排列組合資料

直觀定義

——事件A出現(xiàn)的可能性大小.統(tǒng)計定義

——事件A在大量重復(fù)試驗下出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定值稱為該事件的概率.古典定義；幾何定義.§1.2

概率的定義及其確定方法

研究隨機現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗中會出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率.概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量

事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，對人們的生活有什么意義呢？先給大家舉幾個例子

了解來商場購物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務(wù)人員.了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度.1.2.1

概率的公理化定義非負性公理：P(A)0;正則性公理：P(Ω)=1;可列可加性公理：若A1,A2,…,An

…互不相容，則定義1.2.1設(shè)為一個樣本空間，F(xiàn)為的某些子集組成的一個事件域，如果對任一事件定義在F上的一個實值函數(shù)P（A）滿足則稱P（A）為事件A的概率，稱三元素為概率空間從n

個元素中任取r

個，求取法數(shù).排列講次序，組合不講次序.1.2.2

排列與組合公式求排列、組合時，要掌握和注意：加法原則、乘法原則.加法原理

完成某件事情有n類途徑，在第一類途徑中有m1種方法，在第二類途徑中有m2種方法，依次類推，在第n

類途徑中有mn種方法，則完成這件事共有m1+m2+…+mn種不同的方法.乘法原理

完成某件事情需先后分成n

個步驟，做第一步有m1種方法，第二步有m2種方法，依次類推，第n

步有mn種方法，則完成這件事共有m1×m2×…×mn種不同的方法.（1）排列：從n個不同元素中任取r（r≤n）個元素排成一列（考慮元素先后出現(xiàn)次序），稱此為一個排列，此種排列總數(shù)記為（2）重復(fù)排列：從n個不同元素中每次取出一個，放回后再取下一個，如此連續(xù)取r次所得的排列稱為重復(fù)排列，此種排列總數(shù)共有（3）組合：從n個不同元素中任取r（r≤n）個并成一組（不考慮元素先后出現(xiàn)次序），稱此為一個組合，此種組合的總數(shù)記為（4）重復(fù)組合：從n個不同元素中每次取出一個，放回后再取下一個，如此連續(xù)取r次所得的組合稱為重復(fù)組合，此種重復(fù)組合總數(shù)為組合組合：重復(fù)組合：一、頻率的定義1.2.3

確定概率的頻率方法試驗者拋幣次數(shù)n“正面向上”次數(shù)頻率DeMorgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005拋擲錢幣試驗記錄可見,在大量重復(fù)的試驗中,隨機事件出現(xiàn)的頻率具有穩(wěn)定性.即通常所說的統(tǒng)計規(guī)律性.定義隨機試驗可大量重復(fù)進行.1.2.3

確定概率的頻率方法進行n次重復(fù)試驗，記n(A)為事件A的頻數(shù)，稱為事件A的頻率.頻率fn(A)會穩(wěn)定于某一常數(shù)(穩(wěn)定值).用頻率的穩(wěn)定值作為該事件的概率.頻率穩(wěn)定于概率與通常的極限不同，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率與概率之間出現(xiàn)較大偏差只是越來越罕見，但絕對不是不可能出現(xiàn)。頻率方法提供了概率的一個可供想像的具體值，在試驗重復(fù)次數(shù)n較大時，可用頻率給出概率的一個近似值，即頻率是概率的估計值。三、小結(jié)頻率的定義概率的公理化定義及概率的性質(zhì)事件在一次試驗中是否發(fā)生具有隨機性，它發(fā)生的可能性大小是其本身所固有的性質(zhì)，概率是度量某事件發(fā)生可能性大小的一種數(shù)量指標(biāo).它介于0與1之間.我們首先引入的計算概率的數(shù)學(xué)模型，是在概率論的發(fā)展過程中最早出現(xiàn)的研究對象，通常稱為古典概型1.2.4

確定概率的古典方法一、古典概型假定某個試驗有有限個可能的結(jié)果

假定從該試驗的條件及實施方法上去分析，我們找不到任何理由認為其中某一結(jié)果例如ei，比任一其它結(jié)果，例如ej

,更有優(yōu)勢，則我們只好認為所有結(jié)果在試驗中有同等可能的出現(xiàn)機會，即1/N的出現(xiàn)機會.e1,e2,…，eN

,常常把這樣的試驗結(jié)果稱為“等可能的”.e1,e2,…，eN

試驗結(jié)果

你認為哪個結(jié)果出現(xiàn)的可能性大？23479108615例如，一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球.將球編號為1－10.把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球.因為抽取時這些球是完全平等的，我們沒有理由認為10個球中的某一個會比另一個更容易取得.也就是說，10個球中的任一個被取出的機會是相等的，均為1/10.1324567891010個球中的任一個被取出的機會都是1/1023479108615稱這種試驗為等可能隨機試驗或古典概型.

若隨機試驗滿足下述兩個條件：

(1)它的樣本空間只有有限多個樣本點；

(2)每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同.

定義1二、古典概型中事件概率的計算記

A={摸到2號球}

P(A)=?

P(A)=1/10記

B={摸到紅球}

P(B)=?

P(B)=6/10223479108615132456這里實際上是從“比例”轉(zhuǎn)化為“概率”記B={摸到紅球},P(B)=6/10靜態(tài)動態(tài)當(dāng)我們要求“摸到紅球”的概率時，只要找出它在靜態(tài)時相應(yīng)的比例.23479108615

古典方法設(shè)

為樣本空間，若

①

只含有限個樣本點;②每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，則事件A的概率為:P(A)=A中樣本點的個數(shù)/樣本點總數(shù)1.2.4

確定概率的古典方法拋一枚硬幣三次

拋三枚硬幣一次Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}此樣本空間中的樣本點等可能.Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}

此樣本空間中的樣本點不等可能.注意例1.2.3(抽樣模型）

一批產(chǎn)品共有N個產(chǎn)品，其中M個是不合格品、N

M個是合格品.從中隨機地取出n個.試求Am=“取出的n個產(chǎn)品中有m個不合格品”的概率。注意抽取的方式。這里是不放回抽樣。解：先計算樣本空間的樣本點總數(shù)，為A0=“取出的n個產(chǎn)品中有0個不合格品”，該事件所含樣本點的個數(shù)為故P（A0）=N個產(chǎn)品分為兩類:合格品N-M個,不合格品M個.Am=“取出的n個產(chǎn)品中有m個不合格品”，該事件所含樣本點的個數(shù)為故P（Am）=m=0,1,2,…,r,r=min(n,M)這里應(yīng)有m≤min(n,M)A1=“取出的n個產(chǎn)品中有1個不合格品”，該事件所含樣本點的個數(shù)為故P（A1）=例1.2.4(放回抽樣）

放回抽樣是抽取一個后放回，然后再抽取下一個……如此重復(fù)直至抽出n個為止?，F(xiàn)對上例“一批產(chǎn)品共有N個產(chǎn)品，其中M個不合格品、N

M個合格品.從中隨機地取出n個.”在有放回抽樣情況下，討論事件Bm=“取出的n個產(chǎn)品中有m個不合格品”的概率。解：先計算樣本空間的樣本點總數(shù)，為B0=“取出的n個產(chǎn)品中有0個不合格品”，該事件所含樣本點的個數(shù)為故P（B0）=B1=“取出的n個產(chǎn)品中有1個不合格品”，該事件所含樣本點的個數(shù)為故P（B1）=Bm=“取出的n個產(chǎn)品中有m個不合格品”，該事件所含樣本點的個數(shù)為故P（Bm）=m=0,1,…,n購買：從01，……，35中選7個號碼.開獎：7個基本號碼，1個特殊號碼.

彩票問題——幸運35選7中獎規(guī)則

1)7個基本號碼

2)6個基本號碼+1個特殊號碼

3)6個基本號碼

4)5個基本號碼+1個特殊號碼

5)5個基本號碼

6)4個基本號碼+1個特殊號碼

7)4個基本號碼，或3個基本號碼+1個特殊號碼

中獎概率中所含樣本點個數(shù)：將35個號分成三類:7個基本號碼、

1個特殊號碼、27個無用號碼記pi

為中i等獎的概率。利用抽樣模型得：

中獎概率如下：不中獎的概率為：

p0=1

p1

p2

p3

p4

p5

p6

p7例1.2.6——

盒子模型n個不同球放入N個不同的盒子中.每個盒子中所放球數(shù)不限.求(1)指定的n盒子中各有一球的概率(n

N)

（2）恰有n個盒子中各有一球的概率(n

N)

解生日問題求n個人中至少有兩人生日相同的概率.看成n個球放入N=365個盒子中.P(至少兩人生日相同)=1

P(生日全不相同)1-p20=0.4058,1-p30=0.6963,1-p50=0.9651,1-p60=0.9922

用盒子模型得：n個人中生日全不相同的概率為至少兩人生日相同的概率為：n個人圍一圓桌坐，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.

解：考慮甲先坐好，則乙有n-1個位置可坐，而“甲乙相鄰”只有兩種情況，所以P(A)=2/(n-1)。例1.2.2n個人坐成一排，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.(注意：請與上一題作比較)解：1)先考慮樣本空間的樣本點數(shù)：甲先坐、乙后坐，則共有n(n

1)種可能.2)甲在兩端，則乙與甲相鄰共有2種可能.3)甲在中間(n

2)個位置上，則乙左右都可坐，所以共有2(n

2)種可能。由此得所求概率為：例1.2.31.2.5

確定概率的幾何方法

若①樣本空間充滿某個區(qū)域，其度量(長度、面積、體積)為S

；

②落在中的任一子區(qū)域A的概率，只與子區(qū)域的度量SA有關(guān)，而與子區(qū)域的位置無關(guān)

(等可能的).

則事件A的概率為:P(A)=SA/S

例1.2.8(會面問題）甲乙兩人約定在下午6點到7點之間在某處會面，并約定先到者應(yīng)等候另一個人20min，過時即可離去，求兩人能會面的概率設(shè)事件A=“兩人能會面”，該事件相當(dāng)于即或的所有可能取值為邊長約會地點的時間，為60的正方形，即解：兩人到達的時間是0—24小時內(nèi)任何一個時間點，因此可設(shè)分別為甲、乙兩人到達或x2020206060yx-y=20y-x=200例1.2.3

蒲豐投針問題平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意投擲一枚長為l的針，求針與平行線相交的概率.事件A=“針與平行線相交”充要條件是x