2023-2024學年福建省莆田市高一年級上冊期末聯(lián)考數學模擬試題（含解析）

2023-2024學年福建省莆田市高一上學期期末聯(lián)考數學模擬試題

一、單選題

1.已知集合A為自然數集N,B={x|l<2X<8},則/口3=（）

A.{x|0<x<3}B.{JC|1<x<3}C.{1,2}D.{0,1,2）

2."$山二=必”是"。=￡'’的（）

23

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知事函數〃力=（/+4"-4）#f（〃eZ）的圖象關于y軸對稱，且在（0,+功上是減函數,

則〃的值為（）

A.-5B.2C.1D.-5或1

4.下列四個函數中，以兀為最小正周期，且在區(qū)間［1,無］上單調遞減的是（）

A.y=sinxB.y=|sinx|C.y=cos2xD.y=tanx

5.對任意。>0且awl,函數/'（x）=a6+1的圖象都過定點尸，且點尸在角。的終邊上，貝

tan。=()

1

A.B.-2C.D.

-2

6.已知sina+cosa=m,且戊￡（0,兀），則sina—cosa的值為（）

晅D,叵或一叵

A.--B.--C.

33333

7

7.函數/（x）=lnx-1的零點所在的大致區(qū)間是）

A.B.（1,2）C.（2,3）D.（e,+8）

x2+4x-l,x<0

8.已知函數=2尤>0，若方程［/（尤）了+24（尤）+3=0有5個不同的實數解,

則實數。的取值范圍為（）

（每2）D.彳］

A.（-co,-V3）B.C.

二、多選題

試卷第1頁，共4頁

9.下列命題為真命題的是()

A.3?eZ,/+〃為奇數

B.VaeR,二次函數y=/+。的圖象關于丁軸對稱

C.“a＞b”是“?。炯?”的必要條件

D./(x)=x2與g(x)=(&『是同一函數

17__

10.若0＜。＜6＜1,則Q++/中不可能是最大值的是()

A.2a2+b2B.2y［abC.2ypiabD.a+b

11.函數〃x)=/sin(0x+。)，,＞0,。＞0,網＜3的部分圖象如圖所示，下列說法正確的

是()

A.函數了=/卜)的圖象關于直線―-力對稱

B.函數y=f(x)在-兀，-5%7r上單調遞減

C.函數/(X)的圖像關于點(S三ir,0)對稱

D.該函數V=/(x)的周期是2兀

12.下列結論正確的有()

A.函數=三三圖象關于原點對稱

e+e

B.函數/(x)定義域為R且對任意實數x、V恒有〃x)+/(y)=/(x+y).則/(尤)為偶函數

C.f(x)=bg2(x2-如c+1)的定義域為R,則切€(-8,-2)52,+(?)

D./(x)=log212-〃zx+l)的值域為R,則〃2?-8,_2］。［2,+8)

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

13.函數/(x)=HM+ln(尤+1)的定義域是.

14.扇形的半徑為2,圓心角為Irad,則該扇形的面積為.

15.為了得到函數y=3sin，x-j的圖象，只要把函數y=3sin2x圖象上所有的點向(左、

右、上、下)平移個單位長度

16.已知函數/(x)=ln(-X2+2X+3),則/(無)的單調增區(qū)間為.

四、解答題

17.(1)化簡求值logs后+/25+吆4+7嚙2+(_9.8)°

3sina+cos(兀+戊)

(2)已知。為銳角，且滿足2tan2a_3tana-2=0.求c.(兀)的值；

2sma+5sm—+a

(2)

18.已知sina=^^,sin伍+4)=",其中a^,0^.

⑴求P;

(；2)求5皿2々-夕).

19.已知函數/(x)=sinxcosx-A/5-COS2X+工-.

⑴求函數/(%)的最小正周期和單調遞減區(qū)間；

⑵求函數“X)在區(qū)間上的值域.

20.某工廠利用輻射對食品進行滅菌消毒，先準備在該廠附近建一職工宿舍，并對宿舍進行防

輻射處理，防輻射材料的選用與宿舍到工廠距離有關.若建造宿舍的所有費用p(萬元)和宿

舍與工廠的距離x(km)的關系式為P=(0<x<15),若距離為10km時，測算宿舍建造

費用為20萬元.為了交通方便，工廠與宿舍之間還要修一條道路，已知購置修路設備需10

萬元，鋪設路面每千米成本為4萬元.設/(x)為建造宿舍與修路費用之和.

(1)求/(x)的表達式；

(2)宿舍應建在離工廠多遠處，可使總費用最小，并求/(無)最小值.

2

21.設函數=7-a(aeR)是奇函數.

3+1

試卷第3頁，共4頁

(1)求。的值；

(2)判斷函數/(x)的單調性，并用函數單調性的定義進行證明；

05

(3)已知。="2°，，Z＞=/(log21),c=f(3-),試比較三個實數a,6,c的大小并說明理由.

22.已知函數/(x)=--3mx+n(加＞0)的兩個零點分別為1和2.

(1)求加、n的值；

(2)若不等式/(x)-左＞0在xd[0,5]恒成立，求后的取值范圍.

(3)令g(x尸若函數/(x)=g(2x)-廠2》在工e[-1,1]上有零點，求實數r的取值

范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.D

【分析】根據指數函數的性質求出集合3,根據集合的交集運算，即可求得答案.

【詳解】由題意得8={x|142'<8}={x|0Wx<3},集合A為自然數集N,

故/c8={0,l,2},

故選：D

2.B

［分析］根據充分必要條件的定義結合三角函數從而得到答案.

【詳解】而夕=且推不出,所以“sinc=""是非充分條件，

2323

?！晖瞥鰏in0=且，"sina="”是“a=必要條件.

3223

故選：B.

【點睛】本題考查了必要不充分條件的判斷，考查了三角函數問題，意在考查學生對這些知

識的理解掌握水平，是一道基礎題.

3.C

【分析】根據募函數的概念得〃2+4〃-4=1即"=-5或〃=1,再根據性質可得〃=1時符合題意.

【詳解】因為/（"=（/+4〃-4）/f（〃eZ）為幕函數，

所以〃2+4〃-4=1,得力=-5或〃=1,

當〃=-5時，/仁）=尤4。為偶函數關于〉軸對稱，且在（O,+e）上單調遞增，不滿足題意；

當〃=1時，1（耳=V2,偶函數關于y軸對稱，且在（0,+/）上單調遞減，滿足題意，

故選：C

4.B

【分析】根據函數的周期性、單調性確定正確選項.

【詳解】>=$山工的最小正周期是2兀，不符合題意.

y=tanx在區(qū)間［,兀］上單調遞增，不符合題意.

兀

對于y=cos2x,5Vx<兀，兀<2x<2兀，

所以y=cos2x在區(qū)間上單調遞增，不符合題意.

答案第1頁，共11頁

對于y=|sinx|,畫出圖象如下圖所示，由圖可知了=卜出尤|的最小正周期為兀,

且在區(qū)間仁,兀J上單調遞減，B選項正確.

故選：B

【分析】根據指數函數的圖象特點確定/（力=。㈤+1的圖象所過定點坐標，結合正切函數的

定義，即可求得答案.

【詳解】對于函數1（力=。印+1,令x+l=O,，x=-l,

故/（x）=。向+1的圖象過定點尸（T2）,

由于點夕在角。的終邊上，則tan6=?=-2,

故選：B

6.C

【分析】利用同角三角函數之間的關系式可得sinacosa=-根據?！辏?,兀）即可求得結果.

【詳解】將sina+cosa=1兩邊同時平方可得，sin2a+cos2?+2sinorcosa=—

39

4

可得sinacosa=一§；

又a￡（0,兀），所以sina>0,cosa<0；

易矢口（sina-cos=sii?a+cos2a—2sinacosa=?,可得sina—cosa=;

后

又sina>0,cosa<0,所以sina-cosa=-----

3

故選：C

7.C

【分析】首先判斷函數的單調性，再根據零點存在性定理判斷即可.

【詳解】/（x）=lnx-1的定義域為（0,+動，

又y=lnx與歹=—-在（0,+"）上單調遞增，

答案第2頁，共11頁

7

所以/(x)=lnx-t在(O,+e)上單調遞增，

又/(2)=ln2一?0J(3)=ln30,

所以〃2)〃3)<0,

根據函數零點的判定定理可得函數/(x)=Inx-；的零點所在的大致區(qū)間為(2,3),

故選：C.

8.D

【分析】畫出函數的大致圖象，令t=方程［〃x)T+2”(x)+3=0有5個不同的

實數解，轉化為“+2R+3=0根的分布問題，分情況討論即可.

【詳解】函數/(x)的大致圖象如圖所示，對于方程［/5)7+2/5)+3=0有5個不同的實數

解，

令l=/(x),則/+2"+3=0在(-5,-2),(-2,-1)上各有一個實數解或『+2出+3=0的一個

解為-1，另一個解在(-2,-1)內或產+2勿+3=0的一個解為2另一個解在(-2,-1)內.

當/+2加+3=0在(-5,-2),上各有一個實數解時，設g0=/+2m+3,則

A=4a2-12>0,

g『2}7一4"0一

g(-l)=4-2a>0,4

g(-5)=28-10a>0,

當產+2勿+3=0的一個解為-1時，。=2,此時方程的另一個解為-3,不在(-2,-1)內，不滿足

題意;

7Q

當「+29+3=0的一個解為-2時，此時方程的另一個解為在(-2,-1)內，滿足題

綜上可知，實數。的取值范圍為；,2).

答案第3頁，共11頁

故選：D.

9.BC

【分析】根據全稱量詞命題、存在量詞命題、必要條件、同一函數等知識對選項進行分析,

從而確定正確答案.

【詳解】A選項，當“是整數時，=+是偶數，故為假命題.

B選項，二次函數>的對稱軸為V軸，所以B選項正確.

C選項，當時，a>b,

所以"a>"是"砥2>加2”的必要條件,所以C選項正確.

D選項，〃x)的定義域是R,g(x)的定義域是｛x|x2。｝,

所以不是同一函數，故為假命題.

故選：BC

10.ABC

【分析】利用基本不等式可比較大小，判斷B,C；利用作差法可比較2/+/,4+6的大小,

判斷A,D.

17

【詳解】由于,則/b,

故a+b>2冊,2a2+b2>142ab-貝巾2而，2缶。不可能是最大值，B,C符合題意；

由于2/+62_(0+6)=2("/12+(6_51)2_3r

當時，2(a--)2<2(0--)2=-,(Z>--)2<(1--)2=-,

39448224

,,_1.21、23113_

故2(zq——Y+(b——)--<-+------=0,

428848

即2/+°2<°+6,故2/+/不可能是最大值，A符合題意，

故選：ABC

11.BCD

【分析】根據函數的圖象，結合函數周期、對稱性以及最值求出參數，可得函數解析式，由

此結合正弦函數的對稱性、單調性以及周期，一一判斷各選項，即可得答案.

【詳解】由函數y=/(x)的圖象可知/=2,

設函數最,小正周期為T,則二3T=7271-(-V71)=3q兀二T=2兀，貝！|。=今27r=1,

答案第4頁，共11頁

jrI7[]ITTT

又/（-§）=0,即2sinl-y+I=0,則+Q=2k7i,kGZ,/.cp=2kn+—,kGZ

由于阿＜、，故夕=；,即/（x）=2sin[x+W],

對于A,4f2sin（_*W=2sin（一日H±2,

即函數了=/（x）的圖象不關于直線x=-￡對稱，A錯誤；

.5兀―,.,71、2兀

對于B,x￡一兀,一-—，則（%+；）￡~——，

oJ3[_5z_

2兀

由于正弦函數V=sinx在-]兀，-萬上單調遞減，

5冗

故函數了=/（x）在-71,——上單調遞減，B正確；

O_

對于C,/[m]=2sin[g+；|=2sin（27i）=0,

故「（X）的圖象關于點（半57T,0）對稱，C正確；

對于D,結合上面分析可知函數了=/（力的周期是2兀，正確，

故選：BCD

12.AD

【分析】根據函數的奇偶性定義可判斷A；利用賦值法，結合函數奇偶性定義判斷B；根據函

數的定義域為R,列不等式求解，可判斷C；根據函數的值域為R,列不等式求解，可判斷

D.

【詳解】對于A,7■（x）=J=的定義域為R,滿足/（-x）=￡二=-〃x）,

e+ee+e

即/■（x）=《士為奇函數，其圖象關于原點對稱，A正確；

對于B,令x=y=0,則/（0）+/（0）=/（0）,;./（0）=0,

令歹=T,則/（X）+/（-X）=/（0）=0,/（-x）=-/（X）,

即/'（X）為奇函數，B錯誤；

對于C,f（x）=log2,-S+1）的定義域為R,即/-始+1＞0在R上恒成立，

故加2_4＜0,.―2〈加＜2,即機式一2,2）,C錯誤;

對于D,/（x）=log2，一加x+1）的值域為R,即一—mx+1能取至1」（0,+?＞）內的所有值，

答案第5頁，共11頁

i^m2-4>0,:.m>2^m<—2,即加e,D正確，

故選：AD

【點睛】易錯點點睛：解答本題容易出錯的是選項C、D的判斷，解答時要注意區(qū)分定義域和

值域為R時的區(qū)別，列出的不等式是不一樣的，因此要特別注意這一點.

13.(-1,2]

【解析】根據函數〃x)的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，求出解集即可.

【詳解】解：函數/(x)=j2-x+/〃(尤+1)中,

2—..0

令

x+l>0f

解得-l<x,2,

所以/(x)的定義域是(-1,2],

故答案為：(T,2],

14.2

【分析】根據扇形面積公式進行求解即可.

【詳解】S=5=lxlx4=2;則該扇形的面積為2,

222

故答案為：2.

15.右

88

【分析】化簡函數解析式為>=3sin2，根據三角函數圖象的平移變換規(guī)律，即可得答

案.

【詳解】由于函數歹=3sin2x-：=3sin2fx-

故為了得到函數V=3sin12x-；J的圖象，只要把函數y=3sin2x圖象上所有的點向右平移5個

8

單位長度,

故答案為：右；￡

O

16.(—1,1)/(-1,1)

【分析】先求定義域為(-L3),再利用復合函數的單調性法則“同增異減”即可求得.

【詳解】因為一》2+2工+3>0,解得：T<x<3,所以〃x)=ln(--+2X+3)的定義域為(一1,3).

答案第6頁，共11頁

令I=-x?+2x+3=+4,貝!|y=lnf.

要求〃x）的單調增區(qū)間，只需xVL

所以-1<XW1,所以〃x）的單調增區(qū)間為（-15.

故答案為：（-1,1].

17.（1）1—3；（2）51

29

【分析】（1）根據對數的運算法則，即可求得答案；

3sinct+cos（7t+a）

（2）解方程求出tana=2,利用誘導公式化簡二<.?！筕結合齊次式法求值，即

（2J

可得答案.

log72

【詳解】(1)log3V27+lg25+lg4+7+(-9.8)°

3

=log332+lg(25x4)+2+l

3c-13

=—+2+2+1=——

22

（2）因為a為銳角，且滿足2tan2a-3tana-2=0,

解得tana=2,（負值舍）,

3sina+cos(7i+o)3sma-cosa。

一；----------------3tancr-13x2-1_5

故2sma+5cosa=-----------

2sina+5sin—+a2x2+5-9

12,2tana+5

jr

18.(1)/?=--

皿

50

【分析】（1）依題意，先確定a+0的取值范圍，利用同角三角函數的平方關系，求得cos（a+0

和cosa的值，然后把萬湊成夕=（。+夕）-7的形式，再利用兩角差的正弦公式，展開求解即

可;

（2）結合（1）中結論，利用二倍角公式求得sin2a和cos2a的值，再利用兩角差的正弦公式,

展開求解即可.

71

【詳解】（1）因為，匹,0,所以￡+/?€

2

答案第7頁，共11頁

又因為sin(e+/?)=g,且a+￡e[o,1^,所以cos(tz+￡)=g.

因為sina=7五,?ef0,->1,所以cosa=Y^,

10I2j10

則sin/?=sin[(a+⑼-c]=sin(a+0)cost/-co《a+0)sina--x^---x=血,

又因為Pe,go],所以〃=一；.

(2)由(1)可得cosa=^^,B=-匕

104

因為sin2a=2sinacosa=2x)&x^-=—,

101025

24

則cos2a=1-2sin26Z=-----,

25

\76

所以sin(2a一夕)=sin2acos,-cos2asin夕

50

SjT11JT

19.(1)最小正周期為兀，單調遞減區(qū)間為kTt+—,kit+—依eZ)

1I

(2)-t-

【分析】(1)利用三角恒等變換化簡函數”X)的解析式為1(x)=sin[2x-gJ,利用正弦型函

數的周期公式可求出函數/(無)的最小正周期，利用正弦型函數的單調性可求得函數/(x)的單

調遞減區(qū)間；

(2)由-.VxV；求出"-三的取值范圍，利用正弦型函數的基本性質可求出函數/(x)在區(qū)

間上的值域.

_64_

【詳解】(1)解：因為f(x\=sinxcosco^xI"=—sin2x百0+c°s2')

v72222

1?。百o.八叫

=—sm2x-----cos2x=sin2x——,

22I

所以，函數/(x)的最小正周期為T吟=兀，

所以，函數/(X)的單調遞減區(qū)間為^i+—，^+―?力

(2)解：當一.4x4；時，一—^4看，貝UTVsin12x—

答案第8頁，共11頁

TTJT1

因此，函數〃x)在區(qū)間-石，7上的值域為-1,-.

ann25

20.(1)/(x)=-——+10+4x,0<x<15；(2)宿舍應建在離工廠二km處，可使總費用最小,

/(x)最小值為65萬元.

【解析】(1)根據距離為10的t時，測算宿舍建造費用為20萬元，可求后的值，由此，可得/(x)

的表達式；

(2)f(x)=^-+10+4x,利用基本不等式，即可求出函數的最小值.

【詳解】解：(1)由題意可知，距離為10km時，測算宿舍建造費用為20萬元，則20=—^—,

4x10+5

解得4900,所以p=9°。，則/(x)=900+10+4x,0VxV15；

4x+54x+5

(2)y(x)=222_+io+4x=-^-+(4X+5)+5^2,(4x+^+5=63當且僅當

4x+54x+5y4x+5

90025

4X+5=TL,即時取等號，此時總費用最小.

4x+54

答：宿舍應建在離工廠jkm處，可使總費用最小，/(x)最小值為65萬元.

【點睛】利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，

則必須把構成積的因式的和轉化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個

定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方

21.(l)o=l；

(2)減函數，證明見解析；

⑶a<c<b,理由見解析.

【分析】(1)列出關于。的方程，解之即可求得。的值；

(2)利用函數單調性的定義即可證明函數/(x)為減函數；

(3)先比較三個自變量的大小，再利用函數/(x)為減函數即可得到a,b,c的大小關系.

2

【詳解】(1)奇函數〃幻二丁^-。定義域為R

3+1

2

貝!1/(0)=卸-。=0,解之得。=1，經檢驗符合題意.

答案第9頁，共11頁

2

(2)由(1)得/(M=丁7-1易得函數在R上單調遞減，證明如下：