2024屆?？诟呷卓荚嚁?shù)學(xué)試題含答案

機(jī)密★啟用前

?？谑?024屆高三摸底考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

i.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡

上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.若集合/一2Vx<3},8=卜|2-遂1},則/八8=

A.{x|x>-2}B.{x|-2<x<0}

C.{x|0Wx<3}D.{H-2<XW0}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l-i)=2i,則彳=

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

3.已知向量a=(2,〃?)，6=(1>-2),若(a+2/>)_L6,則同=

A.2A/5B.2屈C.4石D.40

4.一個近似圓臺形狀的水缸，若它的上、下底面圓的半徑分別為25cm和15cm,深度為

18cm,則該水缸灌滿水時的蓄水量為

A.1225兀cn?

B.4900Kcm3

C.7350Kcm3

D.2205Oncm3

5.在黨的二十大報告中，習(xí)近平總書記提出要發(fā)展“高質(zhì)量教育”，促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)

展.某地區(qū)教育行政部門積極響應(yīng)黨中央號召，近期將安排甲、乙、丙、丁4名教育專

家前往某省教育相對落后的三個地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作，則每個地區(qū)至少安排1名專家

的概率為

數(shù)學(xué)試題第1頁共4頁

6.已知函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)镽,/(x+f為偶函數(shù)，/(2-x)+/(x)=0,=,則

喈)=

A.2B.1C.0D.-4

232

7.三相交流電是我們生活中比較常見的一種供電方式，其瞬時電流i(單位：安培)與時

間，(單位：秒)滿足函數(shù)關(guān)系式：i=/mCOS(0/+%)(其中/，“為供電的最大電流，單位:

安培；0為角速度，單位：弧度/秒；仰為初始相位)，該三相交流電的頻率/(單位：

赫茲)與周期7(單位：秒)滿足關(guān)系式/=*.某實(shí)驗(yàn)室使用10赫茲的三相交流電，

經(jīng)儀器測得在t=0.025秒與t=0.5秒的瞬時電流之比為石，且在t=0.8秒時的瞬時電流

恰好為L5安培.若0則該實(shí)驗(yàn)室所使用的三相交流電的最大電流為

A.1安培B.百安培C.2安培D.3安培

22

8.已知橢圓C:A+［=l(°>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為月，E，P為C上一點(diǎn)，滿足

ab

PFJPF2,以C的短軸為直徑作圓O,截直線尸片的弦長為其，則C的離心率為

A.或B.或C.|D.3

3233

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.下列說法正確的是

A.數(shù)據(jù)2,1,3,4,2,5,4,1的第45百分位數(shù)是4

B.若數(shù)據(jù)不，%,比3，…，怎的標(biāo)準(zhǔn)差為s,則數(shù)據(jù)2%，2%,2退，…，2%的標(biāo)準(zhǔn)差為2s

C.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(l,2),若P(X>0)=［，則尸(0<X<2)=g

D.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布3(4,0),若方差%(X)=］，貝1J=2)=

10.已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為s,，若(凡-凡)(凡-席)<0,則

A.%+%>。B.S”<S]5V幾

C.當(dāng)〃=14時，S,取最大值D.當(dāng)S“<0時，〃的最小值為27

數(shù)學(xué)試題第2頁共4頁

11.已知G)C：(x-4)2+/=4,/,2是0c上的兩個動點(diǎn)，且M同=2百.設(shè)/(占，必)，

B(X2,%),線段48的中點(diǎn)為貝!]

A.ZACB=jB.點(diǎn)M的軌跡方程為(x-4f+/=i

C.占X2+弘力的最小值為6D.歸-必+1|+昆-%+1|的最大值為10+夜

12.設(shè)函數(shù)/(x)=xlnx+(l—x)ln(l-x),則

A./(x)=/(I)

B.函數(shù)/(x)有最大值-ln2

C.若占+%=1,則

D.若玉+工2<1,且;<工2<1,則/(工2)<)(國)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，第16題第一問2分，第二問3分，共20分。

13.在(x+2y)(x-y)6的展開式中f/的系數(shù)為.

14.已知直線了=-該+。是曲線y=|lnx|的一條切線，則。=.

15.已知cos(a+2〃)=,,tan(a+￡)tan￡=-4,寫出符合條件的一個角a的值為.

O

16.已知直線辦-y+l=0過拋物線C:f=2加5>0)的焦點(diǎn)，且與C交于4,2兩點(diǎn).過

A,8兩點(diǎn)分別作C的切線，設(shè)兩條切線交于M點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為N.若。=1,則

\MN\^；^ABM面積的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

已知函數(shù)了=國稱為高斯函數(shù)，國表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.8]=0,=1.若

數(shù)列｛。"｝滿足q=2,5.an+an+l=2n+3,記”=[lga“].

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列也｝的前2024項(xiàng)和.

數(shù)學(xué)試題第3頁共4頁

18.（12分）

一次跳高比賽中，甲同學(xué)挑戰(zhàn)某個高度，挑戰(zhàn)規(guī)則是：最多可以跳三次.若三次都未跳

過該高度，則挑戰(zhàn)失??；若有一次跳過該高度，則無需繼續(xù)跳，挑戰(zhàn)成功.已知甲成功跳

過該高度的概率為1,且每次跳高相互獨(dú)立.

(1)記甲在這次比賽中跳的次數(shù)為X,求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;

(2)已知甲挑戰(zhàn)成功，求甲第二次跳過該高度的概率.

19.(12分)

已知四棱錐尸-4BCD的底面為矩形，AD=2AB=2,過CD

作平面a,分別交側(cè)棱上4,PB于M,N兩點(diǎn),且上4.

(1)求證：CD1PD；

(2)若△尸4D是等邊三角形，求直線尸C與平面a所成角

的正弦值的取值范圍.

20.(12分)

記△48C的內(nèi)角N,B,C的對邊分別為a,b,c,已知/=斐，。是邊8C上的一點(diǎn),

O

sin/5/。?sin/C4Z）=3

bc2a

(1)求證：AD=^a；

(2)若CD=2BD,求cosZADC.

21.(12分)

在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知雙曲線C:?-4=1(a>0,6>0)的左頂點(diǎn)為/,

離心率為血，焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.直線/過點(diǎn)尸。，0)(0<Z<2),且垂直于無軸,

過P的直線/'交C的兩支于G,"兩點(diǎn)，直線/G,/“分別交/于兩點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線NN,(W的斜率分別為勺，k2,若左?⑥=；,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

22.(12分)

已知函數(shù)f(x)=e1-x+xlnx+機(jī).

(1)若/(%)的最小值為1,求加；

(2)設(shè)a,6為兩個不相等的正數(shù)，且4--L=21na-%n6,證明：a2+b2>2.

ee°ee

數(shù)學(xué)試題第4頁共4頁

機(jī)密★啟用前

?？谑?024屆高三摸底考試

數(shù)學(xué)試題參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。

題號12345678

答案CDBCBADA

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

題號9101112

答案BCDABDBCACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2414.215.竽，一半（答案不唯一）16.4,4

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）

【解】（1）因?yàn)槭?4川=2〃+3,

所以%+1+?！?2=2〃+5,

所以4+2-a”=2，.......2分

所以數(shù)列｛為｝的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列.

當(dāng)〃為奇數(shù)時，設(shè)〃=2左-1,則%=%*T=2+2優(yōu)-1）=24=〃+1,

當(dāng)〃為偶數(shù)時，設(shè)〃=2%,則%=a2k=2+2（4-1）=2%+1=〃+1,

所以““=w+l........5分

(2)設(shè)也｝的前“項(xiàng)和為7；,

當(dāng)時，bn=[lg(?+l)]=0,

當(dāng)9W〃W98時，bn=[lg(n+l)]=l,

當(dāng)99W〃W998時，bn=[lg(?+1)]=2,

當(dāng)999W〃W2024時，bn=[lg(,i+l)]=3,.......8分

數(shù)學(xué)試題參考答案第1頁共7頁

=aa

所以石024[1gi]+[1ga2]+[1g3]++[1ga2024]=90x1+900x2+1026x3=4968.

……10分

18.（12分）

【解】記"第i跳過該高度”分別為事件A,,，=1,2,3.

（1）X的可能取值為1,2,3,且

P（X=l）=P（A）=j；

噂=2）=2（*）=（1_訃|得；

P（X=3）=P（AA）=（1-|）=1.……4分

所以X的概率分布為

X123

P221

399

所以，E（X）=lx^+2x^+3xl=n.……6分

'3999

（2）“甲同學(xué)挑戰(zhàn)成功”為事件8,則

尸（8）=1一尸（豆4）=1一（1用=招，……8分

P（43）=P（*）=P⑷尸⑷=（1-卦］得，……10分

所以尸（&⑻=霏福.

答：甲挑戰(zhàn)成功，且第二次跳過該高度的概率看.……12分

19.（12分）

【解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BC。是矩形，所以AB//CZ）.

又ABu平面PAB,CD（Z平面PAB,

所以CD〃平面PAB.

因?yàn)镃Dua,平面PABa=MN,

所以CD//跖V.2分

數(shù)學(xué)試題參考答案第2頁共7頁

因?yàn)镸N_LPA,所以CD_LPA.

因?yàn)樗倪呅蜛BC。為矩形，所以CDLAZ),

又尸4,ADu平面R4￡),且AD=A,

所以C￡)_L平面PAD.

因?yàn)槭珼u平面PAD,

所以CCPD.……5分

(2)設(shè)AD,BC中點(diǎn)分別為。，E,

因?yàn)椤魇?。是等邊三角形，所以尸OLAZ).

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是矩形，點(diǎn)。，E分別為AD,8c的中點(diǎn)，

所以O(shè)E_LO。，且OE//CQ.

由(1)可知，C￡>_L平面PAD,

又尸Ou平面PAD,所以CO_L尸。，所以O(shè)E_LPO.

以。為原點(diǎn)，OE,OD,。尸的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立

空間直角坐標(biāo)系，則尸(0,0,2(1,-1,0),A

C(l,1,0),0(0,1,0).

設(shè)PM=/LPB(O<2W1),

則尸⑨)，

所以M(九-A，V3—.

設(shè)平面tz的一個法向量為"=(x,y,z),

又CD=(-1,0,0),CM=(2-1,-A-1，A/3-V3A),PC=(1,1,-73),

由［CZ)?〃=0,得-x=0，

CM-n=0,(2_1)尤_(2+1)、+(6_62)=0,

x=0,

數(shù)學(xué)試題參考答案第3頁共7頁

不妨取z=4+1,可得平面a的一個法向量為n=(0,百-百九4+119分

設(shè)直線尸C與平面。所成的角為。，

貝！Jsin0=Icos/PG,----2同

1'71\PC\-\n\2A/5-VA2-2+1

4

設(shè)fW=

VA2-2+1

]

11\23

-----+—

4214

因?yàn)?<4Wl,所以,21,所以0</(X)Wl,

X

所以0<sin6W羋，

所以直線PC與平面1所成角的正弦值的取值范圍為0,12分

20.(12分)

【解】(1)在△A8O中，由正弦定理，得sin(譽(yù)=嚶,

BDAD

所以sinNBAO=sinB?用，

AD

同理5皿/。4。=5也<??3.....2分

AD

加入sinABAD,sinZCAD_3汨sinBBD,sinCCD_3

式人一b—十—c—二詬'侍丁.詬卡丁W=五'

在△ABC中，由正弦定理，得邛=?1C=匹1,

bca

所以sin.BDsinACD=3即sinA-(BD+Cn)=3……4分

aADaAD2aAD2,

因?yàn)锳=萼，。是邊8C上的一點(diǎn)，

o

所以焉^=弓，即=6分

21JLXNJ

(2)因?yàn)镃D=2B。，所以CD=2a,8D=4,

33

數(shù)學(xué)試題參考答案第4頁共7頁

在△A8O中，由余弦定理，得COS/ADB=2

5272

-。

9--P

同理，cosZADC=48分

42

一9

2a2_25a2_b2

因?yàn)閏osZADB=-cosZADC,所以----=-----

化簡，得/=+2c2.10分

在△ABC中，由余弦定理，得cos/R4C=/

2bc2

所以C=43b,a-yflb,

5a2-b2|X7Z?2-Z?2

所以cos/ADC=91312分

4a24X7b214

99

21.（12分）

【解】(1)不妨設(shè)雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c,0),漸近線方程為y

C=0,

a

bc

由題意可得：,=2,2分

J/+b2

c2=a2+b2,

確軍得a=b=2,

所以雙曲線C的方程為：-^=1.

4分

44

(2)由題意直線GH的斜率不為0.

設(shè)直線GH方程為x=my+t,

■V2

由v44，消去工得：(加之一1))2+2m？+/2-4=。，

x=my+1

數(shù)學(xué)試題參考答案第5頁共7頁

m2—1^0

由,產(chǎn)A,得：(m2-l)(？-4)<0.

J^<0

加-1

設(shè)G(X1,yJ,H(%,%)，則%+為=產(chǎn)0,必％=93

1—m1—m

由題意可知A(-2,0),則直線AG:y=^^(x+2).

令x=t，得y=f(r+2),所以M坐標(biāo)為卜亞?),

X[十L\X]I-1)

同理，N坐標(biāo)為k,必'+了),

\X2+2)

=%(，+2)

所以左=

入2+2%(玉+2)

因?yàn)樾〉?所以亦.居用卷,

整理得：￡±1=(一+2)(%+2).

8分

t2%%

又(％+2)(/+2)=(m%+Z+2)(my2+1+2)

22

=my1y2+制，+2)(%+y2)+(z+2)

煤+3言+(.”富

(—2)22

所以r+2_(芯+2)(9+2)_1-〃廣_("2)

t.2%%2(4-r)2(4-r2)

1—m2

因?yàn)?<