.

(2)由(1)得CblAB,CFLAE,且AB,AEu平面ABE,ABAE=A,所以C5_L

平面ABE,

又因?yàn)镃4=CB=3,AB=2y[5,F為AB的中點(diǎn)，所以CF=2.

因?yàn)镃D〃AE,AEu平面ABE,CDABE,所以CD〃平面ABE,

所以點(diǎn)。到平面ABE的距離等于點(diǎn)C到平面ABE的距離CF.

因?yàn)锳E_L平面ABC,AC,3Cu平面ABC,所以AE_LAC,AE±BC,

又CD〃AE,所以CD_LAC,CDLBC,又AC,3Cu平面ABC,且4。BC=C,所以

CD_L平面ABC,

連接AD,多面體ABCDE的體積丫等于三棱錐ABC的體積與三棱錐O-ME的體積之

和，

而%一ABC=：X：X2氐2x1=乎,v…=1x：x2導(dǎo)2x2=手

所以多面體48。?！甑捏w積丫=m5+勺5=2岔.

33

1.如圖①，在平面四邊形A3CD中，AB=AD=2,BC=CD=ABAD=60.將△BCD

沿著3。折疊，使得點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)C'的位置，且二面角A-8￡>-C'為直二面角，如圖②.已

知尸,G,F分別是AC',AD,AB的中點(diǎn)，E是棱上的點(diǎn)，且C'E與平面板）所成角的正切

值為撞.

3

(1)證明：平面PGP〃平面CZ>3；

(2)求四棱錐P-GFED的體積.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)12

【詳解】(1)尸,G,F分別為的中點(diǎn)，，PG〃C'D,PF//BC,

尸6,尸尸《平面。力3,。'。8(7七平面。753,

，PG〃平面CZ>3,尸尸〃平面CDS,又PGcPF=P,尸G,PPu平面PGP,.,?平面PG尸〃

平面C'DB.

(2)取3D的中點(diǎn)〃，連接

C

八FEB

AB=AD=2,ABAD=60,."ABD為等邊三角形，;.BD=2,

又BC=C7)=應(yīng)，.,.3C'2+C'r>2=3￡>2,..._c7)3為等腰直角三角形,

:.CM=!BD=1,C'M±BD；

；二面角A-89-C'是直二面角，即平面C'D3J_平面ABD,平面CZ)3c平面=

CMu平面C'DB,:.C'M±平面ABD,

：.Z.CEM即為C'E與平面ABD所成角,

tanZC'EM=011二竽'解得:EM專(zhuān)

EMEM

在△EMB中，由余弦定理得：EM2=BM2+BE2-2BM-BEcos60,

3i

即71+的-阻解得：肥=5,,E為線(xiàn)段,上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn),

—C_J_C_J_c_lc_11-V3V3

SX-------=--------

??S四邊形GFED=SMD-S.AGF-BDE一口A(yíng)BD4uABD4°ABD~^ABD=3X3X2

乙22

“1c1V316

一%棱錐P-GFED=§XS四邊形GFmXjCM=§*耳乂5乂1

~V2

題型二：線(xiàn)面距離及線(xiàn)面角問(wèn)題

.如圖，在多面體ABCDE中，已知.ABC,.ACD,一次”均為等邊三角形，平面ACDL平

面ABC,平面3CE_L平面ABC,H為AB的中點(diǎn).

(1)判斷。E與平面ABC的位置關(guān)系，并加以證明；

(2)求直線(xiàn)。"與平面ACE所成角的正弦值.

【答案】(1)OE〃平面A5C,證明見(jiàn)解析；(2)半

【詳解】(1)小〃平面ABC,理由如下：分別取AC,3c的中點(diǎn)。,尸，連接。。石尸,。尸,

因?yàn)?>=CD,所以ZX?_LAC,又平面ACD_L平面ABC,平面AC。1平面ABC=AC,

DOu平面ACD,所以。O_L平面ABC,同理EPJ,平面ABC,所以EP〃DO,

又因?yàn)閍A8,BCE是全等的正三角形，所以￡?=△9,

所以四邊形OOPE是平行四邊形，

所以r>E〃QP,因?yàn)镋DU平面ABC,OPu平面ABC,所以￡E>〃平面ABC；

(2)連接80,則易知3。1平面ACD,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以00,04,08的方向?yàn)椋Z

軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,令A(yù)C=2.

則o(o,o,o),A(o,i,o),c(o,T,o),r>M，o,o),”［o,g,孝］，尸。，一g*

［廠(chǎng)1o

DE=OP,:.EV3,一一

22

所以AC=(O,-2,O),AE=,DH=f-^1,

I2

設(shè)平面ACE的法向量為m=(x,y,z),

-2y=0

m-AC=0

所以.,所以V3x_Ty+~~~2=0

m-AE=0

貝i」y=o,取z=2,:.x=-l,則加=(T,0,2),

DH.m26樂(lè)

所以cos(r)H,:'=

叫板一20一5'

設(shè)直線(xiàn)DH與平面ACE所成的角為6,則sinJ=卜0$(￡)//,?1，=

y

1如圖，PD垂直于梯形ABCD所在平面，ZADC=/&W=90，/為外的中點(diǎn)，PD=0,

AB=AD=-CD=l,四邊形PDCE為矩形.

2

⑴求證：AC//平面￡>￡/；

(2)求平面A3CZ)與平面BCP的夾角的大小;

⑶求點(diǎn)F到平面BCP的距離.

\_

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）45（3）4

【詳解】（1）設(shè)CPDE=G,連接FG,

四邊形PDCE為矩形，為PC中點(diǎn)，又尸為R4中點(diǎn)，，AC〃bG,

又FGu平面AC平面DEF,r.AC〃平面.

（2）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4,DC,。戶(hù)正方向?yàn)閤,y,z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則見(jiàn)1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,V2),.-.BC=(-1,1,0),3=(0,-2,血卜

設(shè)平面BCP的法向量〃=(x,y,z),

BCn=-x+y=0

令y=l,解得：x=l,z=應(yīng)，”=(1,1,3)；

CP-n=-2y+V2z=0

z軸，平面ABC。，平面A8CD的一個(gè)法向量加=（0,0,1）,

1m-nJ2

cos<m,n>\=^^=丁，則平面ABC。與平面BC尸的夾角為45.

m-n2

(3)由(2)知：F—,0,-^-,P^0,0,V2^,.\PF=—,0,—

由平面5c尸的法向量〃=（U,夜）,

1

PFn\

點(diǎn)F到平面BCP的距離d

"24

題型三：二面角問(wèn)題

1如圖，四棱錐PABCD中，已知AD〃BC,BC=2AD,AD=DC,0BCD=6O°,CD^PD,

PB^BD.

P

(1)證明：PBE1AB；

(2)設(shè)E是尸C的中點(diǎn)，直線(xiàn)AE與平面4BCD所成角等于45。，求二面角B-PC-。的余弦值.

立

【答案】⑴證明見(jiàn)解析⑵7

【詳解】(1)連結(jié)8￡?,在BDC中，因?yàn)?C=2OC,I3BCQ=6O°,

由余弦定理BD=y)DC2+(2DC)2-2DC-2DC-cos60°=0DC.

因?yàn)間r)2+C￡>2=3C2,所以CDEIBD,又CO3PD,BDPD=D,RD,BDu平面刊汨，

所以CZ?平面PDB,由于RBU平面PDB,所以CDBPB.

因?yàn)镻BS1BD,CDIBD=D,CD,BDu平面ABCD,

所以尸況平面ABCD由于A(yíng)Bu平面A3CD,因止匕PBEIAB.

(2)解法1：以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC的方向?yàn)閤軸正方向，1℃|為單位長(zhǎng)度,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,由(1)可知y軸在平面ABC。內(nèi).

則8(0,0,0),，C(2，°，°)，O

設(shè)尸(0,0j)(t>0),則尸C=(2,0,v),,AE=

(222J

AF.rnt

因?yàn)槠矫鍭2CD的法向量為m=(0,0,1),所以cos〈AE,加〉=--------=------

IAEI-1^1#74

由AE與平面鉆。所成角等于45。，可知不7rsin45,解得心

2x-2z=0,

nrPC=O,

設(shè)平面。尸C的法向量〃i=(%,y,z),則,即1出n

幾i?DC=0.—x------y=0.

122

所以可取"i=(有,1,有).因?yàn)槠矫?PC的法向量為小=(0,1,0),于是

/\?及2A/7

COS〈〃I,〃2〉=inr—~~~.

nn7

B

解法2：取BC中點(diǎn)為F,連結(jié)EF,AF,則EF〃PB,且AF=￡)C.

由(1)可知EF0平面ABC。，EIE4尸是AE與平面ABC。所成角，所以回￡4尸=45。,

所以EF=A代。C,于是PB=2EF=2DC.

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC的方向?yàn)閤軸正方向，|DC|為單位長(zhǎng)度,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-肛z,由(1)可知y軸在平面ABCZ)內(nèi).

(16)

則2(0,0,0),C(2,0,0),DP(0,0,2),PC=(2,0,-2),DC=^--,0

2x—2z=0,

m-PC=0,

設(shè)平面OPC的法向量機(jī)=(x,y,z),貝！J<即可得16八

m-DC=0.—x------y=0.

122,

所以可取力=(也,1,退).因?yàn)槠矫鍮PC的法向量”=(0,1,0),于是

..m-nv7

cos<m,n)=----------=——.

\m\-\n\7

因?yàn)槎娼?孑。。是銳二面角，所以其余弦值為立.

7

解法3：

取BC中點(diǎn)為凡連結(jié)ERAF,則EF//PB,且AF=OC.

由（1）可知即3平面A2CD回￡4歹是AE與平面A2CD所成角，故團(tuán)EAF=45。，

因此EF=AF=OC,于是PB=2EF=2DC=BC,可得尸C=2?C.

連結(jié)BE,則BE0PC.過(guò)E在平面PDC內(nèi)作EG0PC,交PD于點(diǎn)G,

貝UaBEG是二面角B-PC-D的平面角.

因?yàn)镻BEIBC,所以BE=&）C，PD=y/^DC.

因?yàn)镃D5\PD,由△PEGsAPDC可得EG=—DC.

7

由PC0平面BEG,BGu平面BEG,所以PCH2G,

而CD0BG,PCcCD=C,PC,C￡>u平面PDC,

故BGa平面PDC,由于GEi平面PDC,所以BGSGE,

所以由余弦定理得cos/BEG=?=立.因此二面角8-尸。-。的余弦值為近.

BE77

1如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面A3C。為梯形，AB//CD,AB=2CD,AD=SD,ASAB

為正三角形，SCYBC,CB=CS.

A

(1)求證：平面SAB_L平面SBC；

(2)求二面角C-S4-O的余弦值.

2百

【答案】⑴證明見(jiàn)解析⑵7

【詳解】(1)分別取BS,AS的中點(diǎn)。，E,連接OE,OC,ED,則且0E=gA8.

因?yàn)锳B//CD,AB=2CD,所以O(shè)E//CD,OE=CD,

所以四邊形。CDE為平行四邊形，則CO〃OE.

因?yàn)锳￡)=Sr>,故DE_LSA,故CO_L&4.因?yàn)镃8=CS,故CO_LS3.

因?yàn)?sAiSB=S,SA,SBu平面SAB,所以CO_L平面S48.

因?yàn)镃Ou平面SBC,所以平面&4B_L平面SBC.

(2)連接A。，因?yàn)閲?guó)SAB為正三角形，所以AOLSB,

因?yàn)槠矫?45_L平面SBC,平面S4B，1平面SBC=S3,AOu面S4B,

所以AO_L平面SBC,OC.OS在面S3C內(nèi)，又COLSB,故04,OS,OC兩兩垂直，

故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC,OS,04所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所

設(shè)3C=SC=2,則A3=S8=20,04=#,OC=0，所以4倒,0,旬，C(0,O,O),

5(0,V2,0),D［也，與號(hào),(難點(diǎn)：點(diǎn)。的坐標(biāo)不易直接看出，可先求出點(diǎn)E的坐標(biāo),

利用CO=DE求解點(diǎn)。的坐標(biāo)）所以AS=W，血,一指），SD="，W，與

\227

CS=（-72,72,0）.

m?AS=6yl-V6zj=0

設(shè)面SAD的法向量為m=（%,%,zj,由＜

-

n?AS=0y2^z2=0

設(shè)面SAC的法向量為〃=（X2，%，Z2），貝1b

n，CS=~41X2+42y2=0

m-n42不

則cos（九9二同石=私萬(wàn)=二廠(chǎng)，顯然二面角C—。為銳二面角，所以二面角

C-S4-D的余弦值為2包.

題型四：空間幾何綜合問(wèn)題

1.如圖所示，正方形ABC。所在平面與梯形所在平面垂直，AN//BM,

AN=AB=BC=2,BM=4,CN=2瓜

81，

（1）證明：平面ABC。；

（2）在線(xiàn)段CM（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角E-8N-/的余弦值為正.若存

3

在，求出的CF=值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴見(jiàn)解析⑵存在，EM「2

【詳解】（1）證明：正方形ABCD中，BC1AB,

「平面ABCD1平面ABACV,平面ABCDc平面=BCu平面ABCD,

二3cl,平面ABW,又助Wu平面ABACV,

.-.BC±BM,S.BC±BN,又BC=2,CN=2百，

:.BN=JCN。-BC?=20，又，AB=AN=2,:.BN2=AB2+AN2,

:.ANLAB,又-AN//BM,

又BCBA=B,BA,BCu平面ABCD,.■BM2平面ABCD；

（2）解：如圖，以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，3ABM所在直線(xiàn)分別為羽y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則B（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,0,2）,D（2,0,2）,N（2,2,0）,M（0,4,0）,

設(shè)點(diǎn)E（a,瓦c）,CE-ACM（0<A<1）,（a,Z?,c-2）=2（0,4,-2）,

a=0

:.<b=4AE（0,42,2-22）,=（2,2,0）,fiZ=（0,42,2-22）,

c=2-24

設(shè)平面BEN的法向量為m=(x,y,z),

BN-m=2x+2y=Q22

.,令x=y=-l,z=-------m=

BE?m=4Ay+（2-24）z=01一丸I呂

顯然，平面3MN的法向量為BC=(O,O,2),

|2A|y/31?廠(chǎng)?i----------------1

即加（12）；+4川=石=忑,即|2后|=’6分一44+2,即3%+24—1=0,解得幾=§或一1

（舍），

1如圖，在四棱錐E-A8C。中，平面AOEH平面ABC。，O、M分別為線(xiàn)段AD、OE的中點(diǎn),

四邊形BC￡>0是邊長(zhǎng)為1的正方形，AE=DE,AE3\DE.

E

M

BC

⑴求證：CM7/平面ABE；

⑵求直線(xiàn)CM與8。所成角的余弦值；

⑶點(diǎn)N在直線(xiàn)上，若平面8MN3平面A8E,求線(xiàn)段AN的長(zhǎng).

.5

【答案】⑴證明見(jiàn)解析(2)6(3)3

【詳解】(1)證明：取AE的中點(diǎn)尸，連接8尸、/尸，如圖所示.

回分別為ED、AE的中點(diǎn)，^PMHAD,且

又四邊形BCDO是邊長(zhǎng)為1的正方形，

0BC//OD,且BC=OD,

又。為A￡)的中點(diǎn)，13BC//AD,B.BC=^AD,即PM//BC,且PM=BC,

回四邊形8CA/P為平行四邊形，0cM//PB,又CMC平面ABE,PBu平面ABE,

0CM//平面ABE.

(2)(2)連接EO,SAE^DE,。為A￡)中點(diǎn)，

ElEOEADElEOu平面ADE,且平面A￡＞瓦平面ABCD,平面ADEc平面ABCD^AD,

EIEOEI平面ABCD.又OBu平面ABCD,OOu平面ABCD,

0EOEOB,EO^OD,

以。為原點(diǎn)，。2、。。、。￡所在直線(xiàn)分別為芯軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

z

Dy

0),0,I),M(0,1,1)

則A(0,-1,0),C(1,1,0),B(1,0,0),D(0,1,E(U,

^\CM=(—I,——(-1,1f0).

1

\CMBD\

設(shè)直線(xiàn)CM與8。所成角為仇則cos%c1e

|CM||DUI%一6

團(tuán)直線(xiàn)CM與所成角的余弦值為丑

6

（3）設(shè)質(zhì)4質(zhì)，貝IN（0,九0）,

國(guó)二（1，-九0）,M5=（1,—5，—萬(wàn)），設(shè)平面8MN的法向量為*=（〃，b,c）,

22

nMB=

^即＜U---b---C=0Ai

則22,令。二九則c=2A-l,

=0,

n-NBa—Ab=0

回:二(A,1,22-1),設(shè)面AB石的法向量為m=(%,%z),AB=(1,1,O),AE=(0,1,1)

AB-iti=x+y=011、―一

由一,可取用=(I,—I,I).回平面8A/N0平面ABE,

AE-rn=y+z=0

2

回Ho,即%1+2入1=0，解得力=1，

III/，&q

蜜、和J模擬

一、解答題

1.（2023?山東?濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，皿（為等邊三角

形，M為叢的中點(diǎn)，PD±AB,平面RLD_L平面ABCD.

p

⑴證明：平面MCD_L平面E1B；

⑵若ADIIBC,AD=2BC,CD=2AB,求平面MCD與平面P3C夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）35.

【詳解】（1）設(shè)AD的中點(diǎn)為E,連接尸E,因?yàn)椤螅榈冗吶切?，所以PE1AD,

又因?yàn)槠矫嫔?￡>，平面ABCD,平面平面ABCD=A￡）,且PEu平面上4D,

所以PE_L平面ABCD,因?yàn)锳Bu平面ABCD,所以PEJ_AB,

又PDLAB,PDPE=P,P￡）,尸Eu平面fMD,

所以AS1平面PAD,又因?yàn)镸Du平面PAD,

所以因?yàn)樵诘冗吶切巍?。中，M為24的中點(diǎn)，

所以MD_LAP,因?yàn)锳5IAP=A,平面243,

所以A1D_L平面R4B,因?yàn)镸Du平面MCD,所以平面MCD_L平面JR4B；

（2）連接CE,由（1）知，AB人平面PAD,

因?yàn)?>u平面PAD,所以仞，因?yàn)锳D//3C,AD=2BC,CD=2AB,

所以四邊形ABCE1為矩形，即CE_LAD,BC=AE=DE,CD=2AB=2CE,所以

ZCDE=30°,

h

設(shè)BC=a,AD=2a,PE=AE-tan60。=屈，AB=CE=D￡-tan30°=—,

3

以E為原點(diǎn)，分別以EC、ED、￡P(guān)所在直線(xiàn)為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

ZA

Pl

，二7二:通二L方方

B

,c律,0,0

所以A(0,—o,0),P(0,0，島),,D（0,a,0）,M

I3）

設(shè)平面MCI)和平面PBC的法向量分別為％=(%,％,4)，n2=(x2,y2,z2),

,s<3aa,3。八

aMC=--x+—y---z.=0n?.PB=~/—。丫2-=0

’322

則

3a布a八

n?PC=x-6az2=0

niMD=-yi-^=022

無(wú)i="xi%=。

即

=島’x=3Z

lzi22

取必=1，22=1,則4=（Q,1,6）,n2=（3,0,1）,

%?出3國(guó)g

所以cos（"i，%）

E|,同力',血35

所以平面MCD與平面PBC夾角的余弦值為名叵.

35

2.(2023?山東?日照一中?？寄M預(yù)測(cè))如圖，直三棱柱ABC-的體積為4,A^C的

面積為2血.

⑴求A到平面ABC的距離；

⑵設(shè)。為4。的中點(diǎn)，44,=48,平面48<^，平面48月4，求二面角4—血一。的正弦值.

【答案】(1)&(2)3

2

【詳解】(1)在直三棱柱ABC-AgC中，設(shè)點(diǎn)A到平面4BC的距離為/?,

17611A

==,

則匕---。=匕—AD—匕"-

A-7A1]RZ>CC—3SrAi]oBC,h=3A)AAoRCC3—SAo(-C,AI,A=3AoCrlA]DB|CCj=3—'

解得h=V2，

所以點(diǎn)A到平面\BC的距離為行；

(2)取AB的中點(diǎn)瓦連接AE,如圖，因?yàn)锳A=AB,所以

又平面\BC±平面ABB1,平面ABCc平面ABB^=AXB,

且AEu平面所以短_L平面ABC,

在直三棱柱ABC-A4G中，BB{±平面ABC,

由3Cu平面ABC,±BC,

又AE,即u平面AB44且相交，所以3C1平面A網(wǎng)A,

所以BC&LI與兩兩垂直，以8為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由(1)得AE=行，所以e=48=2,%B=2垃,所以BC=2,

則4（0,2,0）,A（0,2,2）,3（0,0,0）,C（2,0,0）,所以AC的中點(diǎn)D（l,l,l）,

則=（1,1,1）,BA=（0,2,0）,BC=（2,0,0）,

m?BD=x+y+z=0

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量m=(x,y,z),則

m-BA=2y=0

可取加=（1,0,T）,

n?BD=a+b+c=0

設(shè)平面5￡>C的一個(gè)法向量〃=(a,b,c),則

n-BC=2Q=0

可取〃=（0,1,-1）,

則8sM/"\"麗m-n11

所以二面角A-如-C的正弦值為3H=亭

3.(2023?吉林,長(zhǎng)春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖，在三棱柱ABC-AAG中，相，平面

ABC,。為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，CB=4,AB=46AG=8,三棱錐A-的體積為8.

(1)證明：4。，平面用弓。；

(2)求平面AC。與平面ABC夾角的余弦值.

6病

【答案】⑴見(jiàn)解析⑵55

【詳解】(1)證明：因?yàn)閼?，平面A3C,CBu平面A3C,所以A4,，BC,

在三棱柱ABC-A4G中，四邊形AACC為平行四邊形，則AC=AG=8,

因?yàn)锳B=4A/LCB=4,所以AB?+CB?=AC?,所以CB_LAB,

又因?yàn)?8門(mén)招=4,44,u平面ABu平面AB與A，

所以C3L平面因?yàn)镃B//Gg,所以G耳，平面&明4，

又A〃u平面ABBH，所以G耳，A。.S^cAB-BC8y/3,

。為AB的中點(diǎn)，則S"c°=曰"^=4百，因?yàn)槠矫鍭BC,

VA-A?=VA_ACD=^Sacd-M=1x4V3x=8,所以"=26，所以在△AQ瓦中，

AD=B1D=2底,4g=4百，所以4/^+耳/^:4與「所以其力,4。，G4c4r)=耳，

G4，BQu平面片，所以A。，平面B|G。；

(2)因?yàn)锽用，平面ABC,BC1AB,以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，54、BB,、BC所在直線(xiàn)分別

為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

z

則C（0,0,4）、￡＞（2百,0,0卜4（4后2?0）、4（0,2后0）,

設(shè)平面Z）AC的法向量為根=（4%zj,圖=（2百,26,0）,DC=（-273,0,4）,

m?DA=2+2J5y=0/

則J,取芭=2,可得加=2,—2,四，

m-DC=-2y/3xi+4zl=0')

設(shè)平面4cB的法向量為〃=(%,%*2)，網(wǎng)=(4石,26,0),BC=(O,O,4),

n?BA=4\/3X7+2^3y7=0./、

則,取％=1，可得〃=1,一2,0,

n-BC=4z2=Q

所以，cos依力=廣1=6=噂,所以平面ZMC與平面4CB夾角的余弦值為

\m\-\n\VllxV555

6755

55

4.（2022?江蘇南京?南京師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD

是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZADC=60°,皿＞為等邊三角形，。為線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，且平面KM＞_L

平面ABCD,M是線(xiàn)段PC上的點(diǎn).

⑴求證：OM^BC；

（2）若直線(xiàn)AM與平面PAB的夾角的正弦值為叵,求四棱錐M-ABCD的體積.

10

4

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）3

【詳解】（1）因?yàn)橐籖4D為等邊三角形，。為線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，所以「OLAD；

因?yàn)槠矫鍾4D_L平面ABCD,所以尸01平面ABCD；

又3Cu平面ABCD,所以PO上BC；

在，OCD中，OD=1,CD=2,ZAL>C=60°,由余弦定理可得OC=若，

B^）OC2+OD2=CD2,所以CO_LAD；

因?yàn)锳￡>〃BC,所以CO_LBC,所以5C/平面POC；

因?yàn)镺Mu平面POC,所以加_LBC.

（2）由（1）得OP,OC,OD兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建系如圖，

則A（O,-1,O）,P（O,O,⑹,網(wǎng)3-2,0）,C（a0,0）；

AB=（6,-1,0）,P。=（百,0,-6）,AP=（0,1,山）；

設(shè)尸知=彳尸C，則AM=AP+PM=（6,1,相-扁）；設(shè)平面F4B的一個(gè)法向量為

〃=(x,y,z),

n-AB=0y/3x-y=0

則令y=耶),則〃=

n-AP=0y+yfiz=0

因?yàn)橹本€(xiàn)AM與平面PAB的夾角的正弦值為叵,

10

n-AMA/W2A/32=吟，解得％或九=一,（舍）,

所以即

?||AMlb-氐&彳2-6彳+4

|2

即有尸M=qPC,〃是靠近尸的三等分點(diǎn)，所以四棱錐M-ABCD的高等于。尸的泉

.J。

四棱錐M—ABCD的體積為V=—x2x—x2x2xsin60°x.

3233

5.（2023?河北衡水?衡水市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，直四棱柱A3C。-4耳G0中,

明=拓，E是AA的中點(diǎn)，底面A8CD是平行四邊形，若A。，平面BZ）G.

⑴若AB=AA，證明：底面ABCD是正方形

（2）若/BAD=60。，求二面角旦-2石-。的余弦值

至

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；（2）6.

【詳解】（1）如圖，連接&CC2,

AC,平面BZ）G，3DU平面BOG，CQu平面BOG，則ACLBD,\C±CtD,

直棱柱中44,_1底面ABCD,BDu平面ABCD,AAt±BD,

MAC=A，44，ACu平面ACA,則平面ACA，

又ACu平面A。,，所以3OLAC,所以平行四邊形ABCD是菱形，

AAi=AB,則直棱柱的側(cè)面A84A是正方形，因此側(cè)面CD2G也是正方形，所以CR，GD,

ACCD,=C,ACCRu平面AC",所以CQ,平面ACQ,

又A"u平面AC，，所以G￡），A2,直棱柱中易知。而CQ=R,

。2，C2u平面CCQ，所以A2，平面CCQQ,CQU平面CCQD,所以A2，G2,

因此底面4耳GR是矩形，即四邊形A3CD是矩形，所以四邊形A8CD是正方形；

（2）由（1）知底面ABCD是菱形，因此AC13D,設(shè)ACc5D=O,

分別以QAOB為x,y軸，過(guò)。與AA平行的直線(xiàn)為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)AB=2。，貝1|。4=島，03=。，%（瓜,0,底）,C（-島,0,0）,8（0,。,0）,<24風(fēng),。，屈,

T4（C=（—2~j3a,0,—\/6）,BCX=（~y/3a,—a,-\/6）,由（1）知=6。？一6=0,a=\（負(fù)

值舍去），

E(73,O,—),mi,0),0(0,-1,0),4(0,1,指)，BE=(6T,也),。5=(0,2,0),

BB\=(0,0,廂,

m-BB[=\Z6zj=0

設(shè)平面瓦5￡的一個(gè)法向量是加=(石,,則＜rJ6，取芭=1得

m-BE=J3X]—％+二0

m—(1,^3,0),

TI,BE—2—y792+——z92=0

設(shè)平面3EO的一個(gè)法向量是〃=(9,%/2)，貝1b2，取9=1，得

n-DB=2y2=0

n=(l,0,-V2),

/\m?n1v3/Q

8‘("")"麗=亞萬(wàn)=T'所以二面角4—"一°的余弦值為-干A.

6.(2022?河北衡水?河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))直四棱柱ABC。-44GA被平面。所截,

所得的一部分如圖所示，EF=DC.

(1)證明：瓦)//平面ACF；

(2)若QC=2AD=4A,E=2,ZADC=工，平面EFCD與平面ABC。所成角的正切值為,

33

求點(diǎn)E到平面ACF的距離.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）|75.

【詳解】（1）依題：平面。與兩平行平面A3CD,的交線(xiàn)分別為所，DC,

故有EF//DC,又EF=DC,故有平行四邊形EFCD,

0ED//FC,即＜z面ACF,尸Cu面ACF,回匹//平面ACP.

（2）4ADC中，由余弦定理可得AC=A/L由勾股定理得AC,AD,又平面ABC。,

故而441，AC,A￡＞兩兩垂直，如圖建系.

【法一求EH1取4）中點(diǎn)由A〃〃AE,AH=A,E得平行四邊形AAHE,

StAAj/ZHE,平面ACD,作印_LDC,（連￡7）,又HELCD,

回CD_L平面及〃，得CDLE/,又HI工DC,回ZEIH為所求二面角的平面角.

FH4r-

易求HI=—,又tanZ.EIH=---=—V3,EH=1.

4HI3

【法二求EH］面ABCD的法向量顯然為?=（0,0,1）,設(shè)面EFCD的法向量為k=（x,y,z）,

成,0,“,

k-DC=0人「,百ri-k

,令尤=V3，k=,依題:nh=l.

k,DE=UV19“上

由ED//平面ACF,點(diǎn)￡到平面ACF的距離轉(zhuǎn)化為。到平面ACb的距離d,￡＞（1,0,0）,

m-AC=0

DC=EFnF,設(shè)平面ACF的法向量為機(jī)=（x,y,z），=＞機(jī)可為

m?AF=0

（2,0,1）,

\m'AD\

d=|百.

聾，和J真題

1.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD,

PD=DC=1,M為8C的中點(diǎn)，S.PB±AM.

（2）求二面角A-PM-3的正弦值.

【答案】（1）0；（2）畫(huà)

14

【詳解】（1）［方法一］:空間坐標(biāo)系+空間向量法

陽(yáng)，平面ABCD,四邊形ABCD為矩形，不妨以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC、所在

直線(xiàn)分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

B

設(shè)3C=2a,則。（0,0,0）、尸（0,0,1）、3（2%1,0）、/（a,1,0）、A（2a,0,0）,

則尸3=（2a,1,-1）,/IM=（-a,1,0）,

PB±AM,則網(wǎng).海=-2"+1=0，解得a=變，故3C=2a=應(yīng)；

2

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法

如圖，連結(jié)3D.因?yàn)榈酌鍭8CD,且AMu底面ABCD,所以PD1AW.

又因?yàn)槭珺_LAM,PBPD=P,所以AM上平面尸3D.

又BDu平面FB￡）,所以

從而ZADB+ZDAM=90°.

因?yàn)镹M4B+"A"=90。，所以NM4B=NADB.

/、1丁日ADBA

所以一ADfis,5410,于是二三=二7.

ABBM

所以《8。2=1.所以BC=應(yīng).

【方法三］:幾何法+三角形面積法

如圖，聯(lián)結(jié)8。交40于點(diǎn)N.

p

由［方法二］知AM_L05.

ANDA9

在矩形ABCD中，有&DANs&BMN,所以---=----=2,BPAN=—AM.